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相似三角形基本模型综合培优训练（一）
1．如图，在矩形 中， ， ，点E为 中点，P、Q为 边上两个动点，且 ，
当四边形 周长最小时， 的长为（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【详解】解：如图：四边形 周长等于 ，
作 ，使 ，
即四边形PQEF是平行四边形，则 ，
作F关于BC的对称点 ，连接 ， 交 于点 ，即有 ，
∵四边形 是矩形， ， ，E为DC中点，
∴ ， ，∠D=90°，
∴ ，
即在Rt△ADE中， ，即AE为定值，
即四边形 周长= ，其中 为定值，
∵ ，
∴当 共线时 最小，即四边形 周长最小，
∵ ， ，
∴结合四边形 是矩形，易证明四边形 是矩形，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
2．如图，已知在等腰Rt ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于
点F．若AC＝2，则线段△EF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，∵AD为BC边的中线，AC＝BC＝2，
∴CD＝BD＝1，
∴AD＝ ＝ ＝ ，
∵ ，
∴CE＝ ＝ ，
∵∠ADC+∠BCH＝90°，∠BCH+∠H＝90°，
∴∠ADC＝∠H，
在 ACD和 CBH中，
△ △
，
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴CD＝BH＝1，AD＝CH＝ ，
∵AC⊥BC，BH⊥BC，
∴AC∥BH，
∴△ACF∽△BHF，
∴ ＝ ，
∴CF＝ ，
∴EF＝CF﹣CE＝ ﹣ ＝ ，故选：B．
3．如图，矩形ABCD的CD边上取一点E，将 沿BE翻折至 的位置．如图，当点F落在矩形
ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若 ， ， ，则GF的长度为_____．
【答案】
【详解】设GC、BE交于点O，如图，
∵四边形ABCD是矩形，AB=12，BC=15，
∴AB=DC=12，AD=BC=15，∠D=∠DCB=90°，
∴在Rt△DCG中，GD=5，
即 ，
根据翻折的性质，BC=BF，∠CBE=∠FBE，
∴结合BO=BO，可得△BCO≌△BFO，
∴CO=OF，∠BOC=∠BOF，
∵∠BOC+∠BOF=180°，
∴∠BOC=∠BOF=90°，
∴BO⊥GC，
∵∠BCO+∠DCG=180°，∠DCG+∠DGC=180°，
∴∠BCO=∠DGC，
∵∠D=∠BOC=90°，
∴△BOC∽△CDG，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．如图，在 中， ，点A在反比例函数 的图像上，点B，C在 轴上，
，延长 交 轴于点 ，连接 ，若 的面积等于 ，则 的值为______．
【答案】6
【详解】解：如图，连接AO，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵AC=AB，AE⊥BC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵∠AEC=∠DOC=90°，∠OCD=∠ECA，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：6．
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的对角线 的中点与坐标原点重合，点 是 轴上一点，连
接 、 ， 交 于 ，若 平分 反比例函数 的图象经过点
与 的中点 ，矩形 的面积为 ，则 的值是______．
【答案】-3
【详解】解：连接 ，则 ， ，，
平分 ，
，
，
，
∽ ，
，
矩形 的面积为 ，
，
，
， ，
，
，
设 ，
，
， ，
，
，故答案为： ．
6．如图，已知四边形ABCD是边长为8的正方形，点E，F分别是BC，CD的中点，AE与BF相交于点
G，连接DE，交BF于点H，则GH的长为_____．
【答案】
【详解】解：取线段DE的中点M，连接MF，
∵点F为线段DC的中点，
∴MF是△DEC的中位线，
∴MF EC， ，
∵点E，F分别是BC，CD的中点，四边形ABCD是边长为8的正方形，
∴CF＝BE＝4，BC＝AB＝8，∠BCF＝∠ABE＝90°，
∴BF 4 ，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，∴△BGE∽△BCF，
∴ ，
即 ，
解得BG ，
∵ ，
∴△BEH∽△FMH，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴FH BF ，
∴GH＝BF﹣BG﹣FH＝4 ，
故答案为： ．
7．在 ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D为AB边上一点，AD＝3BD，CD＝2 ，点E在直线AC
△上，∠CDE＝45°，则AE＝______．
【答案】3或18
【详解】当点E在线段AC上时，
因为∠ACB＝90°，CA＝CB，
所以∠EAD=∠CBA=45°，
因为∠CDE＝45°，∠CDA=∠EDC+∠ADE=∠B+∠BCD，
所以∠ADE=∠BCD，
所以 ADE∽ BCD，
△ △
所以 ，
因为AD＝3BD，
所以AD= ，BD= ，
所以 ，
解得AE= ．
因为∠CDE＝45°=∠A，∠ECD=∠CDA，
所以 CED∽ CDA，
△ △
所以 ，
因为CD＝2 ，
所以AC×CE=40，
所以 即 ，因为AE+CE=AC= ，
所以
所以 ，
解得AE=3或AE=-3（舍去）．
当点E在线段AC的延长线上时，
设DE与BC的交点为M，
因为∠CDE＝45°，∠DCM=∠BCD，
所以 CDM∽ CBD，
△ △
所以 ，
因为CD＝2 ，AC=BC，
所以BC×CM=40即 ，
因为∠A=∠CDE＝45°，∠EDB=∠A+∠E, ∠DCA=∠E+∠CDE，
所以∠EDB=∠DCA，
因为∠A=∠B＝45°，
所以 BDM∽ ACD，
△ △
所以 ，
因为AD＝3BD，AC=BC，AB= ，
所以AD= ，BD= ，所以 ，
解得BM= ．
因为BM+CM=AC，
所以
所以 ，
解得AC=8或AC=-8（舍去）．
作 ，交AC于点N，
所以 ，
所以
所以CN=2，
因为 =5，
所以 ，
所以 ，
解得CE=10，
所以AE=CE+AC=18．
综上所述AE的长为3或18和18或3．
8．如图，Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D、E分别在AC、BC上，CE=AD，CG⊥DE于点F，FE=1，
FG=3，则AC△=______．【答案】
【详解】解：过点D作DT⊥AD交AB于点T，连接ET，连接CT交DE于点M，
∵Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A△=∠B=45°，
∵DT⊥AD，
∴ ADT为等腰直角三角形，
∵△CE=AD，
∴DT=CE，
∵DT CE，∠DCE=90°，
∴四边形DTEC为矩形，
∴DE=CT，
设∠BCG=α，则∠CDE=α，
∴∠DCT=α，
∴∠CTB=45°+α，
∵∠CGT=45°+α，
∴CT=CG，
∴DE=CG，
设CF=x,则DE=CG=x+3，
∴DF=x+2，
∵△CFE∽△DFC，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得x=2或x=-1（舍），
∴CF=2，∴DF=4，CE=AD= ，
∴CD=2 ，
∴AC=3 ．
故答案为：3 ．
9．如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别为AB，AD边上任意一点，现将 AEF沿直线
EF对折，点A对应点为点G． △
(1)如图2，当EF BD，且点G落在对角线BD上时，求线段EF的长；
(2)如图3，连接DG，当EF BD且点D，G，E三点共线时，求线段AE的长；
(3)当AE＝2AF时，FG的延长线交 BCD的边于点H，是否存在一点H，使得以E，H，G为顶点的三角形
与 AEF相似，若存在，请求出线段△AE的长；若不存在，请说明理由．
△
【答案】(1)5；(2) ；(3)3或 或 或
【解析】（1）解：如图，连接AG，由折叠性质得AG⊥EF，
∵EF BD，
∴AG⊥BD，
在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，
∴∠DAB=90°，AD=BC=6，
∴DB= =10，
∵△GEF是由 AEF沿直线EF对折而成，
∴△GEF≌△AE△F，
∴EF为AG中垂线，
∵EF BD，
∴EF= BD=5；
（2）
解：∵点D，G，E三点共线，
∴∠DGF=90°，
设AF=3t，则FG=3t，AE=4t，DF=6-3t，
在Rt DFG中， ，即 =36-36t，
△
∵tan∠FDG= ，
∴ ，
∴t= ，
∴AE= ；
（3）
解：①当 AEF∽△GHE时，如图，过点H作HP⊥AB于P，
△∵∠AEF=∠FEG=∠EHG，∠EHG+∠HEG=90°，
∴∠FEG+∠HEG=90°，
∴∠A=∠FEH=90°，
∴△AEF∽△EHF，
∴EF：HE=AF：AE=1：2，
∵∠A=∠HPE=90°，
∴∠AEF+∠HEP=90°，∠HEP+∠EHP=90°，
∴∠AEF=∠EHP，
∴△AEF∽△HPE，
∴AE：HP=EF：EH=1：2，
∴HP=6，
∴AE=3；
②当 AEF∽△GHE时，如图，过点H作HP⊥AB于P，
△
同理可得EF：HE=1：2，EA：HP=1：2，
设AF=t，则AE=2t，EP=2t，HP=4t，BP=8-4t，
∵△BHP∽△BDA，
∴4t：6=（8-4t）：8，
∴t= ，
∴AE= ；
③当 AEF∽△GEH时，如图，过点G作MN AB交AD于点M，过点E作EN⊥MN于N，
△设AF=t，则AE=2t，DF=6-t，
由折叠可知， AEF≌△GEF，
∴AE=GE， △
∵△AEF∽△GEH，AE=GE，
∴△AEF≌△GEH（AAS），
∴FG=GH，
∵MG DH，
∴FM= （6-t），
∴AN=EN=AF+FM= ，
∵△FMG∽△GNE，GF：GE=1：2，
∴MG= NE= AM= ，GH=2FN=6-t，
∵MN=AE，
∴ +6-t=2t，
∴t= ，
∴AE= ；
④当 AEF∽△GEH时，如图，过点G作MN AB交AD于点M，过点E作EN⊥MN于N，过点H作
HQ⊥△AD于Q，设AF=t，则AE=2t，
设FM=a，则NG=2a，NE=a+t，
∴MG= EN= AM= ，
∴ +2a=2t，
由上题知，MF=MQ=a，QH=2MG=a+t，
∴DQ=6-t-2a，
∵ ，
∴ ，
∴t= ，
∴AE= ．
综上，满足条件取线段AE的长为：3或 或 或 ．
10．如图1，四边形 是矩形，点P是对角线 上的一个动点（不与A、C重合），过点P作
于点E，连接 ，已知 ，设 ．
(1)当 时，求 的长；
(2)如图2，连接 ，交 于点O，若 ，求此时m的值？
(3)如图3，过点P作 交 边于点F，设 ，试判断 的值是否发生变化，若不变，请
求出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；(3)不变，16【解析】（1）解：由已知，在Rt△ADC中， ，
当AP＝m＝2时，PC＝AC﹣AP＝5﹣2＝3，
∵PE⊥CD，
∴∠PEC＝∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝∠PCE，
∴△ACD∽△PCE，
∴ ，
即 ,
∴PE＝ ；
（2）解：如图， BE⊥AC
∴∠BOC＝∠EOC＝90°，
∴∠BOC＝∠ABC
∵∠BCO＝∠ACB
∴△BOC∽△ACB，
∴ ，
即 ，
∴OC＝ ；
∵AP＝m，则PC＝5﹣m，
由（1）得：△ACD∽△PCE，∴ ，
即 ，
∴CE＝ ，
∵∠EOC＝∠ADC＝90°，∠ECO＝∠ACD
∴△EOC∽△ADC，
∴ ， 即 ，
解得：m＝
（3）如图2，延长EP交AB于G，
∵BP⊥PF，
∴∠BPF＝90°，
∴∠EPF+∠BPG＝90°，
∵EG⊥AB，
∴∠PGB＝90°，
∴∠BPG+∠PBG＝90°，
∴∠PBG＝∠EPF，
∵∠PEF＝∠PGB＝90°，
∴△BPG∽△PFE，
∴ ，
由（1）得：△PCE∽△ACD， ，∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴5m+4n＝16．
11．【问题探究】
（1）如图1， ABC和 DEC均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B，D，E在同一直线上，连
接AD，BD． △ △
①请写出AD与BD之间的位置关系：________；
②若AC=BC= ，DC=CE= ，求线段AD的长；
【拓展延伸】
（2）如图2， ABC和 DEC均为直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC= ，BC= ，CD= ，
△ △
CE=1．将 DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接
AD，当点△B，D，E在同一直线上时，直接写出线段AD的长．
【答案】（1）①垂直；②AD=4；（2） 或
【详解】解：（1）①结论：AD⊥BD．理由：∵△ABC和 DEC均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，△∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，且AC=BC，CE=CD，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC=∠BEC=45°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，
∴AD⊥BD；
②如图，过点C作CF⊥AD于点F，
∵∠ADC=45°，CF⊥AD，CD= ，
∴DF=CF=1，
∴AF= =3，
∴AD=AF+DF=4；
（2）若点D在BC右侧，
如图，过点C作CF⊥AD于点F，
∵∠ACB=∠DCE=90°，AC= ，BC= ，CD= ，CE=1．∴∠ACD=∠BCE， ，
∴△ACD∽△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵CD= ，CE=1，
∴DE= =2，
∵∠ADC=∠BEC，∠DCE=∠CFD=90°，
∴△DCE∽△CFD，
∴ ，
即 ，
∴CF= ，DF= ，
∴AF= ，
∴AD=DF+AF=3 ，
若点D在BC左侧，
∵∠ACB=∠DCE=90°，AC= ，BC= ，CD= ，CE=1．
∴∠ACD=∠BCE， ，
∴△ACD∽△BCE，∴∠ADC=∠BEC，
∴∠CED=∠CDF，
∵CD= ，CE=1，
∴DE= =2，
∵∠CED=∠CDF，∠DCE=∠CFD=90°，
∴△DCE∽△CFD，
∴ ，
即 ，∴CF= ，DF= ，
∴AF= ，∴AD=AF-DF=2 ．
综上所述，满足条件的AD的值为3 或2 ．
12．[问题背景]
(1)如图①，已知 ，求证： ．
[尝试应用]
(2)如图②，在 和 中， ， ， 与 相交于点 ，
点 在 边上， ，求① ______．② 的值．[拓展延伸]
(3)如图③， 是 内一点， ， ， ， ，直接写出
的长______．
【答案】(1)证明见解析；(2)① ；②3；(3)
【解析】（1）证明：∵△ABC∽△ADE，
∴ ，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE， ，∴△ABD∽△ACE；
（2）解：①如图1，连接EC，
∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，
∴ ；
②∵△ABD∽△ACE，
∴ ，∠ACE=∠ABD=∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴ ，∴ ．
∵∠ADF=∠ECF，∠AFD=∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴ ．
（3）解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，
∵∠BAD=30°，
∴∠DAM=60°，
∴∠AMD=30°，
∴∠AMD=∠DBC，
又∵∠ADM=∠BDC=90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴ ，
又∠BDC=∠MDA，
∴∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠CDM，
即∠BDM=∠CDA，∴△BDM∽△CDA，
∴ ，
∵AC=2 ，
∴BM=2 × =6，
∴在Rt△ABM中，AM= ，
∴AD= AM= ．
13．如图1，在矩形 中，P为 边上一点 ．M在 上，且 ，
过点B作 交 于点N．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)求证： ；
(3)如图2，连接 ，分别交 ， 于点E，F，若 ， ，求 的值．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【解析】（1）证明：在矩形ABCD中， ，
∴∠BPC=∠PBM．
∵ ，
∴四边形PMBN是平行四边形．
∵∠APB=90°，
∴∠APM+∠BPM=90°，∠APD+∠BPC=90°．
∵∠APM=∠APD，
∴∠BPM=∠BPC．∵∠BPC=∠PBM，
∴∠BPM=∠PBM，
∴MP=MB，
∴平行四边形PMBN是菱形；
（2）证明：在矩形ABCD中，∠D=∠C=90°，
∴∠APD+∠DAP=90°，
∵∠APD+∠BPC=90°，
∴∠DAP=∠BPC，
∴△ADP∽△PCB，
∴ ，
∴ ；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=2．
由（2）得 ，即 ，
∴PC=4．
在矩形ABCD中， ，
∴∠APD=∠PAM．
∵∠APM=∠APD，
∴∠PAM=∠APM，
∴AM=MP．
由（1）得MP=MB，
∴AM=MB= ．
∵ ，
∴∠PCA=∠CAB．
∵∠PFC=∠BFA，
∴△PCF∽△BAF，
∴ ，
∴CF= ．同理可证△PCE∽△MAE，
∴ ，
∴AE= ．
∴EF=AC-CF-AE= ，
∴ ．
14．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分
别交边AB，AC于点E，F．
(1)当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图①， ______．
(2)①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图②位置时， ______．
②若改变点D的位置，且 时，求 的值，请就图③的情形写出解答过程．
(3)如图③连接EF，当BD＝______时，△DEF与△ABC相似．
【答案】(1) ；(2)① ；② ，解答过程见解析；(3) 或
【解析】（1）解： ， ， ，
， ，
点 是 的中点，
、 是 的中位线，
， ，
，故答案为：3；
（2）①过点 作 于点 ， 于点 ，如图2所示：
则 ，
四边形 是矩形，
，即 ，
，
，即 ，
，
，
，
同（1）得： ，
，
故答案为：3；
②过点 作 于点 ， 于点 ，如图3所示：
，
四边形 是矩形，
， ， ， ，
，， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
与①同理得： ，
；
（3）如图 所示：
在 中，由勾股定理得： ，
，
与 相似分两种情况：
① ，则 ，即 ，整理得： ， ，
；
② ，则 ，即 ，整理得： ，
， ；
综上所述，当 或 时， 与 相似；故答案为： 或 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，过点C做射线CN⊥BC于点C，点E是射线BM上的一个动点，连接AE，过点E作ED⊥AE，在射线ED上找一点F，使得EF=AE，连接CF，AF，AF交射线CN于
点G，连接EG．
(1)如图1，当BE=3时，△ABE的周长= ．
(2)如图1，当点E在线段BC上时，求证：CF平分∠NCM．
(3)如图2，当BE=6时，求EG的长．
【答案】(1)12；(2)见详解；(3)5.2
【解析】（1）解：如图1，当BE=3时，
∵∠B=90°，AB= 4，
∴在Rt ABE中，由勾股定理可得 ，
△
∴ ABE的周长=AB+BE+AE=4+3+5=12．
故△答案为：12；
（2）如下图，过点F作 于点H，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴CF平分 ；
（3）当BE=6时， ，
如下图，过点A作 于点J，交CN于点K，作 于点N，
由（1）可知 ，
∴ ，
∵ ， ， ， ， ，
∴四边形ABHJ、四边形FNKJ、四边形JKCH以及四边形ABCK均为矩形，
∴ ， ， ，
， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ，
在 中， ，
即EG的长为5.2．
