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专题突破卷 04 函数不等式恒成立问题
1.判别式法
1．“关于 的不等式 对 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的判断即可求得结果.
【详解】由“关于 的不等式 对 恒成立”，可得 ，
解得 ，则“ ”的一个充分不必要条件是 .
故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司2．已知不等式 对任意实数 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】D
【分析】分 和 ，结合二次函数的图象分析得解.
【详解】① 若 ,则 恒成立，满足题意；
② ,则 ，
, ∴ .
综上所述 .
故选：D
3．若函数 的定义域为 ，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据题意转化为 在 恒成立，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求
解.
【详解】由函数 的定义域为 ，即 在 恒成立，
结合一元二次方程的性质，则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
4．（多选）命题“ ， 恒成立”是假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】ACD
【分析】先讨论 和 时求出“ ， 恒成立”对应的 的范围，再利用充分不必
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学科网（北京）股份有限公司要条件的性质即可得解.
【详解】当 ， 恒成立时，
当 时， 恒成立，满足题意，
当 时， ，解得 ，
综上，“ ， 恒成立”对应的 的范围为 ，
所以命题“ ， 恒成立”是假命题时，对应的 的范围为 ，
故它的一个充分不必要条件是 的真子集，故ACD正确.
故选：ACD.
5．设m为实数，
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1){ 或 }；
(2)
【分析】（1）直接解一元二次不等式即可；
（2）由题意得 恒成立，则 ，解不等式组可求出实数 的取值范围.
【详解】（1）当 时，
解得 或
故不等式的解集为 或 ，
（2）由题意可得， 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得
故m的取值范围为
6．若不等式 对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出二次函数的最小值，从而可得关于 的不等式，求出其解后可得其取值范围.
【详解】 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，故 ，
故选：A.
2.分离参数法
7．已知函数 的定义域为集合A， 的值域为集合 ，若
的值域也为集合 .
(1)求实数 的值；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合A、集合 ，分析函数 的对称轴，对 和1的大小进行分类讨论，结合
的单调性及值域即可求出实数 的值；
（2）将（1）中解析式代入不等式中进行全分离，然后进行换元，根据换元后的函数解析式及定义域，分
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学科网（北京）股份有限公司析函数性质求出最值，即可求得 的取值范围.
【详解】（1）解：因为 ，令 ，
则 ，解得 ，则集合 ，
因为 ，所以 的值域为 ，即集合 ，
所以 的值域为 ，
当 时， 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，与 矛盾，故舍去；
当 时， ，解得 ，
故 ，此时 ，满足 时其函数值域为 ；
当 时， 在 上单调递减，
所以 ，解得 ，舍去.
综上所述： ；
（2）由（1）知 ，所以原不等式可化为：
在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，因为 ，所以 ，
则不等式可化为： 恒成立，
所以只需 即可，
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学科网（北京）股份有限公司记 ，所以 对称轴为 ，
所以在 上， 单调递减，所以 ，
故 ，所以 的取值范围为 .
8．已知定义域为R的函数 是奇函数.
(1)求b的值；
(2)若对任意的 ，不等式 恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】根据奇函数的定义求出b；
先判断 得单调性，再根据单调性和奇偶性求解不等式.
【详解】（1）因为定义域为R的函数 是奇函数，
所以 ，解得 ，
经检验，当 时， ，
，函数为奇函数，
所以 ；
（2） ，显然 是减函数，
由 可得 ，
即 ， ， .
当 时，函数 有最小值为 ， ；
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学科网（北京）股份有限公司综上， .
9．设函数 是定义域为R的偶函数.
(1)求p的值；
(2)若 在 上最小值为 ，求k的值；
(3)若不等式 对任意实数x都成立，求实数m的范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求得答案.
（2）由（1）可得 解析式，代入所求，即可得 解析式，令 ，可得 ，根
据x的范围，可得t的范围，利用二次函数的性质，分别讨论 和 两种情况，结合题意，即可求
得答案.
（3）根据 ，原不等式可化为 ，令 ，可得t的范围，
根据对勾函数的性质，即可求得 的最小值，即可得答案.
【详解】（1） 是偶函数， 恒成立，
即 恒成立，即 ，
.
（2）由（1）知 ，
， .
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学科网（北京）股份有限公司令 ，为增函数， ，则 ，
， ，
为对称轴为直线 ，开口向上的抛物线，
①当 时， 在 递增，所以 ，
， （不合题意），
②当 时， ，
，解得 或 （舍去），
的最小值为-4时， 的值为 .
（3）不等式 ，即 ，
，当且仅当x=1时等号成立.
，
令 ， ，则 ， ，
又对勾函数 在 上递增， ， .
故实数m的取值范围为 .
10．已知二次函数 的最小值为1，且 .
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间 上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间 上， 的图象恒在 的图象上方，试确定实数m的取值范围.
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，设 ，根据 ，求得 ，即可得到函数的解析式；
（2）由函数 在区间 上不单调，利用二次函数的性质，得到 ，即可求解；
（3）把在区间 上， 的图象恒在 的图象上方，转化为不等式 在区
间 上恒成立，令 ，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数 是二次函数，且 ，可得函数 对称轴为 ，
又由最小值为1，可设 ，
又 ，即 ，解得 ，
所以函数的解析式为 .
（2）由（1）函数 的对称轴为 ，
要使 在区间 上不单调，则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
（3）由在区间 上， 的图象恒在 的图象上方，
可得 在区间 上恒成立，
化简得 在区间 上恒成立，
设函数 ，
则 在区间 上单调递减
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学科网（北京）股份有限公司∴ 在区间 上的最小值为 ，
∴ .
故实数m的取值范围为： .
11．已知函数 ，则 ________，若不等式 对 恒
成立，则实数 的取值范围是________.
【答案】
【分析】判断函数 的单调性，利用其解析式推出 ，则可将原不等式转化为
对 恒成立，即 对 恒成立，结合一次
函数的性质即可求得答案.
【详解】由题意知 单调递增，且 在 上恒成立，故 在R上单调递增，
又 ，
故不等式 对 恒成立，
即 对 恒成立，
所以 ，即 对 恒成立，
又函数 在R上单调递减，当 时， ，
故 ，即实数k的取值范围是 ，
故答案为：1； .
12．（ 2023·黑龙江大庆·统考三模）已知函数 ，则 _____；若 ，
不等式 恒成立，则实数a的取值范围是____________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 3
【分析】先整理得 ，再求得 ，从而即可求得 的值；进而将
转化为 ，再得到 在R上为增函数，从而得到
对 恒成立，再分离参数，结合基本不等式即可求得实数 的取值范围．
【详解】由 ，则 ，所以则 ，
所以 可转化为 ，
因为 在R上为增函数，所以 在R上为增函数，
所以 对 恒成立，即 对 恒成立，
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，即实数 的取值范围 ．
故答案为： ．
3.最值法
13．已知函数 ， ．
(1)求函数 在 上的值域；
(2)若 ， ，使得 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用导数可求得 单调性，结合单调性可确定最值，由此可得 值域；
（2）将问题转化为 ，结合一次函数性质即可构造不等式求得结果.
【详解】（1） ， 当 时， ；
在 上单调递减， ， ；
在 上的值域为 .
（2） ， ，使得 ， ；
当 时， ；
由（1）知：当 时， ， ，解得： ，
即实数 的取值范围为 .
14．函数 ，若对于任意的 有 恒成立，则实数
的最小值是__________.
【答案】
【分析】利用三角恒等变换得到 ，由 得到 ，从而求出
最小值为 ，列出不等式，求出答案.
【详解】
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
∵ 在 上的最小值为 ，
最小值为 ，令 ，解得
则实数 的最小值是 .
故答案为：
15．已知函数
(1)若 ，证明 为奇函数；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换得 ， ，再判断函数奇偶性即可；
（2）由题知 ，再令 ，进而得 ， ，再根据单调性求最值即可得答案.
【详解】（1）解：
．
所以， ，即 ，定义域为 ，
所以， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以， 为奇函数.
（2）解：∵ 在 上恒成立，
∴ ．
令 ，因为 ，所以 ，
所以， ， ，
因为 在 单调递增，
所以 ， 即 ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ．
16．已知 ， （ 且 ），若对任意的 ，都存在 ，使
得 成立，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】求出函数 在 上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答.
【详解】当 时， ，则 ，
因为对任意的 ，都存在 ，使得 成立，
因此函数 在 上的最大值小于函数 在 上的最大值，
而当 时， ， ，不符合题意，
于是 ，函数 在 上单调递增，则 ，即 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以实数a的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】结论点睛：一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 .
17．已知 为正的常数，若不等式 对一切非负实数 恒成立，则 的最大值为________.
【答案】
【分析】令 ，将带有根式的不等式问题转化成整式不等式的问题，然后结合二次函数性质处理.
【详解】原不等式即 ① ，令 ， ，则 ，
将 代入①式，则有 ，
对一切 恒成立， 对 恒成立，
即 ，根据二次函数的性质， 在 时单调递增，故 ，
所以 ，又 为正的常数，则 的最大值为 .
故答案为：
4.数形结合法
18．用 表示a，b两个数中的最大值，设函数 ，若 恒
成立，则m的最大值是_________．
【答案】 /
【分析】根据题中定义，结合函数的单调性、数形结合思想进行求解即可.
【详解】因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
根据函数单调性的性质可知当 时，函数单调递减，
而当 时，函数单调递减，故当 时，函数有最小值，最小值为 ，
该函数图象如下图所示：
所以要想 恒成立，只需 ，
因此m的最大值是 ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据题中定义把原函数解析式化简成分段函数的解析式形式，结合函数的单调性进行
求解是解题的关键.
19．若不等式 （ ，且 ）在 内恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析出 时，不成立，当 时，画出 ， 的图象，数形结合得到
实数a的取值范围.
【详解】若 ，此时 ， ，而 ，故 无解；
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学科网（北京）股份有限公司若 ，此时 ， ，而 ，
令 ， ，
画出两函数图象，如下：
故要想 在 内恒成立，
则要 ，解得： .
故选：B.
20．已知 ，当 时，函数 的图象恒在 轴下方，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意 对任意 恒成立，转化为 恒
成立，利用数形结合法求解.
【详解】因为函数 的图象恒在 轴下方，
所以 对任意 恒成立，
又 时，可得 对任意 恒成立，
即 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司在同一坐标系中作出函数 ， 的图象，如图所示：
由图象知，只需 ，
解得 ，又 ，所以 ，
故选：A
21．设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， .若对任意
，都有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设条件画出函数 的简图，由图象分析得出 的取值范围.
【详解】当 时， ，则 ，
即当 时， ，
同理当 时， ；
当 时， .
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学科网（北京）股份有限公司以此类推，当 时，都有 .
函数 和函数 在 上的图象如下图所示：
由图可知， ，解得 ，
即对任意 ，都有 ，即 的取值范围是 .
故选：D
【点睛】关键点睛：解决本题的关键对 的理解，并结合图象，非常直观的得出满足条件
的m的取值范围.
22．已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)若 对任意 恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）由题意分别画出三个函数的图象，即可分析出 的图象，通过图象可得最小值；
（2）设 ，可知 恒过点 ，作图并分类讨论 ，结合条件根据图象，求出k的取
值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数 ， ， 的图象，如图1
所示，
由 ，解得 或 ；
由 ，解得 或 .
由图象易得 ，
结合图象可知，当 时， 取得最小值，
即 .
（2）设 ，则 恒过点 ，
因为 ，所以记 ，
由（1）知， 的图象如图2所示，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 ，
所以 ，不等式恒成立.
当 时，易知直线AM的斜率 ，
由图象可知，根据 恒成立，
可得 ，解得 ，所以 ，
综上所述，k的取值范围是 .
5.变更主元法
23．已知函数 ，对任意的 ， 恒成立，则 的取值范围是
______.
【答案】
【分析】根据函数奇偶性以及单调性，可得 ，然后构造新函数 ，最后根据一次函
数的图像与性质可得结果.
【详解】由 ，可知定义域为
则 ，可知函数 为奇函数
又 均为单调递增的函数，
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学科网（北京）股份有限公司所以 为单调递增的函数，
由 ，则
即 ，则 ，
所以 .
据题意可知：
对任意的 ， 恒成立
即任意的 ， 恒成立
令
所以
所以
故答案为：
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，掌握等价转换的方法，同时当含多个未知量的
时候，一般给出谁的范围，谁就是主元，属中档题.
24．已知函数 .
(1)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若对一切 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）构造函数 ，讨论其对称轴和区间之间的位置关系，在不同情况下结合二次函
数单调性求其最小值，结合题意，即可求得参数范围；
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学科网（北京）股份有限公司（2）构造关于 的一次函数 ，根据题意，即可求得结果.
【详解】（1）∵ ，∴ 对 恒成立，即 对 恒成立，
令 ， ，
∴ ，因为 的对称轴为 ，开口向上，
根据对称轴与区间 的位置关系，分以下三种情况讨论 ，
①当 ，即 时，∵ 在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，∴ 无解；
②当 时，即 时，∵ 在 上单调递减，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴实数 的取值范围为 ；
③当 ，即 时，∴ ，
∴ ，解得 ，
∴实数 的取值范围为 ．
综合①②③可得，实数 的取值范围是 ；
（2） 对一切 恒成立，
∴ 对一切 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司令 ， ，要使 在区间 上恒成立，
则 ，即 ，解得 或 ，
∴实数 的取值范围是 ．
25．已知函数 ，对任意的 ， 恒成立，则 的取值范围为______.
【答案】
【分析】先判断函数 的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的
性质，求得 的取值范围.
【详解】由于 故函数为奇函数，而 为 上的增函数，故由 ，
有 ，所以 ，即 ，将主变量看成 （ ），表示一
条直线在 上纵坐标恒小于零，则有 ，解得 .所以填 .
【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查一元一次
不等式组的解法，属于中档题.
26．已知函数 ，对任意的 ， 恒成立，则 的取值范
围为______．
【答案】
【分析】根据函数奇偶性以及单调性，可得 ，然后构造新函数 ，根据函数的性
质可得结果．
【详解】 ，定义域为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，可知函数 为奇函数，
又 均为增函数，所以 为增函数，
由 ，得 ，即 ，
则 ，即 ，
由题意可知，对任意的 ， 恒成立，
令 ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ．
故答案为： ．
6.分类讨论法
27．已知函数 .
(1)若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围；
(2)若不等式 对任意 都成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据定义域，将问题转化为对任意的 , 恒成立，分类讨论结合利用二次
函数的性质即可求解，
（2）由换元法将问题转化成 对任意的 恒成立，利用一元二次不等式的解即可
分类讨论求解.
【详解】（1） 的定义域为 ，则对任意的 , 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 显然成立，故 符合，
当 时，即 ，
综上： ；
（2）令 ，由于 ，则 ，则问题转化成： 恒成立，即 ，两边
平方整理得 ，进一步得 ，
当 时，即 ，此时 的解为 ，此时 ，不等式
，故 不符合，
当 时，即 ，此时不等式为 ，当 ，不等式不成立，故 不符合，
当 时，即 ,此时 的解为 ，
故 的解为 或 ，故要对 ， 恒成立，则满足
，解得 ，
综上， .
28．已知函数 ．
（1）当 时，函数 的定义域是__________；
（2）若 对任意的 恒成立，则实数 __________．
【答案】 2
【分析】由对数函数的性质可求 的定义域，结合对数函数和指数函数性质化简不等式，由此可求 .
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学科网（北京）股份有限公司【详解】当 时， ，由 有意义可得 ，
所以函数 的定义域为 ，
因为 对任意的 恒成立，
又当 时， ，所以当 时， ，
又当 时， ，所以当 时， ，
当 时， ，所以当 时， 可取任意实数，
又函数 在 单调递增，
所以 ，
故 .
故答案为： ；2.
29．已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分 ， 两种情况进行讨论， 时可知要使不等式恒成立，令 ，
分 ， 和 讨论其单调性即可； 时，再分 ， 两种情况讨论，分离参数 后化
为函数最值可求，注意最后对 范围取交集．
【详解】当 时， ，要使 ，即 恒成立，
令 ，
当 时， ，故 单调递增，所以 ，不满足，舍去；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，故 单调递增，所以 ，不满足，舍去；
当 时， ，故 单调递减，所以 ，
综上所述，
当 时， ，若 ，则 恒成立，所以 取任意实数；
若 时， 可化为 ，
令 ，当且仅当 时取等号，
此时须满足 ，
综上可得， 的取值为 ，
故选：A．
30．已知函数
(1)求证： 的图象关于原点对称；
(2)设 ，若 的图象恒在函数 图象的上方，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）根据奇函数的定义即得；
（2）由题可得 ，然后分 和 讨论结合函数的单调性即得.
【详解】（1）因为 ，定义域为R，
所以
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学科网（北京）股份有限公司是奇函数，所以 的图象关于原点对称；
（2）若 的图象恒在函数 图象的上方，则有 ，
即 ，
当 时， ，即 ，
所以 ；
当 时， ，即 ，所以 ，
所以 ；
故实数 的取值范围为 .
31．已知函数 是定义在R上的奇函数，若不等式 对任意的
恒成立，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性和单调性可得不等式 在 恒成立，换元法讨论函数在给
定区间的单调性和最值，结合分类讨论即可求 的范围.
【详解】因为函数 是定义在R上的奇函数，
所以 解得 ，
此时 ，
函数为奇函数，满足题意，
所以 ，
因为 在R上单调递增，所以 在R上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在R上单调递增，
所以由 可得，
即 ，
所以 即 在 恒成立，
令 ，即 ，
当 时， ，
不等式可化为 ，
令 ， 单调递减，所以 ，
所以 ；
当 时， ，
不等式 显然成立；
当 时， ，
不等式可化为 ，
令 ， 单调递减，
所以 ，所以 ；
综上， ,
故答案为: .
1．已知函数 ，关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】D
【分析】易得 为奇函数，将问题转化为 恒成立，再由
，转化为 恒成立，然后利用 的单调性求解.
【详解】由 ，得 ．
因为 的定义域为R， ，
所以 为奇函数，
因此 ．
又 ，
所以 ．
当 时， 单调递增，而 为奇函数，
所以 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
所以 ，解得 ，
故 的取值范围为 ．
故选：D.
2．已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ．若对任意
，都有 ，则t的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据 ，且当 时， ，类比周期函数的性质，求出函数的解析
式，然后作出图象，利用数形结合法求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为当 时， ，所以 ，
因为 ，当 时，即 时，
由 ，所以 ，
同理可得 ，
依此类推，作出函数 的图象，如图所示：
由图象知：当 时，令 ，则 ，解得 ，
对任意 ，都有 ，只需对任意 ，函数的图象不在直线的上方即可，
由图知 ，即t的取值范围是 .
故答案为：
3．已知正数 ， 满足 ，若 恒成立，写出一个满足条件的 值____________.
【答案】 (答案不唯一，大于等于 均可)
【分析】由基本不等式求出 即可得出答案.
【详解】正数 ， ，若 恒成立，则 ，
因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时取等，所以 .
故答案为： (答案不唯一，大于等于 均可).
4．已知 ．
(1)若 的解集为 或 ，求 的值；
(2)若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知 ， 是方程 的根，从而可得 ，求解即可；
（2）由题意可知 ，而 ，利用基本不等式求得最小值，从而可求解.
【详解】（1） ，若 的解集为 或 ，
则 ， 是方程 的根，即 ，
解得： ．
（2）若对任意 ， 恒成立，即若对任意 ， ，
由已知得 ，
， ，
当且仅当 时取等号，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，即 的取值范围为 .
5．已知函数 ， ．
(1)若 ，函数 在区间 上存在零点，求 的取值范围；
(2)若a＞1，且对任意 ，都有 ，使得 成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）函数 在区间 上单调递减，要使函数 在区间 上存在零
点，则由零点存在定理可得 ，解不等式即可得出答案；
（2）若对任意 ，都有 ，使得 成立，则当 时，
，讨论a＞1，1＜a＜2或 ，求出 ，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）函数 在区间 上单调递减，
则由零点存在定理可得 ，即
解得 ，所以 的取值范围是 ．
（2）若对任意 ，都有 ，使得 成立，
则当 时， ．
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学科网（北京）股份有限公司因为a＞1，所以当 时， 单调递减，
单调递增，
所以 ， ，
所以 ．
当1＜a＜2时， ， ，不符合条件，
当 时， ， ，符合条件，
所以a的取值范围是 ．
6．已知函数 ．
(1)分析 的最值情况；
(2)若函数 在区间 上， 恒成立，求正实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）令 ，则 ，根据基本不等式求范围即可；
（2）讨论 在区间 上单调性，求出 的最值，根据 ，求得正实数
a的取值范围．
【详解】（1）函数 ，则 ，
令 ，故
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学科网（北京）股份有限公司当 时，即 时， ，当且仅当 时等号成立；
当 时，即 时， ，当且仅当 时等号成立，
综上：当 时， 的最小值为 ，没有最大值；
当 时， 的最大值为 ，没有最小值．
（2）易知 ，因为 ，解得 ．
（i）当 时，即当 时， 在 上单调递增，
所以，当 时， ，
，解得 ，此时 ；
（ii）当 时，即当 时，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以，当 时， ，可得 ， ，
因为 ， ，则 ，
所以， ，可得 ，此时 ．
综上所述， ．
7．设函数 ( 为实数).
(1)当 时，求方程 的实数解；
(2)当 时，存在 使不等式 成立，求 的范围；
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）代入得 ，解出 值即可；
（2）根据复合函数单调性得 在 上单调递增，转化为 ，则 ，求
出右边最小值即可.
【详解】（1）当 时， ，则 或 ，
或 .
（2）当 时， ，因为 在 上单调递增，
在 上单调递减，所以 在 上单调递增.
因为存在 ，使不等式 成立，
所以 ，所以 ，所以只需 ，
又当 时， ，
则当 时， ，所以 ，
即 的取值范围为 .
8．定义在 上的奇函数 ，已知当 时， ＝ .
(1)求 在 上的解析式；
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）由题意可得 ，求得 ，再由奇函数的定义，结合已知解析式，可得 在 上的
解析式；
（2）由题意可得 在 时恒成立，由参数分离和指数函数的单调性，结合恒成立，可
得 的取值范围．
【详解】（1）因为 是定义在 上的奇函数， 时， ，
所以 ，解得 ，
所以 时， ，
当 时， ，
所以 ，
又 ，
所以 ， ，
即 在 上的解析式为 ；
（2）因为 时， ，
所以 可化为 ，
整理得 ，
令 ，根据指数函数单调性可得，
与 都是减函数，
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学科网（北京）股份有限公司所以 也是减函数，
，
所以 ，
故数 的取值范围是 .
9．已知函数 ．
(1)若 ，解关于 的方程 .
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据 代入求出 的值，即可得到函数解析式，再解方程即可；
（2）依题意可得 在 上恒成立，参变分离可得 在 上恒成立，再
利用换元法及二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）由题意 ， ，则 ，
由 可整理得 ，则可得 或 ，
或 ；
（2）若 在 上恒成立，则 在 上恒成立，整理得 在
上恒成立，
令 ，由 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司又令 ， ，所以 是 上的减函数，
所以 ，
故实数 的取值范围为 .
10．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 .
(1)求实数a的值；
(2)对于 ， 成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用奇偶性定义 可求出答案；
（2）由 可得 ，然后求出右边对应函数的最小值即可.
【详解】（1） 是定义在 上的奇函数，
， ，
于是， ， ，因此 ；
（2） 在 上恒成立，
在 上成立，
于是， 在 上恒成立，
记 ，
当且仅当 ，即 等号成立.
因此， ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所汉，实数m的取值范围为 .
11.若 对于 恒成立，则实数x的取值范围为________．
【答案】
解析：设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，
则即解得
