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期末考前满分冲刺之优质压轴题
【专题过关】
类型一、二次函数中的系数关系
1．二次函数 （ ）的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，则下列
结论中：
① ；
② （m为任意实数）；
③ ；
④若 、 是抛物线上不同的两个点，则
其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．小明从如图的二次函数 的图象中，观察得出了下面五个结论： ；
； ； ； ，你认为其中正确的结论有
（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．如图是二次函数 的图象，其对称轴为直线 ，且过点(0,1)．有以下
四个结论：① ；② ；③ ；④ （ 是任意实
数）．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如下图，二次函数 图象与 轴的一个交点坐标为(1,0)，对称轴为
直线 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ，
其中 ；⑤当 时， ．其中正确结论的个数为 ．
5．已知抛物线 （ 是常数， ）的顶点为 ．小烨同学得出以
下结论：① ；②当 时， 随 的增大而减小；③若 的一个根为 ，
则 ；④抛物线 是由抛物线 向左平移 个单位，再向下平移
个单位得到的．其中一定正确的是 ．
6．已知二次函数 的图象如图所示，顶点坐标为 ，给出下列结
论： ； ； 若关于 的一元二次方程 ，有两
个不相等的实数根，则 ； 若点 和点 在该图象上，则 ，其中正
确的结论是 ．（填序号）．类型二、阴影面积部分问题
1．如图，在 中， ， ，将 绕点B按逆时针方向旋转
后得到 ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．12 D．
2．如图，正方形 和正方形 的对称中心都是点 ，其边长分别是3和2，则图
中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．1 D．
3．如图，在 中， ，以 为直径的 与 分别交于点 ，连接
， ，若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．4．如图，在 中， ，点 在 上，以 为圆心， 为半径的
半圆分别交 于点 ，且点 是弧 的中点，若 ，则图中阴影部
分的面积为 ．
5．如图所示，在 中， ， ，分别以 、 为圆心，以 的
长为半径作圆，从 中剪掉这两个半径相等的扇形，则阴影部分的面积为
．（结果保留 ）
6．如图，在 中， ， ，若扇形 与扇形 关于点 成中心
对称，则图中阴影部分的面积为 ．
类型三、最值问题
1．如图，在等腰 中， ，点O是 边中点， 的半径为1，
点P是 边上一动点，则由点P到 的切线长 的最小值为（ ）A． B． C． D．
2．如图，正方形 的边长是6，点F在 边上，且 ，点H是射线 上的
一个动点，以 为直径作 ，连接 交 于E点，连接 ，则线段 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
3．如图， 是 的直径，弦 是下半圆 上一个动点，E为
的中点，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知如图，二次函数 的图像交 轴于 、 两点，交 轴于 点，连
接 ，点 是 上一点，射线 与以 为圆心， 为半径的 相切于点 ，则线段
的最小值是 ．5．如图，点D是等腰 的斜边 的中点，点P是以 为直径的 上一动点，
线段 绕点C顺时针方向旋转 得线段 ，若 ，则线段 的最小值是 ．
6．如图，已知正方形 的边长为14，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速
度沿 、 向终点C、D运动，连接 、 ，交于点P，连接 ，则 长的最小
值为 ．
类型四、无刻度尺作图
1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给
定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（每个作图任务画线条数不超过四条）(1) ， 均为格点，且 经过 ， 两点，在图1作出 的中点 ；
(2) 经过格点 、 、 三点，在图2中的圆上找一点 ，使 平分 ．
(3) ， ， ， 四点都在圆上，且 ，在图3作出 的中点 ；
(4) 经过格点 、 、 三点， 点是圆与格线的交点，在图4中的圆上找一点 ，使
．
2．请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）
(1)如图①， 内接于 中，画出 中一条最长的弦；
(2)如图②，等腰 内接于 中， ，画出底边 的中线 ；
(3)如图③，已知四边形 为矩形，点A、D在圆上， 与 分别交于点E、F
．画出线段 的垂直平分线；
3．如图，在每个小正方形的边长为 的网格中，格点A，B，C均在圆上，且点D，E也
是格点．(1)该圆的直径等于________cm；
(2)请用无刻度的直尺按要求作图；
①作弦 ，使得 ，再作劣弧 的中点G，请判断四边形 的形状；
②过点B作该圆的切线 ，请直接写出切线 与弦 的位置关系和点C到切线 的
距离．
4．如图是 的网格，网格边长为1， 的顶点在格点上．已知 的外接圆，仅
用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图（两题都要保留作图痕迹）．
(1)找出 的外接圆的圆心 ，并求 的长．
(2)在圆上找点 ，使得 ．
5．如图是由边长为1的小正方形构成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三
点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图
结果用实线表示完成下列各题：(1)在图1中，先画出圆心O，再画 的中点N，在 画出点D，使 （点D与A
不重合）；
(2)在图2中，E为圆与横格线的交点，在优弧 上画出点F，使 ．
6．如图已知点A、O在格点上，请仅用无刻度直尺按要求画图：
(1)画 直径 ；
(2)画圆心角 ，使得点C在 上方且
(3)画圆周角 ，使得 ；
(4)画弦 及它的弦心距 ．
类型五、图形的旋转、平移、折叠问题
1．如图1，在正方形 中， 是对角线，过点 作 ， 为垂足，过点 作
的平行线，过点 作 的平行线，两线相交于点 ．(1)判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)如图2，将四边形 绕着点A逆时针方向旋转 ，得到四边形 ，
且 ， ， 三点在同一条直线上，过点 作 ， 为垂足，连接 并延长交
于点 ，
①猜想 与 的数量关系，并说明理由；
②若正方形 的边长为4，请直接写出 的长．
2．综合与实践
已知在 中， ，点D为 的中点，连接 ，E为 边上
任意一点；
(1)动手操作（如图1）
将线段 绕着点D按顺时针方向旋转 得到 ，连接 ．在图1补全图形，并填空：
的形状为_________，线段 和线段 的数量关系为___________．
(2)以D为旋转中心，将 按顺时针方向旋转到如图2的位置，连接 ， ．
①证明： ．
②延长 与 相交于点H，连接 ，猜想 与 的数量关系，并加以证明．
(3)解决问题如图3，若 ，以D为旋转中心，将 按顺时针方向旋转到如图3的
位置，使点F在 下方，连接 ，且点F、E、C在同一直线上，直接写出 的面
积．
3．在平面直角坐标系 中，已知点 ，N；对于点P给出如下定义：将点P向右
或向左 平移 个单位长度，再向上（ ）或向下（ ）平移 个单位
长度，得到点 ，点 关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
(1)如图，点M(1,1)，点N在线段 的延长线上，若点 ，点Q为点P的“对应
点”．
①当N坐标为 ，在图中画出点Q，连接 ，交线段 于点T，求 的值；
②当N为线段 延长线上任意一点，连接 ，交线段 于点T， 是否为定值？
(2) 的半径为t，M是 上一点，点N在线段 上，若点N与点O重合，P为 外
一定点，点Q为点P的“对应点”．当点M在 上运动时，直接写出点Q所构成的图形
的面积（用含t的式子表示）．
4．如图1，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与直线
交于点 ， 点到 轴的距离CD为 ，直线 交 轴于点 ， ．(1)求直线 的函数表达式；
(2)如图2，点 为线段AB上一点，将 沿 折叠后，点 恰好落在 边上，求 点
坐标；
(3)如图3，将 绕点 逆时针方向旋转60°，得到 ，使点 与点 对应，点
与点 对应，将 沿着直线 平移，点 为直线 上的动点，是否存在以 、 、
、 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
5．综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动．
(1)操作判断如图1，将矩形纸片 折叠，使 落在边 上，点B与点E重合，折痕
为 ，即可得到正方形 ，沿 剪开，将正方形 折叠使边 ， 都落在正
方形的对角线 上，折痕为 ，连接 ，如图2．根据以上操作，则
_____ ．
(2)迁移探究
将图2中的 绕点A按顺时针旋转，使它的两边分别交边 于点I，J，连接 ，
如图3．探究线段 之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
连接正方形对角线 ，若图3中的 的边 分别交对角线 于点K，R，将正方
形纸片沿对角线 剪开，如图4，若 ，请直接写出 的长．
6．如图1，在 中， ， ， ，点 在 轴上，以 为一边，在 外作等边三角形 ， 是 的中点，连接 并延长交 于 ．
(1)①求点B的坐标；
(2)如图2．将图1中的四边形 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，求 的长；
(3)如图1，连接 ，在线段 上有一动点 ，连接 ， ，直接写出
的最小值为______；
(4)若去掉题干中 这个条件，点 为 外一点，连接 ， ， ，若
， ，则当线段 的长度最小时， ______， 的最小值是______．
类型六、二次函数中的铅锤高
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交
于点 ，点 在原点的左侧，点 的坐标为 ，点 是抛物线上一个动点，且在直
线 的上方．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)过点 作 轴交直线 于点 ，求 的最大值；
(3)若点 为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点 ，使
为等腰直角三角形，且 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知抛物线 （a，b，c为常数， ）与x轴交于点 、点
两点，与y轴交于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是抛物线上的点且在第二象限，连接 ， ， ，求 的面积取得最大值
时，点M的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，
与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，点 是抛物线上一个动点，且在直线 的上
方．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)连接 、 ，当点P运动到什么位置时， 的面积最大？请求出点P的坐标和
面积的最大值；
4．如图，平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与 轴交于点 和
点 两点，与 轴交于点 ．点 为线段 上的一动点．(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，当点D在线段 上时，过动点 作 交抛物线第一象限部分于点 ，
连接 ， ，记 与 的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标；
5．如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ，抛物线 经过
两点．
(1)求抛物线的函数表达式
(2)若 是直线 下方的抛物线上一动点（不与点 重合），过点 作 轴的平行
线交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ．用含 的代数式表示线段 的长，并求线段
的长的最大值．
6．如图，关于x的二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点
C，且顶点 ．(1)求二次函数图象的解析式；
(2)连接 ，求 的面积：
(3)在 上方抛物线上有一动点M，请直接写出 的面积取到最大值时，点M的坐
标．
类型七、二次函数与三角形结合
1．【问题背景】
如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，连接
．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式．
【构建联系】
（2）在 下方的抛物线上有一点 ，过点 作 轴，交 于点 ，交 轴于点
，当点 的坐标为多少时，线段 的长度最大？最大是多少？
（3）在 轴上找一点 ，使得 为等腰三角形，直接写出点 的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于 两点，A
点在原点的左侧，B点的坐标为 ，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线 下方的抛
物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求出四边形 的面积最大时的P点坐标；
(3)在直线 上找一点Q，使得 为等腰三角形，写出Q点坐标．
3．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），点 的坐
标为 ，与 轴交于点 ，作直线 ．动点 在 轴上运动，过点 作
轴，交抛物线于点 ，交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式和直线 的解析式；
(2)当点 在线段 上运动时，求线段 的最大值；
(3)当点 在线段 上运动时，若 是以 为腰的等腰直角三角形时，求 的值；
(4)当以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 的值．4．如图，若抛物线 与直线 的两个交点A，B关于原点对称，则
称线段 为抛物线的“对称弦”，该直线为抛物线的“对称弦直线”．已知抛物线
交 轴于点 ，与其“对称弦直线” 交于点A，B．
(1)若该抛物线的“对称弦直线”为 ，求 的值；
(2)在（1）的条件下，点 为抛物线上 点右侧一点，连接 交 于点 ，连接 ，
，当 时，求 点坐标；
(3)当该抛物线对称轴在 轴左侧时，抛物线上是否存在点 ，使得 是以“对称弦”
为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，已知抛物线 （ 是常数）与 轴分别交于点 ， （点 位于
点 的左侧），与 轴的负半轴交于点 ，点 的坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线对称轴上存在一点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形，求出 点
坐标；(3)点 是 轴下方的抛物线上的一个动点， 点横坐标为 ，连接 ，设所得
的面积为 ．
①求 关于 的函数解析式；
②探究：若 的面积 为整数，则这样的 共有多少个．
6．如图，二次函数 的图象交 轴于 ， ，交 轴于 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)二次函数的对称轴上是否存在点P，使 是直角三角形？如果存在，请直接写出答
案，如果不存在，请说明理由．
类型八、二次函数与四边形结合
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与坐标轴交于 ， 两
点，直线 ： 交 轴于点 ．点 为直线 下方抛物线上一动点，过点 作
轴的垂线，垂足为 ， 分别交直线 ， 于点 ， ．(1)求抛物线 的表达式；
(2)当 时，求 的面积；
(3)① 是 轴上一点，当四边形 是平行四边形时，求点 的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点 ，满足 ，求 周长的最小值．
2．如图，抛物线 交轴于点 ， ，交 轴于点 ， ，
点 是线段 上一动点，作 交线段 于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，延长线段 交抛物线于点 ，点 是 边中点，当四边形 为平行四
边形时，求出 点坐标；
(3)如图2， 为射线 上一点，且 ，将射线 绕点 逆时针旋转 ，交直线
于点 ，连接 ， 为 的中点，连接 ， ，问： 是否存在最小值，
若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，
A点在原点的左侧，B点的坐标为 ，与y轴交于点C(0,−3)，点P是直线 下方的
抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；
(2)连接 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，那么是否存在点P，使四边
形 为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点 ，与 轴交于
点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点 为直线 下方抛物线上的任意一点，连接 ， ，求 面积的最大值；
(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 ，平移后的抛物线
与原抛物线相交于点 ，
①求点 的坐标；
②已知点 为原抛物线对称轴上的一点，是否存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的
四边形为菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
5．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，点A在抛物线G的对称轴上，且在x轴上方．
(1)求抛物线G与x轴交点的坐标（用含a的式子表示）；
(2)已知正方形 的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在抛物线对称轴的同
侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究 是否为定值，
如果是，求出这个值：如果不是，请说明理由；
(3)在抛物线G上存在两点B、D，且B、D在对称轴右侧，点B在点D的左侧，使得四边
形 是正方形，求动点 的纵坐标y，在 的最大值．
6．如图，边长为6的正方形 中，E，F，G，H分别是 ， ， ， 边上的
动点，且 ，点E从点A出发沿 以每秒1个单位长度的速度向点B
运动（到达点 时停止），设运动时间为t（单位：秒）．
(1)①当运动停止时，t的值为______；
②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函
数”，“二次函数”）
(2)设四边形 的面积为S，
①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______；
②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由．
类型九、新定义问题
1．定义：我们把关于x的一元二次方程 与 称为
一对“友好方程”．如 的“友好方程”是 ．
(1)写出一元二次方程 的“友好方程”______．
(2)已知一元二次方程 的两根为 ，它的友好方程的两根为、 ______．根据以上结论，猜想 的两根 与其“友好方程”
的两根 之间存在的一种特殊关系为______．
(3)已知关于x的方程 的两根 ，请利用（2）中的结论，
求出关于x的方程 的两根．
2．定义：如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根
比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程 的
两个根是 ，则方程 是“根差2方程”．
(1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）；
① ，② ，③ ；
(2)已知关于x的方程 （a是常数）是“根差2方程”，求a的值；
(3)若关于x的一元二次方程 和 都是“根差2方程”，
（ ）试求m、n间的数量关系．
3．定义：如果二次函数 （ 、 、 、 是常数）与
（ 、 、 、 是常数）满足 ， ， ，则
这两个函数互为“旋转函数”．
(1)写出函数 的旋转函数．
(2)若函数 与 互为旋转函数，求 的值．
(3)已知函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是 、 、 ，试求证：经过点 、 、 的二次函数与
互为“旋转函数”．
4．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 ，对于任意的函数值 ，都满足 ，
那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的 中，其最小值称为这个函数的上确界．
例如，函数 是有上界函数，其上确界为3；函数 是有上界
函数，其上确界是2．
(1)请判断下列函数是否为有上界函数，在后面括号内打“√”或“×”
① （ ）
② （ ）
③ （ ）
(2)一次函数 是有上界函数，上确界为4，求实数 的值．
(3)如果函数 是以 为上确界的有上界函数，求实数
的值．
5．在平面直角坐标系 中，对于图形 给出如下定义：图形 绕点 顺时
针旋转 得到的图形记为图形 ，对于图形 上任意一点 ，存在实数 满足
，则称满足条件的 的最大值为图形 关于点 “旋转最大值”(1)若 为原点， ， ，线段 绕点 顺时针旋转 的图形记为线段 ．
①画出线段 ；
②直接写出线段 关于点 的“旋转最大值”______；
(2)若 为原点， ， ， ，直接写出线段 关于点 的“旋转
最大值”______．
(3)若点 ，图形 是顺次连接 ， ， ， 所组
成的四边形，图形 关于点 的“旋转最大值”不超过 ，则 的取值范围是______．
6．定义：如图1，平面内有一点 到 的三个顶点的距离分别为 ，若有
，则称点 为 关于点 的勾股点．
【知识感知】
（1）如图2，在 的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， 的顶点在格点上，
则 这三个点中是 关于点 的勾股点的有______（填“ 、 ”）；
（2）如图3， 为等腰直角三角形， 是斜边 延长线上一点，连接 ，以 为直角边作等腰直角 （点 顺时针排列）， ，连接 ，求证：
点 为 关于点 的勾股点；
【知识应用】
（3）如图4，在等腰三角形 中， ， ，作 边上的中线 ．点
是 外一点，且点 是 关于点 的勾股点， ，求 的长；
【知识拓展】
（4）如图5， 是等边三角形，点 为平面内一点（不与点 重合），当点
是 关于点 的勾股点时，请直接写出此时 的度数．
类型十、跨学科问题
1．在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图．
(1)如图1所示的电路图中，三个开关并联成一个开关组A，其中只有开关 不能正常闭合，
若闭合其中任何一个开关，可以使灯泡发亮的概率是________；
(2)如图2，在图1的电路图中，各元件运作情况与（1）相同，新增一个开关组B，该组三
个元件均能正常使用，在A、B两个开关组中各闭合一个开关，用树状图或列表法求小灯
泡发亮的概率；
2．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡
兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．
在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡 的底部点 处，石块从投石机
竖直方向上的点 处被投出，在斜坡上的点 处建有垂直于水平面的城墙AB．已知，石
块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是 ， ， ， ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)通过计算说明石块能否飞越城墙AB；
(3)求出石块与斜坡 在竖直方向上的最大距离．
3．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
数学对物理学的发展起着重要的作用，物理学也对数学的发展起着重要的作用，莫尔斯所
说：“数学是数学，物理是物理，但物理可以通过数学的抽象而受益，而数学则可以通过
物理的见识而受益．”
以下是数学中常见的一个问题：
若 ，则 的最大值是多少？
设 ， ，则 ．
……
以下是物理中的一个问题：
物理学中的电路分为串联电路和并联电路，已知电路中有大小分别为 和 的两个电阻，
串联电路的电阻公式为 ，并联电路的电阻公式为 ．在某一段电路上
测得两个电阻的和为 ．若根据实际需要把这两个电阻并联在一起，则并联后总电阻的
最大值是多少？
任务：
(1)按照上面的解题思路，完成数学问题的剩余部分．
(2)若 ， 两数的和为定值，则 ， 满足______时， 的值最大．
(3)解决这个物理问题主要体现的数学思想是______．（填序号即可）
A．统计思想 B．分类思想 C． 模型思想
(4)物理问题中并联后总电阻的最大值是______ ．4．生物学上通常用“标记重捕法”来估算特定区域内某种群的数量．如在固定区域内用捕
虫网捕捉了40只田鼠，将它们标记后放回直到充分混合后，用同一个捕虫网捕捉了80只
田鼠，其中有16只是被标记的，于是估算该区域田鼠的数量为：
（只）．
某研究小组考察了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成，结果如下表，请回答问题：
…
年龄 A B C D
…
个体数 …
92 187 x y
量 …
注：表中“ ”表示鱼的年龄 年， 表示年龄 年， 表示年龄 年， 表示年
龄为 年．
(1)年龄为 ， ， 的个体数量的平均数为125，年龄在 ， ， ， 的个体数量的中
位数是95，则 ________， ________（其中 ）．
(2)若将年龄为 的鱼全部标记后并放回湖泊，充分混合后，捕捉120条鱼，其中被标记鱼
有12条，那么该湖泊里一共约有多少条鱼？
(3)现捕获A，B，C，D年龄段的鱼各一条，从中任抓两条，请用列表或画树状图求抓到的
是 和 年龄的鱼的概率．
5．【综合与实践】
【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂
的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余
质量随时间变化的数据．
【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化的数据 ，并分
别绘制在平面直角坐标系中，如图所示：任务一：求出函数表达式
（1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下 随 变化的函数关系，发现场景 的图象
是抛物线 的一部分，场景 的图象是直线 的一部分，分
别求出场景A、B相应的函数表达式；
任务二：探究该化学试剂的挥发情况
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂
在哪种场影下发挥作用的时间更长?
任务三：探究化学试剂对人体的影响情况
（3）因化学试剂对人体是有一定的影响的，若试剂挥发过程中剩余质量不大于1克对人体
影响最小，则哪个场景影响时间最少?
6．学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂
的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时
间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为 ， （单位：克）．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录 ， 与x的几组对应值如下：
x（分钟） 0 5 10 15 20 …
（克） 25 23.5 20 14.5 7 …
（克） 25 20 15 10 5 …(1)在同一平面直角坐标系 中，描出上表中各组数值所对应的点 ， ，并画
出函数 ， 的图象；
(2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分， 与x之间近似满足二次函数：
．场景B的图象是直线的一部分， 与x之间近似满足一次函数
（ ）．则 ， ， ；
(3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该
化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为 ， ，则 （填“ ”，“ ”或“
”）．
