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期末考前满分冲刺之中等易错题
【专题过关】
类型一、二次函数增减性最值与取值范围
1．点 是抛物线 上位于对称轴异侧的两点，且 ，
则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．根
据对称轴为： ，分类讨论 和 在对称轴的左右两侧，再根据 ，即
可求出 的值．
【详解】解：∵对称轴为直线：
∴对称轴为直线
当 在 的左侧，即 ，解得∴ ，解得
∴ 无解
当 在 的右侧，即 ，解得
∴ ，解得 ，
∴ ，
∵抛物线开口向下， ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的取值范围是： ．
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线 ．若 ，
为抛物线上三点，且总有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，
根据题意可知抛物线的开口向上，对称轴 ，再根据自变量 时，
，即可得出m的取值范围．
【详解】∵抛物线 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为 ．
∵ 时， ，
∴点A，B两点在对称轴的左侧，点C在对称轴的右侧，且点A到对称轴的距离大于点C
到对称轴的距离，点C到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，∴ ，
解得 ．
故选：D．
3．已知抛物线 经过点 和点 ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的最值，
熟知二次函数的对称性是解题的关键．
根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定 ，即可得到 ，由抛物线经过点
和点 得到 ，结合 即
可决定 的最小值．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵抛物线 经过点 和点 ，
∴点 和点 关于对称轴对称，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 时， 有最小值，
∴ ，
故选： C．4．二次函数 的图象经过点 ，向左平移 个单位长度后得到新
抛物线．
（1）抛物线 的对称轴为直线 ；
（2）若新抛物线有 ， 两点，且 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．解决本题的关键是根据二次函数的图象
的对称性求出抛物线的对称轴，再根据抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，确定点 、
与对称轴距离的远近．
根据当 时 和抛物线经过点过 ，可知点 和 关于对
称轴对称，可知抛物线的对称轴是直线 ；
根据抛物线向左平移 个单位长度，可知平移后新抛物线的对称轴是直线 ，
根据 可知点 离新抛物线的对称轴比 离新抛物线的对称轴远，所以可得 的中
点在对称轴的左侧，从而得到不等式 ，解不等式求出 的取值范围．
【详解】 当 时 ，
二次函数 的图象过 ，
又 二次函数 的图象过 ，
抛物线 的对称轴是直线 ，
故答案为： ；
解： 抛物线向左平移 个单位长度，
新抛物线的对称轴是直线 ，抛物线开口向下，
抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
，
离新抛物线的对称轴比 离新抛物线的对称轴远，
的中点在对称轴的左侧，
，
，
，
，
故答案为： ．
5．当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，则实数a的值
为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是
解题的关键．
先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为 ， 和
三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断．
【详解】解：∵ ，
∴二次函数对称轴为：直线 ，
∴在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而
减小；
①当 时，即 ，则最小值为 ，最大值为
，∵函数 的最大值与最小值的差为 ，
∴ ，
解得 （舍），
②当 时，即 ，
，则最小值 ，最大值 ，
∵函数 的最大值与最小值的差为 ，
∴ ，
解得 （舍）或 ，
，则最小值 ，最大值 ，
∵函数 的最大值与最小值的差为 ，
∴ ，
解得 或 （舍），
③当 时，即 ，则最大值为 ，最小值为
，
∵函数 的最大值与最小值的差为 ，
∴ ，
解得 （舍），
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．6．二次函数 在 内的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次函数的性质，能根据二次函数的性质求出函数的最值是解答本题
的关键．
根据二次函数的性质求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大
值即可．
【详解】解： 二次函数 ，
抛物线的开口向下，对称轴为 轴，
当 时， 有最大值，最大值为 ，
当 时， 有最小值，最小值为 ，
在 内 的取值范围是 ，
故答案为： ．
类型二、一次函数与二次函数的图象判断
1．函数 与 的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的图像特征，熟练掌握一次函数 在
k，b 取不同值的情况下所在的象限以及二次函数的有关性质，正确运用分类讨论的数学思
想是正确解题的关键．
【详解】解∶当 时， 的图象是开口向上的抛物线，函数 的图象过第
一、二、三象限，故C满足条件，A、B、D不满足条件．
当 时， 的图象是开口向下的抛物线，函数 的图象过第二、三、四象
限，且直线过定点 ， 个选项都不满足条件．
故选：C．
2．直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，
可以得到一次函数中 和 的正负情况和二次函数图象中 的正负情况，然后即可判断
哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：由一次函数的图象可知 ， ，
则抛物线 与 轴的交点在原点上方，故排除AB选项；
∵ ， ，
∴ ，∴抛物线 的对称轴直线 ，
即对称轴位于 轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意；
故选：D．
3．二次函数 与一次函数 在同一平面直角坐标系中的图象
可能是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的综合判断，根据一次函数和二次函数的
图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、由一次函数的图象可知： ，由抛物线的开口方向可知： ，不符
合题意；
B、由一次函数的图象可知： ，由抛物线的开口方向和对称轴的位置可知：
，符合题意；
C、由一次函数的图象可知： ，由抛物线的开口方向和对称轴的位置可知：
，不符合题意；
D、由一次函数的图象可知： ，由抛物线的开口方向可知： ，不符合题意；
故选B．4．如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直
线 ．直线 与抛物线 交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐
标小于3．有下列结论：① ；② ；③ （m为任意实数）；
④ ．其中正确的是 （填序号）．
【答案】
【分析】①根据③抛④物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点，可对①进行判断；利用抛物
线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点 右侧，则当x=−1时， ，于是
可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二次函数有最大值，可对③进行判断；
由于直线 与抛物线 交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于
3，利用函数图象得 时，一次函数值比二次函数值大，即 ，然后把
代入解a的不等式，则可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴ ，
∴ ，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点 左侧，
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点 右侧，
∴当x=−1时， ，
∴ ，所以②错误；
∵x=1时，二次函数有最大值，
∴m为任意实数时， ，
∴ ，即 ，所以③正确；
∵直线 与抛物线 交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于
3，
∴ 时，一次函数值比二次函数值大，
即 ，
而 ，
∴ ，解得 ，所以④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的
坐标特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
5．二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象一定不经过
象限．
【答案】四
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到 ， ，据此可得一次函数 的图象经过第一、二、三象限，
不经过第四象限．
【详解】解：∵二次函数开口向下，
∴ ，
∵对称轴在y轴右侧，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故答案为：四．
6．如图，二次函数 （ 是常数，且 ）的图象与正比例函数
y=kx(k≠0)的图象相交于 两点，若点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，二次函
数图象的对称轴是直线 ．下列结论： ； ； 关于 的方程
的两根为 ； ； ．其中正确的是 ．
（只填写序号）
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据所给图象可以得出 ， ，再结合
对称轴 ，即可判断 ；根据二次函数与正比例函数的交点坐标即可判断 ；由方
程 根与系数的关系即可判断 ；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题
的关键．
【详解】解：由图象可得， ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故 、 正确；
∵二次函数 的图象与正比例函数 的图象相交于 两点，点 的横
坐标为 ，点 的横坐标为 ，
∴关于 的方程 的两根为 ，故 正确；
由 得， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故 错误；
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，故 正确；
∴正确的是 ，
故答案为： ．
类型三、垂径定理的应用
1．如图，⊙ 的直径 ，弦 于点 ，若 ，则 的长为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接 ，由垂径定理求出 ，由勾股定
理求出 ，进而可求出 的长．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
在直角三角形 中， ，
，
∴ ．
故选C．
2．如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名，某地园林中有一个
圆弧形门洞，高为 ，地面入口宽为 ，则该门洞的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．设半径为 ，根据
垂径定理可以列方程求解即可．
【详解】解：设圆的半径为 ，由题意可知， ， ，
∴ ，
∴ 中， ， ，
所以 ，
解得 ．
故选：D．
3．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱
呈圆弧形，跨度约为 ，拱高约为 ，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．由题意可知， ， ，主桥拱半
径R，根据垂径定理，得到 ，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知， ， ，主桥拱半径R，，
是半径，且 ，
，
在 中， ，
，
解得： ，
故选：A．
4．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为 ，下雨前水面宽为 ，一场大雨过
后，水面宽为 ，则水位上升 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，分水位在圆心下以及圆心上两种情况，
画出符合题意的图形进行求解即可，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论的思想解答是解题
的关键．
【详解】解：如图，作半径 于 ，连接 ，
由垂径定理得， ，
∵直径为 ，
∴ ，
在 中， ，当水位上升到圆心以下 时，水面宽为 ，则 ，
在 中， ，
此时水面上升的高度为 ；
当水位上升到圆心以上 时，水面上升的高度为 ；
综上可得，水面上升的高度为 或 ，
故答案为： 或 ．
5．如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度 （弧
所对的弦）的长为8米，拱高 （弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的半径为
米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆 ，支撑杆 的
高度为 米．
【答案】 5 1
【分析】本题考查了矩形判定和性质、勾股定理、垂径定理的应用，解题关键是矩形判定
定理和垂径定理的应用．
根据垂径定理的推论得到圆心 在 的延长线上，设 的半径为 米，则
米．由垂径定理得到 米．由勾股定理得 ，得到方程，解方程即可
求出该圆弧所在圆的半径；过 点作 于 点，连 ，先求出 ，证明四边形 为矩形，则 ． ，求出 ．根据四边形
为矩形即可得到答案．
【详解】解： 垂直 ，点C是弧 中点，
圆心 在 的延长线上．
设 的半径为 米，则 米．
，
（米 ．
，
即 ，
解得 ．
过 点作 于 点，连接 ．
米，
（米 ．
，
四边形 为矩形，
， ，
（米 ．
米，
米．
米．
故答案为：5；1．
6．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林
中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为 ，地面入口宽为 ，该门
洞的半径为 ．【答案】
【分析】本题主要考查垂径定理的应用．设半径为 ，根据垂径定理和勾股定理列方程求
解即可．
【详解】解：设圆的半径为 ，
由题意可知， ， ，
，
中， ，即 ，
解得 ．
则该门洞的半径为 ．
故答案为：1.5．
类型四、二次函数与不等式
1．如图是抛物线 的部分图象，该图象的对称轴是直线 ，与 轴的一
个交点 的坐标是 ，则关于 的一元二次不等式 的解集是（ ）A． 或 B．
C． 或 D．
【答案】A
【分析】本题考查图象法解不等式，先根据对称性求出抛物线与 轴的另一个交点，图象
法求不等式的解集即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为 ，与 轴的一个交点 的坐标是 ，
∴与 轴的另一个交点坐标为 ，
由图象可知：一元二次不等式 的解集是 或 ；
故选A．
2．如图为二次函数 图象的一部分，与x轴的一个交点为 ，
对称轴为直线 ．当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的与x轴的交点问题，对称性．求出二次函数的图象与x
轴的另一个交点，再结合图象，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为 ，对称轴为直线 ．∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为(1,0)，
∴当 时，x的取值范围是 ．
故选：C
3．二次函数 的部分图象如图，当 时， 的取值范围为（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据图象可得对称轴为直线 ，则另一个交
点为 ，进而根据 ，写出 的取值范围，即可求解．
【详解】解：依题意，抛物线的对称轴为直线 ，与 轴的交点为 和 ，抛物
线开口向下，
当 时，图象在 轴的下方，
∴ 或 ，
故选：C．
4．如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为 ， ，则不
等式 的解集是 ．【答案】 或 / 或
【分析】本题考查利用图象的交点解决不等式的解集问题．解题的关键是：利用数形结合
的思想确定图象的位置关系．
利用图象找到抛物线在直线上方时的 的取值范围，即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴化为抛物线 在直线 上方，
由图可知：
当 或 时，抛物线在直线上方，即： ；
∴不等式 的解集是： 或 ；
故答案为： 或 ．
5．如图抛物线 与直线 交于点 ， ，则关于 的不等式
的解集是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查利用图象解不等式，抛物线的性质，利用数形结合的思想是解题关键．
根据题意可得出 ，设 ，即求抛物线位于一次函数 的图象下方时，x的取值范围即可．根据抛物线的对称性，结合题意可得出抛物线
与直线 交于点 ， ，进而即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
设 ，
∵抛物线 与直线 交于点 ， ，直线 与直线
关于y轴对称，抛物线 关于y轴对称，
∴抛物线 与直线 交于点 ， ，
∴当 或 时，抛物线位于直线 的下方，即此时 ，
∴不等式 的解集是 或 ．
故答案为： 或 ．
6．如图，已知二次函数 与一次函数 的图象相交于点
， ，则 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象求不等式的解，关键在于认准在上
方与下方的函数图象所对应的函数解析式，数形结合是数学中的重要思想之一．根据图象，
找出二次函数图象在一次函数图象下方的部分的x的取值范围即可．【详解】解∶由图形可得，当 时，二次函数图象在一次函数图象下方， ，
所以，
使 成立的 的取值范围是 ．
故答案为∶ ．
类型五、求二次函数解析式
1．如果一条抛物线的形状和开口方向与 相同，且顶点坐标是 ，则它的解
析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，设抛物线的顶点式为
，再由顶点坐标是 ，确定解析式即可．
【详解】解： 一条抛物线的形状和开口方向与 相同，
，
顶点坐标是 ，
∴它的解析式为 ，
故C满足条件，
故选：C．
2．已知一个二次函数 的自变量 与函数 的几组对应值如下表：
… 0 1 2 3 …
… 5 1 1 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．表格中 的值大于零C．函数的最小值是 D．当 时， 的值随 值的增大而增大
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析
式及二次函数的图象与性质．根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选
项依次进行判断即可解决问题．
【详解】解：由题意知： ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴图象的开口向上，故选项A错误；
当 时， ，故选项B错误；
∵ ，
∴函数的最小值是 ，故选项C正确；
当 时， 的值随 值的增大而增大；当 时， 的值随 值的增大而减小，故选项
D错误；
故选：C．
3．已知抛物线 （m，n是实数且 ）经过 ．
（1）若 ，则该抛物线的顶点坐标为 ；
（2）若该二次函数满足当 时，总有y随x的增大而减小，则代数式 的最小
值为 ．【答案】 5
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数的图象和性质．
（1）将 代入 得 ，再将(2,1)代入 得 ，
再将抛物线解析式变形为顶点式即可得顶点坐标；
（2）当 时，总有y随x的增大而减小，则 ， ，由抛物线过点 得
，代入 得 ，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线过点(2,1)， ，
∴抛物线 ， ，
解得 ，
，
∴顶点坐标为 ，
故答案为： ；
（2）∵抛物线过点 ，
，
，
当 时，总有y随x的增大而减小，
， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴函数的对称轴为直线 ，
∴当 时， 随 增大而减小，∴当 时，函数取得最小值为5，
即 的最小值是5．
故答案为：5．
4．二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则n的值为 ．
x 0 1 3 4
y 7 n 2
【答案】
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握用待定系数法求出二次函数的解
析式的方法是解题的关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解．
【详解】解：把点 代入 中，得：
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ，
当x=−1时， ．
故答案为： ．
5．如图，已知二次函数 的图象经过点 ．(1)求二次函数的解析式；
(2)判断点 是否在该二次函数的图象上，如果在，请求出 的面积；如果不在，
试说明理由．
【答案】(1)
(2)点 在二次函数图象上，6
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）写出两点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把 代入，进行判断，利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过 ，
∴抛物线的解析式为： ，
把 代入，得： ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴当 时， ，
∴点 在二次函数图象上，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
6．如图，抛物线 经过点 ，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为点D，与x轴另一交点为C，对称轴与x轴交于点E，连接 、 ，
求 的面积．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2) 的面积为8
【分析】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法求
二次函数解析式是解题的关键．
（1）代入 到 ，解方程组求出a、c的值即可解答；
（2）利用二次函数解析式求出C、D坐标，再利用三角形面积公式即可．
【详解】（1）解：代入 到 ，得 ，
解得： ，
抛物线的解析式为 ．
（2）对称轴 ，
代入 ，则 ，
，
，
令 ，则 ，解得： ， ，
，
，
，
的面积为8．
类型六、二次函数的应用
1．如图1，发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部 处，以点 为原
点，水平方向为 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一
个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线 的一部分，若发射石块在空中飞
行的最大高度为15米，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数
的性质是解题的关键．根据石块在空中飞行的最大高度为15米，得到抛物线解析式为
，将点 代入，求得 ，即得抛物线解析式为
．【详解】解： 发射石块在空中飞行的最大高度为15米，
抛物线解析式为： ，
将点 代入，得 ，
解得： ，
抛物线解析式为， ，
故选A．
2．掷实心球是2025年体育中考的项目之一，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若
不考虑空气阻力，实心球的飞行高度 (米)与飞行的水平距离 (米)之间具有函数关系
则小明这次实心球训练的成绩为( )
A． B．12 C．8 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用，求小明这次实心球训练的成绩，即求 时 的值
．
【详解】解：令 ，即
解得： 或 （舍去）
故选：D．
3．兰州牛肉拉面以其独特的风味火遍全国，是行走的兰州历史文化代表．如图，是一个面
碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口
宽 ，碗深 ，则当满碗汤面的竖直高度下降 时，碗中汤面的水
平宽度为 （碗的厚度不计）．
【答案】【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意，求出抛物线表达式为 ，进而根据
题得出 ，代入进行计算即可求解．
【详解】解：根据题意得抛物线经过点 ，
设抛物线表达式为 ，代入得 ，
解得：
∴抛物线表达式为 ，
∵当满碗汤面的竖直高度下降 时，
∴碗中汤面高度为 ，
当 时，
解得： ，
∴碗中汤面的水平宽度为 ，
故答案为： ．
4．如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发，以
的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以 的速度沿 运动，当点Q到达C时，
P、Q两点同时停止运动，则 的最大面积是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性
质是关键．
依据题意，设动点运动的时间为t s，从而 ，故，再结合二次函数的性质可以判断得解．
【详解】解：根据题意，点 运动的时间为 ，点 运动的时间为 ，设
动点运动的时间为 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的最大面积为： ，
故答案为： ．
5．如图所示，一条内设双行道的隧道的截面由抛物线 和矩形 构成（两条道路
之间的距离忽略不计，矩形的长 为 ，宽 为 ，以 所在的直线为x轴，线段
的的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标
原点O的距离为 ．
(1)求拋物线对应的函数表达式；
(2)一辆货运卡车高4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？
(3)如果在隧道正中间设一个0.4m的隔离带，那么（2）中的货运卡车还能通过隧道吗？
【答案】(1)
(2)能通过
(3)能通过
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）抛物线的解析式为 ，根据E点及D点的坐标由待定系数法就可以求出结论；
（2）当 时代入（1）的解析式求出y的值和高作比较，就求出结论；
（3）据题意，求出当 或 时，对应的y值，与高 相比较，
即可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意， ．
设抛物线的解析式为 ，把 代入得
．
得 ．
抛物线的解析式为 ；
（2）解：根据题意，把 代入解析式 ，
得 ．
∵ ，
∴货运卡车能通过；
（3）解：根据题意， 或 ，
把 代入解析式 ，
得 ．
∵ ，
∴货运卡车能通过．
6．随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计
划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y
（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
时 第二
第一天 第三天 第四天
间 天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：(1)求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
(2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求
出最大利润.（利润 销售额 成本）
【答案】(1)日销量y关于每袋售价x的函数关系式为
(2)每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量
关系．
（1）设日销售量y（袋）和每袋售价x（元）的函数关系式为 （ ）代入数据，
利用待定系数法即可求解；
（2）设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为 袋，成本为 ，总利润为
W元，根据销售利润 销售每袋土特产的利润 每日的销售量，得到 与 的函数关系式，
再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设 （ ）
将 ， 代入 ，
得
解得 ，
∴日销量y关于每袋售价x的函数关系式为 ；
（2）解：设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为 袋，成本为 ，总利
润为W元，
（ ）
，当 时，W最大，最大值为225
答：每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元．
类型七、一元二次方程的应用
1．某超市一月份的营业额为 万元，已知第一季度的总营业额共 万元．如果平均每
月增长率为 ，则由题意列方程应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的实际问题中的增长率问题，找到等量关系是解题的关
键．
先得到二月份和三月份的营业额，等量关系为：一、二、三月份的营业额的和 万元，
把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得，二月份的营业额为 ，
三月份的营业额为 ，
∴ ．
故选：D．
2．为了庆祝教师节，市教育工会组织篮球比赛，赛制为单循环比赛（即每两个队比赛一
场）共进行了10场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这次参加比赛的球队个数为 个，根据“赛
制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了10场比赛”，列出关于 的一元二次
方程，解之即可．正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设这次参加比赛的球队个数为 个，
根据题意得： ，解得： （舍去）， （舍去），
即这次参加比赛的球队个数为5个，
故选：B．
3．在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播
后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达 ，那么每轮传播中平均一人
传播了多少人？设每轮传播中平均一人传播了x人，列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设每轮
传播中平均一人传播了x人，根据经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小
区中的知晓率达 ，列出一元二次方程即可．
【详解】解：设每轮传播中平均一人传播了x人，
根据题意得： ，
即： ．
故答案为： ．
4．某超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为1000元．因销量持续攀升，商家在 月份提价
，后发现销量锐减，于是经过核算决定在 月份售价的基础上， ， 月份按照相同的
降价率 连续降价．已知 月份礼盒的售价为 元，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．4月份价格从 元开始降价，如
果两个月平均降价率为r，根据“5月份的售价为 元”作为相等关系得到方程
求解即可．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ， （不合理舍去）．
所以4，5月份两个月平均降价率为 ．即 ．故答案为： ．
5．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌
头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月
份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售
量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为
元，月销售量为 ．
①直接写出 关于 的函数关系式；
②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应
定为多少元？
【答案】(1)
(2)① ，②60元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为m，利用该品牌头盔6月份的销售量 该品牌头盔
4月份的销售量 该品牌头盔销售量的月增长率 ，可列出关于m的一元二次方程，解
之即可得出m的值；
（2）①利用月销售量 （该品牌头盔的售价 ），即可找出y关于x的函数关
系式；
②利用总利润 每个的销售利润 月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x
的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为m，
依题意，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为 ；
（2）解：①依题意，得：
；②依题意，得：
，
解得： ， ，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴ ．
答：该品牌头盔的实际售价应定为60元．
6．自今年4月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建
一个面积为 的长方形精品花售卖区 （如图）．为了节省材料，售卖区的一边
利用原有的一道墙，另三边用总长为 的栅栏围成， 边留有 宽的门 ．
(1)若售卖区垂直于墙的边 的长为 ，则边 的长为_____ ．
(2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？
【答案】(1)
(2)长为 ，宽为 或长为 或宽为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
（1）设垂直于墙的边长为 ，可得平行于墙的边长为 ，整理即可；
（2）根据矩形的面积公式结合养鸡场的面积为 ，列出一元二次方程，解之即可得出
结论．
【详解】（1）解：∵售卖区垂直于墙的边 的长为 ，
∴边 的长为 ．
（2）解：依题意，得 ，整理，得 ，
解得 ， ．
当 时， ；当 时， ．
答：售卖区的长为 ，宽为 或长为 ，宽为 ．
类型八、圆中的性质与判定
1．如图，在平面直角坐标系 中，点 在 轴负半轴上，点 在 轴正半轴上， 经
过 ， ， ， 四点， ， ，则圆心点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，勾股定理和含 度的直角
三角形的性质，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键．利用圆内接四边形的性质得到
，再根据圆周角定理的推论得到 为 的直径，则 点为 的中点，接
着利用含 度的直角三角形三边的关系得到 ， ，所以 ， ，
然后利用线段的中点坐标公式得到 点坐标．
【详解】解：∵四边形 为圆的内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为 的直径，∴ 点为 的中点，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ， ，
∴ 点坐标为 ，
即 ，
故选：B．
2．如图， 的内切圆 与 分别相切于点 ，连接 ，
， ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，由题意，先利用勾股定理求出 的长度，设半径为r，然后求出内切
圆的半径，再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案．
【详解】解：连接 ，如图：在 中， ， ， ，
由勾股定理，则
，
设半径为r，则 ，
∵ 的内切圆 与 分别相切于点 ，
∴ ， ，
∴四边形CEOF是正方形；
∴ ，
由切线长定理，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
∴阴影部分的面积为： ；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，切线长定理，求扇形的面积，勾股定
理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
3．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图， ，
分别与 相切于点 ， ，延长 ， 交于点 ．若 ， 的半径为
，则图中 的长为 ．（结果保留 ）
【答案】
【分析】此题考查了圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，连接
，利用切线的性质得到 ，根据四边形的内角和求得
，再利用弧长公式求得答案，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是
解题的关键．【详解】解：如图，连接 ，
∵ ， 分别与 相切，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ，
故答案为： ．
4．如图， 是 的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在 上， 切
于点E．若 的周长为12，则 的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理，
结合题意可知 ，以及 ， ，再结合 的周长为12，即可求出
的长．
【详解】解： 是 的切线，切点分别为A，B，
，
又 切 于点E，
， ，
的周长为12，
，
，
．
故答案为：6．5．如图，在 中， ， 为 上一点，以 为直径的 上一点 在
上，且 平分 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质等知
识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）连接 ，根据平行线的判定得出 ，进而得到 ，根据切线的判定
可得出结论；
（2）根据勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，
∵ 为半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：设 ，
在 中， ， ，
∴ ，
由勾股定理，得
解得： ，
∴ ，
∴ ．
6．如图， 中， ，点D在 边上，以AD为直径作 交BD的延长
线于点E， ．
(1)求证：CE是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定和
勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意得 ，由 ，可得 ，
再根据 可得 ，可推出 ，即可证明；
（2）由 ， ，可得 ，设 半径为 ，在 中，由勾股定理列方程，即可求解．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
，又 是 的半径，
是 的切线；
（2）解： ， ，
，
，
设 的半径为 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即
解得： ，
的半径为 ．
类型九、统计与概率结合
1．本学期开学以来，初三年级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解体育科目训练的效果，
学校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果分为四个
等级， 等：优秀； 等：良好； 等：及格； 等：不及格），并将结果汇成了如图
所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：(1)本次抽样测试的学生人数是______人；
(2)图 扇形图中 等所在的扇形的圆心角的度数是______；
(3)我校九年级有 名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数
为______人；
(4)已知得 等的同学有一位男生，体育老师想从 位同学中随机选择两位同学向其他同学
介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)选中的两人刚好是一男一女的概率为 ．
【分析】（ ）根据B级的人数除以 级所占的百分比，可得答案；
（ ）先求出 等级的人数，再求出 等级所占比例，根据圆周角乘以 等级所占的比例，
可得扇形的圆心角；
（ ）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以 级所占的比例，可得答案；
（ ）根据题意画出树状图表示出所有等可能的情况，找到符合题意的情况，再利用概率
公式计算即可；
本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概
率．根据条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键．
【详解】（1）解：本次抽样测试的学生人数为 （人），
故答案为： ；
（2）解： 等级的人数为 （人），
∴ 等所在的扇形的圆心角的度数 ，
故答案为： ；（3）解： （人），
故答案为： ；
（4）解：画树状图为：
∴共有 种等可能的结果数，其中选中的两人刚好是一男一女的结果数为 ，
∴选中的两人刚好是一男一女的概率 ．
2．某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：A．文学院，B．小小数学家，
C．小小外交家，D．未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学
生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有____________人；
(2)请你将条形统计图（2）补充完整；
(3)在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同
学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图
或列表法解答）.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识，
掌握列表法求概率是解题的关键．
（1）由 是 ， 的人数为 人，即可求得这次被调查的学生总人数；
（2）求得 的人数，即可将条形统计补充完整；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、
乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】（1）解：这次被调查的学生共有： (人)，
故答案为： ；
（2）解：如图， 有人数： (人)，
（3）解：画树状图得：
∵共有 种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有 种情况，
∴恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为： ．
3．某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结
果整理后绘制了如下不完整的统计图表．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长
人数
2025
15
10
学生平均每天阅读时长情况扇形统计图
根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了 名学生，统计表中 ；
(2)该校某同学从《朝花夕拾》、《红岩》、《骆驼祥子》、《西游记》四本书中选择两本
进行阅读，这四本书分别用相同的卡片 标记，先随机抽取一张卡片后不放回，
再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西
游记》两本书的概率．
【答案】(1)100，30
(2)
【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和画树状图法求
等可能事件的概率，
（1）将 组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以
组的百分比即可求出a的值；
（2）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和
《西游记》的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【详解】（1）解：∵ 组的人数为25，占比为 ，且 ，
∴本次调查共抽取了100名学生；
∵ 组占比 ， ，
∴ ，故答案为：100，30；
（2）解：《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，
B，C，D标记，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即A和D有2种
可能的情况，
∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的） ．
4．深圳市某中学组织学生开展了“青春心向党，红色永传承”党史知识竞赛，为了解学生
对党史的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个
等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
(1)本次共抽取了 名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
(2)若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数为 人；
(3)学校在竞赛成绩为A 等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加学校党
史报告活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
【答案】(1)400，见解析
(2)800
(3)
【分析】本题考查条形图与扇形图的综合应用，利用样本估计总体，树状图求概率，从统
计图中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）用C等级的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出D等级的人数，补全条形图即可；
（2）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解： （名）；
D等级人数为： ，补全条形图如图：
故答案为：400．
（2） （人）；
故答案为：800
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种
∴P（甲、乙两人同时被选中） ．
5．某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并
且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生
中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整的统
计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有 人；
(2)请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；
(3)若该校共有学生 人，选择乐器的学生大约有多少人？
(4)通过了解，喜爱“航模”的学生中有 名男生和 名女生曾在市航模比赛中获奖，现从
这 个人中随机选取 人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的
人恰好是 名男生和 名女生的概率．
【答案】(1)
(2)补图见解析，
(3) 人
(4)
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，列表法或树状图求概率，熟
练掌握统计图的特征和求概率的方法是解题的关键．
（1）根据摄影的人数和所占的百分比即可求出抽取的总人数；
（2）用总人数减去其他兴趣小组的人数求出航模的人数，从而补全统计图；用 乘以
“航模”所占的百分比即可得出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；
（3）利用样本估计总体即可求出；
（3）先列表或画树状图，再利用概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：由“摄影” 人，占被调查总人数的 ，
则本次被调查的学生有： （人）；
故答案为： ；
（2）解：航模的人数有： （人），补全条形统计图如图：
则“航模”所对应的圆心角的度数是： ；
（3）解：选择乐器的学生大约有 （人），
答：若该校共有学生 人，选择乐器的学生大约有 人；
（4）解：设两名男生分别为男 ，男 ，两名女生分别为女 ，女 ，列表如下：
男 男 女 女
男 （男 ，男 ） （女 ，男 ） （女 ，男 ）
男 （男 ，男 ） （女 ，男 ） （女 ，男 ）
女 （男 ，女 ） （男 ，女 ） （女 ，女 ）
女 （男 ，女 ） （男 ，女 ） （女 ，女 ）
共有 种等可能结果，其中是 名男生和 名女生的情况有 种，
则所选的 人恰好是 名男生和 名女生的概率是 ．
6．2023年2月27日，全省教育工作会议召开，会议提出实施铸魂育人提升工程，全面提
升学生综合索质．为落实会议精神，教务处组织综合实践活动小组的同学们针对“七年级
学生最关心的问题”，在全校七年级学生中进行了问卷调查，调查表如图所示，调查表全
部收回且全部有效．统计过程中，调查小组将结果绘制成图1和图2统计图（均不完整）．
请根据图中提供信息，解答下列问题：
七年级学生最关心的问题问卷调查表
亲爱的同学：你好！
这是一份关于七年级学生最关心的问题的问卷调查表，采用无记名方式，请在表格中选
择一项你最关心的内容，在其后空格内打“√”，非常感谢你的合作！(1)此次抽样调查中，共调查了 名学生；
(2)将图1补充完整，图2中表示学生最关心“课余生活”的圆心角度数为 度；
(3)该小组要根据调查结果总结汇报，假如你是小组成员，请结合两个统计图，写出一条你
获取的信息；
(4)已知甲、乙、丙、丁、戊无名学生都最关心“学习成绩”，总这五人中随机先后选取两
人参加“作业布置和完成情况”单独面谈，请用列表或树状图的方法，求恰好选中甲，乙
两人的概率．
【答案】(1)300
(2) ，图见解析
(3)见解析
(4)
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联、用列表或画树状图的方法求
概率等知识点，正确理解题意，从统计图中获取需要数据是解题的关键．
（1）用最关心问题D的人数除以其所占百分比即可解答；
（2）用调查总人数分别减去最关心A、C、D、E的人数，然后补全条形统计图，再用其所
占的比例乘以 即可；
（3）根据两个统计图所给数据，进行分析即可；
（4）根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再利用概率公式解即可．
【详解】（1）解： （人）；
故答案为：300．
（2）解：最关心问题D的人数为： （人）
补全条形统计图如图所示；
学生最关心“课余生活”的圆心角度数为 ，
故答案为：126．
（3）解：答案不唯一．例如：七年级学生最关心“课余生活”的人数最多；七年级学生最
关心 “学习成绩”的人数占 ；七年级学生最关心“热点时事”的人数最少．
（4）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁 戊
（乙， （丁，
甲 （丙，甲） （戊，甲）
甲） 甲）
（丁，
乙 （甲，乙） （丙，乙） （戊，乙）
乙）
（乙， （丁，
丙 （甲，丙） （戊，丙）
丙） 丙）
（乙、
丁 （甲，丁） （丙、丁） （戊，丁）
丁）
（乙， （丁，
戊 （甲，戊） （丙，戊）
戊） 戊）
由列表可知，从这五人中随机先后选取两人总共有20种结果，每种结果出现的可能性都相
同，其中恰好选中甲，乙两人的结果有2种．
所以恰好选中甲，乙两人的概率 ．类型十、概率问题
1．第八届丝博会于2024年9月 20日至24日在西安国际会展中心举办．本届丝博会以
“深化互联互通·拓展经贸合作”为主题．在丝博会举办之际，某机构计划向全市中小学生
招募“丝博小记者”．某校现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选．
(1)若先从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是 ；
(2)若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法求出一男一女当
选的概率．
【答案】(1)
(2)一男一女当选的概率为 ．
【分析】本题考查了用列举法求概率，熟练掌握用列表或画树状图的方法求概率是解题的
关键．
（1）根据概率公式计算即可解答；
（2）画出树状图列出所有可能，得到12种等可能的结果，一男一女当选的有8种，根据
概率公式计算即可解答．
【详解】（1）解： 甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选，
从这四位竞选者中随机选出一位小记者，选到男生的概率 ，
故答案为： ．
（2）根据题意，画出树状图，如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，一男一女当选的有8种，
（一男一女当选） ．
答：一男一女当选的概率为 ．
2．2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，
B，C，D，浔阳体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑
板）的概率是 ．
(2)体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽
取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，
并求体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接运用概率公式求解即可；
（2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是共“ ”
和“ ”的结果有2种，最后由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
【详解】（1）解：∵2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀
岩，依次记为 ，
∴小明想从中随机抽取一张，恰好抽到是 （滑板）的概率是 ；
故答案为： ；
（2）解：画树状图如下：
，
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“ ”和“ ”的结果数为2，
体育老师抽到的两张卡片恰好是 （滑板）和 （运动攀岩）的概率是 ．
3．将数 ， ， 分别写在三张相同的不透明卡片的正面，将卡片洗匀后背面朝上置
于桌面，甲、乙两个同学从中随机各抽取一张卡片（注：第一个同学抽取到的卡片不放
回）．(1)甲同学抽到的卡片上数字是 的概率是 ；
(2)求甲、乙两个同学抽到的卡片数字的积是有理数的概率（用画树状图或列表的方法求
解）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率计算；
（1）用列举法列出结果，用概率计算公式 ，即可求解；
（2）画树状图法或列表法，利用概率计算公式 ，即可求解；
能用画树状图法或列表法求概率是解题的关键．
【详解】（1）解：共有 ， ， ， 种结果，
甲同学抽到的卡片上数字是 的概率 ，
故答案： ；
（2）解：画树状图如下：
共有 种等可能结果，
，
，
，
即只有 ， 的积是有理数，
甲、乙两个同学抽到的卡片数字的积是有理数的结果数为 种，∴ (甲、乙抽到的卡片数字的积是有理数) ．
4．作为《黑神话•悟空》的创意来源之一，山西古建筑随着游戏的火爆收获无数关注，吸
引大量游客前来旅游打卡，小军和小勇准备到山西旅游打卡，他们选了四处影点．门票价
格分别为30元、50元、60元、100元，他们决定用转盘游戏决定地点．如图是一个可以自
由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分
别标上30元、50元、60元、100元．（当指针落在边界线上时，重新转动一次，直到指针
指向某一区域内为止）
(1)若转动转盘一次，则指针落在30元区域的概率为______．
(2)小军和小勇每人转动转盘一次，当转盘停止时，记下各自指针所指区域内对应的金额，
请用画树状图或列表法求两次所得金额之和小于100元的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了概率的应用，掌握树状图或列表法是解题关键．
（1）根据概率的定义即可求解；
（2）画出树状图确定全部可能结果以及满足条件的情况，即可求解．
【详解】（1）解：∵转盘被分成了大小相同的4个扇形，
∴若转动转盘一次，则指针落在30元区域的概率为： ，
故答案为： ；
（2）解：画出树状图如下：
30元 50元 60元 100元
30元 60元 80元 90元 130元
50元 80元 100元 110元 150元60元 90元 110元 120元 160元
100元 130元 150元 160元 200元
共有16种机会均等的结果，其中两次所得金额之和小于100元的情况有5种．
∴两次所得金额之和小于100元的概率为 ．
5．一个不透明的袋中装有分别标着汉字“百”、“廿”、“钟”、“英”的四个小球，除
标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅匀．
(1)从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“百”的概率是______；
(2)先从袋中任意摸出一个球，不放回，再从袋中任意摸出一个球，求摸到的两个球上的汉
字恰好能组成“钟英”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了列表法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表
法或树状图法求概率以及概率公式是解题的关键．
（1）直接利用概率公式计算概率即可；
（2）先列出表格，得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球上的汉字恰好能组成“钟
英”的结果数，然后利用概率公式计算概率即可．
【详解】（1）解：由题意可得，从袋中摸出一个球，一共有 种等可能的结果，其中球上
的汉字刚好是“百”的结果有 种，
球上的汉字刚好是“百”的概率为 ，
故答案为： ；
（2）解：列表如下：
百 廿 钟 英
（百，
百 （百，钟） （百，英）
廿）
廿 （廿，百） （廿，钟） （廿，英）
（钟，
钟 （钟，百） （钟，英）
廿）（英，
英 （英，百） （英，钟）
廿）
由表格可知，共有 种等可能出现的结果，其中摸到的两个球上的汉字恰好能组成“钟
英”的结果有 种，
摸到的两个球上的汉字恰好能组成“钟英”的概率 ．
6．一个不透明的袋中装有1只红球、1只绿球和2只篮球，这些球除颜色外完全相同．
(1)从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率为_____________；
(2)从袋中一次随机摸出2只球，通过树状图或列表法求这2只球颜色不同的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．
（1）根据概率公式直接求解；
（2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后
利用概率公式求解．
【详解】（1）解：从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率为 ，
故答案为： ；
（2）解：列表如下：
红 绿 蓝 蓝
红 红绿 红蓝 红蓝
绿 绿红 绿蓝 绿蓝
蓝 蓝红 蓝绿 蓝蓝
蓝 蓝红 蓝绿 蓝蓝
∴共有12种可能结果，其中2只球颜色不同的有10种，
∴P（2只球颜色不同） ．
