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期末考前满分冲刺之优质压轴题
【专题过关】
类型一、二次函数中的系数关系
1．二次函数 （ ）的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，则下列
结论中：
① ；
② （m为任意实数）；
③ ；
④若 、 是抛物线上不同的两个点，则
其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得 ，
即可判断①， 时，函数值最大，即可判断②，根据 时， ，即可判
断③，根据对称性可得 即可判段④，即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象开口向下，
∴ ．
∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线与 轴交于正半轴，则 ，
∴ ，故①错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∴当 时， 取得最大值，最大值为 ，
∴ （m为任意实数），
即 ，故②正确；
∵ 时， ，
即 ，
∵ ，∴ ，
即 ，
∴ ，故③正确；
∵ 、 是抛物线上不同的两个点，
∴ 关于直线 对称，
∴ ，即 ，故④不正确．
正确的有②③
故选：B．
2．小明从如图的二次函数 的图象中，观察得出了下面五个结论： ；
； ； ； ，你认为其中正确的结论有
（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】 由抛物线开口向上可得 ，由抛物线交 轴于负半轴可得 ，由抛物线
对称轴 及 可得 ，据此即可判断结论 ； 由抛物线与 轴有两个交点可
知，一元二次方程 有两个不相等的实数根，因而可得 ，据此
即可判断结论 ； 由抛物线图象可知，当 时， ，据此即可判断结论 ；
由抛物线图象可知，抛物线对称轴为 ，即 ，据此即可判断结论 ； 由
， 可得 ，由 可得 ，两式相加即可判断结论 ；
综上，即可得出所有正确的结论．【详解】解： 抛物线开口向上，
，
抛物线交 轴于负半轴，
，
，
，
，
故结论 正确；
抛物线与 轴有两个交点，
一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，
故结论 正确；
由抛物线图象可知，当 时， ，
当 时， ，
故结论 正确；
抛物线 的对称轴为 ，
，
，
，
故结论 错误；
， ，
，
即： ，
，
，
，即： ，
故结论 正确；
综上，正确的结论有 ，共 个，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与各项系数符号，根据二次函数的图象判断式子符
号，一元二次方程根的判别式， 的图象与性质，求函数值，等式的性质 ，
等式的性质 ，不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质、二次函数的图
象与系数的关系以及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
3．如图是二次函数 的图象，其对称轴为直线 ，且过点(0,1)．有以下
四个结论：① ；② ；③ ；④ （ 是任意实
数）．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可分别求出a、b、c的符号，可
判断①；当 时， ，可判断②；当 时， ，再根据对称轴 即
可判断③；根据二次函数的最值问题可知 时，y有最大值 ，则
（ 是任意实数），变形得 可判断④. 本题考
查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物线的开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.
【详解】解：由图象可知开口方向向下，抛物线与y轴的交点在正半轴
∴ ， .
对称轴 ，且在 时， 有最大值，且为 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
由图象可知，当 时.
如图所示：
即 .故②正确；
∵ ，且当 时， ，
即 ，故③正确；
∵当 时， 的值最大，此时 ；且当 ， ，
∴ （ 是任意实数）．
即 .
故④错误．
故选：B.
4．如下图，二次函数 图象与 轴的一个交点坐标为(1,0)，对称轴为
直线 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中 ；⑤当 时， ．其中正确结论的个数为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函
数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
根据二次函数开口向上，与y轴交于负半轴， ，根据对称轴为直线 可得
，由此即可判断①；由抛物线与x轴有两个交点可判断②；当 时， ，
即可判断③；当 时，函数有最小值为 ，则 ，故
，可判定④；由上知二次函数 的图象与x轴的交点坐
标为 和(1,0)，那么由函数图象可知，当 时， ，可判断⑤．
【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于负半轴，
∴ ，
∵二次函数的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
∵二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为(1,0)，对称轴为直线
∴二次函数 的图象与x轴的另一个交点坐标为 ，
∴当 时， ； ，即∴ ，故③正确，②错误；
∵开口向上，
∴当 时，函数有最小值为 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
故④正确；
由上知二次函数 的图象与x轴的交点坐标为 和(1,0)，
∴由函数图象可知，当 时， ，故⑤错误；
综上所述，其中正确的结论有③④，
故答案为：2．
5．已知抛物线 （ 是常数， ）的顶点为 ．小烨同学得出以
下结论：① ；②当 时， 随 的增大而减小；③若 的一个根为 ，
则 ；④抛物线 是由抛物线 向左平移 个单位，再向下平移
个单位得到的．其中一定正确的是 ．
【答案】 /
【分析】②根据③顶③点②坐标判断 、 的正负性，由此判断①；根据开口方向和对称轴判断②；
用 表示 、 ，再解方程判断③；根据平移法则判断④．
【详解】解：∵抛物线 的顶点为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的符号无法判断，故结论①错误；∵ ，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线 ，
∴当 时， 随 的增大而减小，故结论②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∵ 的一个根为 ，
∴ ，
∴ ，故结论③正确；
∵抛物线 的顶点为 ，
∴ ，
∴将抛物线向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到 ，故结
论④错误；
∴一定正确的是②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，一
元二次方程的解的定义，用 表示 、 的值是解题的关键．
6．已知二次函数 的图象如图所示，顶点坐标为 ，给出下列结
论： ； ； 若关于 的一元二次方程 ，有两
个不相等的实数根，则 ； 若点 和点 在该图象上，则 ，其中正
确的结论是 ．（填序号）．【答案】
【分析】 由抛物线开口向下可得 ，由抛物线交 轴于正半轴可得 ，由抛物线
对称轴 及 可得 ，据此即可判断结论 ； 由于 与 是关于对
称轴 的对称点，因此由抛物线图象的对称性可知， 与 时的函数值相等，
由于当 时 ，因而当 时， ，据此即可判断结论
； 由二次函数 的性质可知，抛物线的顶点坐标为
，即 ，于是可得 ，即 ，由关于 的一元
二次方程 有两个不相等的实数根可得 ，即
，于是可得 ，由于 ，据此即可判断结论 ； 二次函数
的图象开口向下，其对称轴为 ，而 ，即
在点 和点 中，点 更靠近对称轴，据此即可判断结论 ；综上，即可得
出所有正确的结论．
【详解】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线交 轴于正半轴，
，，
，
，
故结论 错误；
与 是关于对称轴 的对称点，
由抛物线图象的对称性可知， 与 时的函数值相等，
当 时， ，
当 时， ，
，
故结论 正确；
由二次函数 的性质可知，抛物线的顶点坐标为 ，
又 其顶点坐标为 ，
，
，
关于 的一元二次方程 ，有两个不相等的实数根，
即：关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，即： ，
，
，
，
故结论 正确；
点 和点 在该图象上，
又 二次函数 的图象开口向下，其对称轴为 ，
而 ，即：在点 和点 中，点 更靠近对称轴，
，
故结论 正确；
综上所述，正确的结论有： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与各项系数符号，根据二次函数的图象判断式子符
号，一元二次方程根的判别式， 的图象与性质，不等式的性质，求函数值等
知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质、二次函数的图象与系数的关系以及二次函数与
一元二次方程的关系是解题的关键．
类型二、阴影面积部分问题
1．如图，在 中， ， ，将 绕点B按逆时针方向旋转
后得到 ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．12 D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连
线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．根据
旋转的性质得 ， ， ，则 ，再利用面积的
和差可得 ，接着证明 为等腰直角三角形，得到 ，进而得
到 的长，然后利用三角形面积公式计算 ，从而得到 ．
【详解】解：如图所示，设 与 相交于D，绕点B按逆时针方向旋转 后得到 ，
， ， ，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
， ，
，
阴影部分的面积 ．
故选：B．
2．如图，正方形 和正方形 的对称中心都是点 ，其边长分别是3和2，则图
中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称，连接 ， ，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一．
【详解】解：连接 ， ，
正方形的边长分别为3和2，
面积分别为9和4，
正方形 和正方形 的对称中心都是点 ，
．
故选：D．
3．如图，在 中， ，以 为直径的 与 分别交于点 ，连接
， ，若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，连接
， ，证明 ，可得 ，求解 ，再利用扇形的面
积公式计算即可．
【详解】解：连接 ， ，∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即点E是 的中点，
∵点O是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
4．如图，在 中， ，点 在 上，以 为圆心， 为半径的
半圆分别交 于点 ，且点 是弧 的中点，若 ，则图中阴影部
分的面积为 ．【答案】
【分析】本题考查了切线的判定定理、扇形的面积、等腰直角三角形的性质，求不规则图
形的面积，连接 、 ，证出 ，得到 为等腰直角三角形，再根据
，分别求出 和 即可得出答案．
【详解】解：连接 、 ，
，
，
，
，
，
点 是弧 的中点，
，
，
，
， ，
为等腰直角三角形，
设 ，则 ，
，
，，
，
．
故答案为： ．
5．如图所示，在 中， ， ，分别以 、 为圆心，以 的
长为半径作圆，从 中剪掉这两个半径相等的扇形，则阴影部分的面积为
．（结果保留 ）
【答案】
【分析】本题主要考查了扇形面积，直角三角形的性质等知识点，根据阴影部分的面积
求解即可，熟记扇形面积公式是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积
，故答案为： ．
6．如图，在 中， ， ，若扇形 与扇形 关于点 成中心
对称，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键，
将一个图形围绕某一个点旋转 ，能够与自身重合，则称该图形为中心对称图形，根据
中心对称得扇形 的面积与扇形 的面积相等，从而即可得解。
【详解】解：∵扇形 与扇形 关于点 中心对称，
∴扇形 的面积与扇形 的面积相等，
∴ ，
故答案为： ．
类型三、最值问题
1．如图，在等腰 中， ，点O是 边中点， 的半径为1，
点P是 边上一动点，则由点P到 的切线长 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查动态几何和勾股定理，转化线段的最小值，找到位置是解题的关键．先确定最小值时的位置为 最短时，线段 最小，再利用勾股定理解题．
【详解】解：如图，连接 ，
与 相切于点Q，
，
当 最短时，线段 最小，
当 时，线段 最小，
点O是 边的中点，
，
，
，
，
，即P到 的切线长 的最小值为 ．
故选：B．
2．如图，正方形 的边长是6，点F在 边上，且 ，点H是射线 上的
一个动点，以 为直径作 ，连接 交 于E点，连接 ，则线段 的最小值
为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取 中点 ，连接 ，可求 ，在 中，由勾股定
理得 ，根据直角三角形的性质得到 ，由 ，得
到 ，当 三点共线时取得最小值．
【详解】解：取 中点 ，连接 ，
∵正方形 的边长是6，
∴ ，
∴ ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
∵ 为 直径，
∴ ，
∵点 为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 三点共线时取得最小值，故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系求最值，直
角三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
3．如图， 是 的直径，弦 是下半圆 上一个动点，E为
的中点，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查等边三角形的性质，垂径定理，确定圆心，连接 ，则 是等
边三角形，即可得到 ，然后根据弦的中点得到 ，即可得到点 在以
为直径的圆上运动，然后计算最值即可．
【详解】解：连接 .
∵ 为AD的中点,
，
∴点 在以 为直径的圆上运动.
，
是等边三角形，
，
取 的中点 ，
则 的半径为 ,
∴ 的最小值为 ，
故选A．4．已知如图，二次函数 的图像交 轴于 、 两点，交 轴于 点，连
接 ，点 是 上一点，射线 与以 为圆心， 为半径的 相切于点 ，则线段
的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、求抛物线与坐标轴的交点，掌握以上知
识点是解答本题的关键．先根据题意求出 、 、 三点的坐标，过点 作 于
点，连接 ，在 中，由勾股定理得： ，要使 最小，则
最小，当 时， 最小，求出 ，进而可得 ．
【详解】解： 二次函数 的图像交 轴于 、 两点，交 轴于 点，
令 ，得 ，令 ，得 ，
， ， ，
，
过点 作 于 点，连接 ，如下图所示：射线 与以 为圆心， 为半径的 相切于点 ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
为定值，
要使 最小，则 最小，
当 时， 最小，则 最小，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
，
，
故答案为： ．
5．如图，点D是等腰 的斜边 的中点，点P是以 为直径的 上一动点，
线段 绕点C顺时针方向旋转 得线段 ，若 ，则线段 的最小值是 ．【答案】
【分析】把线段 绕点C顺时针方向旋转 得线段 ，连接 ， ，过A作
于F，根据旋转的性质， 可证 ，得出 ，证明四边
形 是正方形，可得出 ，根据勾股定理可求出 ，根据 ，判
断出Q在以E为圆心，1为半径的圆上运动，则当A、Q、E三点共线，且Q在A、E之间
时， 取最小值为 ，即可求解．
【详解】解：把线段 绕点C顺时针方向旋转 得线段 ，连接 ， ，过A作
于F，
∵点D是等腰 的斜边 的中点， ，
∴ ，∵O为 中点，
∴ ，
∴ ，
∵旋转，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，D为 中点，
∴ ， ，
又 ， ，
∴四边形 是矩形，
又 ，
∴矩形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴Q在以E为圆心，1为半径的圆上运动，
∴当A、Q、E三点共线，且Q在A、E之间时， 取最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正
方形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形，判断出Q在
以E为圆心，1为半径的圆上运动是解题的关键．
6．如图，已知正方形 的边长为14，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿 、 向终点C、D运动，连接 、 ，交于点P，连接 ，则 长的最小
值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的
特征，两点之间线段最短等；由正方形的性质及 可判定 ，由全等三角
形的性质得 ，取 的中点 ，连接 ，当 、 、 三点共线时，
的值最小，结合勾股定理即可求解；掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股
定理，直角三角形的特征，能由圆外一点到圆上任一点距离最小找出取得最小值的条件是
解题的关键．
【详解】解： 四边形 是正方形，
，
，
，
点M和N分别从B、C同时出发，
以相同的速度沿 、 向终点C、D运动，
，
在 和 中
，
（ ），
，
，
，
如图，取 的中点 ，连接 ，，
点 在以 为圆心， 为半径的 上，
当 、 、 三点共线时， 的值最小，
，
；
故答案： ．
类型四、无刻度尺作图
1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给
定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（每个作图任务画线条数不超过四条）
(1) ， 均为格点，且 经过 ， 两点，在图1作出 的中点 ；
(2) 经过格点 、 、 三点，在图2中的圆上找一点 ，使 平分 ．(3) ， ， ， 四点都在圆上，且 ，在图3作出 的中点 ；
(4) 经过格点 、 、 三点， 点是圆与格线的交点，在图4中的圆上找一点 ，使
．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
(4)作图见解析
【分析】（1）取格点 ，连接 交 于点 即可；
（2）取格点 、 ，连接 、 、 ， 交 于点 ， 交 于点 ，连接
并延长交圆于点 ，连接 即可；
（3）连接 、 ， 交 于点 ，连接 并延长、连接 并延长，两延长线交
于点 ，过点 、 作直线交 于点 ；
（4）设圆交格线于点 ，取格点 、 ，连接 并延长交圆于点 ，连接 ．
【详解】（1）解：取格点 ，连接 交 于点 ，连接 、 、 、 ，
设网格中的小正方形的边长为 个单位，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴ 与 互相垂直且平分，
∴点 是 的中点，
则点 即为所作；
（2）取格点 、 ，连接 、 、 ， 交 于点 ， 交 于点 ，连接
并延长交圆于点 ，连接 ，连接 、 ，∵ ， ， ， ，
，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 和 都是经过格点 、 、 三点的圆的直径，
∴点 为圆心，
∵ ， ， ， ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴点 、 在 上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 平分 ，
则点 即为所作；
（3）连接 、 ， 交 于点 ，连接 并延长、连接 并延长，两延长线交于点 ，过点 、 作直线交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴点 为 的中点，
则点 即为所作；
（4）设圆交格线于点 ，取格点 、 ，连接 并延长交圆于点 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则点 即为所作．【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了正方形的性质，勾股定理及勾股定理的
逆定理，菱形的判定与性质， 的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，
圆周角定理，等腰三角形判定与性质及三线合一，垂直平分线的判定与性质，两平行弦所
夹的弧相等，同弧和等弧所对的圆周角相等知识点．解题的关键是理解题意，学会利用数
形结合的思想解决问题，
2．请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）
(1)如图①， 内接于 中，画出 中一条最长的弦；
(2)如图②，等腰 内接于 中， ，画出底边 的中线 ；
(3)如图③，已知四边形 为矩形，点A、D在圆上， 与 分别交于点E、F
．画出线段 的垂直平分线；
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）连接 ，并延长 交 上于一点D，则 是直径，符合题意，即可作
答．
（2）因为等腰 内接于 中， ，则连接 ，因为 ，则直线是 的垂直平分线，记直线 与 的交点为 ，结合等腰三角形的三线合一，则
是底边 的中线，即可作答．
（3）连接 交于点O，连接 交于点H，连接 ， 即为线段 的垂直
平分线，即可作答．
本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定
和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题．
【详解】（1）解： 是 中一条最长的弦，如图所示：
（2）解：底边 的中线 如图所示：
（3）解：直线 即为所求．如图所示：
3．如图，在每个小正方形的边长为 的网格中，格点A，B，C均在圆上，且点D，E也
是格点．(1)该圆的直径等于________cm；
(2)请用无刻度的直尺按要求作图；
①作弦 ，使得 ，再作劣弧 的中点G，请判断四边形 的形状；
②过点B作该圆的切线 ，请直接写出切线 与弦 的位置关系和点C到切线 的
距离．
【答案】(1)
(2)①作图见解析，四边形 的形状是矩形；②作图见解析， ， ．
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线、勾股定理，垂径定理、切线的判定和性质等
知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）①取格点T、R，连接 交 于点F，作直线 交 于点G，连接
即可；②取格点H，作直线 即可，设 交 于点T，求出 可
得结论．
【详解】（1）解：圆的直径为 ， ；
故答案为：5；
（2）解：①图形如图所示：取格点T、R，连接 交 于点F，作直线 交 于点
G，四边形 是矩形．理由如下：
由作图可知 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形；
②如图，直线 即为所求．由作图可知 ．
设 交 于点T，圆心为O．
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点C到切线BH的距离为 ．
4．如图是 的网格，网格边长为1， 的顶点在格点上．已知 的外接圆，仅
用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图（两题都要保留作图痕迹）．(1)找出 的外接圆的圆心 ，并求 的长．
(2)在圆上找点 ，使得 ．
【答案】(1)图形见解析， ；
(2)见解析．
【分析】本题考查三角形的外接圆、弧长公式和圆的性质，
（1）根据外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点即可找到圆心 ；
（2）作直线 平行 ，交圆于点D和E，得到等腰梯形 ，从而得到 ，
再根据 ，即可得到点D即所求点．
【详解】（1）解：如图点 就是所求作的圆心，
∵半径 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，作直线 平行 ，交圆于点D和E，
得到等腰梯形
可得 ，从而 ．
5．如图是由边长为1的小正方形构成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三
点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图
结果用实线表示完成下列各题：
(1)在图1中，先画出圆心O，再画 的中点N，在 画出点D，使 （点D与A
不重合）；
(2)在图2中，E为圆与横格线的交点，在优弧 上画出点F，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 ，取 与网格线的交点 ，知点 为圆心，平移 到 ，取
与网格线的交点 ，作直线 交 于点N； 交 于点D，由弧、弦的知识得
到 ；
（2）取 与横格线的交点 ，连接 ，由平行线的性质知 ，取格点 ，连接
，则 ， 交 于点F，则 ．
【详解】（1）解：如图，点N，点D，即为所作，；
（2）解：如图，点F即为所作，
．
【点睛】此题考查了弧、弦的性质，直角所对的弦是直径，圆内接四边形的性质，等腰三
角形的判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点并运用．
6．如图已知点A、O在格点上，请仅用无刻度直尺按要求画图：
(1)画 直径 ；
(2)画圆心角 ，使得点C在 上方且
(3)画圆周角 ，使得 ；
(4)画弦 及它的弦心距 ．
【答案】(1)图见详解；(2)图见详解；
(3)图见详解；
(4)图见详解．
【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，圆周角定理，弧，弦与圆周角之间的关系等等，
熟知圆的相关知识是解题的关键．
（1）连接 交 于点 ，点 即为所求；
（2）在过点O且与 垂直的格线上方的 上，取格点C即为所求；
（3）在优弧 取点 ，则 即为所求；
（4）连接 ，取格点 ，连接 并延长交 于 ，则 即为所求．
【详解】（1）解∶连接 交 于点 ，点 即为所求；
；
（2）解：在过点O且与 垂直的格线上方的 上，取格点C
由网格的特点可知 ，
，则 即为所求；
；
（3）解：如图所示， 即为所求；；
（4）解：连接 ，取格点 ，连接 并延长交 于 ，
，
，
即为所求；
．
类型五、图形的旋转、平移、折叠问题
1．如图1，在正方形 中， 是对角线，过点 作 ， 为垂足，过点 作
的平行线，过点 作 的平行线，两线相交于点 ．
(1)判断四边形 的形状，并说明理由；(2)如图2，将四边形 绕着点A逆时针方向旋转 ，得到四边形 ，
且 ， ， 三点在同一条直线上，过点 作 ， 为垂足，连接 并延长交
于点 ，
①猜想 与 的数量关系，并说明理由；
②若正方形 的边长为4，请直接写出 的长．
【答案】(1)四边形 的形状是正方形．理由见解析
(2)① ．理由见解析；②
【分析】（1）证明四边形 是平行四边形．由正方形的判定可得出结论；
（2）①过点 作 ， ， ， 为垂足，证明 ，得
出 ， ．证出 ．则可得出结论；
②证明 ，得出 ，设 ，则 ，求
出 ，则可得出答案．
【详解】（1）解：四边形 的形状是正方形．
理由如下：
四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
．
， ，
四边形 是平行四边形．
，
平行四边形 是矩形．
，
矩形 是正方形．
（2）解：①过点 作 ， ， ， 为垂足，，
四边形 是矩形，
， ．
四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
．
，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
又 ， ，
，
， ．
，
，
，
，
．
又 ，．
②解： ， 为正方形，
，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
（负值舍去），
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，全等三角形
的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识．
2．综合与实践
已知在 中， ，点D为 的中点，连接 ，E为 边上
任意一点；
(1)动手操作（如图1）
将线段 绕着点D按顺时针方向旋转 得到 ，连接 ．在图1补全图形，并填空：的形状为_________，线段 和线段 的数量关系为___________．
(2)以D为旋转中心，将 按顺时针方向旋转到如图2的位置，连接 ， ．
①证明： ．
②延长 与 相交于点H，连接 ，猜想 与 的数量关系，并加以证明．
(3)解决问题
如图3，若 ，以D为旋转中心，将 按顺时针方向旋转到如图3的
位置，使点F在 下方，连接 ，且点F、E、C在同一直线上，直接写出 的面
积．
【答案】(1)等边三角形，
(2)①见解析；② ，见解析
(3)
【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及含30度角的
直角三角形性质，
（1）按要求作出图形，根据等边三角形的判定即可回答问题；
（2）①先证明 是等边三角形，再证明 即可证明结论；②延长 到
G，使得 ，连接 和 交于点O，证明 即可证明结论；
（3）过点D作 ，垂足为H，求出 及 长即可求出面积．
【详解】（1）解：在 中， ，
；
∵点D为 的中点，
，
∴ 的形状为等边三角形，
如图即为所求，（点 在线段 上）由已知得： ，
则 的形状为等边三角形，线段 和线段 的数量关系为 ；
（2）①证明：在 中， ，
；
∵点D为 的中点
是等边三角形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
在 和 中，
，
；
②
证明：延长 到G，使得 ，连接 和 交于点O，
由，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（3）过点D作 ，垂足为H，
在等边三角形 中， ，
在 中， ，
，
，
，
在 中， ，．
设 ，
由勾股定理得： ，
（舍）
，
在 中， ，
∴由勾股定理得： ，
中， ，
，
，
，
在 中， ．
3．在平面直角坐标系 中，已知点 ，N；对于点P给出如下定义：将点P向右
或向左 平移 个单位长度，再向上（ ）或向下（ ）平移 个单位
长度，得到点 ，点 关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图，点M(1,1)，点N在线段 的延长线上，若点 ，点Q为点P的“对应
点”．
①当N坐标为 ，在图中画出点Q，连接 ，交线段 于点T，求 的值；
②当N为线段 延长线上任意一点，连接 ，交线段 于点T， 是否为定值？
(2) 的半径为t，M是 上一点，点N在线段 上，若点N与点O重合，P为 外
一定点，点Q为点P的“对应点”．当点M在 上运动时，直接写出点Q所构成的图形
的面积（用含t的式子表示）．
【答案】(1)①图见解析， ，②是定值
(2)
【分析】（1）①根据定义求出点 ，点Q的坐标，画出图形，连接 ，证明四边
形 是平行四边形，可得结论；
②设 ，求出 点坐标，进而求出直线 的解析式，进而求出 的坐标，求
出 的值即可；
（2）连接 并延长至点 ，使 ，连接 ，推出点 的轨迹是以点 为圆心，
半径为 的圆，可得结论．
【详解】（1）①解：
是由点 向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到的；，
，
的横坐标为： ；纵坐标为： ， ，
，
图形如图1所示：
连接 ，交线段 于点 ，
连接 ．
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
②∵M(1,1)，则：直线 的解析式为： ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，则： ，
∴ ，
∴ ，
联立 ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为定值；
（2）解：连接 并延长至点 ，使 ，连接 ，如图：
由 的定义可知：
关于点 对称点 的轨迹是以点 为圆心，半径为 的圆
点 的轨迹构成的图形的面积为：
【点睛】本题坐标与图形，中心对称，一次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，
熟练掌握平移与中心对称的性质是解题的关键．
4．如图1，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与直线
交于点 ， 点到 轴的距离CD为 ，直线 交 轴于点 ， ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)如图2，点 为线段AB上一点，将 沿 折叠后，点 恰好落在 边上，求 点
坐标；
(3)如图3，将 绕点 逆时针方向旋转60°，得到 ，使点 与点 对应，点
与点 对应，将 沿着直线 平移，点 为直线 上的动点，是否存在以 、 、
、 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)点M的坐标为 或 或
【分析】（1）由题意求得点 的坐标，由直角三角形的性质可求得点 的坐标，由待定系数法即可求得直线 的解析式；
（2）由直线 的表达式可求得点 的坐标，则由勾股定理逆定理可判定 ，易得
，由折叠的性质及 即可求得点 的坐标；
（3）先求点 的坐标，得点 所在直线解析式，设点 、点 的坐标，利用平行四边形
的对角线互相平分性质、中点坐标公式及分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，点 的纵坐标为 ，点 在直线 上，
把 代入 得， ，
解得 ，
∴ ， ，
∵ 轴， ， ，
∴ ，
，
由勾股定理得 ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 、 代入 得，
，
解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ；（2）解：直线 的表达式为: ，
当 时， ，则点 ，
，
， ，
，
，
，
沿 折叠后,点 恰好落在 边上，
，
，
；
令 ，则 ，
根据 得： ，
解得： ，
故点 的坐标为 ；
（3）解：由旋转性质知， ，则 ，
∴ 关于 轴对称，且 与 关于 轴对称，
∴ ；∵ 沿着直线 平移，
∴点 在平行于直线 的直线（记为 ）上运动；
设 解析式为 ，把点 坐标代入得： ，
得： ，
即 ： ；
当点 在 上运动时，设其坐标为 ；设 ；
当 为平行四边形的对角线时，
则 ，
解得： ，
∴ ，
则 ；
当 为平行四边形的对角线时，
则 ，
解得： ，
∴ ，
则 ；
当 为平行四边形的对角线时，则 ，
解得： ，
∴ ，
则 ；
综上，点M的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，平行四边形的性质，平移、旋转及轴对称三大
变换的性质，等腰三角形的判定，含30度直角三角形性质，勾股定理及逆定理等知识，涉
及的知识点较多，综合性强，分类讨论．
5．综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动．
(1)操作判断如图1，将矩形纸片 折叠，使 落在边 上，点B与点E重合，折痕
为 ，即可得到正方形 ，沿 剪开，将正方形 折叠使边 ， 都落在正
方形的对角线 上，折痕为 ，连接 ，如图2．根据以上操作，则
_____ ．
(2)迁移探究将图2中的 绕点A按顺时针旋转，使它的两边分别交边 于点I，J，连接 ，
如图3．探究线段 之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
连接正方形对角线 ，若图3中的 的边 分别交对角线 于点K，R，将正方
形纸片沿对角线 剪开，如图4，若 ，请直接写出 的长．
【答案】(1)45
(2) ．理由见解析
(3)
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，
勾股定理等知识，灵活运用旋转的知识作全等三角形是解题关键．
（1）根据折叠的性质得到 ， ，即可
推算出 ，结合 ，即可求得答案；
（2）将 顺时针旋转 得到 ，证明 ，从而证明
，得到 ，结合旋转的性质即可得到答案；
（3）将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 ，证明 ，
利用勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
由折叠得 ， ，
∴ ，
答案为：45．
（2）解： ．
理由：如图，将 顺时针旋转 得到 ，由旋转的性质可得 ．
∵四边形 为正方形，
∴ ．
由（1）中结论可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（3）解：
如图，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 ，
根据旋转的性质可得 ， ．
由（2）中的结论得到： ，
∵
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ．6．如图1，在 中， ， ， ，点 在 轴上，以 为一
边，在 外作等边三角形 ， 是 的中点，连接 并延长交 于 ．
(1)①求点B的坐标；
(2)如图2．将图1中的四边形 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，求 的长；
(3)如图1，连接 ，在线段 上有一动点 ，连接 ， ，直接写出
的最小值为______；
(4)若去掉题干中 这个条件，点 为 外一点，连接 ， ， ，若
， ，则当线段 的长度最小时， ______， 的最小值是______．
【答案】(1)点 的坐标为 ；
(2) 的长为 ；
(3)
(4) ，4
【分析】（1）利用直角三角形性质和勾股定理即可求得答案；
（2）设 ，则 ，运用勾股定理建立方程求解即可求得答案；
（3）将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，可得
，当 、 、 、 在同一条直线上时，
为最小值，再运用勾股定理即可求得
；
（4）以 为边在 内部作等边三角形 ，连接 ，可证得 ，
得出 ，当线段 的长度最小时， 最小，即可求得答案．【详解】（1）解：在 中， ， ， ，
， ，
点 的坐标为 ；
（2）解：如图，设 ，
是等边三角形，
，
，
由折叠得 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
的长为 ；
（3）解：如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，
则 ， ， ， ，
是等边三角形，
，，
当 、 、 、 在同一条直线上时， 为最小值，
是 的中点， ，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
点 是 的中点，
，
，
、 、 三点在同一条直线上，
，
，
故答案为： ；
（4）解：如图，以 为边在 内部作等边三角形 ，连接 ，
则 ， ，
是等边三角形，
， ，
，
在 和 中，
，，
，
当线段 的长度最小时， 最小，
，
的最小值为4，此时点 落在线段 上， ，
的最小值为4；
故答案为： ，4．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角
形的判定和性质，折叠变换和旋转变换的性质，勾股定理，两点之间线段最短等，正确添
加辅助线是解题关键．
类型六、二次函数中的铅锤高
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交
于点 ，点 在原点的左侧，点 的坐标为 ，点 是抛物线上一个动点，且在直
线 的上方．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)过点 作 轴交直线 于点 ，求 的最大值；
(3)若点 为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点 ，使
为等腰直角三角形，且 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)点 的坐标为 或
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，还考查了线段的最值，要注意分类讨论；还要
注意求最大值可以借助于二次函数．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）求出直线 的函数表达式为 ，设 ，求出 ，
得到 ，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分点 位于 轴上方和点 位于 轴下方两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，把 ， 代入抛物线 ，
得
解得
∴该抛物线的函数表达式为 ．
（2）解：设直线 的函数表达式为 ．
把 ， 代入，得
解得
∴直线 的函数表达式为 ．
设 ．
∵ 轴，∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴当 时， 有最大值 ．
（3）解：①当点 位于 轴上方时．
如图1，过点 作 垂直对称轴于点 ，设抛物线的对称轴交 轴于点 ，
则 ．
∵ 为等腰直角三角形，且 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ．
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ．
设点 的坐标为 ，此时 ，则 ，∴ ．
∵点 在抛物线上，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴点 的坐标为 ；
②当点 位于 轴下方时．
如图2，设点 的坐标为 ，此时 ，
同理得 ，则有 ，
解得 ， （舍去），
∴点 的坐标为 ．
综上，点 的坐标为 或 ．
2．如图，已知抛物线 （a，b，c为常数， ）与x轴交于点 、点
两点，与y轴交于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是抛物线上的点且在第二象限，连接 ， ， ，求 的面积取得最大值时，点M的坐标．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，过 点作 轴交 于
点，如图，设 ，则 ，所以 ，再根据
三角形面积公式得到 ，然后利用二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）解：把 、 、 代入 得： ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：设直线 的解析式为
把 分别代入得
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
过 点作 轴交 于 点，如图，设 ，则 ，，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ．
，
∴ ．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，
与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，点 是抛物线上一个动点，且在直线 的上
方．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)连接 、 ，当点P运动到什么位置时， 的面积最大？请求出点P的坐标和
面积的最大值；
【答案】(1)
(2)(3) ，
【分析】（1）将 、 代入 即可求解；
（2）解一元二次方程 即可；
（3）过点 作 轴，求出直线 的解析式，设点 ，则
，根据 即可建立函数关系式求解；
本题考查了二次函数综合问题，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴的交点问
题，二次函数与面积问题，掌握函数的性质是解题关键．
【详解】（1）解：将 、 代入 得：
，
解得： ，
；
（2）解：依题意，令 ，
解得 ， ，
∵点 的坐标为 ，
点 的坐标 ；
（3）解：∵点 ，
∴设直线 的解析式为： ，
将 代入 得： ，
解得： ；
直线 的解析式为： ，过点 作 轴，如图1所示：
设点 ，
则
，
当 ，即点 时， 有最大值，且最大值为
4．如图，平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与 轴交于点 和
点 两点，与 轴交于点 ．点 为线段 上的一动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，当点D在线段 上时，过动点 作 交抛物线第一象限部分于点 ，连接 ， ，记 与 的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标；
【答案】(1)
(2)点
【分析】本题考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，及面积问题，
（1）根据题意设抛物线的表达式为 ，将 代入求解即可；
（2）利用待定系数法求得直线 的表达式 ，根据题意得 ，则
，连接 ，过点P作y轴的平行线交 于点E，设 ，则
，有 ，当 时， 取的最大值，即可求得
，那么，当 时，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为 ，
将 ,代入上式得： ，
，
则抛物线的表达式为 ；
（2）解：设直线 的表达式为 ，
将 ， ，代入 中，
，
解得 ，∴直线 的表达式为 ，
∵
∴ ，则 ，
连接 ，过点P作y轴的平行线交 于点E，如图，
设 ，则 ，
则
，
∴当 时， 取的最大值 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ．
5．如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ，抛物线 经过
两点．(1)求抛物线的函数表达式
(2)若 是直线 下方的抛物线上一动点（不与点 重合），过点 作 轴的平行
线交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ．用含 的代数式表示线段 的长，并求线段
的长的最大值．
【答案】(1)
(2) ，4
【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数
的应用是解题的关键．
（1）先求出点 的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
（2）设 ，则 ，即可用含m的代数式表示出 的
长，然后运用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：∵直线 与 轴， 轴分别交于点 ，
∴ ，
∵ 经过 两点，
∴ ，解得： ，
∴ ．（2）解：设 ，
∵过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴当 时，线段 的长的最大值为4．
6．如图，关于x的二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点
C，且顶点 ．
(1)求二次函数图象的解析式；
(2)连接 ，求 的面积：
(3)在 上方抛物线上有一动点M，请直接写出 的面积取到最大值时，点M的坐
标．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数对称轴，一次函数与几何综合等等，
正确作出辅助线利用分割思想进行求解是解题的关键．（1）根据解析式为顶点式结合顶点坐标即可求出对应的函数解析式；
（2）如图所示，过点D作 于E，交 于F，求出直线 的解析式为 ，
则 ，再根据 进行求解即可；
（3）如图所示，过点M作 于H，交 于N，设 ，则
，同（2）得到 ，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的二次函数 的顶点坐标为 ，
∴二次函数解析式为 ，即 ；
（2）解：如图所示，过点D作 于E，交 于F，
令 ，则 ，
∴点C的坐标为 ；
令 ，则 ，
解得 或 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时，则 ，
∴ ，∴ ，
∴
；
（3）解：如图所示，过点M作 于H，交 于N，
设 ，则 ，
∴ ，
同（2）可得 ，
∵ ，
∴当 时， 最大，此时点 ．类型七、二次函数与三角形结合
1．【问题背景】
如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，连接
．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式．
【构建联系】
（2）在 下方的抛物线上有一点 ，过点 作 轴，交 于点 ，交 轴于点
，当点 的坐标为多少时，线段 的长度最大？最大是多少？
（3）在 轴上找一点 ，使得 为等腰三角形，直接写出点 的坐标．
【答案】（1） （2）点N的坐标为 ， 有最大值，最大值为
（3） 或(0,3)或 或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、待定系数法、二次函数的最
值等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
（1）由 得 ， ，再运用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）运用待定系数法求出直线 的解析式为 ，设 ，则
，求出 ，根据二次函数的性质
可得结论；（3）根据勾股定理求出 ，再分 为腰和底两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵
∴ ，C(0,−3)，
把 ，C(0,−3)代入 ，得，
，
解得， ，
∴此抛物线的解析式为 ．
（2）设直线 的解析式为 ，
把把 ，C(0,−3)代入 ，得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
设点 的坐标为 ，则点 ，
∴
∴
∵ ，
∴ 有最大值，最大值为 ，此时点N的坐标为 ；（3）∵
∴
如图，
当 为底边时，点 的坐标为 ；
当 为腰时，点 的坐标为(0,3)或 或 ；
综上， 为等腰三角形时，点 的坐标为 或(0,3)或 或 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于 两点，A
点在原点的左侧，B点的坐标为 ，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线 下方的抛
物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求出四边形 的面积最大时的P点坐标；
(3)在直线 上找一点Q，使得 为等腰三角形，写出Q点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或 或
【分析】（1）根据点 的坐标，利用待定系数法求解即可得；
（2）连接 ，过点 作 轴的垂线，交 于点 ，先求出 的面积，再求
出直线 的解析式，设点 的坐标为 ，求出 与 之间的关
系式，利用二次函数的性质求解即可得；
（3）设点 的坐标为 ，利用两点之间的距离公式可得 的值，再
分 、 和 三种情况，分别建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：将点 代入二次函数 得： ，解得 ，
则这个二次函数的表达式为 ．
（2）解：如图，连接 ，过点 作 轴的垂线，交 于点 ，
令 ，则 ，解得 或 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
设点 的坐标为 ，则 ，
∴ ，
∵ 的面积等于 与 的面积之和，且 与 的 边上的高之
和等于 ，∴ ，
∴四边形 的面积为 ，
由二次函数的性质可知，在 内，当 时，四边形 的面积最大，
此时 ，
所以四边形 的面积最大时的 点坐标为 ．
（3）解：设点 的坐标为 ，
∵C(0,−3)，
∴ ， ， ，
①当 时， 为等腰三角形，
则 ，即 ，
解得 或 （此时点 与点 重合，不符合题意，舍去），
当 时， ，
所以此时点 的坐标为 ；
②当 时， 为等腰三角形，
则 ，即 ，
解得 或 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ；
③当 时， 为等腰三角形，则 ，即 ，
解得 ，
此时 ，
所以此时点 的坐标为 ，
综上，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用、等腰三角形的定义、一元二
次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
3．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），点 的坐
标为 ，与 轴交于点 ，作直线 ．动点 在 轴上运动，过点 作
轴，交抛物线于点 ，交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式和直线 的解析式；
(2)当点 在线段 上运动时，求线段 的最大值；
(3)当点 在线段 上运动时，若 是以 为腰的等腰直角三角形时，求 的值；
(4)当以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)(4) 的值为 或
【分析】（1）由 、 两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得 点坐
标，再利用待定系数法可求得直线 的解析式；
（2）用 可分别表示出 、 的坐标，则可表示出 的长，再利用二次函数的最值可
求得 的最大值；
（3）由题意可得当 是以 为腰的等腰直角三角形时则有 ，且
，则可求表示出 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得 的值；
（4）由条件可得出 ，结合（ ）可得到关于 的方程，可求得 的值．
【详解】（1）解：∵抛物线过 、 两点，
∴代入抛物线解析式可得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
令 可得， ，解 ，
∵ 点在 点右侧，
∴ 点坐标为 ，
设直线 解析式为 ，
把 、 坐标代入可得 ，解得 ，
∴直线 解析式为 ；
（2）解：∵ 轴，点 的横坐标为 ，
∴ ， ，
∵ 在线段 上运动，
∴ 点在 点上方，∴ ，
∴当 时， 有最大值， 的最大值为 ；
（3）解：由（1）（2）得 点坐标为 ， 点坐标为(0,3)，
∴
∵
∴
∵ 轴， 轴，
∴
∴
∴当 是以 为腰的等腰直角三角形时， ，
∴ 点纵坐标为 ，
∴ ，解得 或 ，
当 时，则 、 重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴ ；
（4）解：由（ ）得 ， ，
当以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时，则有 ，
当点 在线段 上时，由（ ）得 ，
∴ ，此方程无实数根，
当点 不在线段 上时，则有 ，
∴ ，解得 或 ，
综上可知当以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时， 的值为 或
．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角
形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（ ）中用 表示出
的长是解题的关键，在（ ）中确定出 是解题的关键，在（ ）中由平行四
边形的性质得到 是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．4．如图，若抛物线 与直线 的两个交点A，B关于原点对称，则
称线段 为抛物线的“对称弦”，该直线为抛物线的“对称弦直线”．已知抛物线
交 轴于点 ，与其“对称弦直线” 交于点A，B．
(1)若该抛物线的“对称弦直线”为 ，求 的值；
(2)在（1）的条件下，点 为抛物线上 点右侧一点，连接 交 于点 ，连接 ，
，当 时，求 点坐标；
(3)当该抛物线对称轴在 轴左侧时，抛物线上是否存在点 ，使得 是以“对称弦”
为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点
【分析】（1）先求出 的值，再联立方程组 ，由对称性可得 ，
即可求解；（2）由题意可知 点是 的中点，设 ，则 ，将点
代入抛物线的解析式即可求解；
（3）设 ， ，联立方程组 ，可得 ， ，过点
作 轴交于点 ，过点 作 轴交于点 ，则 ，求出
，将 点坐标代入抛物线的解析式即可求 的值，从而求 点坐标．
【详解】（1）解： 抛物线 交 轴于点 ，
，
，
，
联立方程组 ，
整理得 ，
抛物线与直线的两个交点关于原点对称，
，
；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为
，
，
点是 的中点，设 ，
∴ ，
代入 得 ，
解得 ，
点在 点的右侧，
，
∴ ；
（3）解：存在点 ，使得 是以“对称弦” 为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
的对称轴为直线 ，
对称轴在 轴左侧，
，
，
设 ， ，
， 关于原点对称，
，联立方程组 ，
整理得 ，
， ，
， ， ，
，
，
过点 作 轴交于点 ，过点 作 轴交于点 ，
， ，
，
， ，
，
，
或 ，
，，
∴ ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解新定义，
能将所求问题与直角三角形全等，二次函数的图象及性质结合是解题的关键．
5．如图，已知抛物线 （ 是常数）与 轴分别交于点 ， （点 位于
点 的左侧），与 轴的负半轴交于点 ，点 的坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线对称轴上存在一点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形，求出 点
坐标；
(3)点 是 轴下方的抛物线上的一个动点， 点横坐标为 ，连接 ，设所得
的面积为 ．
①求 关于 的函数解析式；
②探究：若 的面积 为整数，则这样的 共有多少个．
【答案】(1)
(2) 或
(3)① ；3个
【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）分 和 两种情况，利用勾股定理列方程求解即可；
（3）①过点P作 轴，交 于点M，由题意易求直线 的解析式，然后可得点M
的坐标及线段 的长，根据 可求出解析式；
②根据 的面积 为整数求解即可．
【详解】（1）解：把点 的坐标为 代入 ，得
，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：存在点M，使得 是以BC为直角边的直角三角形，理由如下：
∵ ，
∴对称轴是直线 ，
∴可设 ．
当 时， ，
解得 ，
∴B(4,0)．
当 时， ，
∴ ，
∴ ， ，
．
①当 时，如图所示：，
解得：
∴点 ；
②当 时，如图所示：
，
解得： ，
∴点 ；
综上所述：当 是以 为直角边的直角三角形时，点 或 ；
（3）解：①设直线 的解析式为 ，把B(4,0)， 代入，得
，解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
过点P作 轴，交 于点M，如图所示：∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
②∵ 的面积 为整数， ，
∴m为整数．
∵ ，
∴当 时， ，不符合题意；
当 时， ，符合题意；
当 时， ，符合题意；
当 时， ，符合题意．
综上可知，则这样的 共有3个．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
6．如图，二次函数 的图象交 轴于 ， ，交 轴于 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)二次函数的对称轴上是否存在点P，使 是直角三角形？如果存在，请直接写出答
案，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或 或 或
【分析】（1）运用待定系数法解二次函数解析式即可求解；（2）由抛物线解析式可求得其对称轴，则可设出 点的坐标，则可表示出 、 和
，分 、 和 三种情况，分别根据勾股定理得到关于
点坐标的方程，可求得 点的坐标．
【详解】（1）解： 二次函数 的图象交 轴于点 ， ，交 轴
于点 ，代入得：
，
解得 ，
二次函数的解析式为 ；
（2）解：二次函数的对称轴上存在点 ，使 是直角三角形；理由如下：
，
对称轴为 ，
可设 点坐标为 ，
， ，
，
为直角三角形，
有 、 和 三种情况，
①当 时，则有 ，
即 ，
解得 或 ，
此时 点坐标为 或 ；②当 时，则有 ，
即 ，
解得 ，
此时 点坐标为 ；
③当 时，则有 ，
即 ，
解得 ，
此时 点坐标为 ；
综上可知，二次函数的对称轴上存在点 ，使 是直角三角形； 点的坐标为
或 或 或 ．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理、方
程思想及分类讨论思想等知识，本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
类型八、二次函数与四边形结合
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与坐标轴交于 ， 两
点，直线 ： 交 轴于点 ．点 为直线 下方抛物线上一动点，过点 作
轴的垂线，垂足为 ， 分别交直线 ， 于点 ， ．(1)求抛物线 的表达式；
(2)当 时，求 的面积；
(3)① 是 轴上一点，当四边形 是平行四边形时，求点 的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点 ，满足 ，求 周长的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）先求出直线 的表达式为 ，再求得 ，可得出 ，
，最后用三角形面积公式求解即可；
（3）①过点 作 于 ，证明 ，推出 ， ，
由 ，可得 ，由题意直线 的解析式为 ，设
， ，根据 ，构建方程求解，可得结论；②因为 的周长为 ，所以要使得
的周长最小，只要 的值最小，因为 ，所以当点 在 上时，
的值最小．
【详解】（1）解： 抛物线 过 ， 两点，
，
解得 ，
；
（2）解：设直线 的解析式为 ，代入 得 ，
，
直线 的表达式为 ，
当 时， ，解得 ，
，
当 ， ，
， ，
；
（3）解：①如图1中，过点 作 于 ，四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
当x=2时， ， ，
， ，
，
，
，
，
；
②如图2中，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
的周长为 ，
要使得 的周长最小，只要 的值最小，
，
当点 在 上时， 的值最小，
当x=0时， ，
∴ ， ，
，
的周长的最小值为 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角
形的判定和性质，矩形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会寻找
全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
2．如图，抛物线 交轴于点 ， ，交 轴于点 ， ，点 是线段 上一动点，作 交线段 于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，延长线段 交抛物线于点 ，点 是 边中点，当四边形 为平行四
边形时，求出 点坐标；
(3)如图2， 为射线 上一点，且 ，将射线 绕点 逆时针旋转 ，交直线
于点 ，连接 ， 为 的中点，连接 ， ，问： 是否存在最小值，
若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3)存在， ．
【分析】（1）用待定系数法解题；
（2）由已知点P的横坐标为，可得点P和点D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根
据平行四边形对边相等的性质，列出m的方程即可；
（3）证明点P在直线 上运动，再利用轴对称的性质解决最短路径问题．
【详解】（1）解：∵点 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
把点 ， ， 代入抛物线 中得
，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图中，连接 ， ，
∵ ， ， ，
，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，设 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
把点 的坐标代入 ，
得到， ，解得 或 ，
∴ 或 ．（3）如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
连接 ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的运动轨迹是直线 ，
作点 关于直线 是对称点 ，连接 交直线 于 ，
连接 ，此时 的值最小，
最小值 ．【点睛】本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求解析式、平行四边形的性质、
等边三角形的性质、勾股定理、利用轴对称求最值问题等知识，是重要考点，有难度，掌
握相关知识是解题关键．
3．如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，
A点在原点的左侧，B点的坐标为 ，与y轴交于点C(0,−3)，点P是直线 下方的
抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)连接 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，那么是否存在点P，使四边
形 为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为：
(2)存在，
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数动点与菱形的存在性的问题．
（1）把B、C点坐标代入二次函数解析式即可解出．（2）若四边形 是菱形， 和 相互垂直，P点纵坐标是 ，代入二次函数表
达式即可解得．
【详解】（1）解：将点B、C的坐标代入 中，得：
，
解得： ；
∴抛物线： ．
（2）解：存在．理由如下：
作 的垂直平分线交直线 下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2，
则 ．
∵ 沿 翻折，得到四边形 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形．
∵C(0,−3)，
∴点E的坐标为 ，
∴点P的纵坐标为 ，把 代入 得 ，解得 ．
∵点P在直线 下方的抛物线上，
∴ ，
∴满足条件的点P的坐标为 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点 ，与 轴交于
点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点 为直线 下方抛物线上的任意一点，连接 ， ，求 面积的最大值；
(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 ，平移后的抛物线
与原抛物线相交于点 ，
①求点 的坐标；
②已知点 为原抛物线对称轴上的一点，是否存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的
四边形为菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)(3)① ；②存在， 或 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线 的解析式为 ，过点 作 轴交 于 ，设
，则 ，求出 ，再根据
并结合二次函数的性质求解即可；
（3）①由平移的性质得出平移后的抛物线的解析式为 ，联立得出
，求解即可；②设 ， ，再分三种情况：当 为边，点
在点 的上方时；当 为边，点 在点 的上下方时；当 为对角线时；分别利用菱
形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，与 轴交于点 ，
∴ ，
解得： ，
∴该抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式可得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
如图，过点 作 轴交 于 ，设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大，为 ；
（3）解：①∵ ，
∴将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线为 ，
令 ，
解得 ，
∴ ；
②存在；
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴设 ， ，
∵以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，
∴当 为边，点 在点 的上方时，，
解得： ，
此时 ；
当 为边，点 在点 的上下方时，
，
解得： 或 ，
此时 或 ；
当 为对角线时，
，
解得： ，
此时 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次函数的平移、
二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊的四边形问题，熟练掌握以上知识点并灵
活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
5．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，点A在抛物线G的
对称轴上，且在x轴上方．
(1)求抛物线G与x轴交点的坐标（用含a的式子表示）；(2)已知正方形 的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在抛物线对称轴的同
侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究 是否为定值，
如果是，求出这个值：如果不是，请说明理由；
(3)在抛物线G上存在两点B、D，且B、D在对称轴右侧，点B在点D的左侧，使得四边
形 是正方形，求动点 的纵坐标y，在 的最大值．
【答案】(1) 或
(2) 是定值，且值为 ；
(3)
【分析】（1）令 ，解方程即可求解；
（2）连接 、 交点为 ，过 作 轴于 ，过 作 于 ，证明
， ， ， ，则
， ，
设 ，则 ， ， ， ，
进而因式分解得出 ，即可求解；
（3）根据（2）可得 又 ，则
，
，分别得出 的关系式，根据动点 的纵坐标 ，进而根
据 确定 的范围，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当 ，则 ，即解得：
∴抛物线 与 轴交点的坐标 或
（2）解：由（1）可得对称轴为直线 ，
当 在对称轴的右侧时，如图：连接 、 交点为 ，过 作 轴于 ，过
作 于 ，
由正方形的性质可知， 为 、 的中点， ， ，
，
，
， ， ，
，
， ，
由题意知 ， ， ，则
， ，
设 ，则 ，
，
， ， ， ，
， ，∴ ，
即
∴
∴
∴
点 、 在对称轴的同侧，对称轴为直线 ，且点 在点 的左侧，
，
，
是定值，且值为 ；
根据对称性可得当 在对称轴的左侧时，同理可得 是定值，且值为 ；
（3）解：由（2）可得 又 ，则
，
，
∴
∴
当 时取得最大值，
又∵
而∴
∴
当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时，取得最大值，此时 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌
握二次函数的性质是解题的关键．
6．如图，边长为6的正方形 中，E，F，G，H分别是 ， ， ， 边上的
动点，且 ，点E从点A出发沿 以每秒1个单位长度的速度向点B
运动（到达点 时停止），设运动时间为t（单位：秒）．
(1)①当运动停止时，t的值为______；
②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函
数”，“二次函数”）
(2)设四边形 的面积为S，
①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______；
②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由．
【答案】(1)① ；②一次函数
(2)① ， ；②S可以为20，此时 或
【分析】本题考查正方形的判定与性质，二次函数与几何应用，勾股定理；
（1）①当运动停止时， ，代入计算即可；
②根据 ，可得 ，即满足一次函数关系；
（2）①先证明四边形 是正方形，再根据 计算即可；
②令 ，解方程后判断即可．
【详解】（1）∵边长为6的正方形 ，∴ ， ，
∵点E从点A出发沿 以每秒1个单位长度的速度向点B运动，
∴ ，
∴ ，
①当运动停止时， 秒，
故答案为： ；
②∵ ，
∴y与t满足一次函数关系，
故答案为：一次函数；
（2）解：①∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
整理得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴S的表达式 ，t的取值范围 ，
故答案为： ， ；
②令 得 ，
整理得 ，
解得 或 ，∵ ，
∴S可以为20，此时 或 ．
类型九、新定义问题
1．定义：我们把关于x的一元二次方程 与 称为
一对“友好方程”．如 的“友好方程”是 ．
(1)写出一元二次方程 的“友好方程”______．
(2)已知一元二次方程 的两根为 ，它的友好方程的两根为
、 ______．根据以上结论，猜想 的两根 与其“友好方程”
的两根 之间存在的一种特殊关系为______．
(3)已知关于x的方程 的两根 ，请利用（2）中的结论，
求出关于x的方程 的两根．
【答案】(1)
(2) ；互为倒数
(3) 和
【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用
因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键．
（1）根据“友好方程”的定义，即得答案；
（2）求出方程 的解 ，即得猜想，分别求方程
和 的根，可验证 ；（3）利用（2）中的结论，可得方程 的“友好方程”
的两根为 ，因此方程 的两根
，即 ，整理方程 得
，即得答案．
【详解】（1）解：一元二次方程 的“友好方程”为： ；
故答案为： ；
（2）解：对于方程 ，
，
解得： ，
根据以上结论，猜想 的两根 与其“友好方程” 的两根
之间存在的一种特殊关系为互为倒数；
证明如下：
∵一元二次方程 的两根为 ，
“友好方程” 的两根 ，
，
，
即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；故答案为： ；互为倒数；
（3）解：∵方程 的两根是 ，
∴该方程的“友好方程” 的两根为 ，
则方程 的两根 ，
即 ，
整理方程 得 ，
∴关于 的方程 的两根为 和 ．
2．定义：如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根
比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程 的
两个根是 ，则方程 是“根差2方程”．
(1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）；
① ，② ，③ ；
(2)已知关于x的方程 （a是常数）是“根差2方程”，求a的值；
(3)若关于x的一元二次方程 和 都是“根差2方程”，
（ ）试求m、n间的数量关系．
【答案】(1)①②
(2)7或
(3)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，熟
练掌握根与系数的关系是解题的关键．
（1）分别求出各方程的解，然后进行判断即可；（2）由根与系数的关系可得 ，再根据“根差2方程”的定义可得
，即 ，然后根据完全平方公式得到关于a的方程求解即可；
（3）根据（2）可得： 、 ，即
，然后化简即可解答
【详解】（1）解：① 的解为 ， ，则该方程为“根差2方程”；
② 的解为 ， ，则该方程为“根差2方程”；
③ 的解为 ， ，则该方程不是“根差2方程”；
故答案为：①②．
（2）解：设关于x的方程 的解为 ，则 ，
∵关于x的方程 （a是常数）是“根差2方程”，
∴ ，即 ，
∴ ，解得： 或 ．
（3）解：∵关于x的一元二次方程 和 都是“根差2
方程”，
∴ ， ，
∴ ，
∵
∴ ．
3．定义：如果二次函数 （ 、 、 、 是常数）与（ 、 、 、 是常数）满足 ， ， ，则
这两个函数互为“旋转函数”．
(1)写出函数 的旋转函数．
(2)若函数 与 互为旋转函数，求 的值．
(3)已知函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C
关于原点的对称点分别是 、 、 ，试求证：经过点 、 、 的二次函数与
互为“旋转函数”．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了新定义，待定系数法等；
（1）由旋转函数的定义即可求解；
（2）由旋转函数的定义求出 、 的值，代入计算，即可求解；
（3）分别求出点A，B，C，由关于原点的对称规律求出 、 、 ，由待定系数法求出
，由 ，即可得证；
理解新定义，掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】（1）解：设所求旋转函数为 ，则有
，解得： ，
∴所求旋转函数的解析式为： ；
（2）解：由题意得，
，
解得 ，
．
（3）证明：当 时，
，
解得： ， ，
， ，
当 时，
，
点A，B，C关于原点的对称点分别是 、 、 ，
， ， ，设经过点 ， ， 的二次函数为： ，则有
，
解得： ，
，
又
，
，
两个函数互为“旋转函数”．
4．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 ，对于任意的函数值 ，都满足 ，
那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的 中，其最小值称为这个函数的上确界．
例如，函数 是有上界函数，其上确界为3；函数 是有上界
函数，其上确界是2．
(1)请判断下列函数是否为有上界函数，在后面括号内打“√”或“×”
① （ ）
② （ ）
③ （ ）
(2)一次函数 是有上界函数，上确界为4，求实数 的值．
(3)如果函数 是以 为上确界的有上界函数，求实数
的值．【答案】(1)√；×；√
(2) 或
(3)
【分析】（1）根据有上界函数的定义结合一次函数和二次函数的性质判断即可得解；
（2）分两种情况：当 ， 随 增大而增大；当 ， 随 增大而减小；分别得出方
程，求解即可；
（3）分两种情况：当 时，函数 随着 增大而增大， 当 时，函数有上确界
；当 时， 时，函数有上确界 ，分别计算即可得解．
【详解】（1）解：① 中，当 时， 有最大值，故为有上界函数，√；
② ，当 时， 有最小值，故不为有上界函数，×；
③ ，当 时， 有最大值，故为有上界函数，√；
（2）解：一次函数 是有上界函数，上确界为 ，
分两种情况：当 ， 随 增大而增大，
当 时，函数有最大值 ，
∴ ；
当 ， 随 增大而减小，
当 时，函数有最大值 ，
∴ ；
综上可知： 或 ；
（3）解：当 时，函数 随着 增大而增大， 当 时，函数有上确界
，
故 ，
，
，
解得： ，当 时， 时，函数有上确界 ，
故 ，
解得： （舍）， （舍），
综上可知， ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、有上界函数的定义，
熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
5．在平面直角坐标系 中，对于图形 给出如下定义：图形 绕点 顺时
针旋转 得到的图形记为图形 ，对于图形 上任意一点 ，存在实数 满足
，则称满足条件的 的最大值为图形 关于点 “旋转最大值”
(1)若 为原点， ， ，线段 绕点 顺时针旋转 的图形记为线段 ．
①画出线段 ；
②直接写出线段 关于点 的“旋转最大值”______；
(2)若 为原点， ， ， ，直接写出线段 关于点 的“旋转
最大值”______．
(3)若点 ，图形 是顺次连接 ， ， ， 所组
成的四边形，图形 关于点 的“旋转最大值”不超过 ，则 的取值范围是______．【答案】(1)①见解析；②
(2)
(3) 或 ．
【分析】（1）①根据网格的特点和所给旋转方式找到B、C对应点 的位置，描出
，再连接 即可；
②设 为线段 上一点，则 ，即 ，故 是直线
与线段 的交点，则当直线 恰好经过点 时， 有最小值，即此时k有
最大值，据此利用待定系数法求解即可；
（2）设线段 绕点 顺时针旋转 的图形记为线段 ，分别过点B， 作y轴的垂
线，垂足分别为F、G，由旋转的性质可得 ，证明 ，
进而证明 ，得到 ，则 ，同理可
得 ；当m为一个确定值时，同（1）可知当直线 恰好经过
时，k的值最大，则 ，再由 ，可得当 时， ，即
线段 关于点 的“旋转最大值”为 ；
（3）设四边形 绕点M顺时针旋转90度后得到的四边形为 ，连接
，过点M作 轴，分别过点 作直线 的垂线，垂足分别为T、S，可
证明 轴，则 轴， 轴；同理可证明 ，则
，可得 ，同理可得 ，，则 ，点M到直线 到到直线 的距离都为2；设
是四边形 上一点，则 ，根据题意可得 ，
由题意可证明 的最大值即为 ，当 时， ，根据 ，得
到 ，解得 ；当 时， 的值可以无限小，则 的值
可以无限大，故此时不满足题意；当 时， ，根据 ，得
到 ， 解得 ．
【详解】（1）解：①如图所示，线段 即为所求；
②由①可知 ，
∴线段 上的所有点的横坐标为正数，纵坐标为非正数，
设 为线段 上一点，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ 是直线 与线段 的交点，
∴当直线 恰好经过点 时， 有最小值，即此时k有最大值，
∴ ，
∴ ，
∴线段 关于点 的“旋转最大值”为 ，
故答案为： ；
（2）解：如图所示，设线段 绕点 顺时针旋转 的图形记为线段 ，分别过点
B， 作y轴的垂线，垂足分别为F、G，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ；
当m为一个确定值时，同（1）可知当直线 恰好经过 时，k的值最大，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴当 时， ，
∴线段 关于点 的“旋转最大值”为 ；
（3）解：如图所示，设四边形 绕点M顺时针旋转90度后得到的四边形为 ，
连接 ，
过点M作 轴，分别过点 作直线 的垂线，垂足分别为T、S，
∵ ， ，
∴ 轴，
∴ 轴，
∴ 轴，
同理可证明 ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ， ，
∴ ，点M到直线 到到直线 的距离都为2，
设 是四边形 上一点，则 ，
∴ ，∴ ，
∵ 表示的是点 与点M的竖直方向上的距离，且点M到直线 到到直线
的距离都为2，
∴ 的最大值即为 ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
∴当 时， 的值可以无限小，则 的值可以无限大，故此时不满足题
意；
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；综上所述， 或 ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，一次函数与
几何综合，正确根据定义找到对应图形绕点M顺时针旋转90度后的对应图形是解题的关
键．
6．定义：如图1，平面内有一点 到 的三个顶点的距离分别为 ，若有
，则称点 为 关于点 的勾股点．
【知识感知】
（1）如图2，在 的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， 的顶点在格点上，
则 这三个点中是 关于点 的勾股点的有______（填“ 、 ”）；
（2）如图3， 为等腰直角三角形， 是斜边 延长线上一点，连接 ，以 为
直角边作等腰直角 （点 顺时针排列）， ，连接 ，求证：
点 为 关于点 的勾股点；
【知识应用】（3）如图4，在等腰三角形 中， ， ，作 边上的中线 ．点
是 外一点，且点 是 关于点 的勾股点， ，求 的长；
【知识拓展】
（4）如图5， 是等边三角形，点 为平面内一点（不与点 重合），当点
是 关于点 的勾股点时，请直接写出此时 的度数．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）12；（4）
【分析】（1）根据勾股定理将每个点的 、 、 ，再利用勾股点的定义即可求解；
（2）要证点 为 关于点 的勾股点，即证 ，就是证 ，再
从条件出发，很容易证出 ，进而即可得证；
（3）根据勾股点的定义求出 的长，再利用勾股定理求解即可；
（4）把 绕点 旋转到 的位置，连接 ，由旋转的性质可得 ，
， ， ，由题意及勾股定理的逆定理可证
，即可求解．
【详解】解：（1）① ， ， ，
，
不是 关于点 的勾股点；
② ， ， ，
，是 关于点 的勾股点；
③ ， ， ，
，
不是 关于点 的勾股点；
故答案为： ；
（2）证明： 和 为等腰直角三角形，
， ， ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
点 为 关于点 的勾股点；
（3）解： ， 是 中点，
， ，
点 是 关于点 的勾股点，
，
， ，
，
在 中， ；
（4）如图，把 绕点 旋转到 的位置，连接 ，是等边三角形，
， ，
把 绕点 旋转到 的位置，
， ， ，
是等边三角形，
， ，
点 是 关于点 的勾股点，
，
，
，
，
绕点 旋转到 的位置，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质、旋转
的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
类型十、跨学科问题
1．在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图．
(1)如图1所示的电路图中，三个开关并联成一个开关组A，其中只有开关 不能正常闭合，
若闭合其中任何一个开关，可以使灯泡发亮的概率是________；
(2)如图2，在图1的电路图中，各元件运作情况与（1）相同，新增一个开关组B，该组三个元件均能正常使用，在A、B两个开关组中各闭合一个开关，用树状图或列表法求小灯
泡发亮的概率；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公
式是解答本题的关键；
（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中可以使灯泡发亮的结果有2种，利用概率公
式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小灯泡发亮的结果数，再利用概率公式可得出答
案．
【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中可以使灯泡发亮的结果有：
， ，共2种，
闭合其中任何一个开关，可以使灯泡发亮的概率是 ．
故答案为： ．
（2）解：列表如下：
， ， ，
， ， ，
， ， ，
共有9种等可能的结果，其中小灯泡发亮的结果有： ， ，共2种，
小灯泡发亮的概率为 ．
2．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡
兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原
理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡 的底部点 处，石块从投石机
竖直方向上的点 处被投出，在斜坡上的点 处建有垂直于水平面的城墙AB．已知，石
块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是 ， ， ， ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)通过计算说明石块能否飞越城墙AB；
(3)求出石块与斜坡 在竖直方向上的最大距离．
【答案】(1)
(2)石块不能飞越防御墙AB，见解析
(3)石块与斜坡 在竖直方向上的最大距离为 米
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用；
（1）设石块运行的函数关系式为 ，用待定系数法求得 的值即可求得答
案；
（2）把 代入 中表达式，求得 的值，与 作比较即可；
（3）用待定系数法求得 的解析式，设抛物线上一点 )，过点 作
轴，交 于点 ，则 ，用含 的式子表示出 关于 的表达式，再利
用二次函数的性质可得答案；
【详解】（1） 抛物线的顶点坐标是 ， ，
设石块运行的函数关系式为 ，将 代入，得 ，
解得 ，
抛物线的表达式为 ；
（2）
把 代入 ，得 ，
， ．
，
，
石块不能飞越防御墙AB．
（3）解：设直线 的解析式为 ．
， ，
把 代入，得 ，
．
故直线 的解析式为 ．
设直线 上方的抛物线上的一点 的坐标为 )．
过点 作 轴，交 于点 ，则 )．
，当 时， 取最大值，最大值为 ．
石块与斜坡 在竖直方向上的最大距离是 米．
3．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
数学对物理学的发展起着重要的作用，物理学也对数学的发展起着重要的作用，莫尔斯所
说：“数学是数学，物理是物理，但物理可以通过数学的抽象而受益，而数学则可以通过
物理的见识而受益．”
以下是数学中常见的一个问题：
若 ，则 的最大值是多少？
设 ， ，则 ．
……
以下是物理中的一个问题：
物理学中的电路分为串联电路和并联电路，已知电路中有大小分别为 和 的两个电阻，
串联电路的电阻公式为 ，并联电路的电阻公式为 ．在某一段电路上
测得两个电阻的和为 ．若根据实际需要把这两个电阻并联在一起，则并联后总电阻的
最大值是多少？
任务：
(1)按照上面的解题思路，完成数学问题的剩余部分．
(2)若 ， 两数的和为定值，则 ， 满足______时， 的值最大．
(3)解决这个物理问题主要体现的数学思想是______．（填序号即可）
A．统计思想 B．分类思想 C． 模型思想
(4)物理问题中并联后总电阻的最大值是______ ．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)C
(4)3.75
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、有理数混合运算、平方差公式等知识，解题关
键是正确理解题意，运用二次函数的性质解题．
（1）根据二次函数的性质，即可获得答案；
（2）令 ， 两数的和为定值 ，结合题意，可设 ， ，易得，即可获得答案；
（3）根据题意分析即可；
（4）结合以上结论可知，当 时， 取最大值，然后求解即可．
【详解】（1）解：按照上面的解题思路，完成数学问题的剩余部分如下：
∵ ，
∴当 时， 取最大值，最大值为1；
（2）令 ， 两数的和为定值 ，
设 ， ，
则 ，
∴当 时， 取最大值为 ，此时 ，
∴若 ， 两数的和为定值，则 ， 满足 时， 的值最大．
故答案为： ；
（3）解决这个物理问题主要体现的数学思想是模型思想．
故选：C；
（4）由以上结论可知，当 时， 取最大值，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3.75．
4．生物学上通常用“标记重捕法”来估算特定区域内某种群的数量．如在固定区域内用捕
虫网捕捉了40只田鼠，将它们标记后放回直到充分混合后，用同一个捕虫网捕捉了80只
田鼠，其中有16只是被标记的，于是估算该区域田鼠的数量为：
（只）．
某研究小组考察了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成，结果如下表，请回答问题：…
年龄 A B C D
…
个体数 …
92 187 x y
量 …
注：表中“ ”表示鱼的年龄 年， 表示年龄 年， 表示年龄 年， 表示年
龄为 年．
(1)年龄为 ， ， 的个体数量的平均数为125，年龄在 ， ， ， 的个体数量的中
位数是95，则 ________， ________（其中 ）．
(2)若将年龄为 的鱼全部标记后并放回湖泊，充分混合后，捕捉120条鱼，其中被标记鱼
有12条，那么该湖泊里一共约有多少条鱼？
(3)现捕获A，B，C，D年龄段的鱼各一条，从中任抓两条，请用列表或画树状图求抓到的
是 和 年龄的鱼的概率．
【答案】(1) ，
(2)湖泊里一共约有940条鱼
(3)
【分析】本题考查了平均数、中位数、用样本估计总体、用列表或画树状图求概率，解题
的关键在于掌握相关概念并熟练运用．
（1）本题考查平均数和中位数的概念和计算方法，掌握相关概念即可解题．
（2）本题考查用样本估计总体，根据标记鱼的所占比，利用年龄为 的个体数量除以所
占比即可解题．
（3）本题根据题意画出树状图，得到所有情况的种数，找出抓到的是 和 年龄的鱼的种
数，结合概率公式即可求解．
【详解】（1）解： 年龄为 ， ， 的个体数量的平均数为125，
，解得 ，
年龄在 ， ， ， 的个体数量的中位数是95，且 ，
，解得 ．
故答案为： ， ．（2）解： （条），
答：湖泊里一共约有940条鱼．
（3）解：根据题意可画树状图如下：
由图知总共有 种可能，其中抓到的是 和 年龄的鱼的情况有 种，
抓到的是 和 年龄的鱼的概率为 ．
5．【综合与实践】
【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂
的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余
质量随时间变化的数据．
【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化的数据 ，并分
别绘制在平面直角坐标系中，如图所示：
任务一：求出函数表达式
（1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下 随 变化的函数关系，发现场景 的图象
是抛物线 的一部分，场景 的图象是直线 的一部分，分
别求出场景A、B相应的函数表达式；任务二：探究该化学试剂的挥发情况
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂
在哪种场影下发挥作用的时间更长?
任务三：探究化学试剂对人体的影响情况
（3）因化学试剂对人体是有一定的影响的，若试剂挥发过程中剩余质量不大于1克对人体
影响最小，则哪个场景影响时间最少?
【答案】（1） ；（2）在A场景下发挥作用时间更长；理由见解析；（3）B场
景影响时间最少
【分析】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，理解题意及图形的意义是解题的关键．
（1）将点 分别代入 中，解方程组，即可求得二次函数解
析式；将点 分别代入 中，解方程组，即可求得一次函数解析式；
（2）观察A、B两个场景下点 ，由这两点表示的意义即可判断；
（3）与（2）分析相同．
【详解】解：（1）将 分别代入 中得
，
，
将 分别代入 中得
，解得： ，
；
（2）因为A场景当剩余质量为3克时，需要20分钟，而B场景20分钟时剩余质量为1克，
又因为该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，
所以在A场景下发挥作用时间更长．
（3）因为A场景当剩余质量为3克时，需要20分钟，而B场景20分钟时剩余质量为1克，
所以B场景影响时间最少．6．学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂
的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时
间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为 ， （单位：克）．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录 ， 与x的几组对应值如下：
x（分钟） 0 5 10 15 20 …
（克） 25 23.5 20 14.5 7 …
（克） 25 20 15 10 5 …
(1)在同一平面直角坐标系 中，描出上表中各组数值所对应的点 ， ，并画
出函数 ， 的图象；
(2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分， 与x之间近似满足二次函数：
．场景B的图象是直线的一部分， 与x之间近似满足一次函数
（ ）．则 ， ， ；
(3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该
化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为 ， ，则 （填“ ”，“ ”或“”）．
【答案】(1)见详解
(2) ， ，
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．
（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；
（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；
（3）依据题意，分别求出当 时 的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：（1）由题意，作图如下．
（2）解：由题意，场景 的图象是抛物线的一部分， 与 之间近似满足函数关系
．
又点 ， 在函数图象上，
．
解得： ．
场景 函数关系式为 ．
对于场景 的图象是直线的一部分， 与 之间近似满足函数关系 ．
又 ， 在函数图象上，．
解得： ．
场景 函数关系式为 ．
∴ ， ， ．
（3）解：由题意，当 时，
场景 中， ，
解得： （舍），
即： ，
场景 中， ，
解得： ，
．
