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特训 06 期中解答压轴题（第 1-3 章，新题速递精选）
一、解答题
1．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，在一次数学活动课上，张明用17个底面为正方形，且底面边
长为 ，高为 的小长方体达成了一个几何体，然后他请王亮用尽可能少的同样的长方体在旁边再搭一个
几何体，使王亮所搭的几何体恰好可以和张明所搭的几何体拼成一个大长方体（即拼大长方体时将其中一
个几何体翻转，且假定组成每个几何体的小长方体粘合在一起）.
（1）王亮至少还需要 个小长方体；
（2）请画出张明所搭几何体的左视图，并计算它的表面积（用含 的代数式表示）；
（3）请计算（1）条件下王亮所搭几何体的表面积（用含 的代数式表示）.
【答案】（1）19
（2） ，
（3）
【分析】（1）确定张明所搭几何体所需的正方体的个数，然后确定两人共搭建几何体所需小立方体的数
量，求差即可．
（2）根据图形，画出左视图,计算表面积即可.
（3）画出王亮所搭几何体的俯视图，即可求出表面积.
【解析】（1）∵王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体，
1∴该长方体需要小立方体 个，
∵张明用17个边长为1的小正方体搭成了一个几何体，
∴王亮至少还需36−17=19个小立方体.
（2）张明所搭几何体的左视图有三列，第一列有4个长方形，第二列有2个长方形，第三列
有1个长方形：
表面积为：
（3）王亮所搭几何体的俯视图如图所示，图中数字代表该列小正方体的个数.
故王亮所搭几何体的表面积为：
【点睛】本题主要考查的是由三视图判断几何体的知识，能够根据题意确定出两人所搭
几何体的形状是解答本题的关键；
2．（2023·全国·九年级专题练习）综合与实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无
盖纸盒．
2操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的字是 ．
(3)如图3，有一张边长为50 的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖
长方体纸盒．
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为6 的小正方形，这个纸盒的容积．
【答案】(1)C
(2)环
(3)①见解析；②8664
【分析】（1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案；
（2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案；
（3）①画出相应的图形即可；
②先表示出折叠后的长方体的容积，再把 代入求值即可．
【解析】（1）∵折叠成一个无盖的正方体纸盒，
∴展开图有5个面，
再根据正方体的展开图的特征，可得A选项、B选项中图形不符合题意，
选项C的图形符合题意，
选项D的图形可以折叠出有盖的正方体的纸盒，因此选项D不符合题意．
故答案为：C；
（2）根据“相间、Z端是对面”可知，“小”字相对的面为“环”，
3答：折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的面为“环”；
故答案为：环；
（3）①所画出的图形如图所示：
②设折叠后的长方体的高为x ，底面是边长为 的正方形，
其面积为 ，
体积为 ，
当 时， （ ），
答：当小正方形边长为6 时，纸盒的容积为8664 ．
【点睛】本题考查正方体的表面展开图，列代数式并求值，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的
关键．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中项点数(V)、面数(F)、
棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问
题:
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格:
多面体 项点数(V) 面数(F) 棱数(F)
四面体
长方体
4正八面体
正十二面体
你发现项点数(V)、面数(F)、棱数(F)之间存在的关系式是__________________________.
（2）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是 20；
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个
顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
【答案】(1) 见解析，V+F-E=2；(2) 20；(3)26
【分析】（1）观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2；
（2）代入（1）中公式进行计算；
（3）根据欧拉公式可得顶点数+面数-棱数=2，然后表示出棱数，进而可得面数．
【解析】解：（1）根据题意得如下图
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 6
长方体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面
20 12 30
体
∵4+4-6=2，8+6-12=2，6+8-12=2，
∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F-E=2；
（2）由（1）可知：V+F-E=2，
∵一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，
∴V+V-8-30=2，即V=20；
（3）∵有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有48×3÷2=72条棱，
设总面数为F，
48+F-72=2，
解得F=26，
∴x+y=26．
【点睛】本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式是解题关键．
4．（2022秋·湖南怀化·七年级校考期中）阅读下列材料：
5我们知道 的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离， 也就是表示数a与数0的两点之
间的距离， 表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离．
例1．已知 ，求x的值．
解：在数轴上与原点距离为2的点对应数是为 和2，即x的值为 和2．
例2．已知 ，求x的值．
解：在数轴上与1的距离为2的点对应数为3和 ，即x的值为3和 ．
依照阅读材料的解法，完成下列各题：
(1)若 ，则 ________，若 ，则 ________；
(2) 的最小值是________，若 ，则 ________；
(3)代数式 的最小值为________；
(4)求代数式 的最小值．
【答案】(1)3或 ；2或
(2)3； 或3
(3)
(4)2500
【分析】（1）仿照题意进行求解即可；
（2）设点A表示的数为x，点B和点C表示的数分别为 ，2，则 的值即为线段 的长度与
线段 的长度之和，再分当点A在点B左侧时，当点A在点B与C之间时，当点A在点C右侧时，三种
情况求出 的最小值为3，再由 ，得到 或 ，据此去绝对值解方程即可；
（3）同（2）可得，当 时， 有最小值，又有当 时， 有最小值，则当
6时， 有最小值，据此求解即可；
（4）同理推出当 时， 有最小值，据此求解即可．
【解析】（1）解：∵在数轴上与原点距离为3的点对应的数为3和 ，
∴x的值为3或 ；
∵在数轴上与 距离为4的点对应的数为2和 ，
∴x的值为2或 ；
故答案为：3或 ；2或 ；
（2）解：设点A表示的数为x，点B和点C表示的数分别为 ，2，
∴ 的值即为线段 的长度与线段 的长度之和，
如图所示，当点A在点B左侧时，
如图所示，当点A在点B与C之间时，
如图所示，当点A在点C右侧时，
∴综上所述，当点A在点B与C之间时， 有最小值3；
∵当点A在点B与C之间时， 的最小值为3， ，
∴ 或 ，
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，解得 ；
综上所述，若 ，则 或 ；
7故答案为：3； 或3；
（3）解：同（2）可得，当 时， 有最小值，
又∵ ，
∴当 时， 有最小值，
∴当 时， 有最小值，最小值为 ，
故答案为：16；
（4）解：同（2）可得当 时， 有最小值，
当 时， 有最小值，
当 时， 有最小值，
……
当 时， 有最小值，
∴当 时， 有最小值，最小值为
．
【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离公式，解绝对值方程，熟练掌握绝对值的几
何意义是解题的关键．
5．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）已知 在数轴上对应的数分别用 表示，且
， 是数轴上的一个点．
(1)在数轴上标出 的位置，并求出 两点之间的距离．
(2)数轴上一点 距 点7个单位长度，其对应的数 满足 ．
①写出 两点之间的距离．
8②若 表示点 与点 之间的距离， 表示点 与点 之间的距离，当 点满足 时，直接写出
点 对应的数．
(3)动点 从点 开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个
单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，点 和与 能重合吗？若能，
请探索是第几次移动时重合，并写出算式说明；若不能，请说明理由．
【答案】(1)图见解析，10
(2)①3；②点 对应的数为 或2
(3)点 和与 能重合，第10次移动时重合，理由见解析
【分析】（1）由绝对值的非负性和偶次方的非负性可求出 的值，再根据两点间的距离公式进行计算
即可得到答案；
（2）①由绝对值的定义得 ，从而推断出 ，由两点间的距离即可求出点 所表示的数，从而即
可得到答案；②分两种情况：当点 在 之间时；当点 在 的右侧时，根据 之间的关
系，分别求出点 表示的数即可得到答案；
（3）先表示出移动 次后，点 对应的数为： ，再分当 为偶数时，
当 为奇数时，分别求解即可得到答案．
【解析】（1）解： ， ， ，
， ，
解得： ， ，
点 在数轴上对应的数为6，点 在数轴上对应的数为 ，画出图如下：
，
；
（2）解：①由（1）可知： ，
，
，
，
数轴上一点 距 点7个单位长度，
9点 在数轴上表示的数为： ，
；
②如图， 在数轴上的位置表示如下：
，
点 满足 ，
点 可能在 之间，也可能在 的右侧，
当点 在 之间时， ，
，
点 对应的数为： ，
当点 在 的右侧时， ，
点 对应的数为： ，
综上所述：点 对应的数为 或2；
（3）解：点 和与 能重合，
理由如下：
动点 从点 开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个
单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…，
移动 次后，点 对应的数为： ，
当 为偶数时，点 对应的数为：
，
，
当 为奇数时，点 对应的数为：
，
，不符合题意，舍去，
10综上所述，点 第10次移动时，点 与点 重合．
【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的应用、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、数轴
上的动点问题，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
6．（2023秋·全国·七年级专题练习）【概念学习】
定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．
比如 ， 等，类比有理数的乘方，我们把 写作 ，读作“2的圈3次
方”写作 ，读作“ 的圈4次方”
一般地，把 记作： ，读作“ 的圈 次方”别地，规定： ．
【初步探究】a的圈n次方
(1)直接写出计算结果： ______， ______；
(2)若 为任意正整数，下列关于除方说法中，正确的有_____；（横线上填写序号）
A．任意非零数的圈2次方都等于1
B．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．圈 次方等于它本身的数是1或
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
E．互为相反数的两个数的圈 次方互为相反数
F．互为倒数的两个数的圈 次方互为倒数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运
算如何转化为乘方运算呢？
(3)请把有理数 的圈 次方写成幂的形式： =________；
(4)比较： ______ ；（填“>”或“=”）
(5)计算：
11【答案】(1)１；
(2)
(3)
(4)>
(5)
【分析】（1）利用a的圈n次方的意义，进行计算即可．
（2）利用a的圈n次方的意义，进行判断．
（3）利用圈n次方的意义，进行计算即可．
（4）利用（3）的结论，进行计算即可．
（5）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．
【解析】（1） ；
（2）A、因为a 任意非零数的圈2次方都等于1，符合题意；
②
B、a , 任意非零数的圈3次方都等于它的倒数,符合题意；
③
C、圈 次方等于它本身的数是1或 ，符合题意；
D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，符合题意
E．（ ） ，2 ，不符合题意
② ②
F．互为倒数的两个数的圈 次方互为倒数2 ， ，符合题意．
③ ③
（3）
（4） ， ，
12> ．
（5）原式
．
7．（2023秋·全国·七年级专题练习）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，
图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记
为 ，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为 ，（规定 ）
如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为 ，表示该生为5班的
学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，
并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“ ”、“ ”，结合“+”、“
”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新
系统规则可表示的班级编号范围．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析，改编规则见解析，范围为 至
【分析】（1）根据规定了运算法则进行计算即可求解；
（2）根据有理数的混合运算进行计算，得出最大的班级变号为 ，则不能被全部被识别，改编为：改编
13为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，根据有理数的混合
运算进行计算可得知新系统规则可表示的班级编号范围．
【解析】（1）解：图3中，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，则序号为
，
故答案为： ；
（2）不能，∵ ，
∴不能用该系统全部识别；
∵最多只能表示 个数字，要表示大于 的数字，则需加一位，
改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，
规则不变，序号改为： ，
如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，第二行第1个数字为1，
序号为 ，
第一行数字从左到右依次为0，0，1，0，第二行第1个数字为1，
序号为 ，
当第一行数字从左到右依次为1，1，1，1，第二行第1个数字为1，
序号最大，为 ，
∴改编后的新系统规则可表示的班级编号范围为 至 ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
8．（2021秋·江苏南通·七年级启东市长江中学校考期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨
论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的探
究问题.
【提出问题】三个有理数a，b，c，满足abc>0，求 的值.
【解决问题】
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.
①当a，b，c，都是正数，即a>0，b>0，c>0时，则 = =1+1+1=3；
②当a，b，c有一个为正数，另两个位负数时，设a>0，b<0，c<0，则 = =1−1−1=−1；
所以 的值为3或−1.
14【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a，b，c满足abc<0，求 的值；
(2)已知 =9， =4，且a0，c>0，则原式=−1+1+1=1；
(2) ∵ =9， =4
∴a= 9，b=±4
∵a
