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第6讲第1课时 正、余弦定理
复习要点 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并
能解决一些简单的三角形度量问题．
一 正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，
内容 ＝＝＝ 2 R b2＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos _B，
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos _C
①a＝2Rsin A，
b＝ 2 R sin _B，
c＝ 2 R sin _ C ．
cos A＝，
②sin A＝，
变形 sin B＝，
cos B＝，
形式 sin C＝.
(其中R是△ABC的外接圆半径)
cos C＝
③a∶b∶c＝sin_ A ∶ sin _ B ∶ sin _ C ．
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin
C＝csin A
解决 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两
①已知三边，求各角；
三角 条边；
②已知两边和它们的夹角，求第三边
形的 ②已知两边和其中一边的对角，求另一边
和其他两个角
问题 和其他两角
二 已知a，b和A时，三角形解的情况
A为钝角
A为锐角
或直角
图形
关系 bsin A<
ab a≤b
式 asin B，则A>B．(√)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．()
2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
解析：由三角形正弦定理＝，得＝，解得 sin B＝，B无解，所以三角形无解．故选
C．
答案：C
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2＝a2＋bc，则角A的
大小为( )
A． B．
C． D．
解析：因为b2＋c2＝a2＋bc，所以由余弦定理可得cos A＝＝＝，因为0a，∴B>A＝45°，∴B有两解，即B＝60°或120°.
①当B＝60°时，C＝180°－(45°＋60°)＝75°，
c＝×sin C＝×sin 75°＝.②当B＝120°时，C＝180°－(45°＋120°)＝15°，
c＝×sin C＝×sin 15°＝.
综上，当B＝60°时，C＝75°，c＝；当B＝120°时，C＝15°，c＝.
方法二： 由余弦定理，得 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ，
已知两边及一边对角，常用余弦定理得到第三边的二次方程．
∴c2－c＋1＝0，∴c＝.
当c＝时，cos B＝＝，
∴B＝60°，C＝180°－(45°＋60°)＝75°.
当c＝时，cos B＝＝－，
∴B＝120°，C＝180°－(45°＋120°)＝15°.
综上，当c＝时，B＝60°，C＝75°；当c＝时，B＝120°，C＝15°.
解三角形问题的技巧
正、余弦定理实现边角关系的转化. 要么把条件都化为边的关系，要么都化为角的关
系，集中条件从一方面突破．
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式
子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两
个定理都有可能用到．
①应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件
合理取舍．
②求角时易忽略角的范围而导致错误，因此需要根据“大边对大角，大角对大边”的
规则，画图进行判断．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已
知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和“大边对
大角”的规则进行判断.\s\up7( )
对点练1(2023·全国乙卷，文)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝( )
A． B．
C． D．
解析：由acos B－bcos A＝c及正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C，又因为
sin(A＋B)＝sin C，所以 sin Acos B－sin Bcos A＝sin Acos B＋sin B·cos A，所以 sin
Bcos A＝0.又因为sin B≠0，所以cos A＝0，又A∈(0，π)，所以A＝，又C＝，所以B＝.
故选C．
答案：C
维度2 正、余弦定理与三角恒等变换的综合
典例2已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sin A＝4sin Ccos
B，c＝2.
(1)证明：tan B＝3tan C；
(2)若b＝2，求△ABC外接圆的面积．(1)证明：因为sin A＝4sin Ccos B，
所以 sin( B ＋ C ) ＝ 4sin C cos B ，
向结论看齐，结论只考查B，C的关系，因此思路一定是转化sin A＝sin(B＋C)．
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝4sin Ccos B，
即sin Bcos C＝3sin Ccos B，
所以tan B＝3tan
C．
(2)解：因为sin A＝4sin Ccos B，
所以 a ＝ 4 c · ， 题眼
即 a 2 ＋ 2 c 2 － 2 b 2 ＝ 0 .
为何都转化为边的关系呢？必须结合已知条件，相互印证，解题思路才开阔！
又b＝2，c＝2，所以a＝4，
所以c2＋b2＝a2，所以A＝，
则△ABC外接圆的半径R＝a＝2，
所以△ABC外接圆的面积S＝πR2＝4π.
1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要
交替使用．
2．条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理.
对点练2(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sinB．
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
解：(1)在△ABC中，A＋B＝3C，又A＋B＋C＝π，所以C＝.
又因为2sin(A－C)＝sin B，即2sin＝sin B，所以sin B＝2cos B．
又因为sin2B＋cos2B＝1，B∈，
所以sin B＝，cos B＝，
所以sin A＝sin(B＋C)＝sin＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.
(2)在△ABC中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为AB＝c＝5，C＝，sin B＝，sin A＝，
所以由正弦定理＝＝，
可得＝＝，解得a＝3，b＝2.
设AB边上的高为h，由三角形的面积公式可得absin C＝c·h，即×3×2×＝·5h，
解得h＝6，即AB边上的高为6.
题型 利用正、余弦定理判断三角形的形状
典例3在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－
B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．两个思路：从角的变形入手；或者从边的
变形入手．
解：由已知得a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cos Asin B＝2b2sin AcosB．
方法一：由正弦定理，得 sin 2 A cos A sin B ＝ sin 2 B sin A cos B ，边的齐次式，都化为角
的正弦值，重新组合成公式．
∴sin Asin B(sin Acos A－sin Bcos B)＝0.
∴sin 2A＝sin 2B．
由0<2A<2π，0<2B<2π，
得 2 A ＝ 2 B 或 2 A ＝ π － 2 B ．解三角方程，角的范围也很关键. 两角正弦值相等，则它们
的终边要么相同，要么关于y轴对称．
即A＝B或A＝－B．
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
方法二：由正、余弦定理，得a2b·＝b2a·.
∴ a 2 ( b 2 ＋ c 2 － a 2 ) ＝ b 2 ( a 2 ＋ c 2 － b 2 ) ，
角化边，从边之间的关系入手．
即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.
∴a＝b或c2＝a2＋b2.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
三角形形状的判定方法
(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利
用三角变换得出三角形内角之间的关系并进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现
的内角关系，如sin A＝sin B A＝B；sin(A－B)＝0 A＝B；sin 2A＝sin 2B A＝B或A＋
B＝等．
⇔ ⇔ ⇔
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数恒等变换，
求出三条边之间的关系进行判断．
提醒：①注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏
掉一种形状的可能；②在判断三角形形状时，一定要注意解是否唯一，并注意挖掘隐含条
件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．
对点练3(多选)(2024·安徽合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，下列四个命题中正确的是( )
A．若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
B．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
C．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形
解析：对于A，若acos A＝bcos B，则由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等
腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若bcos C＋ccos B＝b，则由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)
＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；
对于C，若＝＝，则由正弦定理得＝＝，则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；
对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝
0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误．
答案：BC
题型 与三角形面积有关的综合题型
典例4(2023·全国乙卷，理)在△ABC中，已知 ∠ BAC ＝ 120 ° ， AB ＝ 2 ， AC ＝ 1.
已知两边及夹角，解三角形问题．
(1)求sin∠ABC；
(2) 若 D 为 BC 上一点，且 ∠ BAD ＝ 90° ，求 △ ADC 的面积 ．从△ABC中引一条线段
AD，这样就形成三个三角形. 此类题目渐成热点．
解：(1)在△ABC中，因为∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，
所以由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7，所
以BC＝.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，解得sin∠ABC＝.
(2)由(1)知sin∠ABC＝，且∠BAC＝120°，
所以cos∠ABC＝＝，
所以 tan ∠ ABC ＝＝ .
第(2)问的解题思路：先由△ABD的边角关系，转化为△ADC的边的关系.
因为在Rt△ABD中，tan∠ABC＝，即＝，解得AD＝，
所以S ＝·AD·ACsin∠DAC＝××1×＝.
△ADC
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个
公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.\s\up7( )
对点练4(2023·新高考全国Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
解：(1)在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1，
所以S ＝AD×DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S ＝，解得a＝4.
△ADC △ABC
方法一(余弦定理＋三角恒等变换)：
在△ABD中，∠ADB＝，
由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB，
即c2＝4＋1－2×2×1×＝7，得c＝，则cos B＝＝，
所以sin B＝＝＝，所以tan B＝＝.
方法二(几何法)：在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC，
即b2＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝，
所以AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝，C＝.
如图，过A作AE⊥BC于点E，于是AE＝ACsin C＝，CE＝ACcos C＝，所以BE＝，
所以tan B＝＝.
(2)方法一(两次余弦法)：
在△ABD与△ACD中，分别由余弦定理得c2＝a2＋1－2×a×1×cos(π－∠ADC)，b2＝a2
＋1－2×a×1×cos∠ADC，
两等式左、右两边分别相加，整理得a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝2.
又S ＝××1×sin∠ADC＝，得sin∠ADC＝1，而0<∠ADC<π，于是∠ADC＝，所以
△ADC
b＝c＝2.
方法二(向量平方法)：
在△ABC中，因为D为BC的中点，所以2AD＝AB＋AC，
又CB＝AB－AC，所以4AD2＋CB2＝(AB＋AC)2＋(AB－AC)2＝2(b2＋c2)＝16，
即4＋a2＝16，解得a＝2，又S ＝××1×sin∠ADC＝，所以sin∠ADC＝1，
△ADC
而0<∠ADC<π，于是∠ADC＝，所以b＝c＝2.
