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专题 21.4 一元二次方程的应用
◆ 典例分析
【典例1】正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习
俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆
需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中
一种）．
（1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤
圆？
（2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手
工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店
按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格
全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
【思路点拨】
（1）设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即
可；
（2）设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．
【解题过程】
解：（1）设总共生产了a袋手工汤圆，
0.3a 0.5a
依题意得， + =21
450 300
解得a=9000，
经检验a=9000是原方程的解，
答：总共生产了9000袋手工汤圆
（2）设促销时每袋应降价x元，
当刚好10天全部卖完时，
( 75 )
依题意得，225×2×(25−13)+8(25−13−x) 225+ x =40500
2
整理得：x2−6x+45=0
Δ=62−4×45<0，∴方程无解
∴10天不能全部卖完
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为
[ ( 75 ))
(15−13) 9000−2×225−8 225+ x =12600−600x
2
( 75 )
∴依题意得，225×2×(25−13)+8(25−13−x) 225+ x +12600−600x=40500
2
解得x =1,x =3
1 2
∵要促销
∴x=3
即促销时每袋应降价3元．
◆ 学霸必刷
1．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你
能求出这五个整数分别是 ．
【思路点拨】
设五个连续整数为x，x+1,x+2,x+3,x+4，根据题意列方程求解即可．
【解题过程】
解：将这五个连续整数中的第一个数设为x，
那么其余四个数依次为x+1,x+2,x+3,x+4，
根据题意，得x2+(x+1) 2+(x+2) 2=(x+3) 2+(x+4) 2．
也就是x2−8x−20=0．
根据方程x2−8x−20=0，
所以x=−2或x=10．
因此这五个连续整数依次为−2，−1，0，1，2或10，11，12，13，14．
故答案为：−2，−1，0，1，2或10，11，12，13，14．
2．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知，数轴上从左到右有三点A，B，C，它们在数轴上对应的数分
别为a，b，c(a，b，c均不为整数），且6500，
∴如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会超过500只．
5．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）暑假期间，河北涿州的洪涝灾害，牵动着全国人民的心．某单
位开展了“驰援涿州，我们在路上”赈灾捐款活动，第一天收到捐款8000元，第三天收到捐款11520元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
【思路点拨】
本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握题意是解题的关键．
（1）设捐款增长率为x，根据题意列出方程进行求解即可；
（2）根据增长率进行计算即可．
【解题过程】
（1）解：设捐款增长率为x．由题意得：8000(1+x) 2=11520，
36
(1+x) 2= ，
256
1+x=± ，
5
6
x=± −1，
5
1 11
x = ，x =− （不合题意，舍去），
1 5 2 5
1
=20%．即捐款增长率为20%．
5
( 1) 6
（2）解：11520× 1+ =11520× =13824（元）
5 5
即第四天该单位能收到13824元捐款．
6．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162
元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种
费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈
利1450元，每件应降价多少元?
【思路点拨】
（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的
一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）每件商品的盈利×（原来的销售量＋增加的销售量）－150=1450，为了减少库存，计算得到的降价多
的数量即可．
【解题过程】
（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x，
依题意，得：200(1−x) 2=162，
解得：x =0.1=10%，x =1.9（不合题意，舍去）；
1 2
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得：
(200−156−x)(20+5x)−150=1450，
解方程得x =4，x =36，
1 2
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x=36不合题意舍去，答：每件商品应降价4元．
7．（22-23九年级上·重庆綦江·期中）温润有度，为爱加温．近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成
为人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、B两种型号的暖风机共900台，每台
A型号暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元．
（1）若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？
（2）由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A、B两种型号的暖风机全部售完．该商场在12上旬又
购进了A、B两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台A型号暖风机的售价比其11月
1 1
下旬的售价优惠 a%，A型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最高购进量增加 a%，每
2 4
1
台B型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠 a%，B型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条
5
件下的最低购进量增加a%，A、B两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比（1）问中最低销售额增加了
19
a%，求a的值．
46
【思路点拨】
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关
系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设购进x台A型号暖风机，则购进(900−x)台B型号暖风机，根据总价=单价×数量结合销售额不低
于69万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；
（2）根据总价=单价×数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解题过程】
（1）解：设购进x台A型号暖风机，则购进(900−x)台B型号暖风机，
依题意，得：600x+900(900−x)≥690000，
解得：x≤400．
答：至多购进400台A型号暖风机．
（2）依题意，得：
1 1 1 19
600(1− a%)×400(1+ a%)+900(1− a%)×(900−400)(1+a%)=690000(1+ a%)，
2 4 5 46
整理，得：150a−12a2=0，
解得：a =12.5，a =0（不合题意，舍去）．
1 2答：a的值为12.5．
8．（22-23八年级下·广东江门·期末）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千
克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售
量可增加40千克．
（1）若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
（2）在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
【思路点拨】
（1）①设每千克茶叶应降价x元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可；②为了让利于顾
客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．
（2）设每千克茶叶应降价y元，列方程整理后为y2−110y+4500=0，代入根的判别式得Δ<0，方程无
解，故不能达到要求．
【解题过程】
（1）解：①设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得：
x
(400−x−240)(200+ ×40)=41600．
10
解得：x =30，x =80．
1 2
答：每千克茶叶应降价30元或80元．
②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．
320
此时，售价为：400−80=320元， ×10=8．
400
答：该店应按原售价的八折出售．
（2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下：
设每千克茶叶应降价y元．根据题意，得：
x
(400−x−240)(200+ ×40)=50000,
10
整理得：y2−110y+4500=0，
∵Δ=(−110) 2−4×1×4500=−5900<0，
∴原方程没有实数根，
即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．9．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计
划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．
（1）求甲工程队每小时修的路面长度；
（2）通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工
中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时；甲工程队的修路速度比原
计划每小时下降了3m米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．
【思路点拨】
（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面(2x+30)米，根据题意列出方程求解
即可；
（2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可．
【解题过程】
（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面(2x+30)米，
根据题意得，32x+32(2x+30)=4800，
解得：x=40，
则2x+30=110，
∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米；
（2）解：根据题意得，
40(32+m+25)+(110−3m)(32+m)=4800+1000，
整理得，m2−18m=0，
解得：m =18，m =0（舍去），
1 2
∴m的值为18．
10．（22-23九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树
枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680
元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
（1）原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
（2）实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降10m元（m≤10)），且
两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公
司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
【思路点拨】
（1）设原计划购买小叶榕x棵，则购买香樟50−x棵，根据题意列出方程680x+1000(50−x)=38800即
可得出答案．（2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为(680−10m)元每棵，(1000−10m)元每
棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到(680−10m)×(35+2m)+(1000−10m)×(15+m) =42400
方程式求出满足条件m的值，即可得出答案．
【解题过程】
（1）设原计划购买小叶榕x棵，则购买香樟50−x棵，
根据题意，可得680x+1000(50−x)=38800，
解得，x=35．
答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵．
（2）根据题意，可得(680−10m)×(35+2m)+(1000−10m)×(15+m) =42400，
整理得，30m2−1860m+3600=0，
解得：m =2，m =60，
1 2
∵m≤10，∴m=2，
∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟，
答：物业管理公司实际购买两种树共56棵．
11．（2023·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从
桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成
本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
6
（1）若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米．
5
（2）实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，
1
甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖 a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划
6
2
每天少挖 a米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多(7a−12)万元．求a的值．
9
【思路点拨】
（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成
6
本的 ，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
5
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每
1 2
天可多挖 a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 a米，即可得出关于a的一元二次方程，
6 9解之即可得出结论．
【解题过程】
（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
6
依题意，得：12（5000-x）≥ ×10x，
5
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
( 1 ) ( 2 )
（2）依题意，得：(10+a) 5+ a +12 5− a =12×5+10×5+(7a−12) ，
6 9
整理，得：a2−18a+72=0，
解得：a =12，a =6，
1 2
当a =12时，总成本为：12×5+10×5+7×12−12=182（万元），
1
∵182＞150，
∴a =12不符合题意舍去；
1
当a =6时，总成本为：12×5+10×5+7×6−12=140（万元），
2
∵140＜150，
∴a =6符合题意；
2
答：a的值为6．
12．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）1月21日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火
表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门
广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家50千米的A停车场后，再
步行1千米到达目的地，共花了1.5小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的25倍．
（1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
（2）乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米，此期间，已知乙开车的平均速度
1
比甲开车的平均速度快m千米/小时(m>0)，乙开车时间比甲开车时间少 m小时；乙步行的平均速度比
24
1 1
甲步行的平均速度快 m千米/小时，乙步行了 小时后到达目的地，求m的值．
4 3
【思路点拨】
（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是25x千米/小时，根据甲先将车开到距离
自己家50千米的A停车场后，再步行1千米到达目的地，共花了1.5小时．列出分式方程，解方程即可；（2）根据乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米．列出一元二次方程，解之取
其正值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和
一元二次方程．
【解题过程】
（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是25x千米/小时，
50 1
由题意得： + =1.5，
25x x
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，
∴25x=25×2=50，
答：甲开车的平均速度是50千米/小时，步行的平均速度是2千米/小时；
( 1 )
（2）由（1）可知，甲开车的时间为50÷50=1小时)，则乙开车的时间为 1− m 小时，
24
( 1 )
由题意可知，乙开车的速度为(50+m)千米/小时，乙步行的速度为 2+ m 千米/小时，
4
( 1 ) 1( 1 )
由题意得：(50+m) 1− m + 2+ m =46，
24 3 4
整理得：m2+24m−112=0，
解得：m =4，m =−24(不符合题意，舍去)，
1 2
答：m的值为4．
13．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点
分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足
1 3
关系：l= t2+ t(t≥0)，乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm．
2 2
（1）甲运动4s后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键．
（1）将t=4代入，计算求解即可；
1 3
（2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则 t2+ t+4t=5×21，计算求出
2 2
满足要求的解即可．
【解题过程】
1 3
（1）解：当t=4时，l= ×42+ ×4=8+6=14，
2 2
答：甲运动4s后的路程是14cm；
（2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，
1 3
∴ t2+ t+4t=5×21，整理得，t2+11−210=0，
2 2
∴(t−10)(t+21)=0，
解得，t=10或t=−21（舍去）．
答：它们运动了10秒．
14．（22-23九年级下·重庆丰都·阶段练习）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从
A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早
5分钟到达B地．
（1）求小明、小红的跑步速度；
（2）若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步
开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的
热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用
多少分钟．
【思路点拨】
（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照
分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解．
（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最
后求解．
【解题过程】
（1）解：设小红的速度为xm/min，则小明的速度为1.2xm/min，
12000 12000
依据题意列方程得， − =5，
x 1.2x∴12000×1.2−12000=5×1.2x，
∴x=400，
经检验，x=400是原式方程的解．
∴1.2×400=480m/min．
∴小红的速度为400m/min，小明的速度为480m/min．
故答案为：480m/min；400m/min．
（2）解：∵小明的速度为480m/min，
∴小明从A地道B地需要的时间为：12000÷480=25min．
∵小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，
∴30−25=5min．
设B地到C地的距离为xm，依据题意列方程得，
(x−480×5) ( x−480×5)
30×10+ × 10+ =2300
480 480
( x ) ( x )
∴300+ −5 × 10+ −5 =2300，
480 480
( x ) ( x )
∴ −5 × +5 =2000，
480 480
x2
∴ −25=2000，
4802
( x ) 2
∴ =2025，
480
∴x=21600或x=−21600（舍去）．
21600+12000
∴A地到C地所需要时间为： =70min．
480
故答案为：70min．
15．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）某旅行社为吸引市民组团去遵义某景区旅游，推出了如图收费标
准：（1）若甲单位组织25名员工参加本次旅游，应支付该旅行社费用为 元；
（2）若乙单位组织员工参加本次旅游，共支付旅行社费用15000元，求出乙单位参加本次旅游的员工人
数．
【思路点拨】
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用：
（1）利用总费用=人均旅游费×参加本次旅游的人数，即可求出结论；
（2）设乙单位参加本次旅游的员工人数为x人，求出人数为20人时所需总费用及人均旅游费为420元时
的人数，由12000元小于15000元及人均旅游费为420元时的人数不为整数，可得出x>20且人均费用不能
为420元，利用总费用=人均旅游费×参加本次旅游的人数，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合
题意的值，即可得出结论．
【解题过程】
（1）解：根据题意得：[600−10×(25−20))×25
=(600−10×5)×25
=(600−50)×25
=550×25
=13750（元），
∴若甲单位组织25名员工参加本次旅游，应支付该旅行社费用为13750元．
故答案为：13750；
（2）解：设乙单位参加本次旅游的员工人数为x人，
∵600×20=12000（元），12000<15000，15000÷420=35…300，
∴x>20且人均费用不能为420元．
根据题意得：x[600−10×(x−20))=15000，整理得：x2−80x+1500=0，
解得：x =30，x =50，
1 2
当x=30时，600−10(x−20)=600−10×(30−20)=500>420，符合题意；
当x=50时，600−10(x−20)=600−10×(50−20)=300<420，不符合题意，舍去．
答：乙单位参加本次旅游的员工人数为30人．
16．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）致富新村要修建一个长方形的养猪场，猪场的一面靠墙（墙长
25米），另外三边用长40米的木栏围成．
（1）设AB长为x米，则BC的长为______米；
（2）AB长为多少时，养猪场的面积为150平方米？
（3）养猪场的面积能否为240平方米？若能，请求出AB的长度；若不能，请说明理由．
【思路点拨】
此题考查了一元二次方程的应用和一元二次方程根据的判别式，理解题意，正确列出方程是解题的关键．
（1）根据BC=木栏长−(AB+CD)求解即可；
（2）结合（1）可求出养猪场的面积为x(40−2x)，从而得出方程x(40−2x)=150，解之，再求出x的取
值范围，即可得出答案．
（3）按照（2）的方法列出方程，求出一元二次方程根的判别式，即可作出判断．
【解题过程】
（1）解：设AB长为x米，即AB=CD=x米，
∴平行于墙的边BC长为(40−2x)米．
故答案为：(40−2x)；
（2）解：由（1）可得养猪场的面积为x(40−2x)，
又∵养猪场的面积为150平方米，
∴x(40−2x)=150，
解得：x =15，x =5．
1 2
∵08，
∴x=15．
（3）解：由题意可得BF=x−8,EC=AC−4
由于篱笆长为28m，
∴x−8+x−2+BD+BD−4=21−x，
∴BD=21−x
∴x(21−x)=110
解得x =10,x =11．
1 2
当CD=10或11时，生态园的面积能达到110m2．
18．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，点P从A
开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移
动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒．
（1）填空：BQ=______cm，PB=______cm；（用含t的代数式表示）；
（2）当t为几秒时，PQ的长度等于4❑√2cm；
2
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的 ？如果存在，求出t的值，如果不
3
存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据路程=速度×时间，BQ=2tcm，AP=tcm，结合已知解答即可．（2）根据勾股定理PQ2=PB2+BQ2，列式计算即可．
2
（3）根据S =S −S = S 列式计算即可．
四边形APQC △ABC △PBQ 3 △ABC
【解题过程】
（1）∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B
开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．
∴BQ=2tcm，AP=tcm，
∴PB=AB−AP=(6−t)cm，
故答案为：2t，(6−t)．
（2）∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，BQ=2tcm ，PB=(6−t)cm，
PQ2=PB2+BQ2，
∴(4❑√2) 2=(6−t) 2+(2t) 2，
整理，得5t2−12t+4=0，
2
解得t =2,t = ，
1 2 5
2
当运动时间为2s或运动时间为 s时，PQ的长度等于4❑√2cm．
5
（3）∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，BQ=2tcm PB=(6−t)cm，
2
S =S −S = S ，
四边形APQC △ABC △PBQ 3 △ABC
1 1 1
∴ PB·BQ= × AB·BC，
2 3 2
1 1 1
∴ ×2t×(6−t)= × ×6×8，
2 3 2
整理，得t2−6t+8=0，
解得t =2,t =4（舍去），
1 2
2
故当运动时间为2秒时，四边形APQC的面积等于△ABC面积的 ．
3
19．（22-23九年级上·广东清远·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm，BC=8cm，点P从
点A出发，以每秒1cm的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿BC向点C
匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t=1时，直接写出P，Q两点间的距离．
（2）是否存在t，使得△BPQ是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在t，使得△BPQ的面积等于10cm2，若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）求出PB=10cm，BQ=2cm，再利用勾股定理即可求出PQ=❑√PB2+BQ2=❑√102+22=2❑√26cm；
（2）因为∠B=90°，所以当△BPQ是等腰三角形时，只有BP=BQ，表示出BP=(11−t)cm，当0≤t≤4
时，BQ=2tcm；当4＜t≤8时，BQ=(16−2t)cm；当8＜t≤11时，BQ=(2t−16)cm；利用BP=BQ
，即可求出t的值；
（3）由（2）可知：BP=(11−t)cm，当0≤t≤4时，BQ=2tcm；当4＜t≤8时，BQ=(16−2t)cm；当
1
8＜t≤11时，BQ=(2t−16)cm；利用S = ×BP×BQ=10，解关于t的方程即可．
△BPQ 2
【解题过程】
（1）解：当t=1时，由题意可知：AP=1cm，BQ=2cm，
∵AB=11cm，
∴PB=10cm，
∵∠B=90°，
∴PQ=❑√PB2+BQ2=❑√102+22=2❑√26cm；
（2）解：∵∠B=90°，
∴△BPQ是等腰三角形时，只有BP=BQ，
由题意可知：BP=(11−t)cm，
∵Q从点B出发以每秒2cm的速度沿BC向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另
一点也停止运动，
∴当0≤t≤4时，BQ=2tcm；当4＜t≤8时，BQ=(16−2t)cm；当8＜t≤11时，BQ=(2t−16)cm；
∵BP=BQ
11
∴11−t=2t，解得：t= ＞4，故不符合题意；
311−t=16−2t，解得：t=5，符合题意；
11−t=2t−16，解得：t=9，符合题意；
综上所述：t=5或t=9；
（3）解：假设存在t使得△BPQ的面积等于10cm2，
由（2）可知：BP=(11−t)cm，当0≤t≤4时，BQ=2tcm；当4＜t≤8时，BQ=(16−2t)cm；当
8＜t≤11时，BQ=(2t−16)cm；
1
∴当0≤t≤4时， ×(11−t)×2t=10；解得：t=1或t=10（舍去）
2
1
当4＜t≤8时， ×(11−t)×(16−2t)=10，解得：t=6或t=13（舍去）；
2
1
当8＜t≤11时， ×(11−t)×(2t−16)=10，因为Δ＜0，故无解，
2
综上所述，当t=1或t=6时△BPQ的面积等于10cm2．
20．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB=6cm,AD=2cm，动点PQ分别
从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到
达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：
（1）当t=1s时，四边形BCQP的面积是多少？
（2）当t为何值时，点P和点Q的距离是3cm？
（3）当t=__________s时，以点PQD为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案）
【思路点拨】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，梯形的面积公式，一元二次方程的解法的应用．
解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．
(1)当t=1时， 可以得出CQ=1cm,AP=2cm，就有PB=6−2=4(cm)，由梯形的面积就可以得出四边形
BCQP的面积；
(2)如图1， 作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2， 作
PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中， 由勾股定理建立方程求出其解即可；(3)分情况讨论， 如图3， 当PQ=DQ时， 如图4， 当PD=PQ时， 如图5， 当
PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．
【解题过程】
（1）解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6,AD=BC=2,∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∵CQ=1cm,AP=2cm，
∴PB=6−2=4(cm).
(1+4)×2
∴S= =5(cm2 )．
2
答：四边形BCQP面积是 5cm²；
（2）解：如图1， 作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE=BC=2cm,BE=CQ=t(cm)．
∵AP=2t(cm)，
∴PE=6−2t−t=(6−3t)cm．
在Rt△PQE中， 由勾股定理， 得
(6−3t) 2+4=9，
6±❑√5
解得：t= ；
3
如图2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ=90°．
∵∠B=∠C=90°，
∴∠PEQ=90°．
∵∠B=∠C=90°，
∴四边形BCEP是矩形，
∴PE=BC=2cm,BP=CE=6−2t
∴CQ=t，
∴QE=t−(6−2t)=3t−6
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
(3t−6) 2+4=9，
6±❑√5
解得：t= ．
3
6+❑√5 6−❑√5
综上所述： t= 或 ；
3 3
（3）解：如图3， 当PQ=DQ时， 作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE=BC=2cm,BE=CQ=t(cm)，
∵AP=2t，
∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t.DQ=6﹣t．∵PQ=DQ，
∴ PQ=6−t，
在Rt△PQE中， 由勾股定理， 得
(6−3t) 2+4=(6−t) 2，
3±❑√7
解得：t= ．
2
如图4， 当PD=PQ时， 作PE⊥DQ于E，
1
∴DE=QE= DQ,∠PED=90°．
2
∵∠A=∠D=90°，
∴四边形APED是矩形，
∴PE=AD=2cm.DE=AP=2t，
∵DQ=6−t，
6−t
∴DE= ．
2
6−t
∴2t= ，
2
6
解得：t= ；
5
如图5， 当PD=QD时，
∵AP=2t,CQ=t，
∴DQ=6−t，
∵.PD=6−t，在Rt△APD中，由勾股定理，得
4+4t2=(6−t) 2
−6+2❑√33 −6−2❑√33
解得t = ，t = (舍去)，
1 3 2 3
3+❑√7 3−❑√7 6 −6+2❑√33
综上所述：t= 或 或 或 ．
2 2 5 3
3+❑√7 3−❑√7 6 −6+2❑√33
故答案为： 或 或 或 ．
2 2 5 3
