文档内容
特训08 反比例函数压轴题
未命名
一、解答题
1．如图，矩形 的对角线 所在的直线是 ，函数 在第一象限内的图象与对角线
交于点 ，与边 交于点 ， 的面积为2．
(1)求k的值；
(2)设P是线段 上的点，且满足以C、D、P为顶点的三角形与 相似，求点P的坐标；
(3)若M是边 上的一个动点，将 沿 对折成 ，求线段 长的最小值．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为 ；
(3) 的长的最小值为 ．
【分析】（1）将点 代入 求得n的值，再利用待定系数法即可求解；
（2）过点E作 于点G，过点P作 于点H，过点F作 于点N，连接 ，
分 和 时，两种情况讨论，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）当点N在线段 上时， 的长最小，利用勾股定理即可求解．
【解析】（1）解：∵点 在直线 上，
，
1将点 代入 得 ，
解得 ；
（2）解：∵四边形 是矩形，
∴点 的横坐标与 的横坐标相同都是 ，
当 时， ，
∴点 ，由（1）知 ，
∵点 也在函数 图象上，
∴ ，点 ，
如图所示，过点E作 于点G，过点P作 于点H，过点F作 于点N，连接
，
则 ， ， ，
在 中， ，且 ，
∴ 为等腰三角形， ，
∴以C、D、P为顶点的三角形与 相似有2种情况．
， ， ，
∴在 中， ，
又∵ 的面积为2，
∴
解得 ，
2设点P的坐标为 ，
①当 时， ，
即 ，解得 ，
则 ，将 代入 得，
∴点P的坐标为 ；
②当 时， ，
即 ，解得 ，
则 ，将 代入 得， ，
∴点P的坐标为 ，
综上所述，点P的坐标为 ； ；
（3）解：对于 ，
当 时， ，
解得 ，
则 且 ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
由折叠的性质知 ，
当B、N、D构成三角形， ，
∴当点N在线段 上时， 的长最小，为 ，
3∴ 的长的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的综合应用，涉及反比例函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定和
性质、矩形的性质等知识点．本题考查知识点较多，综合性很强，难度较大．
2．如图1，在平面直角坐标系中，直线 经过点 ，与x轴交于点 ，点C为 中点，
反比例函数 刚好经过点C．将直线 绕点A沿顺时针方向旋转 得直线 ，直线 与x轴交于
点D．
(1)求反比例函数解析式；
(2)如图2，点Q为射线以上一动点，当 取最小值时，求 的面积；
(3)将 沿射线 方向进行平移，得到 且 刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数
上一点，点N为y轴上一点，若以M，N，B， 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件
的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)反比例函数解析式为
(2) 的面积为
(3)N点坐标为 ， 或 ，过程见解析
【分析】（1）过点A作 于点E，过点C作 于点F，根据平行线分线段定理可得
，从而求得 ，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）由锐角三角函数求得 ，再由三角形内角和求得 ，从而求得 ，根
4据等腰三角形的性质可得 ，从而求得 ，作直线 ，可得 ，
过点Q作 于点H，则 ，可得当D，Q，H三点共线时， 取最小值，
此时Q与A重合，再利用 求解即可；
（3）由平移的性质可知 ，设 ， ，分类讨论：当 为对角线、 为对角
线或 为对角线时，利用中点坐标公式求解即可．
【解析】（1）解：过点A作 于点E，过点C作 于点F，
∵ ，
∴ ，点C为 中点，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵将直线 顺时针旋转 得到直线 ，
∴ ，
5∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
作直线 ，
∴ ，
过点Q作 于点H，
∴ ，
∴当D，Q，H三点共线时， 取最小值，
此时Q与A重合，
∴ ，
∴ 的面积为 ；
（3）解：N点坐标为 ， 或 ，理由如下：
由题可知 ， ，
设 ， ，
6当 为对角线时， ，
解得： ，
∴ ，
当 为对角线时，如图，
∵ ，
解得 ，
∴ ，
当 为对角线时，如图，
7，
解得 ，
∴ ，
综上，N点坐标为 ， 或 ．
【点睛】本题考查平行线分线段定理、用待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的判定与性质、平
行四边形的性质、旋转的性质及平移的性质、中点坐标公式，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
3．如图，已知直线 与反比例函数 的图象分别交于点A和点B，与x轴交于
点C，与y轴交于点D．
(1)如图1，当点A坐标为 时，
①求直线 的解析式：
8②若点P是反比例函数在第一象限直线 上方一点，当 面积为2时，求点P的坐标；
(2)将直线 向上平移2个单位得到直线 ，将双曲线位于 下方部分沿直线 翻折，若翻折后的图
象（图中虚线部分）与直线 有且只有一个公共点，求m的值．
【答案】(1)① ；② 或
(2)
【分析】（1）①根据点A的坐标求得反比例函数的解析式，即可求得 的值，代入一次函数即可求得直
线 的解析式；
②作 ，过C作 于Q；联立 与反比例函数解析式，求得 的坐标，进而求得 的
长，根据三角形面积求得 的距离，进而求得 的解析式，联立 与反比例函数解析式即可求
得 点的坐标；
（2）过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，由题意可知直线 的解析式为 ，
则 ，同（1）可得 ，证明I为 的中点，得到
，则直线 的解析式为 ，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线 有且只有一个
公共点，则 点对应的点为 ，则 ，即I是 的中点，求出 ，根据两点中点坐标公式
得到 ，由此求解即可；
【解析】（1）解：①∵ 在 上，
∴ ，
把 代入 中得： ，
则直线 解析式为： ，反比例函数解析式为： ；
9②由直线 与反比例函数 的图象分别交于点A和点B，
则 ，
解得 或 ，
∴ ，
，
如图，过P作 分别交x轴、y轴于点M、N，过C作 于Q，
设 的距离为d，则 ，
解得 ，
∴ 的距离为 ，
∴ ，
∵ ，令 ，则 ，令 ，则 ，即
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
10∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
在 中， ，
∴直线 是直线 向右平移2个单位后得到的直线，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 或 ，
或 ；
（2）解：过点 作 于J，交 于点 ，交 于点 ，如图，
∴ ，
由题意可知直线 的解析式为 ，
∴ ，
同（1）可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴I为 的中点，
∴ ，
11∴直线 的解析式为 ，
若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线 有且只有一个公共点，则 点对应的点为 ，
，即I是 的中点，
联立 ，解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： （负值舍去）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合，求一次函数与反比例函数解析式，等腰直角三角形的性质，
解一元二次方程，一次函数的平移，轴对称的性质，正确作出辅助线，利用数形结合的思想求解是解题的
关键．
4．我们知道，一次函数 的图像可以由正比例函数 的图像向左平移1个单位得到；爱动脑的小
明认为：函数 也可以由反比例函数 通过平移得到，小明通过研究发现，事实确实如此，并指
出了平移规律，即只要把 （双曲线）的图像向左平移1个单位（如图1虚线所示），同时函数
的图像上下都无限逼近直线 ！如图2，已知反比例数C： 与正比例函数L： 的
图像相交于点 和点B．
12(1)写出点B的坐标，并求 和 的值；
(2)将函数 的图像C与直线L同时向右平移 个单位长度，得到的图像分别记为 和 ，已知
图像 经过点 ；
则① n的值为 ；②写出平移后的图像 对应的函数关系式为 ；
③ 利用图像，直接写出不等式 的解集为 ；
【答案】(1) ， ，
(2)① ；② ；③ 或
【分析】（1）将 分别代入 、 及可求解；
（2）①将 代入 即可求解；②直接写出平移后 表达式即可；③当 时，解
得： ，再结合图象即可求解；
【解析】（1）解：将 代入 得 ，解得： ；
∴ ．
将 代入 得 ；
13∴ ．
由题意得 ，解得： 或 ，
∴ ．
（2）①将 代入 得 ，解得： ；
故答案为： ．
②平移后的图像 对应的函数关系式为 ，
故答案为： ．
③如图，当 时，解得： ，
结合图像， 的解集为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象和性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
5．如图1，在平面直角坐标系 中，点 ，过函数 （ ，常数 ）图象上一点
作 轴的平行线交直线 ： 于点 ，且 ．
14(1)求 的值，并写出函数 （ ）的解析式；
(2)过函数 （ ）图象上任意一点 ，作 轴的平行线交直线 于点 ，是否总有 成立？
并说明理由；
(3)如图2，若 是函数 （ ）图象上的动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，分别过点
作 的垂线交 轴于点 ，问是否存在点 ，使得矩形 的周长取得最小值？若存在，请
求出此时点 的坐标及矩形 的周长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， （ ）
(2)见解析
(3) 时，矩形 的周长取得最小值为4
【分析】（1）由题意可得 ， ，求出点 ，即可得出 ，根据
得到 ，求出 ，从而得到点 的坐标，将点 的坐标代入函数解析式计算
即可；
（2）设 （ ），则 ，计算出 和 ，进行比较即可得到答案；
15（3）设 （ ），则 ， ，从而得到 ， ，再表示出
矩形的周长进行计算即可得到答案．
【解析】（1）解：根据题意得： ， ，
在 中，当 时， ，
，
，
，
，
，
∴点 ，
将点 代入函数 （ ）得： ，
，
∴ （ ）；
（2）解：设 （ ），则 ，
∴ ，
，
∴ ；
（3）解：存在满足题设条件的点 ，
16设 （ ），则 ， ，
， ，
∴矩形 的周长
∴当 ，即 ， 时，矩形 的周长取得最小值为4．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、求反比例函数解析式、勾股定理等知识，熟练掌握
以上知识点，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
6．定义：在平面直角坐标系中，直线 与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右
侧部分关于直线 的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，
称这个新函数为原函数关于直线 的“对称函数"．例如：图1是函数 的图象，则它关于直线
的“对称函数”的图象如图2所示，可以得出它的“对称函数”的解析式为 ，
(1)写出函数 关于直线 的“对称函数”的解析式为______；
(2)若函数 关于直线 的“对称函数”图象经过 ，则 ______；
(3)已知正方形 的顶点分别为： ， ， ， ，其中
①若函数 关于直线 的“对称函数”的图象与正方形 有3个公共点，则 ______；
②若 ，函数 关于直线 的“对称函数”的图象与正方形 有4个公共点，求n的取值范
围．
17【答案】(1)
(2)
(3)①4；② 或 ．
【分析】（1）根据“对称函数”的定义可知 “对称函数”的图象是关于 的对称，故求出 图
象上任意两点坐标，再根据函数 关于直线 的“对称函数”是关于 对称，求出对称点坐标，
再由待定系数法求出“对称函数”的解析式即可；
（2）先求出点 关于直线 的对称点，将对称点代入 求解即可；
（3）①先画出函数 关于直线 的“对称函数”的图象．根据三个公共点的不同情况分两种情况
求解即可；
②根据正方形和“对称函数”的图象对称性可知．四个公共点的分别是第一象限两个、第三象限或第二象
限两个，分别结合图象进行求解．
【解析】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
∴则点 、 关于直线 的对称点为 ， ，
设直线 关于直线 的对称直线为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线为 ，
∴函数 关于直线 的”对称函数”的解析式为 ；
18故答案为：
（2）点 关于直线 的对称点为 ，
∵函数 关于直线 的“对称函数”图象经过 ，
∴ 经过为 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
（3）①函数 关于直线 的“对称函数”的图象如图所示：
∴函数 关于直线 的“对称函数”的图象与正方形 有3个公共点，则有：
19第一象限有两个公共点，第三个交点在第三象限，当 图象上的点， ，此时 ，
故答案为：4；
②如图：
若 ，函数 关于直线 的“对称函数”的图象与正方形 有4个公共点，则第一象限一点
20一定有两个交点它们是 、 ；
根据正方形和“对称函数”的图象对称性，
I．当 时，“对称函数”的图象与正方形 有2个公共点，
II．当 时“对称函数”的图象与正方形 有3个公共点，
21III当 时，“对称函数”的图象与正方形 有4个公共点，如图所示，
IV．当 时，如图所示，显然有“对称函数”的图象与正方形 有4个公共点，
22V．当 时，如图所示，此时当 时有 ，
∴“对称函数”的图象与正方形 有4个公共点，
VI．当 时，显然有“对称函数”的图象与正方形 有5个公共点，
23VII．当 时，“对称函数”的图象与正方形 在第一象限有两个交点，第三象限有两个交点，
第二象限也有两个交点，共有6个交点；
VIII．当 时，“对称函数”的图象与正方形 在第一象限有两个交点，第三象限有两个交点，第
24二象限也有1个交点，共有5个交点；
IX．当 时，“对称函数”的图象与正方形 在第一象限有两个交点，第三象限有两个交点，第
二象限有0个交点，共有4个交点；
25综上所述：若 ，函数 关于直线 的“对称函数”的图象与正方形 有4个公共点，n的
取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义”对称函数”，能够将图象的对称转化为点的
对称，借助图象解题是关键．
7．图形的平移变换、对称变换等是研究几何图形常用方法，小明同学用平移变换和对称变换对直线
和曲线 进行了探究：
探究一：如图1，当直线l与曲线c有且只有一个交点时，n的值是多少？
探究二：如图2，直线l与曲线c交于A，B两点，当 时，x的取值范围是 ；直线
与曲线c和直线l分别交于E，G两点，则 与 的比值是多少？
探究三：如图3，将曲线c沿直线l翻折得另一曲线 ，直线 与两条曲线分别交于E，F两点，若
，则n的值是多少？
请完成小明提出的以上三个探究，并写出探究过程．
【答案】探究一： ；探究二： ；探究三：
【分析】探究一：联立直线l与曲线c解析式得到对应的一元二次方程，根据只有一个交点得到一元二次
方程有两个相等的实数根，据此求解即可；
探究二：利用图象法求出A，B的坐标，进而求出n的值，进一步求出E，G的坐标，利用勾股定理求出
的长即可得到答案；
探究三：如图所示，设直线l分别与x轴，y轴，直线 交于H，G，T，求出 ，进而
证明 ，再证明 ，得到 ，即 ，则E、F关于直线l对称，进
26而得到 ，设 ，推出 ， ，则
，即可求出 ， ，再根据 ，得到
，解方程即可得到答案．
【解析】解：探究一：联立 得： ，
∵直线l与曲线c有且只有一个交点，
∴关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
当 时，原方程为 ，解得 ，不符合题意；
当 时，原方程为 ，解得 ，符合题意；
∴ ；
探究二：设 ，
由函数图象可知，当直线l的函数图象在曲线c的函数图象上方时，自变量的取值范围为 ，
∵当 时，x的取值范围是 ，
∴ ，
联立 得： ，
∵直线l与曲线c交于A，B两点，
∴方程 的两个实数根分别为 ，
∴ ，
27∴直线l的解析式为 ，
∴ ，
∴ ；
联立 ，解得 ，
∴ ；
联立 ，解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
探究三：如图所示，设直线l分别与x轴，y轴，直线 交于H，G，T，
在 中，当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵直线 平分 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴E、F关于直线l对称，
∴ ，
设 ，
28联立 得： ，联立 ，解得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （此时直线l与曲线c只有一个交点）（舍去）或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解一元二次方程，正确通过联立对应的
解析式，从而表示出对应的交点坐标是解题的关键．
8．综合与实践
问题情境：在平面直角坐标系中，已知直线 轴，直线 分别与反比例函数 的图象交
29于点A，与反比例函数 的图象交于点B，连接 ， ．
(1)问题解决：如图①，若点A，B的横坐标为3，试判断 的形状，并说明理由．
(2)问题探究：如图②，将直线 向右平移若干个单位后得到直线 ，它与两个函数图象的交点分别为
， ，连接 ， ，则在直线 向右平移到直线 的过程中， 的面积是否发生变化？若变
化，说明理由；若不变，求出 的面积．
(3)问题拓展：如图③，将直线 向右平移若干个单位后与反比例函数 的图象交于点C，与x
轴交于点P，与反比例函数 的图象交于点Q，连接 ， ，当P恰好是 的中点时，请直接写
出 的面积．
【答案】(1) 为等腰三角形，理由见解析
(2) 的面积不发生变化，为 ．
(3)
【分析】（1）先求解 ， ，再求解 ， ， 的长度，从而可得结论；
（2）利用反比例函数的比例系数k的几何意义可得面积不变，从而可得答案；
（3）先求解直线 为 ，设 为 ，设 ，而P恰好是 的中点，可得
30，设 为 ，可得 ，可得 ，可得 ， ，由中
点坐标公式可得： ，再利用三角形的面积公式可得答案．
【解析】（1）解：∵直线 分别与反比例函数 的图象交于点A，与反比例函数
的图象交于点B，点A，B的横坐标为3，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
由勾股定理可得： ， ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形．
（2）如图，记 与x轴的交点为M，记 与x轴的交点为N，
∵直线 轴，
∴ 轴，同理： 轴，
∴ ，
31，
∴ 的面积不发生变化，为 ．
（3）∵ ，设直线 为 ，
∴ ，解得 ，即直线 为 ，
由平移的性质可得： ，
设 为 ，
设 ，而P恰好是 的中点，
∴ ，
∴ ，解得： ，即 ，
设 为 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，解得： （负根舍去），
∴ ， ，
由中点坐标公式可得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，求解一次函数的
解析式，中点坐标的含义，二次根式的混合运算，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关
键．
329．在矩形 中， ．分别以 ， 所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直
角坐标系．F是 边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数 的图象与边
交于点E．
(1)当点F运动到边 的中点时，求点E的坐标；
(2)连接 、 ，求证： ；
(3)如图2，将 沿 折叠，点C恰好落在边 上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先求出 点的坐标，进而得到反比例函数的解析式，再求出 点坐标即可；
（2）分别求出直线 的解析式，即可得证；
（3）过点 作 轴，交 于点 ，证明 ，列出比例式，求出 的长，再利用勾股
定理进行求解即可．
【解析】（1）解：∵矩形 中， ，
∴ ， ，
当点F运动到边 的中点时： ，
∴ ，
33∴ ，
∵反比例函数 的图象与边 交于点E，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
（2）如图：
∵ ，设直线 的解析式为： ，
则： ，解得： ，
∴直线 ： ；
设：直线 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴直线 ： ，
∴ ；
34（3）如图，过点 作 轴，交 于点 ，则四边形 为矩形，
∴ ，
∵翻折，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定
理．利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
3510．已知点 在反比例函数 的图像上，点 在 轴上，连接 ，如图
1，将 绕着 点顺时针旋转 至点 ，点 正好落在 轴上．
(1)求 的值和点 的坐标；
(2)若点 在反比例函数图像上，连接 并延长至点 ，使得 ，连接 、 ，
①如图2，连接 并延长交 轴于点 ，当 轴时，试说明 平分 ；
②如图3，连接 交 于点 ，将 沿着 翻折，记点 的对应点为 ，若点 恰好落在
线段 上，求 与 面积之比．
【答案】(1) ，
(2)①见解析；②2
【分析】（1）过点M作 轴于点A，由旋转性质得： ， ，可证得
，得出 ，进而可得 ，求得 ，由 ，
可得 ；
（2）①过点E作 轴于点F，过点H作 于点G，则 ，由
轴，可得 ， ，由 ，可得 ，由 ，可得
，再证得 是等腰直角三角形，即 ，可得 平分 ；②由折叠
性质可得 ， ，证得四边形 是正方形，得出 ， ，运用待定
36系数法可得直线 的解析式为 ，联立方程组可得 ，进而得出 ，
进而可得 ．
【解析】（1）如图1，过点M作 轴于点A，则 ，
∵将 绕着 点顺时针旋转 至点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
37（2）①证明：如图2，过点E作 轴于点F，过点H作 于点G，则
，
∵ ， 轴，
∴ ， ，
∴ ，
∵连接 并延长至点E，使得 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
38∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
②解：∵将 沿着 翻折，点H的对应点为 恰好落在线段 上，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，将 代入，得
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立得 ，
39解得： （舍去）， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，等腰直角
三角形的判定和性质，矩形、正方形的判定和性质，三角形面积，全等三角形的判定和性质，翻折变换的
性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
11．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点A，与x轴交于点B，
与y轴交于点C， 轴于点D， ，点C关于直线 的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接 、 ，若四边形 为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当 最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)在，理由见解析
40(2)① ；②
【分析】（1）设点A的坐标为 ，根据轴对称的性质得到 ， 平分 ，如图，连接
交 于H，得到 ，求得 ，于是得到点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①根据正方形的性质得到 ， 垂直平分 ，求得 ，设点A的坐标为 ，
得到 （负值舍去），求得 ， ，把 ， 代入 得，解方程组即可得到
结论；
②延长 交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得 ，则点P即
为符合条件的点，求得直线DE的解析式为 ，于是得到结论．
【解析】（1）解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，
理由：∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点A，
∴设点A的坐标为 ，
∵点C关于直线 的对称点为点E，
∴ ， 平分 ，
如图．连接 交 于H，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴于D，
41∴ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）（2）①∵四边形ACDE为正方形，
∴ ， 垂直平分 ，
∴ ，
设点A的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ ， ，
把 ， 代入 得，
∴ ；
②延长 交y轴于P，
42∵ ， ，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴ ，
则点P即为符合条件的点，
由①知， ， ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ．
故当 最大时，点P的坐标为 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析
式，正确地作出辅助线是解题的关键．
12．综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 的矩形地块 种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用
43木栏围住，木栏总长为 ．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若 ，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设 为 ， 为 ．由矩形地块面积为 ，得到 ，满足条件的 可看成是反比例函数
的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 ，得到 ，满足条件的 可看成一次函
数 的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的 就可以看成两个函数图象交点
的坐标．
如图2，反比例函数 的图象与直线 ： 的交点坐标为 和_________，因此，木
栏总长为 时，能围出矩形地块，分别为： ， ；或 ___________m，
__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
44（2）若 ，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为 时，小颖建立了一次函数 ．发现直线 可以看成是直线 通过
平移得到的，在平移过程中，当过点 时，直线 与反比例函数 的图象有唯一交
点．
（3）请在图2中画出直线 过点 时的图象，并求出 的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“ 与 图象在第一象限内交
点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且 和 的长均不小于 ，请直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析， ；（4）
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据 得出， ，在图中画出 的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，
若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点 作 的平行线，即可作出直线 的图象，将点 代入 ，即可求出a
的值；
（4）根据存在交点，得出方程 有实数根，根据根的判别式得出 ，再得出反比例函
数图象经过点 ， ，则当 与 图象在点 左边，点 右边存在交点时，满足题
意；根据图象，即可写出取值范围．
【解析】解：（1）∵反比例函数 ，直线 ： ，
∴联立得： ，
45解得： ， ，
∴反比例函与直线 ： 的交点坐标为 和 ，
当木栏总长为 时，能围出矩形地块，分别为： ， ；或 ， ．
故答案为： 4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为 ，
∴ ，则 ，
画出直线 的图象，如图中 所示：
∵ 与函数 图象没有交点，
∴不能围出面积为 的矩形；
（3）如图中直线 所示， 即为 图象，
将点 代入 ，得： ，
解得 ；
（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与 图象在第一象限内交点的存在
问题，
46即方程 有实数根，
整理得： ，
∴ ，
解得： ，
把 代入 得： ，
∴反比例函数图象经过点 ，
把 代入 得： ，解得： ，
∴反比例函数图象经过点 ，
令 ， ，过点 ， 分别作直线 的平行线，
由图可知，当 与 图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意；
把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关
系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
4713．在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了 和 的图像，两
个函数图像交于 两点，在线段 上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像
于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现 的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究 的
长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：
(1)设点P的横坐标为x， 的长度为y，则y与x之间的函数关系式为______ ；
(2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像：
①列表：
x 1 2 3 4 6 9
y 0 m 4 n 0
表中m＝______，n＝______；
②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点；
③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，当 ______时，y的最大值为______．
(3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系 ，求m取
最大值时矩形的对角线长．
②如图3，在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数
上的任意一点，过点M作 轴于点C， 轴于点D．求四边形 面积的最小值．
48【答案】(1)
(2)① ， ；②见解析；③3，4
(3)① ；②
【分析】（1）根据题意，点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得 根据 的长等于
纵坐标之差求解即可；
（2）①根据表格数据分别将 代入即可求得 的值；②根据表格数据描点即可；③根据函数图
象直接求解即可
（3）由题意可知， ，代入 得： ，即 ，根据
的结论求得最大值，进而求得对角线的长度；
②先求出点 ，点 坐标，设点 ， 可求 , 由四边形 面积 列式，即可
求解.
【解析】（1） 点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得
；
故答案为：
（2）①当 ，当 时，
故答案为： ， ；
②如图所示，
49③观察函数图象， 当 时， 有最大值为 ，故答案为: ；
（3）①根据题意可得 代入
中，可以得到 ，
即 ，
由 可知函数 在 时, 取得最大值为 ，
∴当 时, ,即 取得最大值 ，
，
∴在 取得最大值 时，矩形的对角线长为
②∵直线 与坐标轴分别交于点 ,
∴点 , 点 ，
设点 ，
∴ ,点 ，
，
∵四边形 面积
50由 得,当 时, 有最大值为 ，即 有最小值 ，
∴四边形 面积的最小值为 .
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，根据函数图象获取信息，矩形的性质，数
形结合是解题的关键．
14．【探索发现】
如图1，四边形 、 、 都是边长为1的正方形，
在下列角中：①∠DAF，② ，③ ，④ ，试确定与图中 的和为45°的角有______．
（填写对应序号）
【问题解决】
如图1，在线段 上取点I，使得 为 ，则 ______．
【拓展应用】
如图2，反比例函数 和 的图象分别是 和 ．射线 交 于点A，射线 交
于点B，且 ，连接 ．
（1）如图3，当 轴时，
51①求点A的坐标；
②在y轴上找一点P，使得 时，直接写出点P的坐标______．
（2）在如图 ，将 绕点O旋转，射线 始终在第一象限，在旋转的过程中，直接写出 的
面积为 时点A的坐标______．
【答案】【探索发现】①③；【问题解决】 ；【拓展应用】（1）①点A的坐标为 ；② 或
；（2） 或
【分析】探索发现：如图，由正方形性质及外角定理得 ，由勾股定理， ，
可证 ，得 ，于是 ，得出答案；
问题解决：如图， ，则 ，可证 ，于是 ，从而
，得出结论 ；
拓展应用：（1）如图3，当 轴时，①设 ， ，则由勾股定理， ，
所以 ，求解得 ；②两种情况，如图， ,点P在正半轴,如图 与
的延长线交于点C,过点C作 轴，点B作 轴，垂足分别为点 , ,求证 ，得
, ，由 , 知， ， ，待定系数法求 解析式为 ，从
而求得 ；如图， ,点P在负半轴,延长 ,交 于点C,过点C作 轴,垂足为F,则
是等腰直角三角形, ，同前一种情况,可证 ，可得 ,待定系数求 解析
式为 ，从而求得 ；
（2）如图，分别过点B，A作 轴, 轴，垂足为C, F，可知 , ，求证
52，得 ，于是 ， ，设 ，得
，即 ，解得 或 ， 或 ，于是A
或 ．
【解析】解：【探索发现】，如图，正方形 中，
∴
由勾股定理， ，
∵ ，
∴
而
∴
∴
∴ 即
根据图中角的位置关系，可知其它两角不符合条件，
故选：①③；
【问题解决】如图，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
53∴
∴
【拓展应用】（1）如图，当 轴时，
①设 ， ，则 ， ，
，
∵
∴
∴ ，解得 ，
∴
②两种情况，如图， ,点P在正半轴,
如图 与 的延长线交于点C,过点C作 轴，过点B作 轴，垂足分别为点 , ,
∵
∴
∴
∵ ，
∴
又
54∴
∴ ,
由 , 知，
∴ ， ，即
设直线 解析式为 ,则
,解得
∴
时,
∴
,
如图， ,点P在负半轴,延长 ,交 于点C,过点C作 轴,垂足为F,
则 是等腰直角三角形,
55同前一种情况,可证 ，而
∴ ，
∴ ,
设直线 解析式为 ，则
解得
∴
时，
∴
综上, 或
（2）如图，分别过点B，A作 轴, 轴，垂足为C, F，
56∵点A，点B在反比例函数 和 上
∴ ,
∵ ，
∴
又
∴
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ， ， ，
∴
而， ，
∴
即 ，解得 ， 或
∴ 或 ， 或
∴A 或
【点睛】本题考查反比例函数性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性
质，正方形的性质，结合条件添加辅助线，构造全等三角形、相似三角形寻求线段之间的关系是解题的关
键．
15．如图，点 为反比例函数 的图像上一点，且点 的横坐标为 ，过点 作 轴、
轴的平行线，分别交反比例函数 的图像于 、 ，过点 作 轴的平行线，交反比
57例函数 的图像于 ，连接 ．
(1)当 时，求线段 的长；
(2)若 ；
①若 ，求 的值；
②求 的值；
(3)当 的值一定时，四边形 的面积是否随 的变化而变化？若不变，请用含 的代数式表示
四边形 的面积；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① ，②
(3)不变，
【分析】（1）先求出 点坐标，根据题意，求出 点的坐标，即可得解；
（2）①设 则： ，得到 ，根据 ，进行求解即可；②分别表示出
点的坐标，求出 的长，即可得出 的值；
（3）利用四边形 的面积等于 ，进行求解判断即可．
58【解析】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，点 在 的图象上，点 在 的图象上，
∴ ，
∴ ；
（2）①设
∵ ，
∴ ，
∵点 在 的图象上，点 在 的图象上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ 在 的图象上，
∴
由题意得： ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ；
59（3）不变；
由（2）②知： ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 的面积等于
．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用．熟练掌握反比例函数上的点的特征，以及平行于坐标轴的直线
上的点的特征，是解题的关键．
16．对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函
数”．例如：对于函数 和 ，则函数 ， 的“和函数” ．
(1)已知函数 和 ，这两个函数的“和函数”记为 ．
①写出 的表达式，并求出当x取何值时， 的值为 ；
60②函数 ， 的图象如图①所示，则 的大致图象是______．
A． B． C． D．
(2)已知函数 和 ，这两个函数的“和函数”记为 ．
①下列关于“和函数” 的性质，正确的有______；（填写所有正确的选项）
A． 的图象与x轴没有公共点
B． 的图象关于原点对称
C．在每一个象限内， 随x的值增大而减小
D．当 时，随着x的值增大， 的图像越来越接近 的图象
②探究函数 与一次函数 （ 为常数，且 图象的公共点的个数及对应的k的取值范围，
直接写出结论．
【答案】(1)① ， 或 ；②C；
(2)①BD；②当 且 且 时，公共点的个数为2；当 或 时，公共点的个数为1；当
61时，公共点的个数为0
【分析】（1）①直接代入求解即可；
②通过求 在一三象限的最值确定函数图象；
（2）①根据函数 的性质依次判断即可；
②将函数交点问题转化为对一元二次方程根的判别式问题求解．
【解析】（1）①解：∵ ， ，
∴ ，
把 代入得： ，
两边同乘 ，得： ，
解得 ， ，
经检验， ， 都是方程的解．
所以当 或 时， 的值为 ；
②由完全平方公式可知： ， ， ，即 ，
当 时， ，
当 时， ， ，
∴ ， ，
观察四个函数图象，C选项符合题意，
故选：C；
62（2）①解：∵ ， ，
∴ ，
A．当 时， ，所以图象与x轴有公共点，该选项错误；
B．任选 上的一点 ， ，P关于原点对称点 ，代入 得出
成立，故 在 上，所以 的图像关于原点对称，该选项正确；
C．当 时， ，当 时， ，此时y随x的增大而增大，该选项错误；
D． ，随着x的增大， 越趋近于0，即 和 的图象越接近，该选项正确，
故选：BD；
②解：根据题意可得： ，
即 ，该方程 ，
当 且 且 时，公共点的个数为2；
当 或 时，公共点的个数为1；
当 时，公共点的个数为0．
【点睛】本题考查新定义，函数的性质，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题关键．
63
