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特训 08 期末解答压轴题
第1-6章，含数轴、基本平面图形、一元一次方程综合题
一、解答题
1．如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b， 与 互为相反数，线段 在数轴
上从A点左侧沿数轴正方向匀速运动（点C在点D的左侧），点M、N分别为 、 的中点．
(1) 的长为 ；若 ，则 的长为 ；
(2)在（1）条件下，当 时，求N点所表示的有理数；
(3)设 ，线段 运动的速度为v，则在运动过程中，线段 完全通过线段 的时间为 ．（用
含m、v的式子表示）
2．已知点 在线段 上， ，点 、 在直线 上，点 在点 的左侧．
(1)若 ， ，线段 在线段 上移动．
①如图1，当 为 中点时，求 的长；
②若点 在线段 上，且 ， ，求 的长；
(2)若 ，线段 在直线 上移动，且满足关系式 ，求 的值．
3．已知式子 是关于 的二次多项式，且二次项的系数为 ，在数轴上有点 、
、 三个点，且点 、 、 三点所表示的数分别为 、 、 ，如下图所示已知 ．
1（1） =_______； =_______； =________．
（2）若动点 、 分别从 、 两点同时出发，向右运动，且点 不超过点 ．在运动过程中，点 为
线段 的中点，点 为线段 的中点，若动点 的速度为每秒2个单位长度，动点 的速度为每秒3个
单位长度，求 的值．
（3）点 、 分别自 、 同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点 自点 出发，以每秒6
个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为 （秒）， 时，数轴上的有一点 与点 的距
离始终为2，且点 在点 的左侧，点 为线段 上一点（点 不与点 、 重合），在运动的过程
中，若满足 （点 不与点 重合），求出此时线段 的长度．
4．（1）如图1，已知 内部有三条射线， 平分 ， 平分 ，若 ，求
的度数；
（2）若将（1）中的条件“ 平分 ， 平分 ”改为“ ，
”，且 ，求 的度数；
（3）如图2，若 、 在 的外部时， 平分 ， 平分 ，当 ，
2时，猜想： 与 的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
5．将一副直角三角板按图 摆放在直线 上（直角三角板 和直角三角板 在同一平 面内，
， ， ， ），保持三角板 不动，将三 角板
绕点 以每秒 的速度顺时针转动（即每一条边都绕点 以相同速度顺时针转动）， 转动时间为 秒．
(1)当 秒时， 平分 ？如图 ，此时 ；（直接写答案）
(2)继续转动三角板 ，如图 ，使得 、 同时在直线 的右侧，猜想 与
有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含 ）
(3)若在三角板 开始转动的同时，另一个三角板 也绕点 以每秒 的速度顺时针 转动，当
旋转至射线 上时同时停止，（自行画图分析）
当 为多少秒时， ？
在转动过程中，请写出 与 的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含 ）
6．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长 （单位长度），慢车长
（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点 为原点，取向右方向为正
方向画数轴，此时快车头 在数轴上表示的数是 ，慢车头 在数轴上表示的数是 ．若快车 以6个单
位长度/秒的速度向右匀速行驶，同时慢车 以2个单位长度/秒的速度向左匀速行驶，
．
(1) ， ．
(2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头 相距8个单位长度？
(3)此时在快车 上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客 ，他发现行驶中有一段时间 秒钟，他的位置
3到两列火车头 的距离和加上到两列火车尾 的距离和是一个不变的值（即 为
定值）．你认为学生 发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间定值；若不正确，请说明理由．
7．利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑
色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为 ，那么可以转换
为该生所在班级序号，其序号为 ，（规定 ）如图2第一行数字从左到右依
次为0，1，0，1，序号为 ，表示该生为5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，
并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“ ”、“ ”，结合“+”、“
”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新
系统规则可表示的班级编号范围．
8．伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.
如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于 处，向右行驶.乙动车位于 处，向左行驶.五峰山长江
大桥主桥为 ；甲、乙两动车长度相等，速度均为 米/秒. 表示的数分别是 ，
且满足 .
(1) ______， 间的距离是______米， 间的距离是______米；
(2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的
距离等于 米？
(3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距
4离与点M到点C的距离之和等于 米？
(4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上
的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好 同时在五峰山长江大桥
上？如存在，请直接写出t的值.
9．水果批发市场梨的价格如下表：
购买梨（千克） 单价
不超过10千克的部分 6元/千克
超过10千克但不超出20千克的部分 5元/千克
超出20千克的部分 4元千克
(1)小明第一次购买梨5千克．需要付费________元；小明第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20
千克），需要付费________元（用含x的式子表示，并化成最简形式）；
(2)若小强买梨花了54元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了105元，则小强购买梨________千
克；若小强买梨花了130元，则小强购买梨________千克；
(3)小强分两次共购买50千克梨，且第一次购买的数量为a千克 ，请问小强两次购买梨共需要
付费多少元？（用含a的式子表示）．
10．已知式子 是关于 的二次多项式，且二次项系数为 ，数轴上 ， 两点所
对应的数分别是 和 ．
(1)则 ______， ______； ， 两点之间的距离为______；
(2)有一动点 从点 出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，
再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2023次时，求点
所对应的有理数；
(3)若点 以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点 以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点 从
原点开始以每秒 个单位长度在 之间运动（到达 或 即停止运动），运动时间为 秒，在运动
过程中， 的值始终保持不变，求 点运动的方向及 的值．
11．已知 ，在数轴上点A表示的数是a，点C表示的数是c，A，C两点之间的距离
5．
(1)直接写出a、c的值， ______， ______；
(2)若数轴上有一点D满足 ，且点D在A，C之间，则D点表示的数为______；
(3)点M从原点O出发在O，A之间以 的速度沿数轴负方向运动，点N从点C出发在O，C之间以 的速
度沿数轴负方向运动，运动时间为t，点Q为O，N之间一点，且 ，若M，N运动过程中 的
值固定不变，求 的值．
12．将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形 内，未被覆
盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为 和 ．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且 ．
(1)当 ， ， 时，长方形 的面积是______， 的值为______；
(2)当 时，请用含 的式子表示 的值；
(3)若 保持不变， 变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形 内，
当 的值也不变时，求小长方形纸片的长a与宽b的值．
13．人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮
云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这
类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
6（1）观察分析（特殊）：
①当 ， 时，A，B之间的距离 ；
②当 ， 时，A，B之间的距离 ______；
③当 ， 时，A，B之间的距离 ______．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为 ______；
【问题解决】
（3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若 ，则 ______．
②若 ，则 ______．
③若x，y满足 ，则代数式 的最大值是______，最小值是______．
14．“分类讨论”是一种重要的数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细
阅读，并回答问题．
例：三个有理数 ， ， 满足 ，求 的值．
解：由题意，得 ， ， 都为正数或者其中一个为正数，另两个为负数．
当 ， ， 都是正数，即 时，
；
当 ， ， 其中一个为正数，另两个为负数时，设 ，
综上所述， 的值为3或-1
请根据上面的解题思路解答下面问题：
(1)已知 ， ，且 ，求 的值；
7(2)已知 ， 是有理数，当 时，求 的值；
(3)已知 ， ， 是有理数， ， ，求 的值．
15．用 型机器和 型机器生产同样的产品，已知5台 型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台 型
机器一天的产品装满11箱后还剩1个，每台 型机器比 型机器一天多生产1个产品．
(1)求每箱装多少个产品．
(2)现需生产 箱产品，若用 台 型机器和 台 型机器同时生产，需要几天完成．（用含有 的
代数式表示）
(3)若每台 型机器一天的成本费用是110元，每台 型机器一天的成本费用是100元，可以运作的 型机
器最少18台，最多20台，现要在一天内完成38箱产品的生产，请直接写出总成本的最小值_______．
16．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五
个数分别a，a，a，a，a．
1 2 3 4
(1)若a＝1，则 ＝______，若a＝x，则a＝______（用含x的式子表示）；
1 4
(2)在移动“凹字型框过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为106，大胖说被框住的5个数字之和可
能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由；
(3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b，b，b，b，b，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为
1 2 3 4
______．
17．如图，这是某新建的交通环岛的简化模型（因路段 还未完成施工，禁止车辆从 驶进或驶出环
岛），试通车前环岛上没有车辆，试通车期间该交通环岛的进出机动车辆数如图所示，已知试通车期间从
路口 驶入了 辆机动车，图中箭头方向表示车辆的行驶方向，图中 ， ， 分别表示该时段单位时
间内通过路段 ， ， 的所有机动车辆数．
8(1)若 ，则
① ______， ______．（用含a，b的代数式表示 ， ）
②当 ， 时，判断 ， ， 的大小．
(2)若该时段内，通过路段 ， 的车辆数相同，且通过路段 的车辆比路段 的车辆少 辆，分别
求 ， 的值．
二、作图题
18．现有一副三角尺，将 和 重合于点 放置，且 ， ，
．将三角尺 绕点 逆时针旋转一周（旋转过程中 和 均是指小于 的角），
分别作出 、 的平分线 、
(1)将三角尺旋转到如图1的位置时，点 在 上，直接写出图1中 ______度；
(2)将三角尺旋转到如图2位的置时，点 在 的延长线上，直接写出图2中 ______度
9(3)将三角尺旋转到图3所示的位置时，若 ，
① ______．（用含 的代数式表示）
②请求出 的度数．
19．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．
(1)下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号）
(2)综合实践小组利用边长为 的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体
纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中 ， ．
①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为 的小正
方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______ ；
②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为 的小正
方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为______ ；
③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍；
(3)若有盖长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长
方体表面展开图的最大外围周长为______；
(4)若无盖（缺长宽为 ， 的长方形底面）长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，将它的表面沿某些棱剪
开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最小外围周长为______．
三、计算题
20．问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： ， ， ，
10．
(1)利用规律计算： ；
(2)问题拓展，求 ；
(3)问题解决：
求 的值．
21．求几个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如 ， 等．类比有
理数的乘方，我们把 记作 ，读作“2的圈3次方”， 记作 ，读作“
的圈4次方”．一般地，把 （ ）记作 ，读作“a的圈n次方”．
(1)直接写出计算结果： ________， ________；
(2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算
如何转化为乘方运算呢？
除方→ →乘方的形式
仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．
________； ________； ________．
(3)由（2）中的算式归纳：有理数a（ ）的圈n（ ）次方写成乘方的形式等于________．
(4)计算
22．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机，
(1)如图， 同学设置了一个数值转换机，若输入 的值为 ，则输出的结果为________
11(2)如图， 同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的 ________
(3) 同学也设置了一个计算装置示意图， 、 是数据入口， 是计算结果的出口，计算过程是由 ，
分别输入自然数 和 ，经过计算后的自然数 由 输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：
①若 、 分别输入1，则输出结果1，记 ；
②若 输入1， 输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，记 ；
③若 输入任何固定自然数不变， 输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2，记
；
问：当 输入自然数7， 输入自然数6时， 的值是多少？
23．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称
得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题
转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是
一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就
是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法
就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正
负数的乘法了．
12下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算 (其中 是正整数，且 ，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方
形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算 ．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为
，最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分割图可得等式： ．
探究二：计算 ．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为 ，
13最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分制图可得等式： ，
两边同除2，得 ，
探究三：计算 ．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算 ．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以， ___________．
(3)拓广应用：计算 ___________．
24．小岳同学仿造二进制，写出了一种数的表示方法：一个n位数 ，其中 的值只能取
0或1，他把这样的数叫做本原数．比如当 时，2位本原数 可以表示00，01，10，11共4个数．
14然后小岳设计了一种针对两个本原数的运算，如果 ，那么定义：
（1）计算 的值为：_________；
（2）若 ，且 ，求本原数t的值；
（3）①若 为k个互不相同的4位本原数，满足对任意 ，当 时， 为奇数；当
时， 为偶数，直接写出k的最大值：________；
②若 为k个互不相同的2019位本原数，满足对任意 ，当 时， ，直接写出k的
最大值：_______
25．【知识背景】在学习计算框图时，可以用“ ”表示数据输入、输出框；用“ ”表
示数据处理和运算框；用“ ”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）
【尝试解决】
（1）如图1，当输入数 时，输出数 ______；
如图2，第①个“ ”内，应填______；第②个“ ”内，应填______；
15（2）如图3，当输入数 时，请计算出数y的值；
【实际应用】
（3）为鼓励节约用水，某市决定对家庭用水实行“阶梯价”，当每月用水量不超过10吨时（含10吨），
以3元/吨的价格收费；当每月用水量超过10吨时，超过部分以4元/吨的价格收费．如图4是小聪设计的
一个家庭水费“计算框图”，请把计算框图中①②③方框补充完整．
第①个“ ”内，应填____________；第②个“ ”内，应填____________；第③个“
”内，应填____________．
26．【探索实践】
小附同学发现，在某计算器的使用中使用模式2，输入算式 得到的结果为 ，他发现与自己运
算结果不同，他首先输入了一些一次运算的算式，例如 ， ， ， 等，发现结果没
发生变化，他又输入了一些算式，以下是计算器呈现的结果： ； ；
小附很快就发现了模式2的运算规律，他还进一步研究了计算器上的一个按钮“^”，他
发现， ； ，请根据小附的发现，在该计算器模式2下解决下面的问题：
(1) ___________； ___________；
(2)小附发现的模式2的运算规律与常规运算不同的是：__________；
(3)小附使用“STO”按钮分别对A，B，C三个字母存入数字1， ，3，求上图中代数式 的值；
(4)写出一个含有“×”，“+”，“^”，“A”，“B”，“C”，“2”代数式（运算符号、字母和数字仅用一次），
且当使用（3）中存入的数字时，代数式的值为1；
(5)求代数式 的值（结果用含 的代数式表示）．
1627．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要
思想方法．在数轴上点 分别表示数 ． 两点间的距离可以用符号 表示，利用有理数减法和
绝对值可以计算 两点之间的距离 ．
例如：当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ．
综合上述过程，发现点 之间的距离 （也可以表示为 ）．
请你根据上述材料，探究回答下列问题：
(1)表示数 和 的两点间距离是6，则 _________；
(2)如果数轴上表示数 的点位于 和3之间，则 _________；
(3)代数式 的最小值是多少？
(4)如图，若点 在数轴上表示的有理数分别为 ，则式子
的最小值为_________（用含有 的式子表示结果）．
28．如图1，已知数轴上从左向右依次有四点 、 、 、 ，其中 ，点 对应的数是 ．
(1)若 ，则点 对应的数是______；
(2)如图2，在（1）的条件下，若一小球甲在数轴上从点 处以 单位/秒的速度向右运动，同时另一小球
17乙从点 处以 单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点 和点 处各放一块挡板，
其中 ，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设
运动的时间为 秒，问： 为何值时，甲、乙两小球之间的距离为 个单位．
(3)在（2）的条件下，将线段 、 分别绕点 、点 竖直向上折起，连接线段 ，围成如图3的长
方形 中，点 从点 出发，以 单位/ 的速度沿点 － － － 匀速运动，最终到达点 ．设点
运动时间为 秒，问： 为何值时， 的面积为 ？
18
