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特训 06 期中解答压轴题（第 1-3 章，新题速递精选）
一、解答题
1．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，在一次数学活动课上，张明用17个底面为正方形，且底面边
长为 ，高为 的小长方体达成了一个几何体，然后他请王亮用尽可能少的同样的长方体在旁边再搭一个
几何体，使王亮所搭的几何体恰好可以和张明所搭的几何体拼成一个大长方体（即拼大长方体时将其中一
个几何体翻转，且假定组成每个几何体的小长方体粘合在一起）.
（1）王亮至少还需要 个小长方体；
（2）请画出张明所搭几何体的左视图，并计算它的表面积（用含 的代数式表示）；
（3）请计算（1）条件下王亮所搭几何体的表面积（用含 的代数式表示）.
【答案】（1）19
（2） ，
（3）
【分析】（1）确定张明所搭几何体所需的正方体的个数，然后确定两人共搭建几何体所需小立方体的数
量，求差即可．
（2）根据图形，画出左视图,计算表面积即可.
（3）画出王亮所搭几何体的俯视图，即可求出表面积.
【解析】（1）∵王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体，
1∴该长方体需要小立方体 个，
∵张明用17个边长为1的小正方体搭成了一个几何体，
∴王亮至少还需36−17=19个小立方体.
（2）张明所搭几何体的左视图有三列，第一列有4个长方形，第二列有2个长方形，第三列
有1个长方形：
表面积为：
（3）王亮所搭几何体的俯视图如图所示，图中数字代表该列小正方体的个数.
故王亮所搭几何体的表面积为：
【点睛】本题主要考查的是由三视图判断几何体的知识，能够根据题意确定出两人所搭
几何体的形状是解答本题的关键；
2．（2023·全国·九年级专题练习）综合与实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无
盖纸盒．
2操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的字是 ．
(3)如图3，有一张边长为50 的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖
长方体纸盒．
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为6 的小正方形，这个纸盒的容积．
【答案】(1)C
(2)环
(3)①见解析；②8664
【分析】（1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案；
（2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案；
（3）①画出相应的图形即可；
②先表示出折叠后的长方体的容积，再把 代入求值即可．
【解析】（1）∵折叠成一个无盖的正方体纸盒，
∴展开图有5个面，
再根据正方体的展开图的特征，可得A选项、B选项中图形不符合题意，
选项C的图形符合题意，
选项D的图形可以折叠出有盖的正方体的纸盒，因此选项D不符合题意．
故答案为：C；
（2）根据“相间、Z端是对面”可知，“小”字相对的面为“环”，
3答：折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的面为“环”；
故答案为：环；
（3）①所画出的图形如图所示：
②设折叠后的长方体的高为x ，底面是边长为 的正方形，
其面积为 ，
体积为 ，
当 时， （ ），
答：当小正方形边长为6 时，纸盒的容积为8664 ．
【点睛】本题考查正方体的表面展开图，列代数式并求值，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的
关键．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中项点数(V)、面数(F)、
棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问
题:
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格:
多面体 项点数(V) 面数(F) 棱数(F)
四面体
长方体
4正八面体
正十二面体
你发现项点数(V)、面数(F)、棱数(F)之间存在的关系式是__________________________.
（2）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是 20；
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个
顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
【答案】(1) 见解析，V+F-E=2；(2) 20；(3)26
【分析】（1）观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2；
（2）代入（1）中公式进行计算；
（3）根据欧拉公式可得顶点数+面数-棱数=2，然后表示出棱数，进而可得面数．
【解析】解：（1）根据题意得如下图
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 6
长方体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面
20 12 30
体
∵4+4-6=2，8+6-12=2，6+8-12=2，
∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F-E=2；
（2）由（1）可知：V+F-E=2，
∵一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，
∴V+V-8-30=2，即V=20；
（3）∵有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有48×3÷2=72条棱，
设总面数为F，
48+F-72=2，
解得F=26，
∴x+y=26．
【点睛】本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式是解题关键．
4．（2022秋·湖南怀化·七年级校考期中）阅读下列材料：
5我们知道 的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离， 也就是表示数a与数0的两点之
间的距离， 表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离．
例1．已知 ，求x的值．
解：在数轴上与原点距离为2的点对应数是为 和2，即x的值为 和2．
例2．已知 ，求x的值．
解：在数轴上与1的距离为2的点对应数为3和 ，即x的值为3和 ．
依照阅读材料的解法，完成下列各题：
(1)若 ，则 ________，若 ，则 ________；
(2) 的最小值是________，若 ，则 ________；
(3)代数式 的最小值为________；
(4)求代数式 的最小值．
【答案】(1)3或 ；2或
(2)3； 或3
(3)
(4)2500
【分析】（1）仿照题意进行求解即可；
（2）设点A表示的数为x，点B和点C表示的数分别为 ，2，则 的值即为线段 的长度与
线段 的长度之和，再分当点A在点B左侧时，当点A在点B与C之间时，当点A在点C右侧时，三种
情况求出 的最小值为3，再由 ，得到 或 ，据此去绝对值解方程即可；
（3）同（2）可得，当 时， 有最小值，又有当 时， 有最小值，则当
6时， 有最小值，据此求解即可；
（4）同理推出当 时， 有最小值，据此求解即可．
【解析】（1）解：∵在数轴上与原点距离为3的点对应的数为3和 ，
∴x的值为3或 ；
∵在数轴上与 距离为4的点对应的数为2和 ，
∴x的值为2或 ；
故答案为：3或 ；2或 ；
（2）解：设点A表示的数为x，点B和点C表示的数分别为 ，2，
∴ 的值即为线段 的长度与线段 的长度之和，
如图所示，当点A在点B左侧时，
如图所示，当点A在点B与C之间时，
如图所示，当点A在点C右侧时，
∴综上所述，当点A在点B与C之间时， 有最小值3；
∵当点A在点B与C之间时， 的最小值为3， ，
∴ 或 ，
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，解得 ；
综上所述，若 ，则 或 ；
7故答案为：3； 或3；
（3）解：同（2）可得，当 时， 有最小值，
又∵ ，
∴当 时， 有最小值，
∴当 时， 有最小值，最小值为 ，
故答案为：16；
（4）解：同（2）可得当 时， 有最小值，
当 时， 有最小值，
当 时， 有最小值，
……
当 时， 有最小值，
∴当 时， 有最小值，最小值为
．
【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离公式，解绝对值方程，熟练掌握绝对值的几
何意义是解题的关键．
5．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）已知 在数轴上对应的数分别用 表示，且
， 是数轴上的一个点．
(1)在数轴上标出 的位置，并求出 两点之间的距离．
(2)数轴上一点 距 点7个单位长度，其对应的数 满足 ．
①写出 两点之间的距离．
8②若 表示点 与点 之间的距离， 表示点 与点 之间的距离，当 点满足 时，直接写出
点 对应的数．
(3)动点 从点 开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个
单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，点 和与 能重合吗？若能，
请探索是第几次移动时重合，并写出算式说明；若不能，请说明理由．
【答案】(1)图见解析，10
(2)①3；②点 对应的数为 或2
(3)点 和与 能重合，第10次移动时重合，理由见解析
【分析】（1）由绝对值的非负性和偶次方的非负性可求出 的值，再根据两点间的距离公式进行计算
即可得到答案；
（2）①由绝对值的定义得 ，从而推断出 ，由两点间的距离即可求出点 所表示的数，从而即
可得到答案；②分两种情况：当点 在 之间时；当点 在 的右侧时，根据 之间的关
系，分别求出点 表示的数即可得到答案；
（3）先表示出移动 次后，点 对应的数为： ，再分当 为偶数时，
当 为奇数时，分别求解即可得到答案．
【解析】（1）解： ， ， ，
， ，
解得： ， ，
点 在数轴上对应的数为6，点 在数轴上对应的数为 ，画出图如下：
，
；
（2）解：①由（1）可知： ，
，
，
，
数轴上一点 距 点7个单位长度，
9点 在数轴上表示的数为： ，
；
②如图， 在数轴上的位置表示如下：
，
点 满足 ，
点 可能在 之间，也可能在 的右侧，
当点 在 之间时， ，
，
点 对应的数为： ，
当点 在 的右侧时， ，
点 对应的数为： ，
综上所述：点 对应的数为 或2；
（3）解：点 和与 能重合，
理由如下：
动点 从点 开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个
单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…，
移动 次后，点 对应的数为： ，
当 为偶数时，点 对应的数为：
，
，
当 为奇数时，点 对应的数为：
，
，不符合题意，舍去，
10综上所述，点 第10次移动时，点 与点 重合．
【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的应用、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、数轴
上的动点问题，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
6．（2023秋·全国·七年级专题练习）【概念学习】
定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．
比如 ， 等，类比有理数的乘方，我们把 写作 ，读作“2的圈3次
方”写作 ，读作“ 的圈4次方”
一般地，把 记作： ，读作“ 的圈 次方”别地，规定： ．
【初步探究】a的圈n次方
(1)直接写出计算结果： ______， ______；
(2)若 为任意正整数，下列关于除方说法中，正确的有_____；（横线上填写序号）
A．任意非零数的圈2次方都等于1
B．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．圈 次方等于它本身的数是1或
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
E．互为相反数的两个数的圈 次方互为相反数
F．互为倒数的两个数的圈 次方互为倒数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运
算如何转化为乘方运算呢？
(3)请把有理数 的圈 次方写成幂的形式： =________；
(4)比较： ______ ；（填“>”或“=”）
(5)计算：
11【答案】(1)１；
(2)
(3)
(4)>
(5)
【分析】（1）利用a的圈n次方的意义，进行计算即可．
（2）利用a的圈n次方的意义，进行判断．
（3）利用圈n次方的意义，进行计算即可．
（4）利用（3）的结论，进行计算即可．
（5）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．
【解析】（1） ；
（2）A、因为a 任意非零数的圈2次方都等于1，符合题意；
②
B、a , 任意非零数的圈3次方都等于它的倒数,符合题意；
③
C、圈 次方等于它本身的数是1或 ，符合题意；
D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，符合题意
E．（ ） ，2 ，不符合题意
② ②
F．互为倒数的两个数的圈 次方互为倒数2 ， ，符合题意．
③ ③
（3）
（4） ， ，
12> ．
（5）原式
．
7．（2023秋·全国·七年级专题练习）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，
图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记
为 ，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为 ，（规定 ）
如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为 ，表示该生为5班的
学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，
并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“ ”、“ ”，结合“+”、“
”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新
系统规则可表示的班级编号范围．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析，改编规则见解析，范围为 至
【分析】（1）根据规定了运算法则进行计算即可求解；
（2）根据有理数的混合运算进行计算，得出最大的班级变号为 ，则不能被全部被识别，改编为：改编
13为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，根据有理数的混合
运算进行计算可得知新系统规则可表示的班级编号范围．
【解析】（1）解：图3中，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，则序号为
，
故答案为： ；
（2）不能，∵ ，
∴不能用该系统全部识别；
∵最多只能表示 个数字，要表示大于 的数字，则需加一位，
改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，
规则不变，序号改为： ，
如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，第二行第1个数字为1，
序号为 ，
第一行数字从左到右依次为0，0，1，0，第二行第1个数字为1，
序号为 ，
当第一行数字从左到右依次为1，1，1，1，第二行第1个数字为1，
序号最大，为 ，
∴改编后的新系统规则可表示的班级编号范围为 至 ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
8．（2021秋·江苏南通·七年级启东市长江中学校考期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨
论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的探
究问题.
【提出问题】三个有理数a，b，c，满足abc>0，求 的值.
【解决问题】
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.
①当a，b，c，都是正数，即a>0，b>0，c>0时，则 = =1+1+1=3；
②当a，b，c有一个为正数，另两个位负数时，设a>0，b<0，c<0，则 = =1−1−1=−1；
所以 的值为3或−1.
14【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a，b，c满足abc<0，求 的值；
(2)已知 =9， =4，且a<b，求a−2b的值.
【答案】(1)-3或1；(2)−17或−1.
【分析】（1）按照题目内的求值方式，分类讨论，即可解答.
（2）根据 =9， =4分别求出a、b的值，再根据a<b，分情况讨论，分别求出a−2b的值即可.
【解析】(1)∵abc<0，
∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当a，b，c都是负数，即a<0，b<0，c<0时，则原式=−1−1−1=−3；
②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，不妨设a<0，b>0，c>0，则原式=−1+1+1=1；
(2) ∵ =9， =4
∴a= 9，b=±4
∵a<b，
∴当a=-9，b=4时，a−2b=−9−2×4=-17，
当a=-9，b=-4时，a−2b=−9−2×(-4)=-1，
【点睛】本题考查绝对值的定义，以及分类讨论思想的运用，熟练掌握绝对值的定义是解题关键.
9．（2023·全国·七年级专题练习）有一台功能单一的计算器，只能完成对任意两个整数求差后再取绝对值
的运算，其运算过程是：输入第一个整数 ，只显示不运算，再输入整数 ，显示 的结果．比如依
次输入1，2，则显示结果1，若此后再输入一个整数，则显示与前面运算结果进行求差后再取绝对值的运
算结果．
(1)若小明依次输入−1，0，1，则显示_______________；
(2)若小明将2，3，4，5，打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最小值为________；
所有显示结果的最大值为____________；
(3)若小明依次输入四个连续整数n， ， ， （其中n为整数），则显示结果为____________；
(4)若小明将四个连续整数n， ， ， （其中n为整数），打乱顺序后一个一个地输入（不重
复），则所有显示结果的最小值为_______________；
(5)若小明将1到 这 个整数打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最大值为
15_____________．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）根据题意运算顺序进行计算即可；
（2）根据 ， ， ， ， ， ， ， ，可得按
如下顺序 ， ，可得最大值与最小值；
（3）根据题意运算顺序进行计算即可；
（4）根据 可得最小值；
（5）先将1到n 这n个正整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的最后结果为m，根据
分析的奇偶性进行构造，其中k为非负整数，连续四个正整数结合指的是按 式结构计算分别得出最大值
与最小值，从而得出 时的最大值．
【解析】（1）解：根据题意得： ， ，
故答案为： ；
（2）根据题意可以得出： ， ， ，
， ， ，
， ，
对于 ，按如下顺序 ， ，
∴所有显示结果最小值为 ，最大值为 ，
故答案为： ， ；
16（3）根据题意可得： ，
故答案为： ；
（4）打乱顺序输入，显示结果最小的是 ，
故答案为： ；
（5）对于任意两个正整数 ， 一定不超过 中较大的一个，
对于任意三个正整数 ， 一定不超过 中最大的一个，
以此类推，设小明出入的 个数的顺序为 ，则 ，
一定不超过 中最大的数，
∴ ，
易知， 与 的奇偶性相同，
可以通过这种方式得到 ： ，
任意四个连续正整数可以通过这种方式得到 ： ，
下面根据前面分析的奇偶性进行构造，其中k为非负整数，连续四个正整数结合指的是按 式结构计算．
当 时， 为偶数，则m为偶数，连续四个正整数结合可得到0，则最小值为0，前三个结
合得到0，接下来连续四个结合得到0，仅剩下n，则最大值为n；
当 时， 为奇数，则m为奇数，除1外，连续四个正整数结合得到0，则最小值为1，
从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n，则最大值为n；
当 时， 为奇数，则m为奇数，从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n和 ，
则最小值为1，
从2开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1和n，最大值为 ；
当 时， 为偶数，则m为偶数，前三个结合得到0，接下来连续四个正整数结合得到
0，
则最小值为0，从3开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1，2和n，
则最大值为 ．
∴当 时， ，
17满足 ，
∴m的最大值为 ，最小值为1，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了整数的奇偶性问题以及含有绝对值的函数最值问题，虽然以计算为载体，但首先要有
试验观察和分情况讨论的能力．
10．（2023秋·江苏·七年级专题练习）一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如
2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”记为L(8)，则L(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且
2 2
a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为L(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，
a
记为L(81)=4．
3
（1）下列各“劳格数”的值：L（4）=______，L(16)=______，L(64)=______．
2 2 2
（2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L（4），L(16)，L(64)满足关系式________．
2 2 2
（3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？L(M)+L(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．
a a
（4）据上述结论解决下列问：已知，L（3）=0.5，求L(9)的值和L(81)的值．（a＞0且a≠1）
a a a
【答案】（1） ；（2）L（4）+L(16)=L(64)；（3） ；（4）
2 2 2
【分析】（1）根据定义写出各“劳格数”的值；
（2）由（1）的结论直接得出结果；
（3）根据定义归纳出一般性的结果；
（4）根据（3）的结论进行计算即可．
【解析】（1）
L（4）=2，L(16)=4，L(64)=6
2 2 2
故答案为：
（2）
L（4）+L(16)=L(64)
2 2 2
故答案为：L（4）+L(16)=L(64)
2 2 2
（3）设
则
18即La(M)+La(N)= La(M N)
故答案为：
（4） La（3）=0.5
【点睛】本题考查了有理数乘方的概念，新定义概念，理解题意是解题的关键．
11．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下面算式的演算过程：
……
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
______________． ____________．
_________________．（ 为正整数）
（2）根据规律计算：
．
【答案】（1） ， ， ；（2） ．
【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得；
（2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得．
【解析】（1） ，
，
19，
故答案为： ， ， ；
（2）原式 ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了有理数乘方、乘法、加法的规律型问题，根据演算过程，正确发现规律是解题关键．
12．（2020秋·全国·七年级专题练习）已知： ，且 、 、 分别是点A．B．C
在数轴上对应的数．
（1）写出 =___； =___； =___.
（2）若甲、乙、丙三个动点分别从A．B．C三点同时出发沿数轴负方向运动,它们的速度分别是1、2、4,
(单位/秒),运行 秒后,甲、乙、丙三个动点对应的位置分别为： ， ， ,当 时,求式子
的值．
（3）若甲、乙、丙三个动点分别从A，B，C三点同时出发沿数轴正方向运动,它们的速度分别是1，2，4
20（单位/秒），运动多长时间后，乙与甲、丙等距离？
【答案】（1）a=4，b=9，c=-8；
（2）2；
（3）t=4或t=22.
【分析】（1）根据非负性即可求出a、b、c的值．
（2）根据甲、乙、丙三个动点的速度求出运行t秒后，甲、乙、丙三个动点对应的位置，根据t＞5判断
与0的大小关系，最后根据绝对值的性质即可化简．
（3）根据甲、乙、丙三个动点的速度求出运行t秒后，甲、乙、丙三个动点对应的位置，根据题意列出方
程 ，从而求出t的值．
【解析】解：（1）由 ，
∴ ，解之得：
∴a=4，b=9，c=-8
（2）由题可知：甲、乙、丙经过t秒后的路程分别是t，2t，4t，
∵甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴负方向运动
∴4-x =t，9-x =2t，-8-x =4t，
甲 乙 丙
∴x =4-t，x =9-2t，x =-8-4t，
甲 乙 丙
∴x -x =t-5，x -x =-12-3t
甲 乙 丙 甲
x -x =-17-2t
丙 乙
当t＞5时，
， ， ，
∴原式 ，
（3）由题可知：甲、乙、丙经过t秒后的路程分别是t，2t，4t，
∵甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴正方向运动，
∴x -4=t，x -9=2t，x +8=4t，
甲 乙 丙
∴x =4+t，x =9+2t，x =-8+4t，
甲 乙 丙
21∴x -x =5+t，x -x =17-2t
乙 甲 乙 丙
由题意可知：|x -x |=|x -x |，
乙 甲 乙 丙
∴ ，
解得：t=4或t=22，
【点睛】本题考查两点之间的距离，解题的关键是根据题意求出x 、x 、x 的表达式，涉及不等式的性
甲 乙 丙
质，解方程，绝对值的性质.
13．（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读理解：已知Q、K、R为数轴上三点，若点K到点Q的距离是点
K到点R的距离的2倍，我们就称点K是有序点对[Q，R]的好点．
根据下列题意解答问题：
（1）如图1，数轴上点Q表示的数为−1，点P表示的数为0，点K表示的数为1，点R
表示的数为2．因为点K到点Q的距离是2，点K到点R的距离是1，所以点K是
有序点对 的好点，但点K不是有序点对 的好点．同理可以判断：
点P__________有序点对 的好点，点R______________有序点对 的好点（填“是”或“不
是”）；
（2）如图2，数轴上点M表示的数为-1，点N表示的数为5，若点X是有序点对 的好点，求点X所
表示的数，并说明理由？
（3）如图3，数轴上点A表示的数为−20，点B表示的数为10．现有一只电子蚂蚁C从
点B出发，以每秒2个单位的速度向左运动t秒．当点A、B、C中恰有一个点为其余两有序点对的好点，
22求t的所有可能的值．
【答案】（1）不是；是；（2）3；（3）5秒或7.5或10秒或22.5秒或30秒或45秒；
【分析】可以根据好点的定义判断好点，这种新定义问题通常的解法是照猫画虎.
【解析】（1）PQ = PR，RP=2RK
所以答案为：不是；是
（2） 当点X在点M、N之间，由MN=5-(-1)=6，XM=2XN,
所以XM=4，XN=2，即点X距离点M为4个单位，距离点N为2个单位，
即点X所表示的数为3，
当点X在点N的右边，由MN=5-(-1)=6，XM=2XN，所以XM=12，XN=6，
即点X距离点M为12个单位，距离点N为6个单位，
即点X所表示的数为11；
（3）AB=10-（-20）=30，
当点C在点A、B之间，
若点C为有序点对 的好点，则CA=2CB，CB=10，t=5(秒)
②若点C为有序点对 的好点，即CB=2CA，CB=20, t=10(秒)
③若点B为有序点对 的好点或点A为有序点对 的好点，
即BA=2BC或AB=2AC，CB=15, t=7.5(秒)
当点A在点C、B之间，
④点A为有序点对 的好点，即AB=2AC，CB=45，t=22.5(秒)
②点C为有序点对 的好点或点B为有序点对 的好点，
即CB=2CA或BC=2BA，CB=60，t=30(秒)；
③点A为有序点对 的好点，即AC=2AB，CB=90, t=45
∴当经过5秒或7.5或10秒或22.5秒或30秒或45秒时，A、B、C中
恰有一个点为其余两有序点对的好点.
【点睛】正确理解好点的定义，要学会照猫画虎.
2314．（2022秋·广东广州·七年级广州市第九十七中学校考期中）多项式 是四次
c项式，a是这个多项式的最高项的系数，b是最小的正整数．
(1) ________， ________， ________．
(2)在数轴上点A，B，C表示的数分别为a，b，c．
①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数．
②点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以
每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问： 的值是否随着运动时间t的变化而改变？
若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】(1) ，1，6
(2)①0或4；②不变，理由见解析
【分析】（1）根据多项式的定义求出b，c的值，再根据有理数的大小关系得到a值即可；
（2）①设点P表示的数为p，根据距离关系列出方程，解之即可；②分别得出各点t秒后表示的数，再用
关于 的式子表示 和 ，求出 的值即可求解．
【解析】（1）解：∵多项式 是四次六项式，
∴ ，
∵a是这个多项式的最高项的系数，b是最小的正整数，
∴ ， ，
故答案为： ，1，6；
（2）①设点P表示的数为p，
则 ，
解得： 或 ，
即点P对应的数为0或4；
②不变，理由是：
由题意可得：t秒后，
点A表示的数为： ，
点B表示的数为： ，
点C表示的数为： ，
24∴ ， ，
∴ ，
即 的值不随着运动时间t的变化而改变．
【点睛】本题考查了多项式的定义，整式的加减运算，以及数轴的基本知识，掌握数轴上两点之间距离的
表示方法是解题的关键．
15．（2022秋·福建三明·七年级校考期中）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
第1个点阵：
第2个点阵：
______＋______
第3个点阵：
______＋______
（2）观察猜想，写出第 个点阵相对应的等式．
（3）根据以上猜想，求出 的值．
【答案】（1） ， ， ， ；（2）
；（3）20201
【分析】（1）根据点阵图即可求解；
（2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第 个点阵相对应的等式；
25（3）根据（2）中得出的规律，进行计算即可．
【解析】解：（1）由图可得： ， ，
故答案为： ， ， ， ；
（2） 第1个点阵：
第2个点阵：
第3个点阵：
第 个点阵相对应的等式为：
；
（3）由（2）可得：
，
，
，
26．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过观察、分析、归纳，得出规律第 个点阵相对应的等式
为： ，是解题的关键．
16．（2021秋·湖南郴州·七年级校考期中）大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：
经过研究，这个问题的结论是 ，（n是正整数）．
现在我们来研究一个类似的问题：
观察下面三个特殊的等式，并且填空：
，
，
，
① ，…
将前两个等式的两边相加，可以得到 ．
将三个等式的两边相加，可以得 ．
根据以上知识完成填空：
②计算： ；
③计算： ；
④计算： ；
⑤依据上面的材料，试计算： ；
⑥猜想： ．
【答案】① ；② ；③ ；④ ；⑤
27；⑥
【分析】①根据题意式子规律求解即可得到答案；
②根据题意式子规律求解即可得到答案；
③根据②规律求解即可得到答案；
④根据②的规律求解即可得到答案；
⑤根据①②的规律找到新规律求解即可得到答案；
⑥根据⑤的规律求解即可得到答案；
【解析】解：①由题意得， ，
故答案为： ；
②由题意得，
故答案为： ；
③由②的规律得，
，
故答案为： ；
④由②③规律得，
，
故答案为： ；
⑤∵ ，
28∴ ，
，
，
⑥由⑤的规律可得，
；
【点睛】本题考查规律题，解题的关键是读懂题意中的规律．
17．（2023秋·全国·七年级专题练习）某农户2020年承包荒山若干亩，投资7800元改造后，种果树2000
棵．今年水果总产量为36000千克，此水果在市场上每千克售 元，在果园每千克售 元（ ）．若该
农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克，需8人帮忙，每人每天付工资100元，农用车运费及其
他各项税费平均每天300元．
(1)当 ， 时，农户在水果市场或在果园中出售完全部水果的总收入分别是多少元？
(2)用 ， 分别表示农户在水果市场或在果园中这两种方式出售完全部水果的纯收入？（纯收入 总收入
总支出）
(3)若 ， 且 是整数，若两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，试
讨论当 为何值时，选择哪种出售方式较好．
【答案】(1)此水果在果园出售总收入为 元，在水果市场出售总收入为 元
(2)农户在果园中出售完全部水果的纯收入为 元，农户在水果市场出售完全部水果的纯收入
为 元；
(3)当 时，选择果园出售；当 时，选择水果市场出售
【分析】（1）根据题意可知，水果直接在果园的出售收入为 元，在水果市场出售收入=水果的总收
入−额外支出，列出代数式并代入求值即可获得答案；
（2）根据“纯收入 总收入 总支出”，计算即可；
（3）由题意知 或2，分两种情形分别计算即可解决问题．
【解析】（1）解：根据题意，
29此水果在果园出售，总收入 元，
此水果在水果市场出售，总收入 元，
当 ， 时，
此水果在果园出售，总收入 元，
此水果在水果市场出售，总收入 （元）；
（2）农户在果园中出售完全部水果的纯收入为 元，
农户在水果市场出售完全部水果的纯收入为 元；
（3）∵ 且 是整数，
∴ 或2，
当 时， ，
在果园中出售完全部水果的纯收入 元，
在水果市场出售完全部水果的纯收入 元，
∵ ，
∴选择果园出售方式较好；
当 时， ，
在果园中出售完全部水果的纯收入 元，
在水果市场出售完全部水果的纯收入 元，
∵ ，
∴选择水果市场出售方式较好．
综上所述，当 时，选择果园出售；当 时，选择水果市场出售．
【点睛】本题考查了列代数式、代数式求值等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）2022年十一国庆期间，商场打出促销广告，如下表所示：
优惠 一次性购物 一次性购物超过200元， 一次性购物
30条件 不超过200元 但不超过600元 超过600元
优惠 没有 全部按九折 其中600元扔按九折优惠，
办法 优惠 优惠 超过600元部分按八折优惠
用代数式表示（所填结果需化简）：
(1)设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，实际付款为 元；当原价x
超过600元时，实际付款为 元．
(2)若乙分两次购物，第一次花费189元，第二次花费580元，则两次购物的总原价为多少元？若合并成一
次购买，比分两次购买便宜多少元？
【答案】(1) ，
(2)当总原价为839元时，便宜37.8元；当总原价为860元，便宜21元
【分析】（1）由题意知，设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，实
际付款为 元；当原价x超过600元时，实际付款为 元；
（2）由 ， ，可知，第一次花费分两种情况求解：①第一次花费原价为 元；②
第一次花费原价为 元；由 ， ，可得第二次花费原价为
元，分别计算两种情况下的总原价，以及合并成一次购买的总费用，然后与分
两次购物的费用作差求解即可．
【解析】（1）解：由题意知，设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，
实际付款为 元；
当原价x超过600元时，实际付款为 元，
故答案为： ， ；
（2）解：∵ ， ，
由题意知，第一次花费分两种情况求解：
①第一次花费原价为 元；
②第一次花费原价为 元；
∵ ， ，
31∴第二次花费原价为 元，
∴当第一次花费原价为 元；两次购物的总原价为 元，
若合并成一次购买，总费用为 元，
∴ （元）；
当第一次花费原价为 元；两次购物的总原价为 元，
若合并成一次购买，总费用为 元，
∴ （元），
∴当两次购物的总原价为839元时，合并成一次购买，比分两次购买便宜37.8元；当两次购物的总原价为
860元，合并成一次购买，比分两次购买便宜21元．
【点睛】本题考查了列代数式，有理数混合运算的实际应用．解题的关键是分类讨论，列出算式．
19．（2023·全国·七年级专题练习）数学问题：计算 （其中 ， 都是正整数，且 ，
）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 的正方
形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算 ．
第 次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ．
第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 ．
第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分， ．
第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和 ，
最后空白部分的面积是 ．
第 次分割图可得等式： ．
32探究二：计算 ．
第 次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为 ．
第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ．
第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， ．
第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为 ，
最后空白部分的面积是 ．
根据第 次分割图可得等式： ，
两边同除以 ，得 ．
探究三：计算 ．
（仿照上述方法，只画出第 次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
33解决问题：根据前面探究结果：
__________．
__________．（只填空，其中 ， 都是正整数，且 ， ）
拓广应用：计算 ．
【答案】探究三：见解析；解决问题： ， ；拓广应用：
【分析】探究三：模仿例题，画出图形即可，根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论．
解决问题：利用规律解决问题即可．
拓广应用：用转化的思想解决问题即可．
【解析】解：探究三
第 次分割图如图所示：
所有阴影部分的面积之和为1；
最后的空白部分的面积是 ；
根据第 次分割图可得等式 ；
34两边同除以3，得 ；
解决问题
根据前面探究结果：
，
，
．
根据第 次分割图可得等式， ，
所以 ．
拓广应用
．
【点睛】本题考查规律型 图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利
用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
20．（2023秋·全国·七年级专题练习）认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
． ． ．……；
下面我们依次对 展开式的各项系数进一步研究发现，当 取正整数时可以单独列成表中的形式：
…………………………………………………1 1
35………………………………………………1 2 1
……………………………………………1 3 3 1
…………………………………………1 4 6 4 1
………………………………………1 5 10 10 5 1
……………………………………1 6 15 20 15 6 1
……………………………………
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
(1)多项式 的第三项的系数 ______；
(2)请你预测一下多项式 展开式的各项系数之和 ______；
(3)拓展：①写出 展开式中含 项的系数为______；
② 展开式按 的升幂排列为： ，若 ，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②
【分析】（1）由题意可求得当 时，多项式 的第三项的系数是多少，找到规律，即可
得出答案；
（2）求得当 时，多项式 展开式的各项系数之和，找到规律，即可求得答案；
36（3）①首先确定 是展开式中第几项，再根据杨辉三角即可解决问题；②将 代入求解即可．
【解析】（1）解：当 时，多项式 的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为： ；
当 时，多项式 的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为： ；
当 时，多项式 的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为： ；
当 时，多项式 的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为： ；
……
多项式 的展开式是一个 次 项式，第三项的系数为： ；
故答案为： ；
（2）解：当 时，多项式 的展开式的各项系数之和为： ；
当 时，多项式 的展开式的各项系数之和为： ；
当 时，多项式 的展开式的各项系数之和为： ；
当 时，多项式 的展开式的各项系数之和为： ；
……
多项式 展开式的各项系数之和为 ，
故答案为： ；
（3）解：① ，
展开式中含 项是其展开式的第二项，
，
故答案为： ；
37② ，
当 时，令 ，
则 ，
．
【点睛】本题考查了杨辉三角，数字的规律，解题的关键是根据图形中数字找出相应的规律，再表示展开
式．
21．（2021春·山东青岛·七年级校考期中）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具
有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面
积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．将一个边长为a的正方形
的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成： 或 ，
∴ ，这就验证了两数和的完全平方公式．
问题提出：
如何利用图形几何意义的方法推证： ，如图2，A表示1个1×1的正方形，即： ，B表
示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正
方形，即： ，而A、B、C、D恰好可以拼成一个 的大正方形，由此可得：
．
38(1)尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证： ___________（要求自己
构造图形并写出推证过程）．
(2)类比归纳：请用上面的表示几何图形面积的方法探究： ___________（要求直接写
出结论，不必写出解题过程）．
(3)实际应用：图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了正确数
出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．
例如：棱长是1的正方体有： 个，棱长是2的正方体有： 个，棱长是3的正方体有：
个，棱长是4的正方体有： 个，然后利用（3）类比归纳的结论，可得：
___________=___________．
(4)图4是由棱长为1的小正方体成的大正方体，图中大小正方体一共有___________个．
(5)逆向应用：如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大小正方体一共有
3025个，那么棱长为1的小正方体一共有___________个．
【答案】(1)推过程见解析，36
(2)
(3) ，
(4)441
(5)1000
【分析】（1）仿照推导 的方法即可完成计算；
（2）由前面两个推导即可得到一般规律；
（3）由（2）的一般规律即可完成；
（4）分别表示出棱长为1、2、3、4、5、6的正方体的个数，再由（2）得出的规律即可完成计算；
（5）由 ，即可确定n的值．
【解析】（1）解：A表示1个1×1的正方形，即： ，E表示1个 的正方形，F表示1个
的正方形，两个B恰好可以拼成1个 的正方形，1个C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：
39B、B、E就可以表示2个2×2的正方形，即： ，1个C与D恰好可以拼成1个 的正方形，
C、D、C、D、F表示3个 的正方形，即： ；而这9个长方形恰好可以拼成一个
的大正方形，由此可得： ．
故答案为：36；
（2）解：由前面两个推导可得规律： ；
故答案为： ；
（3）解：由（2）得到的规律有： （个），
故答案为： ， ；
（4）解：棱长分别为1、2、3、4、5、6的正方体的个数分别为 、 、 、 、 、 个，则大小正方
体一共有 （个），
故答案为：441；
（5）解：由于 ，则 ，
所以棱长为1的小正方体一共有 （个）；
故答案为：1000．
【点睛】本题是数形结合的问题，通过几何图形间的数量关系作出几何解释，得出规律，并应用规律解决
问题，考查了有理数的运算，列代数式，学生归纳推理能力及解决问题的能力．
4022．（2022秋·福建南平·七年级统考期中）如果一个两位数的个位数字是 ，十位数字是 ，那么我们可
以把这个两位数简记为 ，即 ．如果一个三位数的个位数字是 ，十位数字是 ，百位数字
是 ，那么我们可以把这个三位数简记为 ，即 ．
(1)列式分别表示出两位数 和 ，并证明 和 的差能被9整除．
(2)若规定：对任意一个三位数 进行 运算，得到整数 ． 如： ．
若一个三位数 满足 ，求这个三位数．
(3)已知一个三位数 和一个两位数 ，若满足 ，请求出所有符合条件的三位数．
【答案】(1) ， ，证明见解析
(2)507或516或523
(3)104，115，126，137，148，159，208，219
【分析】（1）根据题意可求出 ，即得出 和 的差能被9整除；
（2）结合题意，根据有理数乘方和加减运算的法则，得x和y的关系式为 ，再根据x，y均为0
到9的整数，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案；
（3）结合题意，通过列等式并合并同类项计算，得a、b、c的关系式，再结合a、b、c的取值范围及整数
的性质，通过计算即可得到答案．
【解析】（1）由题意得： ， ，
∴
．
∵ ，
41∴ 和 的差能被9整除；
（2）由题意可知 ，
∵x，y均为0到9的整数，
∴当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时，y为负数，不符合题意，
∴这三个数是507或516或523；
（3） ， ， ，
∴ ，
∴ ．
a为1到9的整数，b，c均为0到9的整数，
∴当 时，若 ，则 ，此时三位数是104；
若 ，则 ，此时三位数是115；
若 ，则 ，此时三位数是126；
若 ，则 ，此时三位数是137；
若 ，则 ，此时三位数是148；
若 ，则 ，此时三位数是159；
若 ，则 ，舍去；
当 时，若 ，则 ，此时三位数是208；
若 ，则 ，此时三位数是219；
若 ，则 ，舍去；
∵当 时，显然不符合题意．
综上可知，符合条件的三位数有104，115，126，137，148，159，208，219．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、列代数式、整式加减的应用．解题的关键是熟练掌握含乘方的有理
数混合运算法则、合并同类项的法则．
4243
