文档内容
专题突破卷 05 导数中的极值点偏移问题
题型一 极值点偏移解决零点问题
1．已知函数 有两个零点 ，且 ，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据零点可将问题转化为 ，构造 ，求导即可根据函数的单
调性得函数的大致图象，即可根据图象求解A，根据极值点偏移，构造函数
，结合函数的单调性即可求解B，根据 可得 ，
即可求解C，根据不等式的性质即可求解D.【详解】由 可得 ，令 ，其中 ，
则直线 与函数 的图象有两个交点， ，
由 可得 ，即函数 的单调递增区间为 ，
由 可得 ，即函数 的单调递减区间为 ，
且当 时， ，当 时， ， ，
如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，故A错误；
由图可知， ，
因为 ，由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的增区间为 ，减区间为 ，则必有 ，
所以， ，则 ，
令 ，其中 ，
则 ，则函数 在 上单调递减，
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以， ，即 ，即 ，
又 ，可得 ，
因为函数 的单调递减区间为 ，则 ，即 ，故B错误；
由 ，两式相加整理可得 ，
所以， ，可得 ，故C错误；
由图可知 ，则 ，又因为 ，所以， ，故D正确.
故选：D.
2．已知函数 有两个零点 、 ，且 ，则下列命题正确的个数是
（ ）
① ；② ；③ ；④ ；
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】由 可得 ，设 ，其中 ，则直线 与函数
的图象有两个交点，利用导数分析函数 的单调性与极值，数形结合可判断①；
构造函数 ，其中 ，分析函数 的单调性，可判断②③；
分析出 、 ，利用不等式的基本性质可判断④.
【详解】由 可得 ，令 ，其中 ，
则直线 与函数 的图象有两个交点， ，由 可得 ，即函数 的单调递增区间为 ，
由 可得 ，即函数 的单调递减区间为 ，
且当 时， ，当 时， ，如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，①对；
对于②，由图可知， ，
因为 ，由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的增区间为 ，减区间为 ，则必有 ，
所以， ，则 ，
令 ，其中 ，
则 ，则函数 在 上单调递减，
所以， ，即 ，即 ，
又 ，可得 ，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为函数 的单调递减区间为 ，则 ，即 ，②错；
对于③，由 ，两式相加整理可得 ，
所以， ，可得 ，③对；
对于④，由图可知 ，则 ，又因为 ，所以， ，④对.
故选；C.
3．已知函数 有两个零点 ， ，则下列说法：
①函数 有极大值点 ，且 ；
② ；
③ ；
④若对任意符合条件的实数 ，曲线 与曲线 最多只有一个公共点，则实
数 的最大值为 .其中正确说法的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】分类讨论 的单调性，即可得 ， ， 的范围，根据 ，得到 和
之间关系，构造 ， ，可知 单调递减，由此得到
，即可判断①；对 进行变形化简，即可判断②；根据①中 ，
， 的范围，即可判断③；构造 ，当 时，可知 单调递减，则方程 最多有一个根，当 时， 有两根，由 时，
，只需考虑 极小值，根据 单调性求得极小值，进而求极小值的范围，
即可求得 的范围，即可判断④.
【详解】解：因为 ，所以 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
则 最多有一个零点，故不符合题意，舍；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 ， 取得极大值点，即 ，
因为 有两个零点 ， ，
所以 ，且有 ，解得 ，
设 ， ，
所以 .
由
，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，
由 ，当 ，所以 ，
，所以 ，故 单调递减，
所以在 时， ，
因为 ，所以 ，
即 ，
因为 ， ， 在 单调递减，
所以 ，即 ，故①正确；
由 有两个零点 ，且 ，
所以 ，故 ，
所以 ，故②正确；
由①知 ， ，所以 ，故③正确；
因为曲线 与曲线 最多只有一个公共点，
所以 在 时最多只有一根.
令 ，则 ，令 ，即 时， ， 单调递减，
此时方程 最多有一个根，
当 时， ，所以 有两根 ，
令 ，则 ， ，
由韦达定理，可知 ，故 ，
所以在 上 ， 单调递减，
在 上 ， 单调递增，
在 上 ， 单调递减，
当 时， ，所以只需考虑 极小值即可，
根据 单调性，可知 为 极小值点，
即 ，即 ，即 ，
所以 ，
由 ，令 ，
则 ，当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 ，
即实数 的最大值为 ，故④正确.
故选：D．
4．已知函数 ，对于正实数a，若关于t的方程 恰有三个不同的正
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】研究 的图像可知，若 ，令 ，则
，且 ，可以推出， 或 ，通过对数不等式写出关于 的不等式，即可
求出 的范围
【详解】因为 ， ，令 得： ；令
得： ，所以 在区间 单调递增，在 单调递减，且
时， 恒成立， 的图像如下：
令 ，则 ，且
①当 时， ，成立，所以 是方程的一个实数根
②当 时，由 得： ，令
则： ，两式相减得： ，两式相加得：
所以： ，由对数均值不等式得：所以： ，且 ，所以 ， ，即：
所以
故选：D
5．关于函数 ，下列说法错误的是（ ）
A． 是 的极小值点
B．函数 有且只有 个零点
C．存在正实数 ，使得 恒成立
D．对任意两个正实数 ， ，且 ，若 ，则
【答案】C
【分析】对于A，分析 导函数可作判断；对于B，考查函数 的单调性可
作判断；对于C，分离参数，再分析函数 最值情况而作出判断；对于D，构造函数
讨论其单调性，确定 即可判断作答.
【详解】对于A选项： 定义域为 ， ，
时, 时 ，
是 的极小值点，A正确；
对于B选项：令 ，
在 上递减， ，
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！有唯一零点，B正确；
对于C选项：令 ，
令 ， 时, 时, ，
在 上递减，在 上递增，则 ，
， 在 上递减， 图象恒在x轴上方，
与x轴无限接近，不存在正实数k使得 恒成立，C错误；
对于D选项：由A选项知， 在 上递减，在 上递增，
因正实数 ， ，且 ， ，则 ，
时，令 ，
，
即 在 上递减，
于是有 ，从而有 ，
又 ，所以 ，即 成立，D正确.
故选：C.
6．关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 是 的极大值点
B．函数 有2个零点
C．存在正整数k，使得 恒成立
D．对任意两个正实数 ，且 ，若 ，则
【答案】D【分析】对A，求导得到单调区间即可判断；
对B，对函数 求导得出单调区间即可进一步得到结果；
对C，分离参数 ，通过 的单调性和函数变化趋势即可判断；
对D，根据函数f(x)的单调性，将自变量比较大小转化为函数值比较大小，用极值点偏移
的方法得到结论.
【详解】对A， ，函数在 单减，在 单增，
是 的极小值点，A错误；
对B， ，函数在 单减，至多
一个零点，B错误；
对C， ，令 ，则 ，
设 ，则 ，函数在 单增，在 单减，
所以 ，∴ ，
则函数 在 单减，无最小值，且当 时， ，C错误；
对D，不妨设 ，易知 ，
，且 ，
因为函数 在 单增，则 ，
即证： ，记 ，
所以 ，所以 在 单减，所以 ，
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！即 ，所以 ，D正确.
故选：D.
7．已知函数 有两个零点 ， ，则下列判断：① ；② ；③
；④有极小值点 ，且 .则正确判断的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【解析】利用函数的导数，判断函数的单调性，对四个选项分别进行判断，即可得出结论.
【详解】对于①
当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递增,不符合.
当 时，由 ， ，解得 ，
，解得
在 单调递减，在 单调递增． 在 有极小值，
函数 有两个零点 ，
， ，
①不正确；
对于②
因为 ，
，
取 ， ， ， ， ，
②不正确；
对于④函数的极小值点为
要证 ，只要证
因为函数 在 单调递减，故只需要证
构造函数
求导得到
所以函数 单调递增， 恒成立，
即 ，故得到
进而得证： ， .
故④正确.
对于③
因为
根据 ，可得到 .
③不正确.
综上正确的只有一个，
故选： .
8．已知函数 的图象与函数 的图象有三个不同的交点 、 、
，其中 ．给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④
．其中正确结论的个数有（ ）个
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题意，函数 的图象与函数 的图象有三个不同的交点，转
化为方程 有三个不同的实数解，进而函数 与 的图象有三个不同
的交点，利用导数求解函数 的单调性和极值，即可得到答案．
【详解】由题意，函数 的图象与函数 的图象有三个不同的交点，
即方程 ，有三个不同的实数解，显然0不是解，即 有三个不同的实数
解，
即函数 与 的图象有三个不同的交点，
又由 ，
当 或 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
其图象如图所示，且当 时， ，
要使得函数 与 的图象有三个不同的交点，则 ，所以①正确的；
当 时，即 ，解得 或 ，所以当 时，则 ，所以②是正确的；
易知 ，由 ， ，则 ，
需证 ，即证 ， ，
令 ， ，，
由 ，则 ， ， ，即 ， ，
故 ，则 在 单调递减， ，故 ，所以③是正确
的；
又由 ，整理得 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
结合③可知 ，所以④是错误的，
故选：C．
9．已知 有两个零点 ，下列说法正确的是
A． B．
C． D．有极小值 且
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】B
【分析】使用排除法可得.利用导数研究单调性，利用导函数零点化简 可排除A；
构造函数 ，利用单调性可排除D；取 ，通过计算可排除
C.
【详解】 ， 当 时，函数 为单调递增函数，至多一个零点，所以
令 ，解不等式 得 ，解不等式 得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 为 极小值点，且
，A错误.
所以
令 ，
则
因为
所以
，不选D
令 ， ，不选C.
故选：B.
10．已知函数 在 上有两个不同的零点 ，给出下列结论：① ；② ；③ ．其中错误结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由导数法判断 单调区间，结合单调性与零点的关系，即可判断①②；
构造 ， ，由导数法判断 单调递增，可建立不等式
，再结合 单调性即可得 ，即可判断③.
【详解】
，由 得 ，可作
如图所示，结合图像易得，在 上， ，则 单调递减；
在 上 ，则 单调递增，
又 在 上有两个不同的零点 ，则 ，
∴ ， ，故①②正确；
对于③，构造函数 ， ，则 ，
，
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴ 在 上单调递增， ，即 ，即
，
又∵ 在 上单调递增， ，∴ ，∴ ，故③正确.
故选：A
11．已知 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先构造函数 ，通过函数的单调性确定 的大致范围，再构造
，通过函数 的单调性确定 与 的大小关系，进而得到A选
项；先构造函数 ，通过函数的单调性确定 的大致范围，再构
，通过函数 的单调性确定 与 的大小关系，进而可知B选
项错误；通过 ，得到 ，进而可得 与 的大小关系, 进而可知
C选项错误；D与C选项同样的方法即可判断.
【详解】对于A， ， ，令 ,则
，所以 在 单调递减，在 上单调递增，且 ，故 .
令
则 ，所以 在 上单调递减，且 ，
， ， ，
即 ,故选项A错误；
对于B， ，
令 ，
则 ，所以 在 单调递增，在 上单调递减，
且 ，故 .
令
所以 在 上单调递减，且 ，
， ， ，
， ，即 ，故选项B错误；
对于C， ， ，
，又 在 单调递增， ， ，故选项C错
误；
对于D，由C可知， ， 又 在 单调递减 ，
，故选项D正确.
故选：D.
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12．已知 ， ， ， 均为 的解，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】A选项：根据“三个等价”，将方程根的问题转化成构造出的函数零点的问题，
利用零点存在性定理确定出 的取值情况；B，C，D选项：对方程变形，参变分离构造函
数，从函数的角度以及利用极值点偏移可以得出相应结论，详细过程见解析.
【详解】对于A，令 ，因为 ，所以 在 上单调递增，与x轴有
唯一交点，
由零点存在性定理，得 ， ，则 ，故A错误.
对于B，C，D，当 时，两边同时取对数，并分离参数得到 ，
令 ， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
如图所示，
当 时， 与 的图象有两个交
点，
，解得 ，故B正确；，由A选项知 ， ，故C错误；
由极值点偏移知识，此时函数 的极值点左移，则有 ，故D错误.
故选：B.
题型二 极值点偏移解决不等式问题
13．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在R上是增函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为
C．若 有两个零点 ，则
D．若过点 恰有2条与曲线 相切的直线，则
【答案】BD
【分析】A选项，求导，解不等式，求出函数的单调性；B选项， ，所以 ，
，结合函数 的单调性，得到 ，分离参数，得到 ，构造
，求导得到函数的单调性，得到 ，从而求出 ；C
选项，构造差函数 ，求导得到 在 单
调递增，故 ，根据 在 上单调递减，得到所以 ；
D选项，设切点为 ，得到函数在 处的切线方程，将点 代入，得到
，设 ，求出 的单调性，且 ，结合函数
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！特殊值，求出 有两解，则 .
【详解】对于A：因为 ，所以 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．故A错误：
对于B：因为 为正实数， ，所以 ， ，
结合函数 的单调性，可知： ．
所以 ，
设 ，则 ，
由 可得： ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ．
故 ，所以正实数 的最小值为 ，故 正确；
对于C：如图：
因为 有两个零点 ，结合函数 的单调性，
不妨设 ， ．则 ．
设 ，那么 在 上恒成立，
当且仅当 ，即 时，等号成立，又 ，
故 ，
所以 在 单调递增，
所以 在 上恒成立，所以 ．
由 ，且 在 上单调递减，
所以 ．故C错误；
对于D： ，设切点为 ，切线斜率为 ，
所以函数在 处的切线方程为： ，
因为切线过点 ，所以 ，
设 ，所以 ，由 ，
所以 在 上递增，在 上递减，
且 ，当 时 ，且 时， ．
因为 有两解，则 ．故D正确．
故选：BD
14．关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 是 的极大值点
B．函数 有且只有1个零点
C．存在正整数k，使得 恒成立
24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！D．对任意两个正实数 ，且 ，若 ，则
【答案】BD
【分析】分析 导函数可作判断A；考查函数 的单调性可作判断B；分离参
数，再分析函数 最值情况而作出判断C；构造函数 讨
论其单调性，确定 即可判断D.
【详解】对于A， 定义域为 ， ，
时, 时 ， 是 的极小值点，A错误；
对于B，令 ，
在 上递减， ， 有唯一零点，B正确；
对于C，令 ，
令 ， 时, 时, ，
在 上递减，在 上递增，则 ，
， 在 上递减， 图象恒在x轴上方，
与x轴无限接近，不存在正实数k使得 恒成立，C错误；
对于D，由A选项知， 在 上递减，在 上递增，
由正实数 ，且 ， ，得 ，
当 时，令 ，
，即 在 上递减，于是有 ，从而有 ，
又 ，所以 ，即 成立，D正确.
故选：BD
15．设函数 ，下面四个结论中正确的是（ ）
A．函数在 上单调递增
B．函数 有且只有一个零点
C．函数的值域为
D．对任意两个不相等的正实数 ，若 ，则
【答案】AB
【分析】
利用导数判断 时， 的单调性，根据单调性可求值域，然后结合 时，
，从而可判断选项A，C；首先利用导数判断 时，
的零点个数；然后再利用单调性判断 时，
的零点个数，从而可判断选项B；不妨设 ，根据题意
把要证明 ，转化为证明 ；然后构造函数
，利用导数判断函数的单调性即可证明，从而判断选项D.
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】当 时， ，所以 ，
所以当 时， ，所以 在 单调递增，
当 时， ，所以 在 单调递减，
且当 时 ，故 时， ，
又当 时， ，所以 ，
所以函数 在 单调递增，值域为 ，所以A正确，C错误；
当 时，令 ，则 ，
所以 在 单调递减，所以当 时， ，
所以函数 在 上没有零点；
当 时，令 ，
所以只需求函数 在 上零点个数，
又因为 在 上单调递减，且 ，
所以函数 在 上只有一个零点．
所以函数 有且仅有一个零点，所以B正确；
当 时，若 ，因为函数 在 单调递增，在 单调递减，
所以不妨设 ，则 ，
所以要证 ，只需证 ，即只需证 ，
又因为 ，所以只需证 .
因为 ，所以令函数 ，
则 ，
所以 在 单调递增，所以 ，
即 恒成立，所以 ，
即 ，所以 ，
从而 成立， 所以D错误.
故选：AB.
16．已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 与函数 有相同的极小值
B．若方程 有唯一实根，则a的取值范围为
C．若方程 有两个不同的实根 ，则
D．当 时，若 ，则 成立
【答案】ACD
【分析】对于A，根据题目直接对两个函数求导判断极值即可；对于B，根据函数单调性
和最值判断函数变化趋势，进而求出参数范围；对于C，利用对数均值不等式直接判断即
可；对于D，利用同构方法进行转化即可.
【详解】对于A， 定义域 ， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，
定义域 ， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，故A正确；
对于B，若方程 有唯一实根，
由于当 时， ，且 ，
结合已求的单调性和最值可知， 或 ，故B错误；
对于C，因为方程 有两个不同的实根 ，假设 ，则 ，
则 ，即 ，两式相减得 ，
即 ，由对数均值不等式 ，
则 ，即 得证，故C正确；
对于D，当 时，若 ，则 ，
即 ，显然 ，则 ，
则 成立，故D正确.
故选：ACD
下面补证C选项对数均值不等式：要证 ，即证 ，
设 ，即证 ，即证 ，
令 ， ，
则 在 单调递增，当 时， 得证.
17．已知函数 ，则（ ）
A．
B．若 有两个不相等的实根 ， ，则
C．
D．若 ， ， 均为正数，则
【答案】BCD
【分析】A：代入 、 直接计算比较大小；B：求 的导函数，分析单调性，可得当
有两个不相等实根时 、 的范围，不妨设 ，则有 ，比较
的大小关系，因为 ，可构造 ，求
导求单调性，计算可得 成立，可证 ；C：用 在 上单调递增，构
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！造 可证明；D：令 ，解出 ， ，做差可证明 .
【详解】对于A： ， ，又 ， ，
所以 ，所以 ，则 ，故A错误；
对于B：函数 ，定义域为 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 且 时，有 ，所以若 有两个不相等的实根 、 ，有
，
不妨设 ，有 ，要证 ，只需证 ，且 ，
又 ，所以只需证 ，
令 ，
则有 ，
当 时， ， ，所以有 ，
即 在 上单调递增，且 ，所以 恒成立，
即 ，即 ，即 ，故B正确.
对于C：由B可知， 在 上单调递增，则有 ，即 ，则有 ，故C正确；
对于D：令 ，则 ， ， ，
，
，故D正确；
故选：BCD.
18．关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 上单调递增
B． 且 ，若 ，则
C． ，使得 恒成立
D．函数 有且只有1个零点
【答案】ABD
【分析】对于A，根据导数与原函数单调性的关系直接判断；
对于B，显然 是 的极小值点，则 时，有 ，易知 ，
然后根据 ，利用导数法判断其符号，
再利用 在 上的单调性判断；
对于C，由 恒成立，转化 恒成立，令 ，利用导数法求
解判断；
对于D，设 ，利用导数法结合零点存在定理判断.
【详解】对于A，对于函数 ，其定义域为 ，由于 ，
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由 可得 ，当 时， ，当 时， ，则选项A正确
对于B，由A知， 是 的极小值点，可知若 时， ，易知
，
则
，
令 ，则 ，则 ，
则 在 上单调递减， ，故 ，
又 在 上单调递增，则 ，故 ，选项B正确，
对于C，若 恒成立，则 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，所以 ，即 ，
所以 在 上递减，无最小值，
所以不存在正实数k，使得 恒成立，故C错误；
对于D，设 ，则 ，
可知 在 上单调递减，又 ，
所以方程 有且仅有一个根，即函数 有且只有1个零点，选项D正确.
故选:ABD
19．定义在 上的函数 满足 ，且 ，则下列说法正确的是
（ ）A． 在 处取得极小值
B． 有两个零点
C．若 ， 恒成立，则
D．若 ， ， ， ，则
【答案】AD
【分析】首先根据题意构造 ，结合 ，求得 ；
对于A，通过导数与函数极值点的关系求解即可；
对于B，令 直接求解即可；
对于C，通过研究函数 在 的单调性与最值情况即可；
对于D，先大致研究函数图像变化趋势，假设 ，并假设 正确，
通过转化，从而证明 与0的关系，进而证明原不等式正
确即可.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以设 ，所以 ，
又因为 ，所以 ；
对于A，因为 ，所以 ，
令 ，得 ，
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得极小值，故A正确；
对于B，令 ，得 ，
所以 有一个零点，故B错误；
对于C，因为 在 单调递增，所以 时， ，
所以 ，故C错误；
对于D，因为 在 单调递减， 在单调递增，
且 唯一零点为 ，当 时， 且 ，
所以若 ， ， ， ，
可以设 ，
假设 正确，下证明 ，即证 ，
因为 ， 在 单调递减，
所以即证 ，即证 ，
构造 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
即 得证，原式成立，故D正确.
故选：AD20．宠物很可爱，但身上会有寄生虫，小猫“墩墩”的主人每月定期给“墩墩”滴抺驱虫
剂.刚开始使用的时候，寄生虫的数量还会继续增加，随着时间的推移，奇生虫增加的幅度
逐渐变小，到一定时间，寄生虫数量开始减少.若已知使用驱虫剂 小时后寄生虫的数量大
致符合函数 为 的导数，则下列说法正确的是
（ ）
A．驱虫剂可以杀死所有寄生虫
B． 表示 时，奇生虫数量以 的速度在减少
C．若存在 ，使 ，则
D．寄生虫数量在 时的瞬时变化率为0
【答案】BD
【分析】利用导数分析函数的单调性及值域，可判断A，由导数的定义判断BD,再由函数
大致图象判断C.
【详解】由 可得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
又 ，所以函数值域为 ，
对A，由函数值域可知 ，故A错误；
对B， ，根据导数可得函数瞬时变化率，即奇生虫数量以 的速度
在减少，故B正确；
对C，作函数大致图象，如图，
36
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！令 ，
，
所以 单调递增，有 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ， 在 单调递减，
所以 ，即 ，故C错误；
对D，当 时， ，即瞬时变化率为0，故D正确.
故选：BD.
21．已知 且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】不妨设 ， ，则 ，利用导数可证 ，利
用极值点偏移可证 .
【详解】不妨设 ， ，
因为 ，故 ，由 可得 ，故 ，所以 ， ，
又 .
设 ，则 ，
故 在 为增函数，故 即 ，
故 即 ，故C错误，D正确.
函数 的导函数为 ，
当 时， ，当 时， ，
因此 在 上单调递减，在 上单调递增，且 .
考虑函数 ，
则 ，
而 ，故 ，故 ，
所以 在 上为减函数，故 ，
所以 ，所以 即 ，
而 ，故 即 ，故A正确，B错误.
38
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故选：AD.
22．已知关于 的方程 有两个不等的实根 ，且 ，则下列说法正确的有
（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由已知 与 有两个不同的交点，利用导数研究函数 性质，结
合图象确定 的范围，判断A，要证明 只需证明 ，结合函数 单调
性只需证明 ，故构建函数 ，利用导数证明结论，
判断B，利用比差法比较 ，判断C，利用 的范围，结合指数函数性质证明 ，
判断D.
【详解】方程 ，可化为 ，
因为方程 有两个不等的实根 ，
所以 与 有两个不同的交点，
令 ，则 ，
令 ，可得 ，
当 时， ，函数 在 单调递减，
当 时， ，函数 在 单调递增，
，
当 时， ，且 ，当 时， ，
当 时，与一次函数相比，指数函数 呈爆炸性增长，故 ，
当 时， ， ，
根据以上信息，可得函数 的大致图象如下：
，且 ，故A
正确．
因为 ，
构造 ，
，
在 上单调递增，
，
，即 ，
由 在 单调递增
所以 ，故B正确．
对于C，由 ， ，
所以 ，
40
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！又 ，所以 ，则 ，所以 ，故C错误．
对于D，由 ，可得 ，
所以 ，D正确．
故选：ABD．
23．已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为
C．若 有两个根 ， ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
【答案】ABD
【分析】A选项，由题 ， ，判断 在 上的单调
性即可；
B选项，由 单调性， ；
C选项，由 有两个零点 ， ，可得 ，设 ，则 ，又
，后研究 在 上的
单调性即可；
D选项，因 ，及 在 上单调递增，
可得 .又 ，则 ，
故 ，后结合B选项分析可判断选项.
【详解】对于A选项， ， .
又当 时， ，则 在 上是增函数，故A正确；
对于B选项， 时， ，又 为正实数，所以 ，又 时，
，所以 在 单调递增，故 ，即
.令 ，知 ，所以 在 上递增，在
上递减，所以 ，得正实数 的最小值为 ，故B正确；
对于C选项， 有两个根 ， ，等价于函数 有两个零点 ， .
注意到 ，则 在 上单调递减，在 上单调递
增，因函数有零点，则 .
设 ，又 ， ，
则 .令
则 ，得 时， .
又 ，则 ， .得 .
42
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！若 ，则等价于 ，因 在 上单调递增，
则 等价于 ，又 ，
则 等价于 .
令 ， ， ，即
在 上递增，所以 ，则 时， ，所以
不成立，故C错误；
对于D选项，由AB选项分析可知， 在 上单调递增，
又 ， ，
则 .由 ，即 ，即有
，又 ， 在 上单调递增，所以 ，即
，所以 ，其中 .由B选项分析可知， ，其中
时取等号，则 ，其中 时取等号，所以 ，故D
正确.
故选：ABD
24．已知 ， ， ， ，则有（ ）A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】令 ， ，求导可求得 的单调性，利用极值
点偏移的求解方法可求得AB正误；由 ，可确定 ，
结合 单调性可得CD正误.
【详解】令 ， ，
， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，且 ；
若 ，则 ，
令 ，
则
，
当 时， ，
44
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
在 上恒成立， 在 上单调递减， ，
即 ，又 ， ，
， ，
， ， 在 上单调递增，
，即 ，A错误；
， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，且 ；
由 得： ；
设 ， ，
则 ；
当 时， ， ，
在 上单调递减， ，即 ，
又 ， ，又 ， ，
， ， 在 上单调递增，
，即 ，B正确；， ， ，
，又 ， ， 在 上单
调递减，
，则 ，C正确；
，又 ， ， 在 上单调递增，
，则 ，D正确.
故选：BCD.
题型三 极值点偏移解决双变量问题
25．已知函数 且曲线 在 处切线也是曲线
的切线．
(1)求 的值；
(2)求证： ；
(3)若直线 与曲线 有两个公共点 ， ，与曲线 有两个
公共点 ， ，求证：
【答案】(1) (2)证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）首先利用导数的几何意义求切线方程，再联立切线方程与函数 ，利用
，即可求解；
46
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）由切线方程转化为证明 和 ，即可证明不等式；
（3）由二次函数的对称性，转化为证明 ，再根据 的范围，构造函数
，利用导数判断函数的单调性与最值，再结合函数 ，
即可证明不等式.
【详解】（1） ， ，
所以 在 处切线方程为 ，
联立 ，得 ，
，得 ；
（2）设 ， ，
设 ， ， 单调递减，且 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， 取得最大值0，所以 ，当 时等号成立，即
，
，当 时等号成立， 即 ，
综上可知， ，即 .
（3） ，对称轴方程为 ，由对称性可知， ，所以要证明 ，只需证明 ，
， ，得 ，
当 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
当 时， 取得最大值 ，
当 时， ，当 时， ， ， ，
所以 与 的图象有两个公共点 ， ，设 ，
则 ， ，
设 ，
，
，
当 时， ，则 ， ，
即 时， ， 单调递增， ,
所以当 时， ，即 ，
，所以 ，由 ，
即 ， 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
综上可知， .
26．已知函数 ．
48
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若函数 恰有两个极值点 ，且 的最大值为 ，求证： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得 在 上恒成立，构造函数 ，借助导数求
出其在 上的最小值即可得；
（2）由题意结合导数可得 ， ，即可得 ，
，通过作差消去变量 ，得到 ，从而可得
，再通过换元法令 ，得到函数 ，利用导数
计算其单调性即可得解.
【详解】（1）由题意可得 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
则当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，故 ，即 ；（2） ，令 ，
由函数 有两个极值点 ，
则 有两个变号零点 ，
，
当 时， ，不符，故舍去；
当 时，则当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，
又当 时， ，则 ，
故此时 此时至多存在一个零点，不符，故舍去；
当 时，则当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
有 ，则 ，故 ，
则有 ， ，
则 ，即 ，同理 ，
50
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则 ，故 ，
即 ，
由 的最大值为 ，令 ，则有 ，
即 ，令 ， ，
则
，
令 ， ，
则 恒成立，
故 在 上单调递增，则 ，
则 ，故 在 上单调递增，
则 .
27．已知函数 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，且 ，证明： ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）对函数 变形整理 ，构
造函数 ，对其进行二次求导，从而可求出 的单调性，进而可求出函数
的最大值，即可证明结论成立.
（2）对函数 进行二次求导，从而可判断函数 单调性，要证
，只需证 ，结合 在 上单调递减知只需证 ，
即证 ，进而构造函数 判断其单调性即可证明.
【详解】（1）由题意， ，设
，则
，当 时， ， 单调递增；当 时， ，
单调递减，从而 ，故 恒成立，
，故 ．
（2）由题意， ， ， ，
， ，
从而 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，
在 上单调递减，且 ，
若 ，则 ，不合题意，
若 ，则 ，不合题意，∴ ，
52
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！要证 ，只需证 ，结合 在 上单调递减知只需证
，
又 ， ，故只需证 ，即证
①，
令 ， ，
则 ，
， 在 上单
调递增，
又 ， ，从而 在 上单调递减， ， ，
， ，即不等式①成立，故 ．
28．设函数 ．
(1)判断函数 的单调性；
(2)若 ，且 ，求证： ．
【答案】(1)在 上单调递增
(2)证明见解析
【分析】(1)由题意得 ，令 ，根据的正负确定 的单调性，得 ，即得函数 的单调性.
（2）构造函数 ，其中 ，则 ，令
，得 ，从而可得 在 上单调递减，然后根据函数
的单调性可得
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ．
令 ，则 ．
令 ，得 或 ．
当 时， ；当 时， ；当 时， ．
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．
又 ， ，故 对一切 恒成立，
∴ ，于是 ，故 在 上单调递增．
（2）不妨设 ．
构造函数 ，其中 ，
则 ．
由 ，得 ．
令 ，
54
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵ ，
∴ 在 单调递增，则 ．
∴ 在 上单调递减，∴ ，
即 对 恒成立．
∵ ，∴ ，
∴ ．
由（1）知 在 上单调递增，
∴ ，故 ．
29．已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的最大值；
(3)若关于 的方程 有两个实根 ， ，求证：
．
【答案】(1) (2) (3)证明见解析
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）由题意可得 在 上恒成立，则可构造函数
，求导后分 及 讨论其单调性，在 时结合零点的
存在性定理研究，即可得 的具体范围，即可得其最大值；（3）借助因式分解可将原问题转化为 有两个实根，借助导数研究其单调性
可得两根范围，借助换元法，令 ， ，可得 ，两式作差可得
，从而将证明 转化为证明 ，借助换元法令
，即证 ，构造相应函数，借助导数即可证明；再借助（2）中所得，
结合两实根的范围，可得 ，即可得 ，两式作
差即可得证 .
【详解】（1） ， ，
又 ，则有 ，
即曲线 在 处的切线方程为 ；
（2）由题意可得 在 上恒成立，
56
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！令 ，则 ，
令 ，则 ，
则当 时， ，故 在 上单调递增，
则当 时， ，
当 时， ，故 在 上单调递增，
有 ，符合要求，
当 时，由 ， ，
则存在 ，使 ，即当 时， ，
当 ， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，不符合要求，故舍去，
综上所述， ，故实数 的最大值为 ；
（3） ，
由 ，即有 有两个实根 ， ，
令 ， ，
当 时， 恒成立， 不可能有两个实根，故舍去；
当 ，则 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，则有 ，即 ，
又 ，
不妨令 ，则有 ，
有 ，令 ， ，即有 ，
则有 ，即 ，
即 ，则要证 ，只需证 ，
即证 ， 令 ，即证 ，
令 ， ，
则 恒成立，
故 在 上单调递减，故 ，
即有 在 时恒成立，故 得证；
由（2）可知，当 时， 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
58
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则当 时， ，即 ，
由 ，则 、 ，
故 ， ，
则 ， ，
又 ，即 ，即 ，
即 ，则有 ，
整理得 ，即 ，即 ，
即 ；
综上， 得证.
30．设 .
(1)若 ，求函数 的图象在 处的切线方程；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若函数 存在两个极值点 ，求证： .
【答案】(1) (2) (3)证明见解析
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）借助导数研究 及 的单调性后，由函数 的最小值可分 及
进行讨论，结合零点的存在性定理可得 时不符合要求；
（3）结合极值点定义计算可得 ，结合函数单调性可得只需证 ，
构造相应函数，结合导数证明其恒成立即可得.
【详解】（1）当 时， ，则 ，则
，
又 ，则切线方程为 ，即 ；
（2） ，令 ，
则 ，当 时，有 ，
故 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
有 ，满足要求；
当 时，则 ，又 ，
则必存在 ，使 ，即 ，
当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
60
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则
，令 ，
则 ，
则 在 上单调递减，则 ，
即 ，故此时不符合题意，故舍去，
综上所述， ；
（3）由（2）得 ，
则当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
又函数 存在两个极值点，则 ，即 ，
则有 ，要证 ，即证 ，
又 ， ， 在 上单调递增，
即只需证 ，又 ，
即只需证 ，
令
， ，则
，
即 在 上恒成立，即 在 上单调递减，
则 ，
即 ，即得证.
31．已知函数 .
(1)若 的极小值为-4，求 的值；
(2)若 有两个不同的极值点 ，证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）求出函数 的极小值点为 ，代入函数求解；
（2）首先求出 的范围，再通过构造对称函数证明 ，根据 的范围即可证明
。
【详解】（1） ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 时， 取得极小值 ，
由 ，解得 或 （舍去）.
62
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故 的值为 。
（2）由题意可知，方程 有两个不同的正实数根 ，即
有两个不同的实数根 .
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
验证可知， ，
由 得 ，所以 .
当 时，方程 ，即方程 ，则 有两个不同的正实数
根 .
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
不妨设 ，则 .
令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，则当 时， ，
所以
又 ，函数 在 上单调递减，
所以 ，则 ，
因为 ，故 .
32．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若满足 ，求证： ；
(3)若函数 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3) .
【分析】（1）对 求导，分类讨论 和 ，判断 的正负即可得出答案；
（2）要证 ，只需证 ，令 ，
对 求导，结合基本不等式得出 在 上单调递增，即可得证；
（3）法一：对 求导，分类讨论 和 ，得出 的单调性证明 即
可；法二、法三：分类讨论 和 ，分离参数可得 ，分别由洛必达法
64
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则和拉格朗日中值定理求出 即可.
【详解】（1）解： ，
当 时， 在 上单调递增，
当 时，令 ，解得 ，
单调递减，
单调递增，
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
（2）证明：由题意 ，则 .
要证 ，只需证 ，
而 ，且函数 在 上单调递减，
故只需证 ，
又 ，所以只需证 ，
即证 ，
令 ，
即
，
由均值不等式可得（当且仅当 ，即 时，等号成立）.
所以函数 在 上单调递增.
由 ，可得 ，即 ，
所以 ，
又函数 在 上单调递减，
所以 ，即 得证.
（3）法一： ，则 ，
令 ，
当 时， ， 在 上单调递增，且 .
①当 时， 在 上单调递增，
，符合题意， .
②当 时，又 在 上单调递增，且
当 趋近正无穷， 趋近正无穷，
，使得 ，
在 上单调递减，
在 上单调递增，
而 ，所以不合题意.
综上： 实数 的取值范围为 .
66
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！法二： ，
当 时， 恒成立，
当 时，由 得 ，
即 ，
令 ，即 ，
则 ，
令 ，
则 .
在 上单调递增， ，
即 在 上单调递增，而 ，所以符合洛必达法则.
由洛必达法则得：
实数 的取值范围为 .
法三： ，
当 时， 恒成立，
当 时，由 得 ，
即 ，
设 ，又 ，
则由拉格朗日中值定理可知：令 ，
即
又 ，
在 上单调递增， ，
实数 的取值范围为 .
33．已知函数 （ ）．
(1)求 的单调区间；
(2)若函数 ， 是函数 的两个零点，证明：
．
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，分 与 两种情况，得到函数
单调区间；
（2）利用分析法先等价转化所证不等式：要证明 ，只需证明
，即证明 ，即证明
，令 ，构造函数 ，利用导数研究函数
68
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！单调性，确定其最值，得到 ，即可证得结论．
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
，
①当 时， ，则 在 上单调递增；
②当 时，若 ，则 ，若 ，则 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上，当 时， 单调递增区间为 ，无递减区间；
当 时， 单调递增区间为 ；单调递减区间为 .
（2）因为 是 的两个零点，
所以 ， ，将两式作差可得
，又 ，
所以 ，
所以要证 ，只须证明 ，
即证明 ，即证明 ，
令 ，即证 ， ，令 ，则 ，
令 ，则 在 上恒成立，
∴ 在 上递减，又 ，
∴ 在 上递增，则 ，
即 ，
所以 成立，即 ．
34．已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时，若方程 有三个不相等的实数根 ，且 ，证明：
.
【答案】(1)在 上单调递增(2)证明见解析
【分析】（1）求定义域，求导，结合 得到 ，即 在 内恒
成立，所以 在 内单调递增；
（2） ，求导，得到函数单调性，得到 ，构造
，求导得到函数单调性，得到 ，再构造
70
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，求导得到函数单调性，得到 ，两式结合得到答
案.
【详解】（1）由题意可知： 的定义域为 ，
，
令 ，可得 ，当 时，即 ，
，可知 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增.
（2）当 时，可得 ，
，
或
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
由题意可得： ，
因为 ，
令 ，
则 ，
可知 在 上单调递增，
则 ，可得 在 上恒成立，
因为 ，则 ，且 在 上单调递减
则 ，即 ；
令 ，
则 ，
可知 在 上单调递增，则 ，
可得 在 上恒成立，
因为 ，则 ，
且 在 上单调递增，
则 ，即 ；
由 和 可得 .
35．已知常数 ，函数 .
(1)若 ，求 的取值范围;
(2)若 、 是 的零点，且 ，证明: .
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，求出函数的最小值，
依题意 ，即可求出 的取值范围；
（2）由（1）不妨设 ，设 ，利用导数说明函数的单调
72
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！性，即可得到 ，结合 及 的单调性，即可证明.
【详解】（1）由已知得 的定义域为 ，
且
，
当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增.
所以 在 处取得极小值即最小值，
，
，
，即 的取值范围为 .
（2）由（1）知， 的定义域为 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，且 是 的极小值点.
、 是 的零点，且 ，
、 分别在 、 上，不妨设 ，
设 ，
则
当 时， ，即 在 上单调递减.
，
，即 ，，
，
，
，
又 ， 在 上单调递增，
，即 .
36．已知函数 有两个零点 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）先分离参数将函数的零点个数转化为方程根的个数，构造函数 ，
求其单调性、最值即可得 的取值范围；
（2）法一、根据第（1）问得到 的取值范围，令 ，通过比值换元将问题化为证
，构造函数求其导函数、单调性最值即可；法二、根据第（1）问得到
的取值范围，先判定 结论成立，再利用函数的单调性将所证不等式转
化为函数不等式来判定 时是否成立，通过构造
74
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，利用导数研究其单调性及最值即可.
【详解】（1）由 得 ，
则由 有两个零点知方程 有两个不同的实数根．
令 ，则 ，
由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
而 ，当 时， ，当 时， ，
故 ，即 ，实数 的取值范围为 ．
（2）法一、
由（1）知 ，令 ，则 ．
由 得 ，
要证 ，只需证 ，
只需证 ，即证 ，
即证 ．
令 ，
则 ，令 ， ，则 ，
所以 单调递增，即 ，
故 在 上恒成立，
即 在 上单调递减，故 ，得证．
法二、
由（1）知 ，
当 时，显然 ．
当 时，则 ，
要证 ，只需证 ，
又 且 在 上单调递增，
故只需证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，
令 ，
则 ，
令 ，
76
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则 ， 在 上单调递减，
所以 ，故 ，所以 在 上单调递减，则 ，
又 ，所以当 时， ，即 ．
1．已知 ，且 ，则下列说法正确的有（ ）
① ； ② ；③ ； ④ .
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】令 ，利用导数讨论其单调性后可判断①②④正负，利用极值点偏移
可判断③的正误.
【详解】令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
故 在 上为增函数，在 上为减函数，
而 ， ，故 ，
而 ，故 ，故①错误.
又 ，故 ，
故②正确， 此时 ，故④正确.设 ，
则 （不恒为零），
故 在 上为增函数，
故 ，必有 即 ，
所以 ，即 ，
由 的单调性可得 即 ，故③成立.
故选：B.
2．已知函数 ，过点 作函数 的两条切线 ，切点分
别为 ，下列关于直线 斜率 的正负，说法正确的是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】求导，写出切线方程，代入点 ，得到两方程 与
，
结合斜率公式得到 ，构造函数判定 的符号，求出答案.
【详解】因为 ，所以 ，设切点分别为
，
则在 处的切线方程为 ，即 ，
78
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为该切线过点 ，所以 ，即 ，
且 ，即 ，同理， ，
且 ，即 ，
则
，
下面判定 的符号：
令 ，则 ， ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
若 ，则 ，
令 ，
，即 在 上单调递减，且 ，
则 ，即 ，
因为 在 上单调递增，
则 ，即 ，
即 .
故选：A.3．关于函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．不存在正实数 ，使得 恒成立
B．对任意 ，若 ，有
C．对任意
D．若正实数 ，满足 ，则
【答案】C
【分析】根据 时， 判断A；构造函数 ，研究其单调性
判断B；由题构造函数令 ，研究其单调性并结
合 判断C；根据极值点偏移问题判断D.
【详解】对于A选项， ，则 ,故 在 单调递增，
又 ，则 时， ，此时若 恒成立，则 不可
能为正数，故A正确；
对于B选项， ,令 ，则 ，
令 , ,
显然当 时， , 单调递减；当 时， , 单调递增；
80
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故 ，则 ，故 在 单调递增，
对任意 ，若 ，有 ，即 ，故B正确；
对于C选项，
即
令 ，
，
不妨设 ，由于 ，故 ， 在 上单调递减，
所以，
所以， ，故C不正确；
对于D选项，由A知 在 单调递增，
不妨设 ，由 ， 知 ，
所以 ，
，
设 ， ，
,,
即 ，故 在 上单调递减，
所以， ，故D正确.
故选：C
4．已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则“ ”是“ ”的充要条件
C．若不等式 恰有3个整数解，则实数 的取值范围是
D．若不等式 恰有2023个整数解 ，则
【答案】ACD
【分析】选项A，由极值点偏移可得；选项B，由“ ”与 “
”可知；选项CD，由两函数的对称性即可求解.
【详解】A选项， ，
∴ ,令 ，解得 ，
82
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；且 ，
由 ，不妨设 ，
画出 的图象如图所示，
根据极值点偏移可知， .
证明如下：
由图象可知， ，则 ，
，
设 ， ，则 ，
则
即 在 单调递增，故 ，
即 ，
故 ，由 在单调递减，
则 ，故 ，A选项正确；
B选项，若 且 ，则 ，
则 ，所以 ，充分性成立；
由 ，
得 与 图象关于原点对称，
如图所示，显然 但 ，
故必要性不成立，B选项错误；
C选项，由 ，
得 与 的图象关于 对称，
由B选项可知， 即为把 向下平移 个单位．
若不等式 恰有3个整数解，
如图，由对称性可知，3个整数解恰好是 ，
所以 ，即 ，
解得 ，故C选项正确；
84
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！D选项，若不等式 恰有2023个整数解 ，
由对称性可知，则2023个整数解即为 ，
且 ，
所以
，故D选项正确．
故选：ACD.
5．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】A.先构造函数 ，通过函数的单调性确定 的大致范围，再构造
，通过函数 的单调性确定 与 的大小关系，进而得到A选
项.
B.先构造函数 ，通过函数的单调性确定 的大致范围，再构造
，通过函数 的单调性确定 与 的大小关系，进而可知B选
项错误.C.通过 ，得到 ，进而可得 与 的大小关系, 进而可知C选项
错误.
D.与C选项同样的方法即可判断.
【详解】A. 令
则 ，所以 在 单调递减，在 上单调递增，
且 ，故 .
令
则 ，
所以 在 上单调递减，且
即 故选项A正确
B. 令
则 ，所以 在 单调递增，在 上单调递减，
且 ，故 .
令
所以 在 上单调递减，且
即 故选项B错误
86
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！C.
又 在 单调递增
故选项C错误
D. 由C可知， 又 在 单调递减
故选项D正确
故选：AD
6．已知函数 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】A. 证明 在 单调递增.因为 ，所以 ，即得
解；
B. 设 证明 在 单调递增即得解；
C. 设 单调递增，即得解；
D.设 ，所以 ，所以 时， 单调递增，
时， 单调递减. 因为 ，所以 ，再利用极值点偏移的
方法求解.
【详解】解：A. 由题得 ，所以 ，当 时，所以
在 单调递增.因为 ，所以 ，所以，故选项A正确；
B. 设 ，
当 时，所以 在 单调递增.
因为 ，所以 所以 ，故该选项正确；
C. 设 单调递增，因为 ，所以
所以 ，所以该选项错误；
D. 若 ,所以 设 ，所以 ，
所以 时， 单调递增， 时， 单调递减. 因为
，所以 ， 等价于 ，等价于 等
价于 等价于 ，设 ，所以
，所以 时， ，所以 在 单调递增.所以
，所以 ，所以该选项正确.
故选：ABD
7．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， 恒成立
88
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！B．当 时， 必有零点
C．若 有两个极值点 ，则
D．若 在 上单调递增，则
【答案】ABD
【分析】A选项，二次求导，得到当 时， ， 单调递减，当 时，
， 单调递增， ，A正确；B选项，转化为两函数的交
点问题，画出图象，数形结合求解；C选项，构造差函数，求解极值点偏移问题；D选项，
问题转化为若 在 上单调递增，则 恒成立，求出
，结合 ，证明出结论.
【详解】A选项， ， ，
令 ，则有 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 取得极小值，也是最小值，
，又 ，
所以当 时， ，当 时， ，
且当 时， 恒成立，
故当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所以 在 处取得极小值，也是最小值，
，A正确；
B选项，当 时， ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
在 处取得极小值，也是最小值， ，
且当 时， 恒成立，
而 为过原点的直线，画出 与 的图象如下：
无论 为何值，两函数均有交点，即 必有零点，B正确；
若 有两个极值点 ，则 要有两个异号零点，设为
，则有
90
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
则有 ，
构造函数 ，则有
则 ，
所以 在R上单调递增，
因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
其中 ，而当 时， ， 单调递减，
故 ，所以 ，C错误；
若 在 上单调递增，则 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
在 处取得极小值，也是最小值，
其中 ，所以 ，整理得： ，
其中 ，理由如下：
设 ，则 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 处取得极小值，也是最小值，
，即 ，
所以 ，
所以 ，则 ，D正确.
故选：ABD
8．已知函数 有两个零点 、 ，则下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】分析可知直线 与曲线 的图象有两个交点，数形结合可判断A选项；
证明对数平均不等式 ，其中 ，且 、 均为正数，利用
对数平均不等式可判断BCD选项.
【详解】由 可得 ，令 ，其中 ，
所以，直线 与曲线 的图象有两个交点，
，令 ，可得 ，列表如下：
92
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！减 极小值 增
作出函数 与 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，函数 与 的图象有两个交点，A对；
接下来证明对数平均不等式 ，其中 ，且 、 均为正数.
先证明 ，其中 ，
即证 ，
令 ， ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，当 时， ，
所以，当 时， ，
接下来证明： ，其中 ，即证 ，
令 ，即证 ，
令 ，其中 ，则 ，所以，函数 在 上为减函数，当 时， ，
所以，当 时， ，
由已知可得 ，两式作差可得 ，所以， ，
因为 ，故 ， ，B错，CD都对.
故选：ACD.
9．已知函数 ，则（ ）
A．
B．若 有两个不相等的实根 、 ，则
C．
D．若 ，x，y均为正数，则
【答案】AD
【分析】A：代入 直接计算比较大小；B：求 的导函数，分析单调性，可得当
有两个不相等实根时 、 的范围，不妨设 ，则有 ，比较
的大小关系，因为 ，可构造 ，求
导求单调性，计算可得 成立，可证 ；C：用 在 上单调递增，构
94
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！造 可证明；D：令 ，解出 ， ，做差可证明 .
【详解】解：对于A： ，又 ，
， ，所以 ，则有 ，A正确；
对于B：若 有两个不相等的实根 、 ，则 ，故B不正确；
证明如下：函数 ，定义域为 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 且 时，有
，所以 若 有两个不相等的实根 、 ，有 ，
不妨设 ，有 ，要证 ，只需证 ，且 ，又
，所以只需证 ，令
则有
当 时， ， ，所以有 ，即 在 上单调递增，
且 ，所以 恒成立，即 ，即 ，即 .
对于C：由B可知， 在 上单调递增，则有 ，即 ，则有，故C不正确；
对于D：令 ，则 ， ， ，
，
，故D正确；
故选：AD.
10．关于函数f（x）＝ ＋ln x，则下列结论正确的是（ ）
A．x＝2是f（x）的极小值点
B．函数y＝f（x）－x有且只有1个零点
C．对任意两个正实数x，x，且x＞x，若f（x）＝f（x），则x＋x＞4
1 2 2 1 1 2 1 2
D．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立
【答案】ABC
【分析】利用导函数求解极值点，判断出A选项；利用导函数得到g（x）在（0，＋∞）
上单调递减，又g（1）＝1＞0，g（2）＝ln 2－1＜0，有零点存在性定理判断B选项；构
造差函数解决极值点偏移问题；D选项，问题转化为存在正实数k，使得
恒成立，构造函数，利用二次求导得到其单调性，最终求得答案.
【详解】对于函数f（x）＝ ＋ln x，其定义域为（0，＋∞），由于 ，令
可得x＝2，当0＜x＜2时， ，当x＞2时， ，可知x＝2是f
（x）的极小值点，选项A正确；
设g（x）＝f（x）－x，则 ，可知g（x）在（0，＋
96
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∞）上单调递减，又g（1）＝1＞0，g（2）＝ln 2－1＜0，所以方程g（x）＝0有且仅有
一个根，即函数y＝f（x）－x有且只有1个零点，选项B正确；
由x＝2是f（x）的极小值点，可知若f（x1）＝f（x2）时，x2＞2＞x1＞0，易知4－x1＞
2，则f（4－x1）－f（x2）＝f（4－x1）－f（x1）＝
，令 ，则t＞1， ，则f（4
－x1）－f（x2）＝ ＝F（t）（t＞1）， ，则F（t）在（1，
＋∞）上单调递减，F（t）＜F（1）＝0，故f（4－x1）－f（x2）＜0，又f（x）在（2，
＋∞）上单调递增，则4－x1＜x2，故x1＋x2＞4，选项C正确；
令f（x）＞kx得: ，即 .设 ，x∈（0，＋
∞），
则 ，设H（x）＝x－xln x－4，x∈（0，＋∞），则
，
因为 ，当0＜x＜1时， ，当x＞1时，
，
所以函数H（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以H（x）max＝
H（1）＝1－0－4＝－3＜0，
则 ＜0恒成立，所以函数h（x）在（0，＋∞）上单调递减，
所以不可能存在正实数k，使得 恒成立.故选D不正确.
故选：ABC.
11．已知函数 有两个极值点 ， ，则（ ）A．a的取值范围为（－∞，1） B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用导数判断函数的单调性，根据零点的个数求出 的取值范围，进而确定
的取值范围，再利用不等式的性质、构造函数利用导数逐一判断即可.
【详解】由题设， 且定义域为 ，则 ，
当 时 ，则 单调递增，不可能存在两个零点，即 不可能存在两个极
值点，A错误；
当 时 ，即 单调递增，当 时 ，即 单调递减，即
，
当 时， ，所以 至多有一个零点；
当 时， ，而 ，当 趋向于0时 趋于负无穷大，
当 趋向于正无穷时 趋于负无穷大，
综上， ， 在 内各有一个零点 ， 且 ，
B：由 且 趋向于0时 趋于负无穷大，所以 ，故 ，
令 ，
，
又 ，所以 单调递减，
98
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故当 时， ，
又 ，所以 ，
而 ，因此 ，故正确；
C： ，
令 ，显然有 ，令 ，显然 ，
因此有： ，
设 ，则 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
因为 ，所以 ，
令 ，即
，
因为 ，所以 单调递增，
因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时， 单调递减，因此有 ，即 ，正确；
D：由 ，则 ，故 ，正确.
故选：BCD12．已知关于 的方程 有两个不等的正根 ， 且 ，则下列说法正确的
有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据题意构造函数 ，研究其函数图像得 ，可判断A；再构
造函数 ，根据极值点偏移问题的方法得 判断B；
进而得 判断C；根据 等价得 判断D.
【详解】解：对于A选项，根据题意，方程 有两个不等的正根 ， 且 ，
故令 ，则 ，
所以当 时， ，函数为单调递减函数，当 时， ，函数
为单调递增函数，
所以函数 有极小值 ，
因为 趋近于 ， 趋近于 ， 趋近于 ， 趋近于 ，
所以方程 有两个不等的正根等价于 ，且 故A选项正确；
100
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对于B选项，令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 时， 函数为单调递增函数，
所以 ，即 ，故B选项正确；
对于C选项，因为 ，所以 ，
所以 ，故C选项错误；
对于D选项，若 ，则 ，
所以 ，所以 ，显然满足.故D选项正确.
故选：ABD13．设函数 ，下列四个结论中正确的是（ ）
A．函数 在区间 上单调递增
B．函数 有且只有两个零点
C．函数 的值域是
D．对任意两个不相等正实数 ，若 ，则
【答案】CD
【分析】利用导数判断 时， 的单调性，根据单调性可求值域，然后结合
时， ，从而可判断选项A，C；
首先利用导数判断 时， 的零点个数；然后再利用单调性判断
时， 的零点个数，从而可判断选项B；
不妨设 ，根据题意把要证明 ，转化为证明 ；然后构
造函数 ，利用导数判断函数的单调性即可证明，从而判断选项
D.
【详解】当 时， ，所以 ，
所以当 时， 在 单调递增，
当 时， 在 单调递减，
102
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故 时， ，
又当 时， ，所以 ， ，
所以函数 在 单调递增，所以A错误，C正确；
当 时，令 ，则 ，
所以 在 单调递减，所以当 时， ，
所以函数 在 上没有零点；
当 时， ，所以只需求函数 在 上零点个数，
又因为 在 上单调递减，且 ，
所以函数 在 上只有一个零点．
所以函数 有且仅有一个零点，所以B错误；
当 时，若 ，因为函数 在 单调递增，在 单调递减，
所以不妨设 ，则 ，
所以要证 ，只需证 ，即只需证 ，
又因为 ，所以只需证 .
因为 ，
所以令函数 ，
则 ，
所以 在 单调递增，所以 ，即 恒成立，所以 ，
即 ，所以 ，
从而 成立. 所以选项D正确.
故选：CD.
14．已知函数 ，则下面结论成立的是（ ）
A．当 时，函数 有两个实数根
B．函数 只有一个实数根，则
C．若函数 有两个实数根 ， ，则
D．若函数 有两个实数根 ， ，则
【答案】AC
【分析】令 参变分离可得 ，令 ，利用导数说明其单调性，即可得到
函数 的函数图象，从而判断A、B，若函数 有两个实数根 ， ，则
，即可得到 ，再令 ， ，
利用导数研究函数的单调性，即可判断C、D；
【详解】解：根据题意，令 则 ，令 ，则 ，所
以当 时， ，当 时， ，即函数 在 上单调递增，在
上单调递减，画出函数 图象如下：
104
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！函数的最大值在 处取得，最大值为 ，所以选项A正确，当 或 时函数
只有一个实数根，故选项B不正确，
若函数 有两个实数根 ， ，则 ，所以
，令 ， ，对函数
求导可得， ，令 ，则 恒成立，
所以函数 单调递增，又 ，所以 ，所以 在 时单调递增， 的
函数图象如下所示：可得 ，所以选项C正确，选项D不正确．
故选：AC
15．已知函数 的极大值点为0，则实数m的值为 ；设 ，且
，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
【答案】 1
【分析】求出函数的导函数，即可得到 ，从而求出 ，令 ，即可
得到 ，令 ，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数草
图，即可得到 ，再令 ，利用导数说明函数的单调性，
106
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！即可得到 ，从而得解；
【详解】解： ，则 ，则 ，解得 ，
此时 ， ，当 时 ，当 时 ，
所以 在 上的单调递增，在 上单调递减，则 在 处取极大值，
符合题意；
令 ，则
构造函数 ，则 ．
因为 ，所以当 时 ，当 时 ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，
易知 的图象如图所示：
不妨令 ，
令
∵
∴ 在 上单调递增，即∵ ，∴ ，即
∵ ，∴
∵ 在 上单调递减，∴
故答案为：1；
16．已知函数 ．
(1)若函数 是减函数，求 的取值范围；
(2)若 有两个零点 ，且 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1） 在 上恒成立，参变分离 在
上恒成立，构造函数求出 的最大值，从而求出 的取值范围；
（2）由零点得到 ，令 ，从而得到 ，
， ，构造 ，求导得到其单调性，
从而证明出结论.
【详解】（1） 的定义域为 ，
108
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
函数 是减函数，故 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ， ，
，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值，且 ，
故 ，解得 ，
故 的取值范围是 ；
（2）若有两个零点 ，则 ，
得 ．
，令 ，则 ，
故 ，
则 ，
，令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，
，
，则 在 上单调递增，
，即 ，
故 .
17．已知函数 ．若函数 有两个不相等的零点 ．
(1)求a的取值范围；
(2)证明： ．
【答案】(1) ；
(2)证明见详解.
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性及最值，结合零点存在性定理计算即可；
（2）构造函数 ，利用导数研究其单调性与最值即可证明.
【详解】（1）由题意可知： ，
若 ，则 恒成立，即 单调递增，不存在两个不等零点，
故 ，
110
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！显然当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以若要符合题意，需 ，
此时有 ，且 ，
令 ，
而 ，
即 在 上递减，故 ，
所以 ，
又 ，
故在区间 和 上函数 存在各一个零点，符合题意，
综上 ；
（2）结合（1），不妨令 ，
构造函数 ，
则 ，
即 单调递减，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ，
由（1）知 在 上单调递增，所以由 ，
故 .
18．已知函数 有两个不同的零点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证： .
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）利用导数求单调区间，结合图象可解；
（2）利用单调性将问题转化为证明 ，然后构造差函数
，利用导数证明 即可.
【详解】（1） 的定义域为 ，
因为 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值 .
又当x趋近于0或 时， 趋于 ，
所以，要使 有两个不同的零点 ，只需满足 ，即 .
所以实数 的取值范围为 .
112
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）不妨设 ，由（1）可知， ，则 ，
要证 ，只需证 ，
又 在 上单调递增，所以只需证 ，即证 .
记 ，
则 ，
当 时， ， 单调递增，
又 ，
所以 ，即 .
所以 .
19．已知函数 ．
(1)讨论 的极值；
(2)若 （e是自然对数的底数），且 ， ， ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，求导得 ，然后分 讨论，即可得到结果；（2）根据题意，将原式变形为 ，然后构造函数 ，
，求导可得函数 在 上单调递增，即可证明.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
若 ，则 ，无极值；
若 ，由 ，可得 ，
若 ，当 时， ，则 单调递减，当 时， ，则 单
调递增，
此时，函数 有唯一极小值 ，无极大值；
若 ，当 时， ，则 单调递增，当 时， ，则 单
调递减，
此时，函数 有唯一极大值 ，无极小值；
所以当 时，函数 无极值；
当 时，函数 有极小值 ，无极大值；
当 时，函数 有极大值 ，无极小值；
（2）证明：由 ，两边取对数可得 ，即
，
当 时， ， ，
114
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由（1）可知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以
，
而 ， 时， 恒成立，
因此，当 时，存在 且 ，满足 ，
若 ，则 成立；
若 ，则 ，
记 ， ，
则 ，
即有函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，
于是 ，而 ， ， ，
函数 在 上单调递增，因此 ，即 .
20．已知函数 .
(1)当 时， ，求 的取值范围.
(2)若函数 有两个极值点 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）参变分离可得 在 恒成立，令 ， ，利用导数求出函数的最大值，即可得解；
（2）求出函数的导函数，依题意可得函数 与函数 ， 的图象
有两个交点，利用导数说明 的单调性，不妨设 ，要证 ，
即证 ，令 ， ，利用导数说明函数的单调性，即
可得证.
【详解】（1）当 时， 在 恒成立，
令 ， ，
则 ，
函数 在 上单调递减，
，
，
的取值范围是 ．
（2）函数 ， ．
则 ，
函数 有两个极值点 ， ，
有两个正实数解 方程 有两个正实数解 函数 与函数
， 的图象有两个交点．
，令 ，解得 ，
116
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当 时 ，则 单调递增，当 时 ，则 单调递减，
函数 的极大值即最大值为 ．
又 时 ，且当 时， ，又 ，
．
不妨设 ，
要证明 ， ．
令 ， ，
．
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
函数 在 单调递增，
， ，即 ，
因此 成立．
