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第 09 讲 探索与表达规律（2 个知识点+2 种题型+过关检测）
知识点1．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去
探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者
与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为 x，再利用它们之间的关系，设出其他未知
数，然后列方程．
知识点2．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
题型一．规律型：数字的变化类
1
学科网（北京）股份有限公司1．（2024秋•洛宁县月考）已知一列数 ， ， ， ，它们满足关系式 ， ， ，
，当 时，则
A．2 B． C． D．
2．（2024秋•蜀山区月考）设 是不为1的有理数，我们把 称为 的差倒数．如 的差倒数是 ，2
的差倒数是 ．已知 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒数， ，以此类推，则
的值为 ．
3．（2024秋•玄武区校级月考）观察下列算式：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
（1）根据以上规律写出第⑧条算式： ；
（2）计算： ；
（3）计算： ．
题型二．规律型：图形的变化类
4．（2024秋•察右前旗校级月考）观察下列一组图形按此规律，第8图中五角星的个数有
A．43个 B．45个 C．51个 D．53个
2
学科网（北京）股份有限公司5．（2024•广安区校级开学）如图，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三
角形， 依此类推，第2024个图中共有三角形 个．
6．（2024秋•姑苏区校级月考）图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以
下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中
所 有 圆 圈 的 个 数 为
如果图① ④中各有11层．
（1）图①中共有 个圆圈；
（2）我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4， ，则最底层最左边圆圈的数是
．
（3）我们自上而下，按图④的方式填上一串连续的整数 ， ， ， ，求图④所有圆圈中各数的绝对值之
和．
一．选择题
1．按1，1，2，3，5， ，13， 按规律括号里应该填
A．7 B．9 C．5 D．8
2．等边△ 在数轴上的位置如图所示，点 、 对应的数分别为0和 ，若△ 绕顶点沿顺时针方向在数轴
上连续翻转，翻转1次后，点 所对应的数为1，则连续翻转若干次后，数2024对应的点为
3
学科网（北京）股份有限公司A．点 B．点 C．点 D．不确定
3．中国文化博大精深，汉字文化是中国古代文化流传下来的一份珍贵遗产．下列图形都是由同样大小的圆点和线段
按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图1中共有12个圆点，图2中共有18个圆点，图3中共有25
个圆点，图4中共有33个圆点， ，依此规律，则图9中共有圆点的个数是
A．63 B．75 C．88 D．102
4．一只小球落在数轴上的某点 处，第一次从 处向右跳1个单位到 处，第二次从 向左跳2个单位到 处，第
三次从 向右跳3个单位到 处，第四次从 向左跳4个单位到 处 ，若小球按以上规律跳了 为正整
数）次时，它落在数轴上的点 处所表示的数恰好是 ，则这只小球的初始位置点 所表示的数是
A． B． C． D．
5．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点：若停在偶
数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从2这点开始跳，则经过2024次后它停在哪个数对应的点上
A．1 B．2 C．3 D．5
6．已知整数 、 、 、 、 满足下列条件： ， ， ， ， ，
以此类推，则
A． B．
4
学科网（北京）股份有限公司C． D．
7．如图，按照此规律，图形⑥需要 个 ．
A．15 B．21 C．24 D．28
8．观察下面点阵图的规律，第9幅点阵图中有 个 ．
A．18 B．28 C．32 D．36
9．两人坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗．已知火车上的座位排列如下所示，则下列座位号码符
合要求的是
窗口 1 2 过道 3 4 5 窗口
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
A．48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，85
10．图中的问号处应该选哪个图形？
A． B． C． D．
二．填空题
5
学科网（北京）股份有限公司11．4个边长为 小正三角形摆成图①，图①的周长为 ，接者摆放前4个图形如图所示，按这样的方式，那么
第⑥个图形的周长是 ．
12．数学活动课上，丽丽在一个正方形内画正方形，她发现图中三角形的个数与所画正方形的数量之间存在某种规律，
依此规律她推断出第2024个图形中正方形与三角形的数量之和为 ．
13．已知 ， ， ， ， ，按此规律， ．
14．有一个数字游戏，第一步：取一个自然数 ，计算 得 ，第二步：算出 的各位数字之和得 ，
计算 得 ，第三步算出 的各位数字之和得 ，计算 得 ； 以此类推，则 的值为
．
15．【妙填幻方】如图①，是一个 的幻方，每行三个数，每列三个数、每斜对角三个数相加的和均相等．
（1）将下列各数组上的9个数分别填入图②③④所示的 方格中，使得每行的三个数，每列的三个数、每斜对角
上的三个数相加的和均相等．
第一组：6，5，4，3，2，1，0， ， ；
第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1；
第三组： ， ， ， ，0，2，4，6，8．
（2）如图⑤，若要按照以上规律填成，则九个数字之和为 ．
16．用小棒按如图方式搭图形．（第一个图形用5根小棒搭成），第5个图形需用 根小棒，第100个图形需要
6
学科网（北京）股份有限公司根小棒．
17．“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式：
解答下列问题：请用上面得到的规律计算： ．
18．
照这样画下去，第6个图形中黑色有 块，白色有 块．第 个图形中白色有 块．（用含 的式子表示）
三．解答题
19．（直接写出结果）如图，将小正方体按如图方式摆放在地上，1个小正方体有5个面露在外面，2个正方体有8个
面露在外面，那么5个小正方体有 个面露在外面， 个小正方体有 个面露在外面．
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学科网（北京）股份有限公司20．观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含 的代数式表示第 个等式为 ；
（2）求 的值．
21．新定义：符号“ ”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：
运算（一 ， ， ， （1） ， （2） ，
运算（二 ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司利用以上规律计算：
（1） （7） ， ， ；
（2） ；
（3）计算： ．
22．生活中常用的十进制是用 这十个数字来表示数，满十进一，例： ；
计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：
；
其他进制也有类似的算法
（1）【发现】根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是 ；
（2）【迁移】将八进制数“72”转化为十进制数；
（3）【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母
亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．
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学科网（北京）股份有限公司23．将正方形 （如图 作如下划分，第1次划分：分别连接正方形 对边的中点（如图 ，得线段 和
，它们交于点 ，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形 再划分，得图3，则图
3中共有9个正方形．
（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有 个正方形．
（2）继续划分下去，第 次划分后图中共有 个正方形；
（3）能否将正方形 划分成有2022个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．
24．某餐厅中，一张桌子可以坐6人，如果把多张桌子摆在一起，可以有以下两种摆放方式．
（1）当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐 人，第二种摆放方式能坐 人，
（2）当有 张桌子时，第一种摆放方式能坐 人，第二种摆放方式能坐 人，
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学科网（北京）股份有限公司（3）一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐（即桌子要摆在一起），但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐
厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？
25．用 ， 表示长方形两条邻边的边长，它们的变化规律如下表所示．
1 2 3 4 6 12
12 6 4 3
（1）根据已知的数据把表格补充完整．
（2）根据上表中的数据在图中描出第5个长方形．
（3）从上面的数据中可以看出，长方形面积一定时， 和 有什么关系？
（4）图中的 ， ， ， 各点在同一条直线上吗？
26．【概念学习】
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学科网（北京）股份有限公司规定：求若干个相同的有理数（不等于 的除法运算叫做除方，如 ， 等．类比有理数
的乘方：我们把 记作 ，读作“2的圈3次方”；把 记作 ，读作“ 的圈4次
方”；一般地，把 记作 ，读作“ 的圈 次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果： ， ；
（2）关于除方，下列说法正确的是 ．
①任何非零数的圈2次方都等于1；
②对于任何正整数 ， ；
③ ；
④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘
方运算呢？
（1）试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式．
； ； ．
（2）想一想：将非零有理数 的圈 次方（即 写成幂的形式等于 ；
（3）算一算： ．
（4）观察算式： ； ； ； ；按照这样的规律，算一算：
．
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