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第 03 讲 解三角形
一、单选题
1．设 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，且
△ ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用正弦定理与余弦定理代换即可.
【详解】因为 ，由正弦定理有 ，
根据余弦定理有 ，
且 ，故有 ，即 ，
又 ，所以 .故选：D .
2．在 中，已知 边上的两条中线 相交于点
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得三角形 为直角三角，建立坐标系，将问题转化为求 与 夹角
的余弦即可.
【详解】解：因为
所以 ，
所以 ,
又因为 ,
所以三角形 为直角三角，
建立如图所示的坐标系，则有： ,因为 分别为 中点，
所以 ,所以 , ,所以
= = .
故选：B.
3．已知 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理整理代入运算即可．
【详解】由正弦定理 ，整理得
故选：A．
4．在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】B
【分析】利用 角的余弦定理即可得到答案
【详解】解：在 中，由余弦定理得 ，
代入数据得 ，因为 ，解得 ，
故选：B
5．在 中，若 ，则 等于（ ）A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理进行求解.
【详解】因为 ，所以 ；
因为 ，所以 .
故选：B.
6．在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用余弦定理求出 ，再利用基本不等式求出 的范围，最后
借助同角三角函数的关系求出 的范围，从而求出 的最大值.
【详解】由 ，
整理得 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立.故选：C.
二、填空题
7．在 中，已知 .若 为边 上的一点，且 ，
，则 ___________.
【答案】
【详解】由题意可得： ，则
设 ，则
在 中，由正弦定理可得 ，整理可得
在 中，由正弦定理可得 ，整理可得∴ ，则 ，故答案为： ．
8．（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（文））在 中，角A，B，C的
对边分别为a，b，c，D在边BC上，且AD平分 ， ，
， ，则 的面积为__________.
【答案】
【详解】由 及正弦定理，得
，即 ，
由余弦定理得 ，又 ，所以 ，
因为AD平分 ，所以 ，
又因为 ，
即 ，化简得 ；
由 及正弦定理，得 .与 联立，
解得 .所以 .故答案为：
三、解答题
9．（安徽省皖南八校2022-2023学年高三上学期开学考试数学试题）已知 的内角
所对的边分别是 ，满足 .
(1)求角 ；
(2)若 ，且 外接圆的直径为 ，求 的面积.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，把条件进行化简整理，利用辅助角公式，化为单角表示，由角的
取值范围，求角；
（2）结合正余弦定理，整理化简得 的值，根据（1）代入面积公式计算得答案.
（1）
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ；
（2）
设 的外接圆半径为 ，则 ，
根据正弦定理 ，得 ，所以 ，
由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，所以 的面积为 .
10．（2022·湖南师大附中高二开学考试）记 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，已知 ，且 .
(1)求 的值；
(2)若∠ACB的平分线交AB于点D， ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和的正弦公式化简，结合正弦定理求解即可；
（2）根据三角形的面积公式，结合 可得 ，根据向量的线性运算可得，再两边平方结合数量积的运算求解可得 ，再在 中，由
余弦定理与正弦定理求解即可.
（1）在 中，角 的对边分别为 ，满足
，
得： ，因为 ，
所以 ，由正弦定理得： .
（2）由（1）得 ，因为 的平分线交 于点 ，且 ，记 为 到
的距离，因为 ，即 ，
所以 ，即 .
，所以 ，
两边平方，代入 ，得： ，
，在 中 ，
在 中，由余弦定理得， ，
在 中，由正弦定理得， .
一、单选题
1．在 中，角 所对的边分别是 是边 上一点， 且
，则 的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【分析】利用正弦定理及 ，表达出 ，再利用基本不等
式求出最值.【详解】如图所示，
因为 ，所以 ，
在Rt ABD中， ，即 ，
△
因为 ，
由正弦定理可得： ，即 ，
所以 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为8.故选：C
2． 中， 的对边分别为 ，则（ ）
A．若 ，则
B． 使得
C． 都有
D．若 ，则 是钝角
【答案】D
【分析】特殊值法判断A、C；B由题设有 ，进而有即可判断；D由已知得 ，结合 即可判断.
【详解】A：由题设 ，若 ， ， ，此时
，错误；
B：若 ，则 ，而 ，
所以 ，又 ，故不存在这样的 ，错误；
C：当 时 不成立，错误；
D：由 ，故 ，而 ，
所以 ，即 ，正确.故选：D
3．在 ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， ， ， ABC的面积为
△ △
，则 的周长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形面积可得 ，结合余弦定理求得 ，继而求得 ，
可得答案.
【详解】因为 ABC的面积为 ， ，故 ，
△
即 ，由于 ，
故 ，故 ，所以 ，
所以 的周长为 ，故选：C
4．在 中，内角 所对的边分别为 ．若 ，且 的面积
是1，则 的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由已知条件利用三角形面积公式求出 ，再利用余弦定理可求出 ，然后利用
正弦定理求出 的外接圆半径，从而可求出 的外接圆的面积.
【详解】因为 ，且 的面积是1，
所以 ，得 ，由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
设 的外接圆半径为 ，则由正弦定理得
，得 ，
所以 的外接圆面积为 ，故选：B
5．在 中，已知 为 边上的一点，且满足 ， ，
的面积是 面积的两倍，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 可得 是 的平分线，再由 的面积是 面积
的两倍，可求出 ，结合角平分线的性质可得 ，由于
，所以利用余弦定理化简可求出 的长，再在 中利用余
弦定理求出 ，再由同角三角函数的关系求出 ，从而可求出三角形的面积.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 的面积是 面积的两倍，
所以 ，
所以 ，
又由题意 是 的平分线，所以 ，
不妨设 ， ，结合已知得 ，
由余弦定理得 ，解得 ，负值舍去，
所以 ，
所以 ，
因为
所以 ，所以 ，故选：C.
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，角C的平分线交
AB于点D，且 ， ，则c的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知，CD是∠ACB的平分线，所以 ，所以 ，
，
在△BCD和△DCA中分别应用余弦定理得到方程，联立方程并组成方程组，通过解方程组
得a，b，c的值.
【详解】在△BCD中， ，
即 ，
在△DCA中 ，
即 ，
由 ，解得 .故选:C.
二、填空题
7．已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，且
，则 ______．
【答案】
【分析】由 利用余弦定理求得 ，再由 利用正弦定理化边
为角，结合内角和定理和两角和差正弦公式化简可求 .
【详解】由 得 ，
即 ，又 ，故 ，由 得 ，所以 ，
即 ，化简得
整理得 ，因为
所以 ，即 ．故答案为： .
8．在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，
△
则 ABC周长的最大值为________．
【△答案】
【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得 ，再根据余弦定理与基本不等式求
解周长最大值即可.
【详解】由正弦定理， 即 ，又 ，
故 ，即 .
由二倍角公式有 ，因为 ，故 ，所以 ，所以
，即 .
由余弦定理 ，结合基本不等式有
，即 ， ，故 ，当
且仅当 时取等号.
故 ABC周长的最大值为 的最大值为 .故答案为：
三△、解答题
9．在 中，内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)已知 是边 的中点， ，求 .
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据正弦定理结合同角三角函数的关系化简求解即可；
（2）设 的中点为 ，连接 ，在 中根据余弦定理可求得 ，再根据余弦
定理求解 即可.
（1）由正弦定理得 .又 ，
所以 ，
则 ，即 ，又 ，所以 .
（2）如图，设 的中点为 ，连接 ，则 .
由余弦定理，得 ，
所以 ，解得 ，所以 .
由余弦定理，得 ，所以 .
10．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
.
(1)求 的大小；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数关系式的恒等变换求出 的大小.
（2）利用三角形的面积公式结合题意求出 的值，再由余弦定理求出 ，即可求出
的周长.
（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 的面积为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得，
，
所以 的周长为 .
11．已知锐角 的内角 的对边分别为 ， 且 .
(1)求 ;
(2)若 ，且 的面积为 ， 求 的周长.
【答案】(1)
(2)6
【分析】(1)化边为角即可；
(2)由已知列方程组解出a 、b，再用余弦定理求c即可.
（1）
由正弦定理及已知得 ，
.
又 为锐角三角形，
.
（2）
由条件知 ，又 ，
或 ，
当 时， 为等边三角形， 故其周长为6，
当 时， 由余弦定理得 ，即 ，
此时 ， 则 ，
故此时 为钝角三角形， 不符合题意，
综上 的周长为 6 .
一、解答题
1．（2022·全国（理））记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)见解析(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即
可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出 ，从而可求得 ，即可得解.
(1)证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ；
(2)因为 ，
由（1）得 ，
由余弦定理可得 ，则 ，所以 ，
故 ，所以 ，
所以 的周长为 .
2．（2022·全国）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成
，再结合 ，即可求出；
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化
成 ，然后利用基本不等式即可解出．
（1）因为 ，即
，而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，而
，所以 ，即有 ，所以
所以
．当且仅当
时取等号，所以 的最小值为 ．
3．（2022·全国）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出 ，再由 求得 ，结合余弦定
理及平方关系求得 ，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得 ，即可求解.
（1）由题意得 ，则
，即 ，由余弦定理得
，整理得 ，则 ，又 ，则
， ，则 ；
（2）由正弦定理得： ，则 ，
则 ， .
4．（2022·北京）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得 的值，结合角 的取值范围可求得角
的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得 的值，由余弦定理可求得 的值，即可求得 的周长.
(1)解：因为 ，则 ，由已知可得 ，
可得 ，因此， .
(2)解：由三角形的面积公式可得 ，解得 .
由余弦定理可得 ， ，
所以， 的周长为 .
5．（2022·天津）在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知
.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据余弦定理 以及 解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出 ，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出 ，再根据两角差的正弦公式即可求出．
（1）因为 ，即 ，而 ，代入得 ，
解得： ．
（2）由（1）可求出 ，而 ，所以 ，又 ，
所以 ．
（3）因为 ，所以 ，故 ，又 ， 所以
， ，而，所以 ，
故 ．
6．（2022·浙江）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】（1）先由平方关系求出 ，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论 以及 可解出 ，即可由三角形面积公
式 求出面积．
(1)由于 ， ，则 ．因为 ，
由正弦定理知 ，则 ．
(2)因为 ，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ，而 ， ，
所以 的面积 ．
7．（2021·全国）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点
在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 ，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边 与 的关系，然后利用余弦定理即可求得
的值.【详解】（1）设 的外接圆半径为R，由正弦定理，
得 ，
因为 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为 ，如图，在 中， ，①
在 中， ．②
由①②得 ，整理得 ．
又因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， （舍去）．
当 时， ．
所以 ．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知 ，则 ，
即 ，而 ，即 ，
故有 ，从而 ．
由 ，即 ，即 ，即 ，
故 ，即 ，
又 ，所以 ，
则 ．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知 ，再由 得 ．
在 中，由正弦定理得 ．
又 ，所以 ，化简得 ．
在 中，由正弦定理知 ，又由 ，所以 ．
在 中，由余弦定理，得 ．
故 ．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作 ，交 于点E，则 ．由 ，得 ．
在 中， ．
在 中 ．
因为 ，
所以 ，
整理得 ．
又因为 ，所以 ，
即 或 ．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为 ，所以 ．
以向量 为基底，有 ．
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ．③
由余弦定理得 ，
所以 ④
联立③④，得 ．所以 或 ．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点， 所在直线为x轴，过点D垂直于 的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则 ．
由（1）知， ，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设 ，则 ．⑤
由 知， ，
即 ．⑥
联立⑤⑥解得 或 （舍去）， ，
代入⑥式得 ，
由余弦定理得 ．
8．（2020·全国（文）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a= c，b=2 ，求 的面积；
（2）若sinA+ sinC= ，求C.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）已知角 和 边，结合 关系，由余弦定理建立 的方程，求解得出 ，
利用面积公式，即可得出结论；
（2）方法一 ：将 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有
关 角的三角函数值，结合 的范围，即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得 ，的面积 ；
（2）[方法一]：多角换一角
，
，
，
.
[方法二]：正弦角化边
由正弦定理及 得 ．故 ．
由 ，得 ．
又由余弦定理得 ，所以
，解得 ．所以 ．
9．（2020·全国（理）） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1）由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），周长 ， 周长的最大值为 .
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设 ，则 ，根据正弦定理可知 ，
所以 ，当且仅当
，即 时，等号成立．此时 周长的最大值为 ．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得 ，即
．令 ，得
，易知当 时， ，
所以 周长的最大值为 ．
