文档内容
第 09 讲 探索与表达规律（2 个知识点+2 种题型+过关检测）
知识点1．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去
探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者
与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为 x，再利用它们之间的关系，设出其他未知
数，然后列方程．
知识点2．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
题型一．规律型：数字的变化类
1
学科网（北京）股份有限公司1．（2024秋•洛宁县月考）已知一列数 ， ， ， ，它们满足关系式 ， ， ，
，当 时，则
A．2 B． C． D．
【分析】分别计算出第2、3、4个数，据此得出循环规律，进一步求解即可．
【解答】解： 已知一列数 ， ， ， ，它们满足关系式 ， ， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，掌握数字的循环规律是解题的关键．
2．（2024秋•蜀山区月考）设 是不为1的有理数，我们把 称为 的差倒数．如 的差倒数是 ，2
的差倒数是 ．已知 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒数， ，以此类推，则
的值为 ．
【分析】根据差倒数的计算方法，分别求出 ， ， ， ， 值，找出规律即可求解．
【解答】解：根据题意， ， ， ， ， ，
2
学科网（北京）股份有限公司每三个循环一次，
，
的值为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了定义新运算，数字规律，找到规律是关键．
3．（2024秋•玄武区校级月考）观察下列算式：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
（1）根据以上规律写出第⑧条算式： ；
（2）计算： ；
（3）计算： ．
【分析】（1）根据已知等式得出第 条算式为 ，再将 代入可得答案；
（2）利用所得规律展开得原式 ，再利用高斯求和公式计算可得；
（3）原式提取符号得出原式 ，再利用所得规律变形，最
后利用求和公式计算可得答案．
【解答】解：（1）①
②
3
学科网（北京）股份有限公司③
④
⑤
，
以此类推可知，第 条算式为 ，
则第⑧条算式为 ，
故答案为： ．
（2）原式
；
（3）
．
【点评】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是关键．
题型二．规律型：图形的变化类
4．（2024秋•察右前旗校级月考）观察下列一组图形按此规律，第8图中五角星的个数有
4
学科网（北京）股份有限公司A．43个 B．45个 C．51个 D．53个
【分析】根据图形的顺序和数量，确定数量关系即可求解．
【解答】解：第1个图形中，有2个五角星，即 ，
第2个图形中，有6个五角星，即 ，
第3个图形中，有11个五角星，即 ，
第4个图形中，有17个五角星，即 ，
第5个图形中，五角星的个数为 ，
第6个图形中，五角星的个数为 ，
第7个图形中，五角星的个数为 ，
第 个图形中，五角星的个数为
第8个图形中，五角星的个数为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了图形规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是
按照什么规律变化的．
5．（2024•广安区校级开学）如图，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三
角形， 依此类推，第2024个图中共有三角形 809 3 个．
【分析】根据图形中三角形的个数得出规律：第 个图中共有 个三角形，然后利用规律计算即可．
【解答】解：第1个图中有1个三角形，即 个三角形，
第2个图中共有5个三角形，即 个三角形，
5
学科网（北京）股份有限公司第3个图中共有9个三角形，即 个三角形，
．．．，
所以第 个图中共有 个三角形，
所以第2024个图中共有 个三角形．
故答案为：8093．
【点评】题考查的是规律型—图形的变化类，发现规律是关键．
6．（2024秋•姑苏区校级月考）图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以
下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中
所 有 圆 圈 的 个 数 为
如果图① ④中各有11层．
（1）图①中共有 6 6 个圆圈；
（2）我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4， ，则最底层最左边圆圈的数是
．
（3）我们自上而下，按图④的方式填上一串连续的整数 ， ， ， ，求图④所有圆圈中各数的绝对值之
和．
【分析】（1）根据图形中圆圈的个数变化规律求解；
（2）11层时最底层最左边这个圆圈中的数是第10层的最后一个数加1；
（3）由（1）得出圆圈的总个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数．
【解答】解：（1） ，
故答案为：66；
（2） ， ，
6
学科网（北京）股份有限公司故答案为：56；
（3）图4中共有66个数，其中23个负数，1个0，42个正数，
所以图4中所有圆圈中各数的和为：
．
【点评】本题主要考查了图形的变化类，发现的规律是解题的关键．
一．选择题
1．按1，1，2，3，5， ，13， 按规律括号里应该填
A．7 B．9 C．5 D．8
【分析】根据规律“从第三个数开始，每个数等于它前面两个数的和”解答即可．
【解答】解： 从第三个数开始，每个数等于它前面两个数的和，且 ，
所填的数为：8．
故选： ．
【点评】本题考查数字变化类规律探究，找出数字变化的规律是解题的关键．
2．等边△ 在数轴上的位置如图所示，点 、 对应的数分别为0和 ，若△ 绕顶点沿顺时针方向在数轴
上连续翻转，翻转1次后，点 所对应的数为1，则连续翻转若干次后，数2024对应的点为
A．点 B．点 C．点 D．不确定
【分析】根据随着翻转点的变化，可找出点的变化周期为3，结合2024为3的整数倍余2，可得出数2024对应的点为
7
学科网（北京）股份有限公司．
【解答】解： 翻转1次后，数1对应的点为 ，翻转2次后，数2对应的点为 ，翻转3次后，数3对应的点为 ，
翻转4次后，数4对应的点为 ， ，
点的变化周期为3．
又 ，
连续翻转2024次后，则数2024对应的点为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了数轴以及变化类：数的变化，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键．
3．中国文化博大精深，汉字文化是中国古代文化流传下来的一份珍贵遗产．下列图形都是由同样大小的圆点和线段
按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图1中共有12个圆点，图2中共有18个圆点，图3中共有25
个圆点，图4中共有33个圆点， ，依此规律，则图9中共有圆点的个数是
A．63 B．75 C．88 D．102
【分析】观察并比较每两个相邻的“汉字”的相同与不同之处，得出每两个相邻的“汉字”中后一个“汉字”前半部
分与前一个“汉字”的前半部分圆点数量相等，后一个“汉字”的后半部分的圆点数总是前一个“汉字”后半部分顶
部加上图案序号多2个的圆点与底部添加两个圆点，进而解决该题．
【解答】解：在图1中，圆点个数为 个．
在图2中，圆点个数为 个．
在图3中，圆点个数为 个．
在图4中，圆点个数为 个．
．
以此类推，在图9中，圆点个数为
8
学科网（北京）股份有限公司．
故选： ．
【点评】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是由所给的图形总结出所存在的规律．运用特殊到一般的
数学思想解决此类规律题．
4．一只小球落在数轴上的某点 处，第一次从 处向右跳1个单位到 处，第二次从 向左跳2个单位到 处，第
三次从 向右跳3个单位到 处，第四次从 向左跳4个单位到 处 ，若小球按以上规律跳了 为正整
数）次时，它落在数轴上的点 处所表示的数恰好是 ，则这只小球的初始位置点 所表示的数是
A． B． C． D．
【分析】根据题意可以用代数式表示出前几个点表示的数，从而可以发现它们的变化规律，进而求得这只小球的初始
位置点 所表示的数．
【解答】解：设点 所表示的数是 ，
则点 所表示的数是 ，
点 所表示的数是 ，
点 所表示的数是 ，
点 所表示的数是 ，
点 所表示的数是 ，
，
解得， ，
故选： ．
【点评】本题考查数字的变化规律，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
5．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点：若停在偶
9
学科网（北京）股份有限公司数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从2这点开始跳，则经过2024次后它停在哪个数对应的点上
A．1 B．2 C．3 D．5
【分析】列出青蛙每次跳动后的落点，找出规律求解即可．
【解答】解：由题意可得：
第一次跳后落在1上；
第二次跳后落在3上；
第三次跳后落在5上；
第四次跳后落在2上；
，
分别在1，3，5，2这4个数上循环，
，
应落在2上；
故选： ．
【点评】本题考查了数的变换规律，根据题意找出变换规律是解题的关键．
6．已知整数 、 、 、 、 满足下列条件： ， ， ， ， ，
以此类推，则
A． B．
C． D．
【分析】根据已知规则分别求出 、 、 、 、 、 ，观察从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最
后的数值是其顺序数的一半的相反数，据此即可求解．
10
学科网（北京）股份有限公司【解答】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
以此类推，
即 ，
则 ，
故选： ．
【点评】本题考查了数字类规律探索，找出一般规律是解题关键．
7．如图，按照此规律，图形⑥需要 个 ．
A．15 B．21 C．24 D．28
【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图形中，圆形的个数为： ；
第②个图形中，圆形的个数为： ；
第③个图形中，圆形的个数为： ；
11
学科网（北京）股份有限公司，
所以第 个图形中，圆形的个数为： ，
当 时，
（个 ，
即第⑥个图形中，圆形的个数为21个．
故选： ．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现第 个图形中圆形的个数为 是解题的关键．
8．观察下面点阵图的规律，第9幅点阵图中有 个 ．
A．18 B．28 C．32 D．36
【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆圈的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1幅点阵图中圆圈的个数为： ；
第2幅点阵图中圆圈的个数为： ；
第3幅点阵图中圆圈的个数为： ；
，
所以第 幅点阵图中圆圈的个数为 个，
当 时，
（个 ，
即第9幅点阵图中圆圈的个数为28个．
故选： ．
12
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现圆圈的个数依次增加3是解题的关键．
9．两人坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗．已知火车上的座位排列如下所示，则下列座位号码符
合要求的是
窗口 1 2 过道 3 4 5 窗口
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
A．48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，85
【分析】根据图示的规律可知每个车厢有15个座位，被5除余1的数和能被5整除得座位号靠窗，再逐项分析．
【解答】解：由题图中座位得排序规律可知，每个车厢有15个座位，被5除余1的数和能被5整除得座位号靠窗．
48，49没有靠窗的，所以 不符合题意；
62，63之间有过道，不连在一起，所以 不符合题意；
75，76不在同一行，所以 不符合题意．
由于两个旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，可知只有 项符合条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查了规律问题，发现规律是关键．
10．图中的问号处应该选哪个图形？
A． B． C． D．
【分析】找到前8个图形都是中心对称图形，每个图形的最长线段的指向依次是一，╲， ， 个一循环排列的规律
即可得答案．
13
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：前8个图形都是中心对称图形，每个图形的最长线段的指向依次是一，╲， ， 个一循环排列，
故选： ．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，解题关键是找到规律．
二．填空题
11．4个边长为 小正三角形摆成图①，图①的周长为 ，接者摆放前4个图形如图所示，按这样的方式，那么
第⑥个图形的周长是 2 6 ．
【分析】观察图形可以得到后一个图形的周长比前一个图形的周长多 ，进行求解即可．
【解答】解：图①的周长为 ，
图②的周长为 ，
图③的周长为 ，
图 的周长为： ；
第⑥个图形的周长是 ；
故答案为：26．
【点评】本题考查图形类规律探究，正确找出规律是解题的关键．
12．数学活动课上，丽丽在一个正方形内画正方形，她发现图中三角形的个数与所画正方形的数量之间存在某种规律，
依此规律她推断出第2024个图形中正方形与三角形的数量之和为 1012 1 ．
【分析】根据图形的变化，找出变化规律是解题的关键．先得出第一个图所画的正方形有1个，三角形有4个，第二
个图所画的正方形有2个，三角形有8个，第三个图所画的正方形有3个，三角形有12个，再归纳即可得到答案．
14
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：第一个图所画的正方形有1个，三角形有4个，
第二个图所画的正方形有2个，三角形有8个，
第三个图所画的正方形有3个，三角形有12个，
归纳可得：
第2024个图形中所画的正方形有2024个，三角形有 个，
第2024个图形中正方形与三角形的数量之和为 ，
故答案为：10121．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，正确地找出规律是解题的关键．
13．已知 ， ， ， ， ，按此规律， 62 5 ．
【分析】由该一连串的等式可以看出从1开始 个连续的奇数的和等于 ，可以得出 是从1开始25
个连续的奇数相加．
【解答】解：由 ，从1开始连续2个奇数相加；
，从1开始连续3个奇数相加；
，从1开始连续4个奇数相加；
，
从1开始25个连续奇数相加的和等于 ，即： ．
故答案为：625．
【点评】本题考查数字的规律型，有理数的加法，掌握从1开始 个连续奇数的和为 的规律是解题的关键．
14．有一个数字游戏，第一步：取一个自然数 ，计算 得 ，第二步：算出 的各位数字之和得 ，
计算 得 ，第三步算出 的各位数字之和得 ，计算 得 ； 以此类推，则 的值为
200 ．
【分析】根据题意，可以写出 ， ， ， ． ， ， ， ，然后即可发现数字的变化特点，从而可以写出
的值．
15
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：由题意可得，
， ，
， ，
， ，
， ，
，
由上可得，每三个为一个循环，
，
，
故答案为：200．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点．
15．【妙填幻方】如图①，是一个 的幻方，每行三个数，每列三个数、每斜对角三个数相加的和均相等．
（1）将下列各数组上的9个数分别填入图②③④所示的 方格中，使得每行的三个数，每列的三个数、每斜对角
上的三个数相加的和均相等．
第一组：6，5，4，3，2，1，0， ， ；
第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1；
第三组： ， ， ， ，0，2，4，6，8．
（2）如图⑤，若要按照以上规律填成，则九个数字之和为 9 0 ．
【分析】（1）根据幻方的和的性质，一一解答．先确定中央的数，再把第二个数与第四个数（或第六个数与第八个
数）填在同侧的角里，而后根据幻方和的性质计算填写；
16
学科网（北京）股份有限公司（2）根据幻方性质先确定相对角上的数，再确定剩下的数．
【解答】解：（1）第一组：6，5，4，3，2，1，0， ， ；
1 6
0 2 4
5 3
幻和： ，
每行、列、对角的数的和： ，
中央数：
中央数两侧相对的数的和： ；
第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1；
2 9 4
7 5 3
6 1 8
幻和： ，
每行、列、对角的数的和： ，
中央数：
中央数两侧相对的数的和： ；
第三组： ， ， ， ，0，2，4，6，8．
8
4 0
2 6
幻和： ，
每行、列、对角的数的和： ，
17
学科网（北京）股份有限公司中央数： ，
中央数两侧相对的数的和： ；
（2） 中央的数是10，
左上角是： ，右上角是： ，
中列上面是： ，下面是： ，
中行左面是： ，右面是： ，
这九个数为：5，7，8，9，10，11，12，13，15，
幻和为： ，
7 11 12
15 10 5
8 9 13
故答案为：90．
【点评】本题主要考查了 的幻方．熟练掌握幻方的和的性质，是解决本题的关键．
16．用小棒按如图方式搭图形．（第一个图形用5根小棒搭成），第5个图形需用 2 1 根小棒，第100个图形需要
根小棒．
【分析】根据所给图形，依次求出所需小棒的根数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图形所需小棒的根数为： ；
第2个图形所需小棒的根数为： ；
第3个图形所需小棒的根数为： ；
，
所以第 个图形所需小棒的根数为 根，
18
学科网（北京）股份有限公司当 时，
（根 ，
即第5个图形所需小棒的根数为21根．
当 时，
（根 ，
即第100个图形所需小棒的根数为401根．
故答案为：21，401．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需小棒的根数依次增加4是解题的关键．
17．“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式：
解答下列问题：请用上面得到的规律计算： 202 5 ．
【分析】根据规律解答即可．
【解答】解： ，
，
19
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
故 ．
故答案为：2025．
【点评】本题考查了数的规律计算，正确探索规律是解题的关键．
18．
照这样画下去，第6个图形中黑色有 6 块，白色有 块．第 个图形中白色有 块．（用含 的式子表
示）
【分析】根据所给图形，依次求出图形中黑色和白色的块数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图形中，黑色的块数为：1，白色的块数为： ；
第2个图形中，黑色的块数为：2，白色的块数为： ；
第3个图形中，黑色的块数为：3，白色的块数为： ；
，
所以第 个图形中，黑色的块数为 块，白色的块数为 块．
当 时，
（块 ，
即第6个图形中，黑色的块数为6块，白色的块数为33块．
20
学科网（北京）股份有限公司故答案为：6，33， ．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现黑色和白色个数的变化规律是解题的关键．
三．解答题
19．（直接写出结果）如图，将小正方体按如图方式摆放在地上，1个小正方体有5个面露在外面，2个正方体有8个
面露在外面，那么5个小正方体有 1 7 个面露在外面， 个小正方体有 个面露在外面．
【分析】根据所给图形，依次求出正方体露在外面的面的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
1个正方体露在外面的面的个数为： ；
2个正方体露在外面的面的个数为： ；
3个正方体露在外面的面的个数为： ；
，
所以 个正方体露在外面的面的个数为 个，
当 时，
（个 ，
即5个正方体露在外面的面的个数为17个．
故答案为：17， ．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现露在外面的面的个数依次增加3是解题的关键．
20．观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
21
学科网（北京）股份有限公司第3个等式： ；
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含 的代数式表示第 个等式为 ；
（2）求 的值．
【分析】（1）根据题目中给出的式子的特点，可以写出第 个等式；
（2）先将题目中的式子变形，然后计算加减法即可．
【解答】解：（1）由题目中的式子可得，
，
故答案为： ， ；
（2）
．
【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是发现式子的变化特点，写出相应的代数式．
21．新定义：符号“ ”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：
运算（一 ， ， ， （1） ， （2） ，
运算（二 ， ， ， ，
利用以上规律计算：
22
学科网（北京）股份有限公司（1） （7） 6 ， ， ；
（2） ；
（3）计算： ．
【分析】（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
当 为整数时， ；
当 为分数时， ．
所以 （7） ， ， ， ．
故答案为：6， ，7， ．
（2）由（1）中结论可知，
原式 ．
故答案为：0．
（3）由（1）中结论可知，
原式
．
23
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能根据题意发现当 为整数时， ；当 为
分数时， 是解题的关键．
22．生活中常用的十进制是用 这十个数字来表示数，满十进一，例： ；
计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：
；
其他进制也有类似的算法
（1）【发现】根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是 4 6 ；
（2）【迁移】将八进制数“72”转化为十进制数；
（3）【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母
亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．
【分析】（1）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可；
（2）仿照二进制转换十进制的方法进行计算即可；
（3）满五进一，类似于五进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）101110转化为十进制数是 ，
故答案为：46；
（2） ；
（3）由于满五进一，类似于五进制数，图示表示的五进制数为132，转化为十进制数为
所以，孩子已经出生了42天．
【点评】本题考查了有理数的乘方运算，正确理解题中二进制转换十进制的计算方法是解题的关键．
23．将正方形 （如图 作如下划分，第1次划分：分别连接正方形 对边的中点（如图 ，得线段 和
24
学科网（北京）股份有限公司，它们交于点 ，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形 再划分，得图3，则图
3中共有9个正方形．
（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有 2 1 个正方形．
（2）继续划分下去，第 次划分后图中共有 个正方形；
（3）能否将正方形 划分成有2022个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．
【分析】（1）根据题意找出规律进行计算即可；
（2）探究规律，利用规律即可解决问题；
（3）构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1） 第1次可得5个正方形，即： （个 ，
第2次可得9个正方形，即： （个 ，
第3次可得13个正方形，即： （个 ，
第4次可得正方形： （个 ，
第5次可得正方形： （个 ，
故答案为：21；
（2）由（1）得：第 次可得 个正方形，
故答案为： ；
（3）不能，
理由：依题意得： ，
25
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
是正整数，
当 时不符合题意，
不能将正方形 划分成2022个正方形的图形．
【点评】本题考查规律型：图形的变化类，解题的关键是学会并掌握从特殊到一般的探究规律的方法．也考查了一元
一次方程的应用．
24．某餐厅中，一张桌子可以坐6人，如果把多张桌子摆在一起，可以有以下两种摆放方式．
（1）当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐 2 2 人，第二种摆放方式能坐 人，
（2）当有 张桌子时，第一种摆放方式能坐 人，第二种摆放方式能坐 人，
（3）一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐（即桌子要摆在一起），但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐
厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？
【分析】（1）（2）第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人．即有 张桌子时是 ，
由此算出5张桌子，用第一种摆设方式，可以坐 人；
第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，即 ，由此算出5张桌子，用第二种摆设方
式，可以坐 人．
（2）分别求出 时，两种不同的摆放方式对应的人数，即可作出判断．
【解答】解：（1）当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐 人，第二种摆放方式能坐 人；
（2）第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人．即有 张桌子时是 ．
第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，即 ．
（2）打算用第一种摆放方式来摆放餐桌．
26
学科网（北京）股份有限公司因为，当 时，
当 时，
所以，选用第一种摆放方式．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题．
25．用 ， 表示长方形两条邻边的边长，它们的变化规律如下表所示．
1 2 3 4 6 12
12 6 4 3
（1）根据已知的数据把表格补充完整．
（2）根据上表中的数据在图中描出第5个长方形．
（3）从上面的数据中可以看出，长方形面积一定时， 和 有什么关系？
（4）图中的 ， ， ， 各点在同一条直线上吗？
【分析】（1）根据长方形的面积 长 宽，先利用一组数据求出长方形的面积，再分别求出对应的 ，从而完成表格；
（2）根据第五组中的 ， 画图即可；
（3）长方形的面积一定，则 与 的积一定，据此根据反比的意义解答；
（4）观察图象，从而得到结论．
【解答】解：（1）长方形的面积：
27
学科网（北京）股份有限公司（2）如图：
（3）答：从上面的数据中可以看出，长方形面积一定时， 和 成反比．
（4）答：如图中的 ， ， ， ，各点不在同一条直线上．
【点评】本题考查的是图形变化的规律，关键是理清题中数量关系．
26．【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（不等于 的除法运算叫做除方，如 ， 等．类比有理数
的乘方：我们把 记作 ，读作“2的圈3次方”；把 记作 ，读作“ 的圈4次
方”；一般地，把 记作 ，读作“ 的圈 次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果： ， ；
（2）关于除方，下列说法正确的是 ．
①任何非零数的圈2次方都等于1；
28
学科网（北京）股份有限公司②对于任何正整数 ， ；
③ ；
④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘
方运算呢？
（1）试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式．
； ； ．
（2）想一想：将非零有理数 的圈 次方（即 写成幂的形式等于 ；
（3）算一算： ．
（4）观察算式： ； ； ； ；按照这样的规律，算一算：
．
【分析】（1）新定义的运算法则计算即可．
（2）根据新定义的运算法则计算判断即可．
【深入思考】（1）根据定义计算，写成乘方的形式即可．
（2）根据（1）中的计算结果，总结规律即可．
（3）根据新定义公式，结合乘方，同底数幂的除法计算即可．
（4）根据规律，完善计算即可．
【解答】解：【初步探究】（1） ，
，
29
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ，8．
（2）设 则 ，故①正确；
对于任何正整数 ， ，故②正确
，
，故③错误；
负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故④正确．
故答案为：①②④．
（1） ，
，
故答案为： ； ； ．
（2） ，
故答案为： ．
（3）
．
（4）根据规律，得
30
学科网（北京）股份有限公司，
．
【点评】本题考查了数字的变化规律，发现规律是关键．
31
学科网（北京）股份有限公司
