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3.5 正余弦定理（精练）（基础版）
题组一 正余弦定理公式选择
1．（2022·广西广西·模拟预测（文））在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，
，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】由正弦定理，得 ，所以 故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，A=45°，C=30°，c=6，则a等于（ ）
A．3 B．6 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由正弦定理得 ，∴a= .故选：B
3．（2022·四川·宁南中学）在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】由题意可得 ，则 或 .因为 ，所以 ，所以 .
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 所对的边分别是 ，已知 ，
则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或【答案】B
【解析】由正弦定理可得 ，则 .
因为 ，所以 ，则 .故选：B.
5．（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学）在中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，若 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．32
【答案】C
【解析】因为 ， ，所以 ，因为 ，
所以 .故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）△ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=4，b=3，c=2，则中线
AD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，由余弦定理得AB2=DA2+DB2－2DA·DBcos∠ADB，
AC2=DA2+DC2－2DA·DCcos∠ADC，又cos∠ADB=－cos∠ADC
两式相加得AB2+AC2=2DA2+DB2+DC2，即22+32=2DA2+22+22，∴2DA2=5，∴DA= .故选：D
7．（2021·云南·丽江第一高级中学）在 中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且a：b：c=3：5：
7，则 ___________.
【答案】【解析】 ，∴设 ， .故答案为： .
8．（2022·上海市奉贤中学）在 中，已知 ，则 的面积 _______．
【答案】12
【解析】∵ ，∴根据余弦定理得 ，
∴ ∴ ，故答案为：12．
9．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）在 中，内角 成等差数列，则
___________.
【答案】
【解析】由内角 成等差数列，知： ，而 ，
∴ ，而由余弦定理知： ，
由正弦定理边角关系，得： .故答案为： .
10．（2022·上海市宝山中学） 的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知 ，则
________.
【答案】4
【解析】由余弦定理 得 ，
，解得 或 （舍去）．故答案为：4．
题组二 边角互化
1．（2022·四川达州·二模）在 中， 所对的边分别为 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得： ，即 ，
， .故选：B.
2．（2022·四川泸州·二模） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，
， ，则 的值是（ ）
A．6 B．8 C．4 D．2
【答案】A
【解析】因为 ，根据正弦定理得到：
故得到
再由余弦定理得到： 代入 ， ，得到 .
故选：A.
3．（2022·安徽马鞍山·一模）已知 的内角 的对边分别为 ，设
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中，由 及正弦定理得： ，
即 ，由余弦定理得： ，而 ，解得 ，由 得 ，显然 ，则 ， ，
所以 .故选：C
4．（2022·四川·乐山市教育科学研究所二模）设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
，则A=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知， ， ，
， ，
由正弦定理，得 ，又 ，所以 ，
即 ，由 ，得 .故选：D
5．（2022·广西·高三阶段练习）已知 中， ， ，则 ______.
【答案】
【解析】∵ ，∴根据正弦定理得， ，又 ，
∴ ，∴ ，
∵B是三角形内角，∴sinB≠0，∴ ，
∵A是三角形内角，∴ ，∴ .故答案为： .6．（2022·广西·高三阶段练习）在 中， ， ， ，则 的值为
____.
【答案】
【解析】∵ ，∴根据正弦定理得， ，
∴ ，∴ ，∴ ，∵B是三角形内角，∴ ，
由正弦定理 得， .故答案为： .
7．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
，则A=___________.
【答案】
【解析】由正弦定理可知， ，整理得
即 ，
因为 ， 所以 ， 故答案为：
8．（2022·上海市建平中学高三阶段练习） ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若
△
，则 ___________．
【答案】
【解析】结合正弦定理可得 ，即 ，故 ，
所以 ,因为 ，所以 ，故答案为： .
9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足，则 ___________.
【答案】
【解析】因为 ，所以由正弦定理得 ，又 ，所以可得 ，所以
.故答案为： .
题组三 三角形的面积
1．（2022·吉林·德惠市第一中学）在 中，内角 所对的边分别为 ， ， ，
，则 的外接圆直径等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，可得 ，由余弦定理得 ，故 ，
由正弦定理得 故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，若 的面积
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】由 ，得 整理得：
由余弦定理得： ，即 ，即
又 ，解得 .故选：C.
3．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的
“三斜求积”公式，设 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公
式表示为 .在 中，若 ， ，则用“三斜求
积”公式求得 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，即 ，又 ，所以 ，
所以 ，故选：C
4．（2020·全国·高三专题练习）已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意 ， ，所以 为钝角， 为锐角.
，解得 .
.由正弦定理得 .由 解得 .
，
所以 .故选：D
5．（2022·陕西·西安中学高三阶段练习（理）） 的内角 所对的边分别为 .已知
，则 的面积的最大值（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，当且仅当 时，取等号，
则 ，所以 的面积的最大值为 .故选：B.
6．（2022·天津市宁河区芦台第一中学）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，
， ，则 ___________
【答案】7
【解析】 ，得 由余弦定理得 ，即
可得 ，故 故答案为：7
题组四 判断三角形的形状1．（2022·全国·高三专题练习） 的三边长分别为4，5，7，则该三角形的形状为（ ）
A．没有满足要求的三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【解析】因为 ，由余弦定理易知，最大角为钝角，该三角形为钝角三角形.故选：D．
2．（2022·江苏·高三专题练习）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则这
个三角形的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】因为 ，所以由余弦定理可得 ，即
所以 ，所以三角形的形状为直角三角形故选：A
3．（2022·内蒙古通辽·高三期末） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，则 为（ ）
A．等腰非等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】由 ，可得 ，所以 ，所以 .
在 中， ，故 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，故 为直角三角形.故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 中，三内角 满足 ，三边 满足 ，则
是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】 中，∵ 且 ，∴ ，将 ， 代入余弦定理 可得 ，
化简可得 ，即 ，
又∵ ，由等边三角形判定定理可知 为等边三角形.故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则“
”是“ 是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】在 中，由 结合余弦定理得： ，整理得：
，即 ，则 或 ， 为等腰三角形或直角三角
形，
即“ ”不能推出“ 是等腰三角形”，而 为等腰三角形，不能确定哪两条边相等，不
能保证有 成立，
所以“ ”是“ 是等腰三角形”的既不充分也不必要条件.
故选：D
6．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
满足 ，则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D在 中，对于 ，由正弦定理得： ，即 ，
所以 或 即 或 .所以 为等腰三角形或直角三角形.故选：D
7．（2022·全国·高三专题练习）若将直角三角形的三边 ， ， 分别增加 个单位长度，组成新三角形，
则新三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定【答案】A
【解析】由题意，不妨设 为直角三角形的斜边，故
各边增加1，可得三边长为：
此时 为三边中最长的边，故所对的角是新三角形的最大角，
不妨设新三角形最大角为
故
由于 ， ， 为三角形的三条边，故
，又 为锐角
新三角形的最大角为锐角，故新三角形是锐角三角形
故选：A
8．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
，则 是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】因为 由正弦定理化边为角可得： ，
所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 是直角三角形，故选：C.
9．（2022·全国·高三专题练习）在△ 中，若满足 ，则该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由正弦定理可得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 或 ，因为 ， ，所以 或 ，所以 或 ，
所以 是直角三角形或等腰三角形，故选：D
10．（2022·全国·高三专题练习） 的内角A，B，C的对边分别为 ，已知
且满足 ，则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】 ，解得 ， ，则 ，
∵ ，∴由正弦定理得 ，
， ，
，因为 ，∴ ，∴ ，
∴ ， ， 是直角三角形、故选：B．
题组五 三角形解个数
1．（2022·全国·高三专题练习）满足条件 ， ， 的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．不存在
【答案】B
【解析】在 中，因为 ， ， ，
由正弦定理 ，可得 ，
因为 ，即 ，则 有两解，所以三角形的个数是2个.故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）在 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项， ， ， ，又 ，
由正弦定理 得： ， ，
三角形三边确定，此时三角形只有一解，不合题意；
对于B选项， ， ， ，
由余弦定理得： ，
三角形三边唯一确定， 此时三角形有一解，不合题意；
对于C选项， ，三边均为定值，三角形唯一确定，故选项C不合题意；
对于D选项， ， ， ， 由正弦定理 得： ，
， ， ， 有两解，符合题意，故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ， ，则此三角形（ ）
A．无解 B．一解
C．两解 D．解的个数不确定
【答案】C
【解析】在 中， ， ， ，由正弦定理得 ，而 为锐
角，且 ，则 或 ，所以 有两解．故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）若 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，则B的解的个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．不确定
【答案】A【解析】由正弦定理知， ，即 ，解得 ，
又 ，由三角函数性质知角B由两个解，
当角B为锐角时，满足 ，即存在；
当角B为钝角时， ， ，
则满足 ，即存在；故有两个解.
故选：A
5．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ，若
满足条件的三角形有且只有一个，则边 的取值不可能为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】由已知， 到直线 的距离为 ，所以当 或 时，即 或 时，
满足条件的三角形有且只有一个.
所以对于A，符合 ，故三角形有一解；
对于B：当b=4时，符合 ，故三角形有两解；
对于C：符合 ，故三角形有一解；
对于D：符合 ，故三角形有一解.
故选：B.
6．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 所对的边分别为 ，下列条件使 有两解
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】选项A. 由余弦定理可得
的三边分别为 ，所以满足条件的三角形只有一个.
选项B. ，则 , 由正弦定理可得
所以 ， 的三边为定值，三个角为定值，所以满足条件的三角形只有一个.
选项C. 由 ，则由正弦定理可得
所以 , 由 则 ，所以角 为一确定的角，且 ，
则角角 为一确定的角，从而边 也为定值，所以满足条件的三角形只有一个.
选项D. 作 ,在 的一条边上取 ，过点 作 垂直于 的另一边，垂足为 .
则 ,以点 为圆心，4为半径画圆弧，
因为 ，所以圆弧与 的另一边有两个交点
所以 均满足条件，所以所以满足条件的三角形有两个.
故选：D
7．（2022·全国·高三专题练习）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，
，则满足条件的 （ ）
A．无解 B．有一个解
C．有两个解 D．不能确定【答案】C
【解析】因为 ， ，
由正弦定理可得 ， ，所以 ，
因为 为三角形内角，所以 ，因此 或 ，
若 ，则 符合题意；若 ，则 ，符合题意；
因此 有两个解；故选：C.
题组六 几何中的正余弦定理
1．（2022·陕西·模拟预测）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， ，
，则 边上的中线长为（ ）
A．49 B．7 C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，故可得 ，
根据余弦定理可得 ，故 ，
不妨取 中点为 ，故 ，
故 .
即 边上的中线长为 .
故选： .
2．（2022·内蒙古·霍林郭勒市第一中学）在△ABC中， ，AC＝2，D是边BC上的点，且BD＝2DC，AD＝DC，则AB等于 ___．
【答案】3
【解析】设 ，
因为BD＝2DC，AD＝DC，所以 ，
在 中，由余弦定理可知： ，
在 中，由余弦定理可知： ，
于是有 ，
在 中，由余弦定理可知： ，
，把 代入 中得， ，
故答案为：3
3．（2022·安徽安庆·二模（理））如图，在 ABC中，点D在边AB上，CD垂直于BC，∠A=30°，
△
BD=2AD， ，则 ABC的面积为______.
△
【答案】
【解析】因为 ，设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
因为 ，即 ，于是得 ，解得 ，则 ，所以 的面积 .
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在梯形 中， ， ， ， ，
， ， 均为锐角，则对角线 ___________.
【答案】25
【解析】过点 作 交 于点 ，连接BD，
则 ， ， .
在 中，由余弦定理得 ，
在 中， ，解得 .
故答案为：25.
5．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）如图，四边形 内接于一个圆中，其中 为直
径， ， ， .(1)求 的长；
(2)求 的面积.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)在 中，由余弦定理得：
，解得： ，
设 为 外接圆半径，由正弦定理得： ，即 .
(2) 为直径， ，
， ，又 ，
.
6．（2022·河北廊坊·高三阶段练习）在平面四边形 中，
．(1)求 ；
(2)求 的面积．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)因为 为直角三角形， ，
所以 ．
在 中， ，
由余弦定理，得 ，所以 ．
(2)由（1）知 ， ， ，所以 ，
所以 为直角三角形，且 ，
所以 ，
故 ．
