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特训 06 期中解答压轴题（第 1-3 章，新题速递精选）
一、解答题
1．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，在一次数学活动课上，张明用17个底面为正方形，且底面边
长为 ，高为 的小长方体达成了一个几何体，然后他请王亮用尽可能少的同样的长方体在旁边再搭一个
几何体，使王亮所搭的几何体恰好可以和张明所搭的几何体拼成一个大长方体（即拼大长方体时将其中一
个几何体翻转，且假定组成每个几何体的小长方体粘合在一起）.
（1）王亮至少还需要 个小长方体；
（2）请画出张明所搭几何体的左视图，并计算它的表面积（用含 的代数式表示）；
（3）请计算（1）条件下王亮所搭几何体的表面积（用含 的代数式表示）.
2．（2023·全国·九年级专题练习）综合与实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无
盖纸盒．
操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的字是 ．
(3)如图3，有一张边长为50 的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖
长方体纸盒．
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为6 的小正方形，这个纸盒的容积．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中项点数(V)、面数(F)、
棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问
1题:
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格:
多面体 项点数(V) 面数(F) 棱数(F)
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
你发现项点数(V)、面数(F)、棱数(F)之间存在的关系式是__________________________.
（2）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是 20；
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个
顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
4．（2022秋·湖南怀化·七年级校考期中）阅读下列材料：
我们知道 的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离， 也就是表示数a与数0的两点之
间的距离， 表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离．
例1．已知 ，求x的值．
解：在数轴上与原点距离为2的点对应数是为 和2，即x的值为 和2．
例2．已知 ，求x的值．
解：在数轴上与1的距离为2的点对应数为3和 ，即x的值为3和 ．
依照阅读材料的解法，完成下列各题：
(1)若 ，则 ________，若 ，则 ________；
(2) 的最小值是________，若 ，则 ________；
(3)代数式 的最小值为________；
(4)求代数式 的最小值．
5．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）已知 在数轴上对应的数分别用 表示，且
2， 是数轴上的一个点．
(1)在数轴上标出 的位置，并求出 两点之间的距离．
(2)数轴上一点 距 点7个单位长度，其对应的数 满足 ．
①写出 两点之间的距离．
②若 表示点 与点 之间的距离， 表示点 与点 之间的距离，当 点满足 时，直接写出
点 对应的数．
(3)动点 从点 开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个
单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，点 和与 能重合吗？若能，
请探索是第几次移动时重合，并写出算式说明；若不能，请说明理由．
6．（2023秋·全国·七年级专题练习）【概念学习】
定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．
比如 ， 等，类比有理数的乘方，我们把 写作 ，读作“2的圈3次
方”写作 ，读作“ 的圈4次方”
一般地，把 记作： ，读作“ 的圈 次方”别地，规定： ．
【初步探究】a的圈n次方
(1)直接写出计算结果： ______， ______；
(2)若 为任意正整数，下列关于除方说法中，正确的有_____；（横线上填写序号）
A．任意非零数的圈2次方都等于1
B．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．圈 次方等于它本身的数是1或
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
E．互为相反数的两个数的圈 次方互为相反数
F．互为倒数的两个数的圈 次方互为倒数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运
算如何转化为乘方运算呢？
(3)请把有理数 的圈 次方写成幂的形式： =________；
(4)比较： ______ ；（填“>”或“=”）
(5)计算：
7．（2023秋·全国·七年级专题练习）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系
统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一
3次记为 ，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为 ，（规定
）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为 ，表示该生为
5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原
因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“ ”、“ ”，结合“+”、
“ ”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后
的新系统规则可表示的班级编号范围．
8．（2021秋·江苏南通·七年级启东市长江中学校考期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨
论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的探
究问题.
【提出问题】三个有理数a，b，c，满足abc>0，求 的值.
【解决问题】
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.
①当a，b，c，都是正数，即a>0，b>0，c>0时，则 = =1+1+1=3；
②当a，b，c有一个为正数，另两个位负数时，设a>0，b<0，c<0，则 = =1−1−1=−1；
所以 的值为3或−1.
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a，b，c满足abc<0，求 的值；
(2)已知 =9， =4，且a<b，求a−2b的值.
9．（2023·全国·七年级专题练习）有一台功能单一的计算器，只能完成对任意两个整数求差后再取绝对值
的运算，其运算过程是：输入第一个整数 ，只显示不运算，再输入整数 ，显示 的结果．比如依
次输入1，2，则显示结果1，若此后再输入一个整数，则显示与前面运算结果进行求差后再取绝对值的运
算结果．
(1)若小明依次输入−1，0，1，则显示_______________；
(2)若小明将2，3，4，5，打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最小值为________；
所有显示结果的最大值为____________；
(3)若小明依次输入四个连续整数n， ， ， （其中n为整数），则显示结果为____________；
(4)若小明将四个连续整数n， ， ， （其中n为整数），打乱顺序后一个一个地输入（不重
4复），则所有显示结果的最小值为_______________；
(5)若小明将1到 这 个整数打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最大值为
_____________．
10．（2023秋·江苏·七年级专题练习）一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如
2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”记为L(8)，则L(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且
2 2
a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为L(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格
a
数”，记为L(81)=4．
3
（1）下列各“劳格数”的值：L（4）=______，L(16)=______，L(64)=______．
2 2 2
（2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L（4），L(16)，L(64)满足关系式________．
2 2 2
（3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？L(M)+L(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．
a a
（4）据上述结论解决下列问：已知，L（3）=0.5，求L(9)的值和L(81)的值．（a＞0且a≠1）
a a a
11．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下面算式的演算过程：
……
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
______________． ____________．
_________________．（ 为正整数）
（2）根据规律计算：
．
12．（2020秋·全国·七年级专题练习）已知： ，且 、 、 分别是点A．B．C
在数轴上对应的数．
（1）写出 =___； =___； =___.
（2）若甲、乙、丙三个动点分别从A．B．C三点同时出发沿数轴负方向运动,它们的速度分别是1、2、4,
(单位/秒),运行 秒后,甲、乙、丙三个动点对应的位置分别为： ， ， ,当 时,求式子
的值．
（3）若甲、乙、丙三个动点分别从A，B，C三点同时出发沿数轴正方向运动,它们的速度分别是1，2，4
（单位/秒），运动多长时间后，乙与甲、丙等距离？
13．（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读理解：已知Q、K、R为数轴上三点，若点K到点Q的距离是点
5K到点R的距离的2倍，我们就称点K是有序点对[Q，R]的好点．
根据下列题意解答问题：
（1）如图1，数轴上点Q表示的数为−1，点P表示的数为0，点K表示的数为1，点R
表示的数为2．因为点K到点Q的距离是2，点K到点R的距离是1，所以点K是
有序点对 的好点，但点K不是有序点对 的好点．同理可以判断：
点P__________有序点对 的好点，点R______________有序点对 的好点（填“是”或“不
是”）；
（2）如图2，数轴上点M表示的数为-1，点N表示的数为5，若点X是有序点对 的好点，求点X所
表示的数，并说明理由？
（3）如图3，数轴上点A表示的数为−20，点B表示的数为10．现有一只电子蚂蚁C从
点B出发，以每秒2个单位的速度向左运动t秒．当点A、B、C中恰有一个点为其余两有序点对的好点，
求t的所有可能的值．
14．（2022秋·广东广州·七年级广州市第九十七中学校考期中）多项式 是四次
c项式，a是这个多项式的最高项的系数，b是最小的正整数．
(1) ________， ________， ________．
(2)在数轴上点A，B，C表示的数分别为a，b，c．
①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数．
②点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以
每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问： 的值是否随着运动时间t的变化而改
变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
15．（2022秋·福建三明·七年级校考期中）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
第1个点阵：
第2个点阵：
6______＋______
第3个点阵：
______＋______
（2）观察猜想，写出第 个点阵相对应的等式．
（3）根据以上猜想，求出 的值．
16．（2021秋·湖南郴州·七年级校考期中）大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：
经过研究，这个问题的结论是 ，（n是正整数）．
现在我们来研究一个类似的问题：
观察下面三个特殊的等式，并且填空：
，
，
，
① ，…
将前两个等式的两边相加，可以得到 ．
将三个等式的两边相加，可以得 ．
根据以上知识完成填空：
②计算： ；
③计算： ；
④计算： ；
⑤依据上面的材料，试计算： ；
⑥猜想： ．
17．（2023秋·全国·七年级专题练习）某农户2020年承包荒山若干亩，投资7800元改造后，种果树2000
棵．今年水果总产量为36000千克，此水果在市场上每千克售 元，在果园每千克售 元（ ）．若该
农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克，需8人帮忙，每人每天付工资100元，农用车运费及其
7他各项税费平均每天300元．
(1)当 ， 时，农户在水果市场或在果园中出售完全部水果的总收入分别是多少元？
(2)用 ， 分别表示农户在水果市场或在果园中这两种方式出售完全部水果的纯收入？（纯收入 总收入
总支出）
(3)若 ， 且 是整数，若两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，试
讨论当 为何值时，选择哪种出售方式较好．
18．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）2022年十一国庆期间，商场打出促销广告，如下表所示：
优惠 一次性购物 一次性购物超过200元， 一次性购物
条件 不超过200元 但不超过600元 超过600元
优惠 没有 全部按九折 其中600元扔按九折优惠，
办法 优惠 优惠 超过600元部分按八折优惠
用代数式表示（所填结果需化简）：
(1)设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，实际付款为 元；当原价x
超过600元时，实际付款为 元．
(2)若乙分两次购物，第一次花费189元，第二次花费580元，则两次购物的总原价为多少元？若合并成一
次购买，比分两次购买便宜多少元？
19．（2023·全国·七年级专题练习）数学问题：计算 （其中 ， 都是正整数，且
， ）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 的正方
形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算 ．
第 次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ．
第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 ．
第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分， ．
第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和
，最后空白部分的面积是 ．
第 次分割图可得等式： ．
8探究二：计算 ．
第 次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为 ．
第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ．
第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， ．
第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为
，最后空白部分的面积是 ．
根据第 次分割图可得等式： ，
两边同除以 ，得 ．
探究三：计算 ．
（仿照上述方法，只画出第 次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
解决问题：根据前面探究结果：
9__________．
__________．（只填空，其中 ， 都是正整数，且 ， ）
拓广应用：计算 ．
20．（2023秋·全国·七年级专题练习）认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
． ． ．……；
下面我们依次对 展开式的各项系数进一步研究发现，当 取正整数时可以单独列成表中的形式：
…………………………………………………1 1
………………………………………………1 2 1
……………………………………………1 3 3 1
…………………………………………1 4 6 4 1
………………………………………1 5 10 10 5 1
……………………………………1 6 15 20 15 6 1
……………………………………
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问
题：
(1)多项式 的第三项的系数 ______；
(2)请你预测一下多项式 展开式的各项系数之和 ______；
(3)拓展：①写出 展开式中含 项的系数为______；
② 展开式按 的升幂排列为： ，若 ，求
的值．
21．（2021春·山东青岛·七年级校考期中）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具
有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面
10积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．将一个边长为a的正方形
的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成： 或
，∴ ，这就验证了两数和的完全平方公式．
问题提出：
如何利用图形几何意义的方法推证： ，如图2，A表示1个1×1的正方形，即： ，B表
示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正
方形，即： ，而A、B、C、D恰好可以拼成一个 的大正方形，由此可得：
．
(1)尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证： ___________（要求自己
构造图形并写出推证过程）．
(2)类比归纳：请用上面的表示几何图形面积的方法探究： ___________（要求直接写
出结论，不必写出解题过程）．
(3)实际应用：图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了正确数
出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总
和．例如：棱长是1的正方体有： 个，棱长是2的正方体有： 个，棱长是3的正方
体有： 个，棱长是4的正方体有： 个，然后利用（3）类比归纳的结论，可得：
___________=___________．
(4)图4是由棱长为1的小正方体成的大正方体，图中大小正方体一共有___________个．
(5)逆向应用：如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大小正方体一共有
3025个，那么棱长为1的小正方体一共有___________个．
22．（2022秋·福建南平·七年级统考期中）如果一个两位数的个位数字是 ，十位数字是 ，那么我们可
以把这个两位数简记为 ，即 ．如果一个三位数的个位数字是 ，十位数字是 ，百位数字
是 ，那么我们可以把这个三位数简记为 ，即 ．
(1)列式分别表示出两位数 和 ，并证明 和 的差能被9整除．
11(2)若规定：对任意一个三位数 进行 运算，得到整数 ． 如： ．
若一个三位数 满足 ，求这个三位数．
(3)已知一个三位数 和一个两位数 ，若满足 ，请求出所有符合条件的三位数．
12
