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特训 08 期末解答压轴题
第1-6章，含数轴、基本平面图形、一元一次方程综合题
一、解答题
1．如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b， 与 互为相反数，线段 在数轴
上从A点左侧沿数轴正方向匀速运动（点C在点D的左侧），点M、N分别为 、 的中点．
(1) 的长为 ；若 ，则 的长为 ；
(2)在（1）条件下，当 时，求N点所表示的有理数；
(3)设 ，线段 运动的速度为v，则在运动过程中，线段 完全通过线段 的时间为 ．（用
含m、v的式子表示）
【答案】(1)10，6
(2) 或
(3)
【分析】（1）由题意可直接得到 ， 两点表示的有理数分别为 和4，设 ，则 ，
，由点 、 分别为 、 的中点，可得出 ，
，所以 ；
（2）根据（1）中的结论，分两种情况讨论可直接求得；
1（3）根据题意，开始点 与 点重合，再根据当线段 从开始运动到完全通过线段 的路程为
，由此求解即可．
【解析】（1）解： 与 互为相反数，
，
又 ， ，
，
，
， 两点表示的有理数分别为 和4，
；
如题图1，设 ，则 ， ，
点 、 分别为 、 的中点，
，
，
；
（2）解：如题图2，
设点C表示的数 ，点D表示的数为 ，根据题意，得 ，
点M表示的数为 ，点N表示的数为 ，
当 时，
2或 ，
解得； 或
点 表示的有理数为 或 ．
（3）解：∵ ，线段 在数轴上从A点左侧沿数轴正方向匀速运动
∴开始点 与 点重合，
则 点表示的数字为 ，运动到 点时，路程为 ；
到结束时，点 与点 重合，此时 完全通过线段 ，如图所示
则 点 表示的数为 ，
则 运动的总路程为
∴当线段 从开始运动到完全通过线段 的时间为 ．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离，数轴上的动点问题，用数轴表示有理数，非负数的性质，熟知
数轴上两点距离公式是解题的关键．
2．已知点 在线段 上， ，点 、 在直线 上，点 在点 的左侧．
(1)若 ， ，线段 在线段 上移动．
①如图1，当 为 中点时，求 的长；
②若点 在线段 上，且 ， ，求 的长；
(2)若 ，线段 在直线 上移动，且满足关系式 ，求 的值．
【答案】(1)① ；②
3(2) 或
【分析】（1）根据已知条件得到 ， ，①由线段中点的定义得到 ，求得 ，由线
段的和差得到 ；②点 在点 的左侧，点 是 的中点，所以 ，可以根据
进行求解，当点 在点 的右侧， ， ，求出 的长度，再根据
进行求解即可；
（2）当 在点 的右侧时，设 ， ，则 ， ， ，
求得 ，当 在点 的左侧时，设 ， ，则 ， ，
，求得 ，分别代入关系式即可得出答案．
【解析】（1）解：① ， ， ，
， ，
如图，
为 中点，
，
，
；
②如图，
，
点 在点 的左侧，
点 是 的中点，
，
，
；
4当点 在点 的右侧，如图
， ，
，
，
（不合题意，舍去），
综上所述， 的长为 ；
（2） ， ，满足关系式 ，
如图，当 在点 的右侧时：
设 ， ，则 ，
， ，
， ，
，
，
，
，
解得， ，
；
如图，当 在点 的左侧时：
设 ， ，则 ，
5， ，
， ，
，
，
，
，
解得， ，
．
故答案为是 或 ．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，根据题意分情况讨论是解答本题
的关键．
3．已知式子 是关于 的二次多项式，且二次项的系数为 ，在数轴上有点 、
、 三个点，且点 、 、 三点所表示的数分别为 、 、 ，如下图所示已知 ．
（1） =_______； =_______； =________．
（2）若动点 、 分别从 、 两点同时出发，向右运动，且点 不超过点 ．在运动过程中，点 为
线段 的中点，点 为线段 的中点，若动点 的速度为每秒2个单位长度，动点 的速度为每秒3个
单位长度，求 的值．
6（3）点 、 分别自 、 同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点 自点 出发，以每秒6
个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为 （秒）， 时，数轴上的有一点 与点 的距
离始终为2，且点 在点 的左侧，点 为线段 上一点（点 不与点 、 重合），在运动的过程
中，若满足 （点 不与点 重合），求出此时线段 的长度．
【答案】（1）16，20，-8；（2） ；（3）1或0.5
【分析】（1）先根据多项式的定义、系数定义求出a、b的值，再根据数轴的定义及 即可求出c
的值；
（2）设运动时间为t秒，先求出CP、OQ的长，再根据线段的和差求出 的长，然后根据线段的中
点定义求出EF的长，从而即可得出答案；
（3）设点T所表示的数为x，先求出点 所表示的数，再用含t，x的式子表示 的长，
代入 即可求出PT的值．
【解析】（1）由题意得：
则
故答案为： ； ； ；
（2）由（1）知，
设运动时间为t秒
如图，由题意得：
7点 为线段 的中点，点 为线段 的中点
故 的值为2；
（3）设点T所表示的数为x
由题意得：点P所表示的数为
点Q所表示的数为
点M所表示的数为
点N所表示的数为
整理得：
或
8解得： 或
故此时线段 的长度为1或 ．
【点睛】本题考查了线段的中点定义、线段的和差、数轴的定义，较难的是题（3），依据题意，正确求
出点 所表示的数是解题关键．
4．（1）如图1，已知 内部有三条射线， 平分 ， 平分 ，若 ，求
的度数；
（2）若将（1）中的条件“ 平分 ， 平分 ”改为“ ，
”，且 ，求 的度数；
（3）如图2，若 、 在 的外部时， 平分 ， 平分 ，当 ，
时，猜想： 与 的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）没有关系， ，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线性质可求 ，根据 即可解答；
（2）由题意可得 进而求出
；
（3）根据角平分线性质可得 ， 进而求出
．
【解析】（1）∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
9∴ ，
；
（2） ， ， ，
，
；
（3）与 的大小无关．理由：
， ，
∴ ，
∵ 是 的平分线， 是 的平分线，
∴ ， ，
，
即 ．
与 的大小无关。
【点睛】此题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差．
5．将一副直角三角板按图 摆放在直线 上（直角三角板 和直角三角板 在同一平 面内，
， ， ， ），保持三角板 不动，将三 角板
绕点 以每秒 的速度顺时针转动（即每一条边都绕点 以相同速度顺时针转动）， 转动时间为 秒．
10(1)当 秒时， 平分 ？如图 ，此时 ；（直接写答案）
(2)继续转动三角板 ，如图 ，使得 、 同时在直线 的右侧，猜想 与
有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含 ）
(3)若在三角板 开始转动的同时，另一个三角板 也绕点 以每秒 的速度顺时针 转动，当
旋转至射线 上时同时停止，（自行画图分析）
当 为多少秒时， ？
在转动过程中，请写出 与 的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含 ）
【答案】(1) ， ；
(2) ，理由见解析；
(3) 秒或 秒； ，理由见解析．
【分析】（ ）根据角平分线的定义得到 ，于是得到 ，由于 ，
，即可得到 ；
（ ）根据题意得 ，求得 ，即可得到结论；
（ ） 根据题意得 ， ，求得 ，列方程即可得到结论；
根据角的和差即可得到结论．
【解析】（1）∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ (秒)，
∵ ， ，
∴ ；
故答案为： ， ；
（2） ，理由：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3） ∵ ， ，
∴ ，
11∵ ，
∴ 或 ，
∴ 秒或 秒．
，理由：
∵ ， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
【点睛】此题考查了角的计算，认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的
关键．
6．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长 （单位长度），慢车长
（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点 为原点，取向右方向为正
方向画数轴，此时快车头 在数轴上表示的数是 ，慢车头 在数轴上表示的数是 ．若快车 以6个单
位长度/秒的速度向右匀速行驶，同时慢车 以2个单位长度/秒的速度向左匀速行驶，
．
(1) ， ．
(2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头 相距8个单位长度？
(3)此时在快车 上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客 ，他发现行驶中有一段时间 秒钟，他的位置
到两列火车头 的距离和加上到两列火车尾 的距离和是一个不变的值（即 为
定值）．你认为学生 发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间定值；若不正确，请说明理由．
【答案】(1) ，
12(2)再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头 相距8个单位长度
(3)正确，这个时间是0.625秒，定值是8单位长度
【分析】（1）根据非负数的性质求出 ，即可得到答案；
（2）根据时间 路程和 速度和，列式计算即可求解；
（3）由于 ，只需要 是定值，从快车 上乘客 与慢车 相遇到完全离开之
间都满足 是定值，依此分析即可求解．
【解析】（1）解： ，
，
解得： ， ，
故答案为： ，16；
（2）解：此时刻快车头 与慢车头 之间相距 （单位长度）；
（秒）或 （秒），
答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头 相距8个单位长度；
（3）解：正确，
，
当 在 之间时， 是定值5，
（秒），
此时 （单位长度），
故这个时间是0.625秒，定值是8单位长度．
【点睛】本题考查了两点的距离、数轴、绝对值和偶次方的非负性，知道数轴上任意两点的距离等于右边
的数减去左边的数的差，熟练掌握行程问题的等量关系：时间 路程 速度，根据数形结合的思想理解和
解决问题．
7．利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑
色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为 ，那么可以转换
为该生所在班级序号，其序号为 ，（规定 ）如图2第一行数字从左到右依
13次为0，1，0，1，序号为 ，表示该生为5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，
并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“ ”、“ ”，结合“+”、“
”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新
系统规则可表示的班级编号范围．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析，改编规则见解析，范围为 至
【分析】（1）根据规定了运算法则进行计算即可求解；
（2）根据有理数的混合运算进行计算，得出最大的班级变号为 ，则不能被全部被识别，改编为：改编
为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，根据有理数的混合
运算进行计算可得知新系统规则可表示的班级编号范围．
【解析】（1）解：图3中，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，则序号为
，
故答案为： ；
（2）不能，∵ ，
∴不能用该系统全部识别；
∵最多只能表示 个数字，要表示大于 的数字，则需加一位，
改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，
规则不变，序号改为： ，
如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，第二行第1个数字为1，
序号为 ，
第一行数字从左到右依次为0，0，1，0，第二行第1个数字为1，
14序号为 ，
当第一行数字从左到右依次为1，1，1，1，第二行第1个数字为1，
序号最大，为 ，
∴改编后的新系统规则可表示的班级编号范围为 至 ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
8．伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.
如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于 处，向右行驶.乙动车位于 处，向左行驶.五峰山长江
大桥主桥为 ；甲、乙两动车长度相等，速度均为 米/秒. 表示的数分别是 ，
且满足 .
(1) ______， 间的距离是______米， 间的距离是______米；
(2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的
距离等于 米？
(3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距
离与点M到点C的距离之和等于 米？
(4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上
的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好 同时在五峰山长江大桥
上？如存在，请直接写出t的值.
【答案】(1) ； ；
(2) 秒或 秒
(3) 秒或 秒
(4)
【分析】（1）先求出 的值，然后根据甲、乙两动车长度相等求解；
（2）根据速度、路程、时间的关系，分两种情况计算即可；
（3）根据速度、路程、时间的关系，分两种情况计算即可；
15（4）确定 同时在五峰山长江大桥上的开始时刻与结束时刻，计算即可．
【解析】（1）解：∵
∴ ， ，
∴ ， ，
∵甲、乙两动车长度相等
∴
（米）
（米）
故答案为：100，1400，1600；
（2）解： （米）， （米）
（秒）
（秒）
答：甲动车行驶 秒或 秒时，，点M到点C的距离等于 米．
（3）解：分两种情况，当点M在点B左侧时；
（米）
（米）
（米）
（秒）
当点M在点C右侧时；
（米）
（米）
（米）
（秒）
答：甲动车行驶 秒或 秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于 米．
（4）解：存在；
乘客M到达点B的时间为： （秒）
16乘客M到达点C的时间为： （秒）
乘客N到达点C的时间为： （秒）
乘客N到达点B的时间为： （秒）
，
（秒）
故 的值为： ；
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题、有理数的混合运算；熟练根据数轴上的两点求距离是解题的关键．
9．水果批发市场梨的价格如下表：
购买梨（千克） 单价
不超过10千克的部分 6元/千克
超过10千克但不超出20千克的部分 5元/千克
超出20千克的部分 4元千克
(1)小明第一次购买梨5千克．需要付费________元；小明第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20
千克），需要付费________元（用含x的式子表示，并化成最简形式）；
(2)若小强买梨花了54元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了105元，则小强购买梨________千
克；若小强买梨花了130元，则小强购买梨________千克；
(3)小强分两次共购买50千克梨，且第一次购买的数量为a千克 ，请问小强两次购买梨共需要
付费多少元？（用含a的式子表示）．
【答案】(1) ，
(2)9，19，25
(3)当 时，共需要付费 元；当 时，共需要付费 元；
【分析】本题考查列代数式，分段收费的问题；要注意购买的千克数在哪个段，就按哪个段的价格算总费
用；总费用 单价 数量；
17（1）5千克在“不超过10千克的部分”按6元 千克收费；第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过
20千克），按6元/千克、5元/千克分段收费；
（2）由小强买梨花了 元可知，买梨的千克数不超过10千克，按单价为6元/千克收费；
由小强买梨花了105元可知，买梨的千克数超过10千克但不超出20千克，按6元/千克、5元/千克分段收
费；由小强买梨花了130元可知，买梨的千克数超出20千克，按6元/千克、5元/千克、4元/千克分段收
费；
（3）由两次共购买50千克，且第一次购买的数量为a千克 可知， 的取值范围不确定，需要
用分类讨论的思想进行解答，
当 时，分别算第一次和第二次的总费用；
当 时，注意第一次购买有2段费用，第二次购买有3段费用，然后再相加；
分类讨论思想的运用是解题的关键．
【解析】（1）解： 千克在“不超过10千克的部分”按6元 千克收费，
元；
第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），
元
故答案为： ， ；
（2）由小强买梨花了 元可知，买梨的千克数不超过10千克，单价为6元/千克，
故小强购买梨 千克；
由小强买梨花了105元可知，买梨的千克数超过10千克但不超出20千克，
故小强购买梨 千克；
由小强买梨花了130元可知，买梨的千克数超出20千克，
故小强购买梨 千克；
故答案为：9，19，25；
（3） 两次共购买50千克，且第一次购买的数量为a千克 ，
第二次购买 千克，
当 ， 时，需要付费为：
元，
18当 ， 时，需要付费为：
元，
故当 时，小强两次购买梨共需要付费 元；
当 时，小强两次购买梨共需要付费 元；
10．已知式子 是关于 的二次多项式，且二次项系数为 ，数轴上 ， 两点所
对应的数分别是 和 ．
(1)则 ______， ______； ， 两点之间的距离为______；
(2)有一动点 从点 出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，
再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2023次时，求点
所对应的有理数；
(3)若点 以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点 以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点 从
原点开始以每秒 个单位长度在 之间运动（到达 或 即停止运动），运动时间为 秒，在运动
过程中， 的值始终保持不变，求 点运动的方向及 的值．
【答案】(1) ， ；10
(2)
(3) 点运动的方向：向左，
【分析】本题考查了多项式的概念，整式的加减，数轴，
（1）根据 为二次多项式，且二次项系数为 ，可得 ， ，再根据数
轴上的两点的距离，即可得到 ， 两点之间的距离；
（2）根据点的运动，找到规律，可得点 对应的有理数；
（3）当点D向左运动时，当点D向右运动时，分别进行求解即可得出结论，
根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是关键．
【解析】（1）解： 是关于 的二次多项式，且二次项系数为 ，
19，
，
， 两点之间的距离为 ，
故答案为： ；
（2）解：第1次运动P点对应的数为 ；
第2次运动P点对应的数为 ；
第3次运动P点对应的数为 ；
第4次运动P点对应的数为 ；
，
第2023次运动P点对应的数为 ；
（3）解： 移动后的位置为 ， 移动后的位置为 ，
①当点D向左运动时， 移动后的位置为 ，
则 ，
的值始终保持不变，
，即 ；
②当点D向右运动时， 移动后的位置为 ，
则 ，
的值始终保持不变，
，即 （舍去），
综上所述， 点运动的方向向左，且 ．
11．已知 ，在数轴上点A表示的数是a，点C表示的数是c，A，C两点之间的距离
．
(1)直接写出a、c的值， ______， ______；
20(2)若数轴上有一点D满足 ，且点D在A，C之间，则D点表示的数为______；
(3)点M从原点O出发在O，A之间以 的速度沿数轴负方向运动，点N从点C出发在O，C之间以 的速
度沿数轴负方向运动，运动时间为t，点Q为O，N之间一点，且 ，若M，N运动过程中 的
值固定不变，求 的值．
【答案】(1) ；20
(2)
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可；
（2）根据 ，且点D在A，C之间，求出 ，求出结果即可；
（3）根据题意得出点M表示的数为 ，点N表示的数为： ，设点Q表示的数为q，根据题意得
出 ，求出 ，表示出 ，根据 为定值，
得出 为定值，求出 ，最后求出结果即可．
【解析】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
故答案为： ；20．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，且点D在A，C之间，
21∴ ，
∴D点表示的数为 ．
故答案为： ．
（3）解：∵点M从原点O出发在O，A之间以 的速度沿数轴负方向运动，点N从点C出发在O，C之间
以 的速度沿数轴负方向运动，运动时间为t，
∴点M表示的数为 ，点N表示的数为： ，
设点Q表示的数为q，根据题意得：
，
解得： ，
∴ ，
∵ 为定值，
∴ 为定值，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，绝对值的
非负性，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离公式．
12．将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形 内，未被覆
盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为 和 ．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且 ．
22(1)当 ， ， 时，长方形 的面积是______， 的值为______；
(2)当 时，请用含 的式子表示 的值；
(3)若 保持不变， 变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形 内，
当 的值也不变时，求小长方形纸片的长a与宽b的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据长方形的面积公式，直接计算即可；求出 和 的面积，相减即可；
（2）用含 的式子表示出 和 的面积，即可求得结论；
（3）用含 的式子表示出 ，根据 的值与 的值无关，整理后，让 的系数为0即
可．
【解析】（1）长方形 的面积为 ；
；
故答案为： ；
（2）
；
23（3）∵ ，
整理，得： ，
∵ 的值与 的值无关，
∴ ，
解得： ．
即 满足的关系是
∵
∴ 即
解得： ．
∴
【点睛】此题考查了整式的混合运算，列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮
云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这
类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
（1）观察分析（特殊）：
①当 ， 时，A，B之间的距离 ；
②当 ， 时，A，B之间的距离 ______；
③当 ， 时，A，B之间的距离 ______．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为 ______；
【问题解决】
（3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若 ，则 ______．
②若 ，则 ______．
24③若x，y满足 ，则代数式 的最大值是______，最小值是______．
【答案】（1）7，3；（2） ；（3） 或 ；（4）①4②0或8③7，0
【分析】本题考查数轴上两点之间的距离；
（1）利用数轴直接得到A，B之间的距离 即可；
（2）归纳总结得到：数轴上分别表示有理数 ， 的两点A，B之间的距离表示为 ；
（3）解绝对值方程即可；
（4）①解绝对值方程即可；②分三种情况分类讨论解方程；先求出 ， 的取值范围，然后计算解题．
【解析】（1）② ；
③ ；
故答案为：7，3．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数 ， 的两点A，B之间的距离表示为 ，
故答案为： ．
（3）∵
∴ ，
解得： 或 ；
（4）① ，
即 ，
解得： ；
故答案为：4．
②若 ，
当 时， ，解得 ；
25当 时， ，方程无解；
当 时， ，解得 ；
故答案为：8或0．
③由题可知 ， ，
又∵ ，
∴ ， ，
即 ， ，
∴代数式 的最大值是 ，最小值是 ，
故答案为：7，0．
14．“分类讨论”是一种重要的数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细
阅读，并回答问题．
例：三个有理数 ， ， 满足 ，求 的值．
解：由题意，得 ， ， 都为正数或者其中一个为正数，另两个为负数．
当 ， ， 都是正数，即 时，
；
当 ， ， 其中一个为正数，另两个为负数时，设 ，
综上所述， 的值为3或-1
请根据上面的解题思路解答下面问题：
(1)已知 ， ，且 ，求 的值；
(2)已知 ， 是有理数，当 时，求 的值；
26(3)已知 ， ， 是有理数， ， ，求 的值．
【答案】(1) 或
(2)2或
(3)1
【分析】（1）先求解 ， ，结合 ，可得 或 ，再分别计算即可；
（2）由 ，再分两种情况讨论：当 时， ；当 时，
，从而可得答案；
（3）由 是有理数， ，可得 中有一个是负数，另外两个是正数，设
，再计算即可．
【解析】（1）∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
（2）∵ ，
当 时， ；
当 时， ；
综上所述， 的值为2或 ；
（3）∵ 是有理数， ，
∴ 中有一个是负数，另外两个是正数，
设 ，
则 ．
27【点睛】本题考查的是绝对值的含义，绝对值方程的应用，求代数式的值，清晰的分类讨论是解本题的关
键．
15．用 型机器和 型机器生产同样的产品，已知5台 型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台 型
机器一天的产品装满11箱后还剩1个，每台 型机器比 型机器一天多生产1个产品．
(1)求每箱装多少个产品．
(2)现需生产 箱产品，若用 台 型机器和 台 型机器同时生产，需要几天完成．（用含有 的
代数式表示）
(3)若每台 型机器一天的成本费用是110元，每台 型机器一天的成本费用是100元，可以运作的 型机
器最少18台，最多20台，现要在一天内完成38箱产品的生产，请直接写出总成本的最小值_______．
【答案】(1)12
(2)
(3)2490元
【分析】（1）设每台 型机器一天生产 个产品，则每台 型机器一天生产 个产品，根据题意可列
方程为 ，解方程可得 ，然后计算每箱装的产品数量即可；
（2）结合（1）可知每台 型机器一天生产20个产品，故每台 型机器一天生产19个产品，根据题意列
出代数式即可；
（3）分别求出当运行 型机器数量为18台、19台和20台时，还需要的 型机器数量，然后结合题意求
出运行总成本并比较即可获得答案．
【解析】（1）解：设每台 型机器一天生产 个产品，则每台 型机器一天生产 个产品，
由题意，可得 ，
解得 ，
所以 （个），
答：每箱装12个产品；
（2）由（1）可知，每台 型机器一天生产20个产品，故每台 型机器一天生产19个产品，
根据题意，现需生产 箱产品，若用 台 型机器和 台 型机器同时生产，
则需要的天数为 （天）；
28（3）①当使用 型机器18台时，为满足生产要求，即要在一天内完成38箱产品的生产，
可有 ，结合题意，可知还需要运行 型机器6台，
则总成本为 元；
②当使用 型机器19台时，为满足生产要求，即要在一天内完成38箱产品的生产，
可有 ，即还需要运行 型机器4台，
则总成本为 元；
③当使用 型机器20台时，为满足生产要求，即要在一天内完成38箱产品的生产，
可有 ，结合题意，可知还需要运行 型机器3台，
则总成本为 元．
因为 ，
所以，要在一天内完成38箱产品的生产，总成本的最小值为2490元．
故答案为：2490元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、列代数式等知识，理解题意，正确找到等量关系并列出方
程或代数式是解题关键．
16．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五
个数分别a，a，a，a，a．
1 2 3 4
(1)若a＝1，则 ＝______，若a＝x，则a＝______（用含x的式子表示）；
1 4
(2)在移动“凹字型框过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为106，大胖说被框住的5个数字之和可
能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由；
(3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b，b，b，b，b，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为
1 2 3 4
______．
【答案】(1)10； ；
(2)小胖的说法对，大胖的说法不对，理由见解析；
29(3)21，23或29．
【分析】（1）由日历中5个数的位置关系，即可求出a，同样可用含x的式子表示a；
3 4
（2）由5个数之和分别为106和90，解之可得出a值，进而可得结论；
（3）找出a的可能值，进而可得出2a+1的值，结合b的值及b = 2a+ 1可确定b值．
【解析】（1）解：由题意得：a=1+7+2=10，若a＝x，则a=x+1-7=x-6，
3 4
故答案为：10；x-6；
（2）解：小胖的说法对，大胖的说法不对，
理由：小胖：(a-8) + (a- 1) +a+ (a+1) + (a-6) =106，解得：a=24；
大胖：(a-8) + (a- 1) +a+ (a+1) + (a-6) =90，解得：a=20.8 (不符合题意，舍去)；
∴小胖的说法对，大胖的说法不对；
（3）解：a的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，
∴2a+1的值可以为：19，21，23，29，31，33，35，37，43，45，47，49，51，57，59，61；
∵b的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，且b= 2a+1，
∴b的值可以为：21，23，29，
故答案为：21，23或29．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键．
17．如图，这是某新建的交通环岛的简化模型（因路段 还未完成施工，禁止车辆从 驶进或驶出环
岛），试通车前环岛上没有车辆，试通车期间该交通环岛的进出机动车辆数如图所示，已知试通车期间从
路口 驶入了 辆机动车，图中箭头方向表示车辆的行驶方向，图中 ， ， 分别表示该时段单位时
间内通过路段 ， ， 的所有机动车辆数．
30(1)若 ，则
① ______， ______．（用含a，b的代数式表示 ， ）
②当 ， 时，判断 ， ， 的大小．
(2)若该时段内，通过路段 ， 的车辆数相同，且通过路段 的车辆比路段 的车辆少 辆，分别
求 ， 的值．
【答案】(1)① ， ；② ；
(2) ．
【分析】（1）①观察图形列出关系式，合并即可得到结果，②把 ， 代入即可得解；
（2）根据图形列出方程组即可得解．
【解析】（1）解∶①根据题意得∶ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
②当 ， 时， ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵通过路段 ， 的车辆数相同，且通过路段 的车辆比路段 的车辆少 辆，
∴
解得 ．
【点睛】此题考查了整式的加减，弄清交通环岛的简化模型表示的意义是解本题的关键．
二、作图题
18．现有一副三角尺，将 和 重合于点 放置，且 ， ，
．将三角尺 绕点 逆时针旋转一周（旋转过程中 和 均是指小于 的角），
31分别作出 、 的平分线 、
(1)将三角尺旋转到如图1的位置时，点 在 上，直接写出图1中 ______度；
(2)将三角尺旋转到如图2位的置时，点 在 的延长线上，直接写出图2中 ______度
(3)将三角尺旋转到图3所示的位置时，若 ，
① ______．（用含 的代数式表示）
②请求出 的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②
【分析】（1）根据三角板得到 ， ，根据角平分线的定义求出 ， ，相
加可得结果；
（2）求出 、 ，利用角平分线的定义得到 ， ，
最后根据 得出结果；
（3）①求出 ，根据角平分线的定义可得结果；②求出 ，根据角平分线的定义求出
，再加上 和 即可得解．
【解析】（1）解：如图所示： ， ，
∵ 、 分别平分 、 ，
∴ ， ，
∴ ；
32（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 、 分别平分 、 ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）①∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；
②∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角板中的角度运算，角的和差，解题的关键是仔细分析，得出每
个小问中的 的构成．
19．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．
(1)下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号）
(2)综合实践小组利用边长为 的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体
纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中 ， ．
33①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为 的小正
方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______ ；
②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为 的小正
方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为______ ；
③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍；
(3)若有盖长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长
方体表面展开图的最大外围周长为______；
(4)若无盖（缺长宽为 ， 的长方形底面）长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，将它的表面沿某些棱剪
开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最小外围周长为______．
【答案】(1)①③④
(2)① ；② ；③
(3)
(4)
【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解；
（2）①根据长方形面积公式即可得解；
②根据长方体的体积公式即可得解；
③分别求出无盖盒子的体积和有盖盒子体积，即可求解；
（3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，可得答案；
（4）根据边长最短的都剪，边长最长的不剪，据此可得答案．
【解析】（1）解：根据构成，②只能折成 个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒，
故选：①③④；
（2）①长方体纸盒的底面面积为 ，
∴长方体纸盒的底面积为 ，
故答案为： ；
34②长方体纸盒的底面积为 ，
∴该长方体纸盒的体积为 ，
故答案为： ；
（2）由（1）可知：无盖盒子的体积： ，
有盖盒子的体积： ，
∵ ，
∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的 倍，
故答案为： ；
（3）如图所示，
∴该长方体表面展开图的最大外围周长为 ，
故答案为： ；
（4）
∴该长方体表面展开图的最小外围周长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键．
三、计算题
20．问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： ， ， ，
35．
(1)利用规律计算： ；
(2)问题拓展，求 ；
(3)问题解决：
求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和
技巧．
（1）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即
可；
（2）把各个算式写成 乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数 ，
进行简便计算即可；
（3）把各个加数的分母计算后都乘以 ，再乘以2，然后把每个分数写成两个分数差的形式，再进行计算
即可．
【解析】（1）解：依题意，
∵ ， ， ， ，
∴
36；
（2）解：
；
（3）解：∵ ， ；
， ；
， ；
……
，
所以原式
．
21．求几个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如 ， 等．类比有
37理数的乘方，我们把 记作 ，读作“2的圈3次方”， 记作 ，读作“
的圈4次方”．一般地，把 （ ）记作 ，读作“a的圈n次方”．
(1)直接写出计算结果： ________， ________；
(2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算
如何转化为乘方运算呢？
除方→ →乘方的形式
仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．
________； ________； ________．
(3)由（2）中的算式归纳：有理数a（ ）的圈n（ ）次方写成乘方的形式等于________．
(4)计算
【答案】(1) ，
(2)： ， ，
(3)
(4)
【分析】（1）分别按公式进行计算即可；
（2）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；
（3）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为 ，则 ；
（4）先将原式化成乘方形式，再按含乘方的有理数混合运算法则计算即可.
38【解析】（1）解：依题意得： ， ，
故答案是： ， ；
（2）依题意得： ，
，
；
故答案为： ， ， ；
（3）依题意得： ．
故答案为： ；
（4）
【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方
运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，
39同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
22．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机，
(1)如图， 同学设置了一个数值转换机，若输入 的值为 ，则输出的结果为________
(2)如图， 同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的 ________
(3) 同学也设置了一个计算装置示意图， 、 是数据入口， 是计算结果的出口，计算过程是由 ，
分别输入自然数 和 ，经过计算后的自然数 由 输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：
①若 、 分别输入1，则输出结果1，记 ；
②若 输入1， 输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，记 ；
③若 输入任何固定自然数不变， 输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2，记
；
问：当 输入自然数7， 输入自然数6时， 的值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的混合运算，理解题意找到规律是解题的关键．
40（1）根据程序的运算法则计算解题即可；
（2）根据题意，分两种情况列方程解应用题即可；
（3）根据题目中给的三个性质依次运算解题即可．
【解析】（1）解：输入 的值为 ，输出结果为： ，
故答案为： ；
（2）当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ，不符合题意，舍去；
故答案为： ；
（3）当 输入自然数 ， 输入自然数 ，则 ，
根据性质③：
，
根据性质②：
，
根据性质①； ，
综上， 的值为 ．
23．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称
得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题
转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是
一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就
是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法
就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正
41负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算 (其中 是正整数，且 ，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方
形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算 ．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为
，最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分割图可得等式： ．
探究二：计算 ．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
42第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为 ，
最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分制图可得等式： ，
两边同除2，得 ，
探究三：计算 ．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算 ．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以， ___________．
(3)拓广应用：计算 ___________．
【答案】探究三： 图见见解析；
43解决问题：图见解析；（1） ；（2） ；（3）
【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；
解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式
(2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以 即可得解；
(3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．
【解析】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，
其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
…，
第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为： ，
最后的空白部分的面积是 ，
根据第 次分割图可得等式： ，
两边同除以3，得 ；
解决问题：
44（1）
故答案为：
（2） ，
故答案为： ；
（3）拓广应用：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法
是解题的关键．
24．小岳同学仿造二进制，写出了一种数的表示方法：一个n位数 ，其中 的值只能取
0或1，他把这样的数叫做本原数．比如当 时，2位本原数 可以表示00，01，10，11共4个数．
然后小岳设计了一种针对两个本原数的运算，如果 ，那么定义：
45（1）计算 的值为：_________；
（2）若 ，且 ，求本原数t的值；
（3）①若 为k个互不相同的4位本原数，满足对任意 ，当 时， 为奇数；当
时， 为偶数，直接写出k的最大值：________；
②若 为k个互不相同的2019位本原数，满足对任意 ，当 时， ，直接写出k的
最大值：_______
【答案】（1）1；（2）101或111；（3）①4；②2020
【分析】（1）按照M(s，t)的定义计算即可；
（2）设 ，则易得 ，从而可得 ，且 可取0或1，从而可得本原数t；
（3）①当i=j时，设 ， 为奇数，则4位本原数是由3个0和1
个1组成即s=1000，s=0100，s=0010，s=0001共四个，记为第一组，或由3个1和1个0组成，即
1 2 3 4
s=1110，s=1101，s=1011，s=0111共四个，记为第二组；当i≠j时，计算两组间的 值即可判断k
5 6 7 8
的最大值为；
②当 时，对任意 ，考虑相同数位上的数，只有两种可能：相同或不相同，由 的计算式知，
此相同数位上两数和与两数差的绝对值的差为0，从而相同数位上的数只能是0与1或全为0，从而可得k
的最大值．
【解析】（1）
故答案为：1；
（2）设 ，则由
得：
46即： ，
∴ ，且 可取0或1
∴t=101或t=111；
（3）①当i=j时，设 ， 为奇数，则4位本原数是由3个0和1
个1组成即s=1000，s=0100，s=0010，s=0001共四个，记为第一组；或由3个1和1个0组成，即
1 2 3 4
s=1110，s=1101，s=1011，s=0111共四个，记为第二组；当i≠j时，每组内的两个满足 为偶数，
5 6 7 8
即k≥4；另当i+j=9时， 也有 为偶数，对每组的4个数，加上另一组的任意一个数，只要i+j≠9，
均有 为奇数，从而不满足题意，故k的最大值为4；
②相同数位上的数只有两种可能：同为0或不相同；同为１；当同为0或不相同时，由 的计算式
知，此相同数位上两数和与两数差的绝对值的差为0；当同为１时，由 的计算式知，此相同数位
上两数和与两数差的绝对值的差为2，根据题意知，此种情况是不可能，故相同数位上的数只能是0与1
或全为0；当 时，对任意 ， ，则 中只能是1个1，其余全为0，或全为0，对于前者共
有2019个数，对于后者只有一个数，故k的最大值为2020．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了新定义问题，掌握题目中新定义的含义并正确计算是解题的关键．
25．【知识背景】在学习计算框图时，可以用“ ”表示数据输入、输出框；用“ ”表
示数据处理和运算框；用“ ”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）
【尝试解决】
47（1）如图1，当输入数 时，输出数 ______；
如图2，第①个“ ”内，应填______；第②个“ ”内，应填______；
（2）如图3，当输入数 时，请计算出数y的值；
【实际应用】
（3）为鼓励节约用水，某市决定对家庭用水实行“阶梯价”，当每月用水量不超过10吨时（含10吨），
以3元/吨的价格收费；当每月用水量超过10吨时，超过部分以4元/吨的价格收费．如图4是小聪设计的
一个家庭水费“计算框图”，请把计算框图中①②③方框补充完整．
第①个“ ”内，应填____________；第②个“ ”内，应填____________；第③个“
”内，应填____________．
【答案】（1）-7；×5，-3；（2）-51；（3）×3，×4，+30．
【分析】（1）把 代入图1中的程序中计算确定出输出数y即可；
根据输出的代数式确定出程序中应填的运算即可；
（2）把 代入图3中的程序中计算确定出输出数y即可；
（3）根据题意确定出所求计算框图即可．
【解析】解：（1）把 代入图1中的程序中，得：(-1)×2-5=-7；
根据题意，得：第①个“ ”内，应填×5，第②个“ ”内，应填-3；
（2）把 代入图3中的程序中，得：(-2)×2-5=-9，
∵-9>-30，
48∴把 代入图3中的程序中，得：(-9) ×2-5=-23，
∵-23>-30，
∴把 代入图3中的程序中，得：(-23) ×2-5=-51，
∵-51<-30，
∴y=-51；
（3）由题意，得第①个“ ”内，应填×3，第②个“ ”内，应填×4，第③个“
”内，应填+30．
【点睛】本题考查了程序图与有理数的混合运算．熟练掌握运算法则是解题的关键．
26．【探索实践】
小附同学发现，在某计算器的使用中使用模式2，输入算式 得到的结果为 ，他发现与自己运
算结果不同，他首先输入了一些一次运算的算式，例如 ， ， ， 等，发现结果没
发生变化，他又输入了一些算式，以下是计算器呈现的结果： ； ；
小附很快就发现了模式2的运算规律，他还进一步研究了计算器上的一个按钮“^”，他
发现， ； ，请根据小附的发现，在该计算器模式2下解决下面的问题：
(1) ___________； ___________；
(2)小附发现的模式2的运算规律与常规运算不同的是：__________；
(3)小附使用“STO”按钮分别对A，B，C三个字母存入数字1， ，3，求上图中代数式 的值；
(4)写出一个含有“×”，“+”，“^”，“A”，“B”，“C”，“2”代数式（运算符号、字母和数字仅用一次），
且当使用（3）中存入的数字时，代数式的值为1；
49(5)求代数式 的值（结果用含 的代数式表示）．
【答案】(1)9，1
(2)无论加减乘除，都是从左往右依次计算
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）读懂题意，找到模式2和按钮“^”的运算规律，即可得到答案；
（2）根据题意可知模式2是无论加减乘除，都是从左往右依次计算；
（3）将A，B，C代入计算即可；
（4）根据模式2的规律列出代数式即可；
（5）由（2）知模式2是无论加减乘除，都是从左往右依次计算；然后依次分析当 ， ， ，
时，所对应的数值，找出规律，再结合 ，即可作答．
【解析】（1）解：依题意， ， ，
（2）解：因为 ，
常规运算： ，
所以模式2的运算规律与常规运算不同的是：无论加减乘除，都是从左往右依次计算，
（3）解：
；
（4）解：由（3）知，A，B，C三个字母存入数字1， ，3，
因为 ，
所以这个代数式为 ；
（5）解：由（2）知模式2是无论加减乘除，都是从左往右依次计算；
50当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
……
故 个 时， ，
则 ，
【点睛】本题考查了找规律-数字类，根据题意，找到模式2的运算规律以及研究出 个 时，
是解题的关键，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
27．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要
思想方法．在数轴上点 分别表示数 ． 两点间的距离可以用符号 表示，利用有理数减法和
绝对值可以计算 两点之间的距离 ．
例如：当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ．
综合上述过程，发现点 之间的距离 （也可以表示为 ）．
请你根据上述材料，探究回答下列问题：
(1)表示数 和 的两点间距离是6，则 _________；
(2)如果数轴上表示数 的点位于 和3之间，则 _________；
(3)代数式 的最小值是多少？
(4)如图，若点 在数轴上表示的有理数分别为 ，则式子
的最小值为_________（用含有 的式子表示结果）．
51【答案】(1) 或4
(2)7
(3)2
(4)
【分析】（1）根据题意可得 ，求解即可获得答案；
（2）根据题意可得 ，从而得到 ， ，进而得到 ， ，即可
求解；
（3）分情况讨论，可得 时，代数式存在最小值，化简即可求解；
（4）根据题意可得，原式表示 的对应点到 对应的点的距离之和，从而得到当 时，
有最小值，即可求解．
【解析】（1）解：根据题意，可得 ，
∴ 或 ，
解得： 或4．
故答案为： 或4；
（2）∵表示数 的点位于 和3之间，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：7；
（3） 表示点 到1，2，3的距离之和，
当点 在1左侧时，如下图，
52此时 ，
∴ ；
当点 与表示1的点重合时，如下图，
此时 ，
∴ ；
当点 在1，2之间时，如下图，
此时 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ；
当点 与表示2的点重合时，如下图，
此时 ，
∴ ；
当点 在2，3之间时，如下图，
此时 ，
∴ ，
∴ ；
53当点 与表示3的点重合时，如下图，
此时 ，
∴ ；
当点 在3右侧时，如下图，
此时 ，
∴ ．
综上所述，当 时，该代数式有最小值，
此时 ；
（4） ，
∴原式表示 的对应点到 对应的点的距离之和，
如下图，
∴当 时， 有最小值，
∴此时原式
．
【点睛】本题主要考查了绝对值得几何意义、数轴上两点间的距离等知识，利用数形结合和分类讨论的思
想解答是解题的关键．
四、应用题
28．如图1，已知数轴上从左向右依次有四点 、 、 、 ，其中 ，点 对应的数是 ．
54(1)若 ，则点 对应的数是______；
(2)如图2，在（1）的条件下，若一小球甲在数轴上从点 处以 单位/秒的速度向右运动，同时另一小球
乙从点 处以 单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点 和点 处各放一块挡板，
其中 ，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设
运动的时间为 秒，问： 为何值时，甲、乙两小球之间的距离为 个单位．
(3)在（2）的条件下，将线段 、 分别绕点 、点 竖直向上折起，连接线段 ，围成如图3的长
方形 中，点 从点 出发，以 单位/ 的速度沿点 － － － 匀速运动，最终到达点 ．设点
运动时间为 秒，问： 为何值时， 的面积为 ？
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或
【分析】（1）根据 ， ，得到 ，再利用两点之间的距离公式即可求解；
（2）由题意可得甲、乙碰到板子的时间均为 ，分为碰板前后两种情况讨论，①甲、乙碰到板子前（
），得到 ，解得 ，符合题意；②甲、乙碰到板子后（ ），得到
，解得 ，符合题意，由此即可解答；
（3）先分别计算出当点 运动到点 、 、 时的时间值，再分类讨论当 运动到 、 、 上的
情况，根据面积公式列方程求出时间 即可．
【解析】（1） ， ，
，
55，
点 对应的数是 ，
点 对应的数是 ，
故答案为： ；
（2） ，
，
即 ，
由题意可得甲、乙碰到板子的时间均为 ，
分类讨论，分为碰板前后两种情况，
①甲、乙碰到板子前（ ），
甲距离点 ： ，
乙距离点 ： ，
解得： ，
，符合题意；
②甲、乙碰到板子后（ ）
甲与点 的距离为： ，
乙与点 的距离为： ，
，
解得： ，
，符合题意，
综上所述， 或 为时，甲、乙两小球之间的距离为 个单位；
（3）当点 运动到 点时， ，
当点 运动到 点时， ，
56当点 运动到 点时， ，
①当点 在 运动时， ， ，
即 ，
解得： ，符合题意；
②当点 在 运动时，
， ，
由（2）得 ，
，
即 ，
解得： ，符合题意；
③当点 在 运动时， ， ，
，
即 ，
解得： ，不符合题意；
57综上所述， 为 或 时， 的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，线段的和差关系，三角形的面积，
解题的关键是掌握两点之间的距离公式，理解题意找到其中蕴含的等量关系，学会用分类讨论的思想解决
问题．
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