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特训07 期中解答压轴题（第1-5章，期中试题精选）
一、解答题
1．（2023春·海南·九年级校联考期中）如图1，已知四边形 为正方形，连接 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，若正方形 的边长为4， 是 边上的一个动点．
①请判断线段 与 有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接 ，若 ，求线段 长；
③求 的最小值．
2．（2023春·四川达州·九年级校考期中）如图1，点 是矩形 边 上一点（不与点 ， 重
合），直线 与 的延长线交于点 ．将 沿直线 折叠得到 ，点 在矩形 的内
部，延长 交直线 于点 ．
(1)证明： ；
(2)如图2，连接 ，若 ， ，求 周长的最小值；
(3)如图3，连接 交 于点 ，点 是 的中点，当 时，请判断 与 的数量关
系，并说明理由．
3．（2022秋·四川成都·九年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系 中，已知直线 与
直线 相交于点 ，分别交坐标轴于点A、B、C、D，点P是线段 延长线上的一个
点， 的面积为15．
1(1)求直线 解析式和点P的坐标；
(2)如图2，当点P为线段 上的一个动点时，将 绕点B逆时针旋转90度得到 ，连接 与 ．点
Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式．
(3)在（1）的条件下，直线 上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N
为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中）将矩形 绕着点 按顺时针方向旋转得到矩形 ，其
中点 与点 ，点 与点 分别是对应点，连接 ．
(1)如图，若点 ， ， 第一次在同一直线上， 与 交于点 ，连接 ．
①求证： 平分 ．
②取 的中点 ，连接 ，求证： ．
③若 ， ，求 的长．
(2)若点 ， ， 第二次在同一直线上， ， ，直接写出点 到 的距离．
5．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图1所示，在正方形 中， 是 上
一点（点G不与点C、点D重合），延长 到 ，使 ．
(1)求证： ．
(2)将 绕点D顺时针旋转 得到 ，判断四边形 是什么特殊四边形，并说明理由．
(3)如图2所示，过点G作 交 于点 ，交 于点N，连接 ，设 的长为x，正方形
的边长为a（ ）， 的面积为S，试探究S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
26．（2023春·山西晋城·九年级统考期中）综合与实践
问题情境：四边形 是菱形， ，点P是菱形边上或内部一点，连接 ，
，点E在线段 上，点F在线段 上，且 ，连接 ， ，
．
(1)特例感知：如图1，当点P与点C重合时， 的形状是______， ______．
(2)深入探究：如图2，当点P在菱形内部时，连接 ，判断（1）中的两个结论是否仍然成立，并说
明理由．
(3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，连接 ，若 ，直接写出四边形 的面积．
7．（2021秋·浙江温州·九年级温州市第四中学校考期中）已知：如图1，在长方形 中， ，
， ，点P是 边上的动点，将 翻折得 ，延长 交 于点F，连结
．
（1）求证： ．
（2）如图2，当 时，点F与点C刚好重合．求此时 的长．
（3）如图3，连结 ，在点P运动过程中，当 和 面积相等时，则 ．（直接写出答
案）
8．（2022秋·北京西城·九年级北京八中校考期中）已知，正方形 ，等腰 ，其中
．连接 ，点G为 的中点，连接 ．
3(1)如图1，若 ，当E，F，D三点共线时， ，则 ______________；
(2)如图2，若点E在 的延长线上，
①补全图形；
②判断 与 的数量和位置关系，并证明；
(3)将图2中的 绕点B逆时针旋转至图3所示位置，在（2）中所得的结论是否仍然成立？若成立，
请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
9．（2022秋·贵州铜仁·九年级校考期中）阅读材料，解答问题：
【材料1】
为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体，然后设 ，则原方程可化为
，经过运算，原方程的解为 ， ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫
做换元法．
【材料2】
已知实数 ， 满足 ， ，且 ，显然 ， 是方程 的两个不相等
的实数根，由韦达定理可知 ， ．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程 的解为 ；
(2)间接应用：
已知实数 ， 满足： ， 且 ，求 的值．
10．（2022秋·江苏·九年级统考期中）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程： ．
解： ，
方程即为： ，
设 ，原方程转化为：
解得， ， ，
当 时，即 ， ， ；
4当 时，即 ，不成立．
综上所述，原方程的解是 ， ．
以上解方程的过程中，将其中 作为一个整体设成一个新未知数 ，从而将原方程化为关于 的一元二次方
程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程： ，若设 ，则利用“换元法”可将原方程化为关于 的方程是
______；
(2)仿照上述方法，解方程： ．
11．（2021秋·四川内江·九年级校考期中）阅读下列材料：
材料1：若关于 的一元二次方程 （ ）的两个根分别为 ， ，则 ，
.
材料2：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值.
解：根据题意可知，实数 ， 是方程 的两个不相等的实数根
根据材料1，得 ，
∴ ， .
∴
根据上述材料，解答下列问题：
(1)若一元二次方程 的两个根分别为 ， ，则 ___________，
___________；
(2)已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值；
(3)已知实数 ， 分别满足 ， ，且 ，求 的值.
12．（2022秋·湖北武汉·九年级校考期中）在等边 中， ， ，垂足为D，点E为
边上一点，点F为直线 上一点，连接 ，将线段 绕点E顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
5(1)如图1，当点E与点A重合，且 的延长线过点C时，求证：点F为 的中点；
(2)如图2，当点E与点A重合，且 时，连接 、 ，M、N分别为 、 的中点，连接
、 和 ，求线段 的长；
(3)如图3，点E不与点A，B重合， 延长线交 边于点H，连接 ，设 ，则
________．（用含a的式子表示）
13．（2020秋·福建漳州·九年级福建省漳州第一中学校考期中）如图， 是矩形 的边 上的一点，
是其对角线，连接 ，过点 作 ， 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作
于点 ， 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 是 的中点， ，求 的长．
14．（2021秋·陕西榆林·九年级校考期中）如图，在正方形 中，连接 ，点 是边 上一点（不
与 、 重合），将 绕点 顺时针旋转90°得到 ，连接 ，分别交 、 于点 、 ．
(1)求证： ；
6(2)求证： ；
(3)如图2，当点 是边 的中点时，求 的值．
15．（2023春·山西太原·九年级山西实验中学校考期中）【问题情境】如图1，在 中，
，点D，E分别是边 的中点，连接 ．如图2，将 绕点C按
顺时针方向旋转，记旋转角为 ．
【观察发现】如图2，当 时， _________．
【方法迁移】如图3，矩形 中， 点E，F分别是 的中点．四边形 为矩
形，连接 ．如图4，将矩形 绕点A逆时针旋转．旋转角为α ，连接 ．请探究矩
形 旋转过程中， 与 的数量关系；
【拓展延伸】如图5，若将上题中的矩形 改为“平行四边形 ”且 ，矩形 改为
“平行四边形 ”，其他条件不变，如图6，在平行四边形 旋转过程中，直接写出
_________．
16．（2023春·湖南永州·九年级校考期中）综合与实践
如图1，在直角三角形纸片 中， ， ， ．
【数学活动】
将三角形纸片 进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片 使点 与点 重合，然后展开铺平，得
到折痕 ；第二步：将 沿折痕 展开，然后将 绕点 逆时针方向旋转得到 ，点 ，
的对应点分别是点 ， ，直线 与边 所在直线交于点 （点 不与点 重合），与边 所在
直线交于点 ．
7【数学思考】
(1)折痕 的长为______；
(2) 绕点 旋转至图1的位置时，试判断 与 的数量关系，并证明你的结论；
【数学探究】
(3) 绕点 旋转至图2、图3所示位置时，探究下列问题：
①如图2，当直线 经过点 时， 的长为______；
②如图3，当直线 时， 的长为______；
【问题延伸】
(4)在 绕点 旋转的过程中，连接 ，则 的取值范围是______．
17．（2023春·四川南充·九年级统考期中）在矩形 中，点 在 上， ， ， ．
(1)如图1，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ，证明： 是等腰三角形；
(2)如图2，点 在矩形 的边 上（点 不与点 、 重合），连接 ，过点 作 ，交
于点 ，连接 ．求证： ；
(3)如图3，若 交 于点 ， ，其他条件不变，且 的面积是6，求 的长．
18．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）已知：线段 和矩形 如图①摆放（点E与点B重
合），点F在边 上 ， ， ．如图②． 从图①的位置出发，沿 方向运
动，速度为 ；动点P同时从点D出发，沿 方向运动，速度为 ．点M为 的中点，连接
， ， ， 与 相交于点Q，设运动时间为t ．解答下列问题：
(1)当 时，求t的值；
8(2)设五边形 的面积为 ，求S与t的关系式；
(3)当 时，求线段 的长；
(4)当t为何值时，五边形 的周长最小，最小是多少？直接写出答案即可．
19．（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）【基础巩固】
(1)如图1，在 中， 为 上一点， ．求证： ．
(2)【尝试应用】如图2，在平行四边形 中， 为 上一点， 为 延长线上一点， ，
若 ， ，求 的长．
(3)【拓展提高】如图3，在菱形 中， 是 上一点， 是 内一点， ， ，
，则线段 与线段 之间的数量关系为 ，并说明理由．
20．（2022秋·浙江金华·九年级校联考期中）如图1，在矩形 中， ，点 ， 分别是
， 边上的动点， ，将 沿直线 对折，点 对应点为点 ，连结 ．
(1)如图2，当点 落在对角线 上时，求 的长；
(2)如图3，当 ，求 的长；
(3)若直线 交 于点 ，在点 的运动过程中，是否存在某一位置，使得以 ， ， 为顶点的三角
形与 相似？若存在，请求出 的长；若不存在，请说明理由．
21．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，已知四边形 和四边形 都是正方形， 是对
角线．
9(1)如图1，已知点 在正方形 的对角线 上， 于点 ， 于点 ．
①求证：四边形 是正方形；
②直接写出 的值为 ___________；
(2)如图2，将正方形 绕点 逆时针方向旋转 角 ，写出线段 与 之间的数量关
系，并证明你的结论；
(3)如图3，正方形 在旋转过程中，当 ， ， 三点在一条直线上时，延长 交 于点 ．若
， ，直接写出正方形 和正方形 的边长．
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