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专题 26.2 反比例函数的应用
◆ 典例分析
【典例1】某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段
的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB、BC表
示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃；
（2）若大棚内的温度低于12℃时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？
【思路点拨】
本题考查了一次函数、反比例函数的应用，掌握待定系数法是关键．
（1）设线段AB解析式为y=kx+b(k≠0)，根据图象求出函数解析式，再求出恒定温度即可；
（2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利
用待定系数法即可求出反比例函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出y=12时x的值，进而即可求
解．
【解题过程】
（1）解：设线段AB解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵线段AB过点(0,10)，(2,14)，
{ b=10 )
∴ ，
2k+b=14
{k=2
)
解得 ，
b=10
∴线段AB的解析式为：y=2x+10(0≤x≤5)
当x=5时，y=20，∴这个恒温系统设定的恒定温度为：20℃．
（2）解：根据解析（1）可知，线段AB的解析式为：y=2x+10(0≤x≤5)
当x=5时，y=20，
∴B坐标为(5,20)，
∴点C的坐标为(10,20)，
∴线段BC的解析式为：y=20(5≤x≤10)，
m
设双曲线CD解析式为：y= (m≠0)
x
∵C(10,20)，
∴.m=200，
200
∴双曲线CD的解析式为：y= (10≤x≤24)，
x
∵当0≤x≤5时，12=2x+10，
∴x=1，
200
∵当10≤x≤24时，12= ，
x
50
∴x= ，
3
50 47
∴气温不低于12℃的适宜温度是： −1= (h)．
3 3
47
答：这天内有 小时水果生长不受伤害．
3
◆ 学霸必刷
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度
v（单位：km/min）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内
赶到学校，那么他骑行的速度至少是（ ）A．0.2km/min B．0.25km/min C．0.3km/min D．0.4km/min
【思路点拨】
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．利用待定系数法求出反比例函数解
析式，进而代入数据得出答案．
【解题过程】
k
解：设t= ，当v=0.15时，t=20，
v
解得：k=0.15×20=3，
3
故t与v的函数表达式为：t= ，
v
∵为了不迟到，需不超过15分钟赶到学校，
3
∴ ≤15，
v
解得：v≥0.2，
∴他骑车的速度至少是0.2km/min．
故选：A．
2．（2024·广东·模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单
位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于144kPa
时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ）
2 2 3 3
A．不大于
m3
B．不小于
m3
C．不大于
m3
D．不小于
m3
3 3 2 2
【思路点拨】
本题考查了反比例函数的实际应用，求反比例函数的解析式，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解反
k
比例函数解析式的方法和步骤，设该反比例函数的解析式为p= ，把(1.5,64)代入求出k=96，得出该反
V
96 2
比例函数的解析式为p= ，再把p=144代入求出V = ，根据反比例函数的增减性，即可解答．
V 3【解题过程】
k
解：设该反比例函数的解析式为p= ，
V
k
把(1.5,64)代入得：64= ，
1.5
解得：k=96，
96
∴该反比例函数的解析式为p= ，
V
96
把p=144代入得：144= ，
V
2
解得：V = ，
3
∵k=96>0，
∴在第一象限内，p随V的增大而减小，
2
∴为了安全起见，气球的体积应不小于
m3
，
3
故选：B．
3．（2024·湖北·模拟预测）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的
变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I/A．与电阻R(Ω)的关系图象，该图象经过点P(880，0.25)．
根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当I<0.25时，R<880
200
B．I与R的函数关系式是I= (R>0)
R
C．当R>1000时，I>0.22
D．当8800)，将P(880，0.25)代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，
R即可判断是否正确，进而得到答案．
【解题过程】
U
解：设I与R的函数关系式是I= (R>0)，
R
∵该图象经过点P(880，0.25)，
U
∴0.25= ，
880
∴U=220，
220
∴I与R的函数关系式是I= (R>0)，故B不符合题意，
R
220
当R=1000时，I= =0.22，
1000
∵220>0，
∴I随R增大而减小，
∴当I<0.25时，R>880，
当R>1000时，I<0.22，
当8800，∴在第一象限内，y随x的增大而减小，
即录入时间不超过15分钟时，每分钟至少应录入100字，说法错误，符合题意；
1500
D、当x=125时，y= =12，
125
1500
当x=125×(1+20%)=150时，y= =10，
150
∵12−10=2（分钟），
即比原计划提前2分钟完成任务，说法正确，不符合题意；
故选：C
6．（2024·广西柳州·三模）伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支
点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力F (N)和
1
阻力臂L (m)的函数图象如图所示，若小明想使动力F 不超过120N，则动力臂L （单位：m）需满足
1 2 2
（ ）
A．L <5 B．L >5 C．L ≥5 D．0y ，y′ x y′ =k，即丙投进次数比乙、丁两人投进次数多，即甲投篮得分比乙、丁两人投篮得分多；
3 3 3 3
综上所述：甲投篮得分<乙投篮得分=丁投篮得分<丙投篮得分，
∴在这次篮球比赛中投篮得分最多的是丙，
故选：C．8．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升10°C，温度到100°C停
止加热．然后水温开始下降，此时水温y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系，水温降至30°C时，饮水
机重复上述程序开始加热，加热时水温y(℃)与时间x(min)的关系如图所示．水温从30°C开始加热至
100°C，然后下降至30°C这一过程中，水温不低于50°C的时间为 min．
【思路点拨】
本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将y=50代入两个函数求得
两个时间相减即可确定答案．
【解题过程】
解：设一次函数关系式为：y=k x+b，
1
{ b=30 )
将(0,30)，(7,100)代入y=k x+b，得 ，
1 7k +b=100
1
{b=30)
解得 ，
k =10
1
∴y=10x+30(0≤x≤7)，
k
设反比例函数关系式为：y= ，
x
将(7,100)代入，得k=700，
700
∴y= ，
x
y=10x+30(0≤x≤7)中，
令y=50，解得x=2；
700
反比例函数y= 中，令y=50，解得：x=14，
x
∵14−2=12（min），
∴水温不低于50°C的时间为12min．故答案为：12．
9．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年实验后，首次用于临
床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示，其中
4 小时后y是关于x的反比例函数．由图像计算可知血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为
小时．
【思路点拨】
本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，根据图象求出一次函数和反比例函数的表达式是解答本题
的关键．分别求出当0100时，y与x之间的函数关系式为y= ，
x
∵经过点(100,9.5)，
k
∴ =9.5，
100
950
解得k=950，即y= ；
x
（2）解：令y=0.1x−0.5=5，
解得x=55，
950
令y= =5，
x
解得x=190，
∴一次服药后的有效视角为：190−55=135（分钟），超过130分钟．
13．（23-24八年级下·全国·单元测试）某草莓生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在
自然光照且温度为18°C的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后大棚内
k
温度y(°C)随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线y= 的一部分．请根据图象信息解答
x
下列问题：（1）求k的值；
（2）当x=16时，大棚内的温度约为多少？
（3）一天24小时大棚内温度超过12°C的时间有多少小时？
【思路点拨】
此题主要考查了反比例函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式等知识，求出反比例函数解析式是解
题关键．
（1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）将x=16代入函数解析式求出y的值即可；
（3）分别利用x的取值范围求出两函数解析式，进而得出y=12时，得出x的值即可．
【解题过程】
k
（1）解：∵点B(12,18)在双曲线y= 上，
x
k
∴18= ，
12
∴解得：k=216；
216
（2）解：当x=16时，y= =13.5，
16
所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5°C；
（3）解：当0≤x≤2时，直线解析式为：y=ax+b，
{ b=8 )
故 ，
2a+b=18
{a=5)
解得： ，
b=8
∴解析式为：y=5x+8，
则12=5x+8，
解得：x=0.8，
216
当y=12，则 =12，
x
解得：x=18，
∴一天24小时大棚内温度超过12°C的时间有：18−0.8=17.2（小时）．
14．（23-24八年级下·全国·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力
随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为
理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示．
（1）开始学习后第5分钟时与第40分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）某校博雅课堂学习大致可分为三个环节：即“自学自测展素养，研学随练展收获，检学综练展成
效”．其中重点环节“研学随练展收获”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时
的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由．
【思路点拨】
本题主要考查了反比例函数的应用，此题属于分段函数，根据实际情况，结合图象，求出相对应的函数解
析式，计算出数值，代入相应的函数解析式解决问题．
（1）从图象上看，AB表示的函数为一次函数，BC是平行于x轴的线段，CD为双曲线的一部分，设出解
析式，代入数值可以解答，把自变量的值代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值比较得出；
（2）求出相对应的自变量的值，代入相对应的函数解析式，求出注意力指标数与40相比较，得出答案．
【解题过程】
（1）解：设y =k x+b，把(0,20)，(10,50)代入函数解析式解得，y =3x+20(0≤x≤10)，
AB 1 AB
由图象直接得到y =50(10≤x≤30)，
BC
k 1500
设y = ，把(30,50)代入函数解析式解得y = (30≤x≤45)；
CD x CD x
把x=5代入y =3x+20，得y =35，
AB AB
1500
把x=40代入y = ，得y =37.5，
CD x CD
因为35<37.5，
所以第40分钟时学生的注意力更集中；
（2）解：由题意知，注意力指数不低于40
20
即当在3x+20≥40，x≥
3
1500
同时 ≥40
x1500
即x≤ =37.5
40
20
即当开始上课 分钟直至上课37.5分钟时学生的注意力指数均不小于40．
3
20
而37.5− >30，
3
∴该学习设计合理．
15．（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防H1N1甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教
室进行消毒的过程中，先经过5分钟的集中药物喷洒，再封闭教室10分钟，然后打开门窗进行通风，室内
每立方米空气中含药量y(mg/m3)与药物在空气中的持续时间x（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封
闭教室期间，y与x均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后y与x满足反比例函数的关系，如图所示．
（1）研究表明，室内空气中的含药量低于3mg/m3时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟
后学生方可返回教室？
（2）当室内空气中的含药量不低于6mg/m3且持续时间不低于15分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试
通过分析判断此次消毒是否完全有效？
【思路点拨】
本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，是一个分段函数，涉及待定系数法等知识点．掌握自变
量、函数值等知识是解题的关键．
m
（1）当x≥15时，设y与x的函数关系式为：y= (m>0)，代入图中点的坐标求出m，令y=3，求出时
x
间x，再减去5分钟即可得结果．
（2）当0≤x≤5时，设y与x的函数关系式为：y=kx(k>0)，代入图中点的坐标求出k，令y=6，求出x
120
，对于y= ，令y=6，求出时间x，用两时间之差与15作比较，即可得结果．
x
【解题过程】
m
（1）解：由题意可得b=15，故当x≥15时，设y与x的函数关系式为：y= (m>0)，
xm
把(15,8)代入上式得， =8，
15
∴m=120，
120
∴y= ，
x
120
当y=3时， =3，
x
∴x=40，
40−5=35（分钟）．
答：至少经过35分钟后学生方可返回教室．
（2）当0≤x≤5时，设y与x的函数关系式为：y=kx(k>0)，
把(5,10)代入上式得，5k=10，
∴k=2，
∴y=2x，
当y=6时，2x=6，
∴x=3，
120 120
对于y= ，当y=6时， =6，
x x
∴x=20，
∵20−3=17>15，
∴此次消毒是完全有效，
答：此次消毒完全有效．
16．（2024九年级下·内蒙古包头·专题练习）墨墨在妈妈生日当天购买了一个足浴盆作为生日礼物送给妈
妈．墨墨妈妈在使用该足浴盆泡脚时，最初注入的水的温度是25℃，加热6min后，水温达到最高温度
40℃，然后该足浴盆自动停止加热进行保温，设定保温过程中，水温的最低温度不低于30℃，当水温降
至30℃时，该足浴盆又会再次自动加热，以此循环．加热时，温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关
系；保温时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系，第一个加热和保温过程如图所示．（1）分别求出该足浴盆在第一个加热和保温过程中y与x的函数关系，并且写出自变量x的取值范围；
（2）墨墨妈妈在使用时，决定当水温不低于30℃时，才使用该足浴盆泡脚，若墨墨妈妈泡脚的时间为30
分钟，则该足浴盆加热了几次？
【思路点拨】
本题考查了一次函数与反比例函数的知识，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，难度中等．
（1）将已知点的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式利用待定系数法确定函数的解析式即可；
（2）分别令两个函数值为30求得x的值的差即为保持30℃的时间，然后即可求得加温几次．
【解题过程】
（1）解：设一次函数的解析式为y=kx+b，
∵经过点(0,25)，(6,40)，
{6k+b=40) { k= 5 )
∴ ，解得： 2 ，
b=25
b=25
5
∴一次函数的解析式为y= x+25(0≤x≤6)；
2
m
设反比例函数的解析式为y= ，
x
∵经过点(6,40)，
∴k=6×40=240
240
∴y= (x>6)；
x
5
（2）解：y= x+25=30，解得：x=2；
2
240
令y= =30，解得：x=8，
x
所以一次加温能保持8−2=6（分钟）30℃以上，
所以30÷6=5次，∴墨墨妈妈泡脚的时间为30分钟，则该足浴盆加热了5次．
17．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消
毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完
a
毕后，y与t的函数关系式为y= （a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：
t
（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放
开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
（3）当每立方米空气中的含药量y达到0.6毫克消毒才有效，问消毒的有效时间为多少？
【思路点拨】
本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确
定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
（1）首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成
a
正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y= （a为常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函
t
数的关系式；
（2）根据（1）中的关系式列不等式，进一步求解可得答案．
（3）把y=0.6代入两个函数求得x值相减即可求得有效时间．
【解题过程】
( 1) a 1 a
（1）解：将点P 3, 代入函数关系式y= 得： = ，
2 t 2 3
3 3
解得a= ，有y= ，
2 2t
a 3
将y=1代入y= 得：1= ，
2t 2t
3
解得：t= ，
23 ( 3)
所以所求反比例函数关系式为y= t≥ ，
2t 2
(3 ) 3
再将 ,1 代入y=kt得：1= k，
2 2
2
解得：k= ，
3
2 ( 3)
所以所求正比例函数关系式为y= t 0≤t≤ ．
3 2
3
（2）解：根据题意可得： =0.25，
2t
解得t=6，
3
根据图象可知：当t>6时， <0.25，
2t
所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室．
3 3
（3）解：把y=0.6代入到y= 得：0.6= ，
2t 2t
5
解得：t= ，
2
2 2
把y=0.6代入到y= t得：0.6= t，
3 3
9
解得：t= ，
10
5 9 8
∴消毒的有效时间为： − = （小时）．
2 10 5
18．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用
木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的(x,y)可看成是反比例函数
8
y= 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+ y=10，满足条件的(x,y)可看成一次函
x
数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点
的坐标．
8
如图2，反比例函数y= (x>0)的图象与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和_________，因此，木
x 1
栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=
__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通
8
过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y= (x>0)的图象有唯一
x
交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
8
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交
x
点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【思路点拨】
（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据a=6得出，y=−2x+6，在图中画出y=−2x+6的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，
若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点(2,4)作l 的平行线，即可作出直线y=−2x+a的图象，将点(2,4)代入y=−2x+a，即可求出a
1
的值；
8
（4）根据存在交点，得出方程−2x+a= (a>0)有实数根，根据根的判别式得出a≥8，再得出反比例函
x
8
数图象经过点(1,8)，(8,1)，则当y=−2x+a与y= 图象在点(1,8)左边，点(8,1)右边存在交点时，满足题
x
意；根据图象，即可写出取值范围．
【解题过程】
8
解：（1）∵反比例函数y= (x>0)，直线l ：y=−2x+10，
x 1
{ y= 8 )
∴联立得： x ，
y=−2x+10
{x =1) {x =4)
1 2
解得： ， ，
y =8 y =2
1 2
∴反比例函与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和(4,2)，
1
当木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=4m，BC=2m．
故答案为：(4,2)4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为6m，
∴2x+ y=6，则y=−2x+6，
画出直线y=−2x+6的图象，如图中l 所示：
1
8
∵l 与函数y= 图象没有交点，
1 x
∴不能围出面积为8m2的矩形；
（3）如图中直线l 所示，l 即为y=−2x+a图象，
1 3将点(2,4)代入y=−2x+a，得：4=−2×2+a，
解得a=8；
8
（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交点的存在
x
问题，
8
即方程−2x+a= (a>0)有实数根，
x
整理得：2x2−ax+8=0，
∴Δ=(−a) 2−4×2×8≥0，
解得：a≥8，
8 8
把x=1代入y= 得：y= =8，
x 1
∴反比例函数图象经过点(1,8)，
8 8
把y=1代入y= 得：1= ，解得：x=8，
x x
∴反比例函数图象经过点(8,1)，
令A(1,8)，B(8,1)，过点A(1,8)，B(8,1)分别作直线l 的平行线，
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由图可知，当y=−2x+a与y= 图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；
x
把(8,1)代入y=−2x+a得：1=−16+a，
解得：a=17，
∴8≤a≤17．
