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01 卷 第五章 平面向量、复数《过关检测卷》
－2022年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考专用）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．关于平面向量 ， ， ，下列结论正确的是（ ）
A． ，则
B． ，则 与 中至少有一个为
C．
D． ，则
【答案】D
【分析】
当向量 时，可判定A不正确；当向量 时，可判定B不正确；根据向量的数量积的定义和向量
的数乘的运算，可判定C不正确；根据向量的数量积的定义，求得 ，可判定D正确.
【详解】
对于A中，若向量 时，满足 ，但 与 不一定相等，所以A不正确；
对于B中，当向量 时，可得 ，所以B不正确；
对于C中，根据向量的数量积的定义，可得 ，
不妨设 ，此时 与 不一定相等，所以C不正确；
对于D中，根据向量的数量积的定义，可得 ，
因为 ，可得 ，又由 ，所以 或 ，此时 与 为共线向量，即 ，所以D正确.
故选：D.
2．设 ， 是两个非零向量，则使 成立的一个必要非充分条件是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用向量的数量积求出两个向量的夹角即可推出结果．
【详解】
解： ， 是两个非零向量，则 ，
，
，
．
．
， 是两个非零向量，则使 成立的一个必要非充分条件是 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查向量的数量积以及充要条件的判定，考查逻辑推理能力．
3．已知向量 ， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． // C． D．
【答案】C
【分析】
采用排除法，一一进行验证，可得结果.
【详解】由 ，
因为 ，故 与 不垂直，
所以A选项不对
因为 ，所以 与 不共线，
所以B选项不对
由 ，所以
则 ，所以C选项正确
由 ，
所以
故 与 不垂直，所以D选项不对
故选：C
【点睛】
本题考查向量的位置关系，以及数量积用坐标进行运算，属容易题.
4．下列命题
①设非零向量 ，若 ，则向量 与 的夹角为锐角；
②若非零向量 与 是共线向量，则 四点共线；
③若 ，则 ；
④若 ，则 .
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
通过反例可依次排除①②③，由向量相等的定义可知④正确.【详解】
对于①，若 同向，则 ，此时夹角为 ，不是锐角，①错误；
对于②，若 与 是平行四边形两对边，则 与 共线，但 不共线，②错误；
对于③，若 是零向量，则 ，此时无法确定 ，③错误；
对于④，若 ，则 方向相同，模长相等，所以 ，④正确.
故选： .
【点睛】
本题考查平面向量相关命题的辨析，涉及到向量夹角、向量共线、向量相等的相关知识，考查学生对于平
面向量部分概念掌握的熟练程度.
5．已知圆 的半径是 ，点 是圆 内部一点（不包括边界），点 是圆 圆周上一点，且
，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
画出图形，根据 ，求得 ，并求出 ，从而得出
的最小值.
【详解】
如图所示，因为 ，所以 ，
所以 ，且 ，
所以 ,当 时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算及运算公式的因公，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，合理
计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
6．在 中， ，若点 是 所在平面上的动点，且满足
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由 ，得到 ，即 ，得出 为直角三角形，建立如图所示的直角坐标
系，点P在以 为圆心，3为半径的圆上，结合圆的性质，即可求解.
【详解】
由题意，在 中， ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 的边长分别为 的直角三角形，且B角为直角，
建立如图所示的直角坐标系，则 ，
因为点P是 所在平面上的动点，且满足 ，
设 ，则 ，
所以 ，
即点P在以 为圆心，3为半径的圆上，
因为 ,
所以 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及利用坐标法解决向量问题中的应用，着重考查了推理与计
算能力，属于中档试题.
7．已知向量 ， 满足 ， ，且 在 方向上的投影为4，现有如下说法：① ；
②向量 与 夹角的余弦值为 ；③ ，则其中说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C
【分析】
根据 在 方向上的投影的值，可得 ，结合向量的夹角公式以及向量的垂直关系，可得结果.
【详解】
依题意： ，
即 ，故①错误；
由 ，即 ，
得 ，故②正确；
，
故 ，故③正确，
故选：C.
【点睛】
本题重在考查一个向量在另一个向量上的投影，属基础题.
8．已知 , ，且 与 不共线，则向量 与 的夹角为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量的数量积，可得结果.
【详解】
,,
,
所求夹角为 ,
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量的垂直关系，属基础题.
9．已知平面向量 , ，且 ，则
A． B．5 C． D．10
【答案】C
【分析】
根据向量垂直的坐标表示以及模的计算，可得结果.
【详解】
,
,
, , ,
,
故选：C.
【点睛】
本题主要考查向量的坐标计算，属基础题.
10．已知复数 为虚数单位，则下列说法错误的是（ ）
A． 的虚部为 B． 在复平面上对应的点位于第二象限C． D．
【答案】A
【分析】
根据复数的概念，可判断A错误；根据复数的几何意义，结合三角函数的性质，可判定正确；根据复数的
运算，可判定C、D正确.
【详解】
由题意，复数 ，可得复数的虚部为 ，所以A错误；
由复数 在复平面内对应的点为 ，
又由 ，所以复数对应的点位于第二象限，所以B正确；
由
，即 ，所以C正确；
由 ，即 ，
所以D正确.
故选：A.
11．若复数 满足 ,其中 为虚数单位,则 =( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设 ，所以 ，所以
，所以选B．12．复数 (其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出 的值，根据复数的几何意义可得结果．
【详解】
∵ ，
∴复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，在第一象限，
故选A.
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
13．在如图所示的复平面内，复数 ， ， 对应的向量分别是 ， ， ，则复数 对
应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】
分析：由图形得到复数 ， ， ，然后进行四则运算，即可求出此复数对应的点.
详解：由题图知 则 ，所以其在复平面内对应的点为 ，在第三象限.
故选C
点睛：复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 的看作一类同类项，不含
的看作另一类同类项，分别合并即可;复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中
要注意把 的幂写成最简形式．
14．若复数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的虚部为 C． D．
【答案】D
【分析】
对z进行进行复数的除法运算化简复数，求出复数的模、虚部、共轭复数即可逐项判断正误.
【详解】
因为 ，所以 ，故A错；
的虚部为1，故B错； ，故C错； ，故D正确.
故选：D
【点睛】
本题考查复数，涉及复数的乘方与除法运算、复数的模、复数的概念，属于基础题.
15．已知 ， 是虚数单位，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
整理为 的形式，根据复数相等的充要条件求出m、n，代入 求模即可.
【详解】， ，
.
故选：A
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘法运算、复数相等的充要条件、复数的模，属于基础题.
16．设复数 （其中 为虚数单位），则下列说法中正确的是
A．它的实部为﹣3 B．共轭复数
C．它的模 D．在复平面对应的点的坐标为
【答案】C
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
【详解】
解：∵ ，
∴ 的实部为3， ， ，
在复平面对应的点的坐标为（3，4）.
故选: C.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念、共轭复数、复数的模和复数的几何意义，是基
础题．
17．已知 是虚数单位，若 是纯虚数，则实数 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B【分析】
利用复数的乘法和除法运算，化简z，再令实部为0，即得解.
【详解】
由于
若为纯虚数，则
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的基本概念和四则运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
18．给出下列四个命题：①若复数 ， 满足 ，则 ；②若复数 ， 满足
，则 ；③若复数 满足 ，则 是纯虚数；④若复数 满足 ，
则 是实数，其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
设出复数的代数形式进行验证，或者利用反例进行排除可得.
【详解】
对于①：设 ， 均为实数，由 可得
，所以 ，即 ，故①正确；
对于②：当 ， 时，满足 ，但是 ，故②不正确；
对于③：当 时，满足 ，但是 不是纯虚数，故③不正确；
对于④：设 ，由 可得 ，所以 ，故④正确.
故选：B.
【点睛】本题主要考查复数的性质及运算，待定系数法是解决复数问题的有效方法，侧重考查数学运算的核心素养.
二、多选题
19．已知复数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．复数z的共轭复数为
C． D．
【答案】ABD
【分析】
由复数模的计算公式，可判定A正确；由共轭复数的概念，可判定B正确；由 的运算性质和复数的运算，
可判定C不正确；由复数的运算法则， D正确.
【详解】
由题意，复数 ，可得 ，所以A正确；
由共轭复数的概念，可得复数 的共轭复数为 ，所以B正确；
由 ，则 ，所以C不正确；
由复数的运算法则，可得 ，所以D正确.
故选：ABD.
20．已知 与 是共轭虚数，以下4个命题一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
与 是共轭虚数，设 ， ．利用复数的运算性质及其有关概念逐一
判断即可．
【详解】与 是共轭虚数，设 ， .
； ，因为虚数不能比较大小，因此 不正确；
， 正确；
， 正确；
不一定是实数，因此 不一定正确.
故选：BC.
21．已知复数z满足 则实数a的值可能是（ ）
A．1 B． C．0 D．5
【答案】ABC
【分析】
设 则 ，代入 可得到 ，利用判
别式的符号列不等式求解即可.
【详解】
设 则 ，
因为
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，∴实数 的值可能是 .
故选：ABC.
22．（多选题）若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论不正确的是（ ）
A． 的虚部为 B．
C． 的共轭复数为 D． 为纯虚数
【答案】ABC
【分析】
根据复数的除法运算，求得 ，再结合复数的基本概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，复数 ，
可得 的虚部为 ，所以 错误；
由 ，所以 错误；
由共轭复数的概念，可得 ，所以 错误；
由 ，可得 为纯虚数，所以 正确，
故选：ABC
【点睛】
本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的四则运算的应用，其中解答中熟记复数的基本概念，以及熟
练应用复数的除法运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
23．已知复数 ，则下列命题中正确的为（ ）
A．
B．
C． 的虚部为D． 在复平面上对应点在第一象限
【答案】ABD
【分析】
根据复数的相关定义，逐个判断即可.
【详解】
复数 ，则 .故 正确；
，故 正确；
的虚部为1，故 错误；
在复平面上对应点的坐标为 ，在第一象限，故 正确.
命题中正确的个数为3.
故选：
【点睛】
本题考查了复数的相关定义和计算，属于基础题.
24．下面四个命题中的真命题为（ ）
A．若复数 满足 ，则
B．若复数 满足 ，则
C．若复数 ， 满足 ，则
D．若复数 ，则
【答案】AD
【分析】
根据实数和复数的定义，逐个选项判断即可.
【详解】
若复数 满足 ，则 ，故命题 为真命题；
复数 满足 ，则 ，故命题 为假命题；若复数 ， 满足 ，但 ，故命题 为假命题；
若复数 ，则 ，故命题 为真命题.
故选：
【点睛】
本题考查复数的基础知识，属于基础题.
25．设z是复数，则下列命题中的真命题是
A．若z2 0，则z是实数 B．若z2 0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2 0 D．若z是纯虚数，则z2 0
【答案】ABD
【分析】
设复数 ，则 ，对选项逐项判定，即可求解.
【详解】
设复数 ，则 ，
对于A中， ，即 ，则 ，所以 是实数，真命题；
对于B中， ，即 ，则 ，且 ，所以 是虚数，所以B为真命题；
对于C中，例如复数 ，则 ，所以z2 0是假命题.
对于D中，由 是纯虚数，则 ，所以 是真命题；
故选ABD.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，合理利用复
数的概念，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
26．已知复数 ，则下列命题中正确的为
A．
B．
C．z的虚部为﹣4iD．z在复平面上对应点在第四象限
【答案】ABD
【分析】
根据复数的模的计算公式、共轭复数的概念和复数的表示方法，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，复数 ，可得 ，所以A正确；
复数 的共轭复数 ，所以B正确；
由复数 ，可得复数z的虚部为-4，所以C错误；
复数z在复平面上对应点的坐标为（3，-4），在第四象限，所以D正确.
故选ABD.
【点睛】
本题主要考查了复数的基本概念，复数的表示、复数的分类及复数的模的求解等知识点的应用，着重考查
了推理与判断能力，属于基础题.
第II卷（非选择题）
三、填空题
27．已知向量 ， ，向量 在向量 上的投影等于1，则 的最小值为______.
【答案】
【分析】
利用向量不等式 可求解.
【详解】
由向量 在向量 上的投影等于1，可知 （ 向量 、 夹角）
又 ， ，所以当 与 反向， 时，等号成立.
故答案为:
【点睛】
此题考查利用向量不等式求最值，同时考查向量的投影概念，属于中档题.
28．平面向量 ， ， 满足 ， （ 且
），则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
把向量 ， ， ， 置于单位圆中，找到 ，再转化为代数关系，分类讨论.
【详解】
如图，单位圆中 ， ， ， ， ，
根据向量加法的平行四边形法则： 且 ； 且 ；
， ，
，即 重合， ，且 ，所以 .又 ， ，
当 ， 不共线时，有 ，又 ， .
得 ，
当 ， 共线时， ， ，
若 ， ，得 ， ，
；
，
若 ，
综上： 的范围是
故答案为：
【点睛】
利用平面几何知识寻找向量之间的关系，再把向量关系转换成代数关系，是处理向量问题常用方法，此题
为难题,
29．已知同一平面内的单位向量 ， ， ，则 的取值范围是________.【答案】
【分析】
可设 ， ， ，转化为坐标运算，再化简转化成三角函数与
二次函数复合而成的复合函数的值域问题.
【详解】
设 ， ， ，
则
由令 ，则
，
函数开口向上，对称轴为
故当 ， 或 ， 时，
；
当 ， 或 ， 时，，
故 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，求三角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题，还考查了学生分生
思维能力，运算能力，难度较大.
30．已知点G为 的重心，点D，E，F分别为 ， ， 的中点.若 ，
，则 ________.
【答案】
【分析】
以 、 为基底表示出向量 、 ，代入 、 中按向量数量积运算律进行
运算得到①式、②式，再用基底表示出 ，② ①即可求得 .
【详解】
，
①,
，②，
，
② ①得： ，所以 .
故答案为：
【点睛】
本题考查向量的线性运算、向量数量积的运算律、平面向量基本定理，属于中档题.
31．设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则 ______.
【答案】
【分析】
根据向量共线与垂直的条件，以及向量的坐标运算，求得 的值，进而得到向量 的坐标，利用模
的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，向量 ， ， ，
因为 ，可得 ，解得 ，
又由 ，可得 ，解得 ，
所以 ，所以 .故答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，向量共线与垂直的坐标表示，以及向量模的求解，着重考查了推理与计
算能力.
32．已知向量 ， ， 满足 ， ， 与 夹角为 ， ，则
的最大值为_______.
【答案】
【分析】
设 ，根据题设条件，求得 ，再结合点与圆的位置关系，
即可求解.
【详解】
由题意，因为 ， ， 与 夹角为 ，
可设 ，
又由 ，
即 ，即 ，
可得圆心坐标为 ，半径为1的圆，
又由 表示圆上的点到点 的距离，
所以 的最大值为 .故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积的运算，以及点与圆上点的距离的最值等知识的综合应用，
着重考查了推理与运算能力.
33．如图，已知正方形 ，点E，F分别为线段 ， 上的动点，且 ，设
（x， ），则 的最大值为______.
【答案】
【分析】
设边长为1， ，建立直角坐标系，求得 的坐标，根据题设用 表示出 ，再利用
函数的性质，即可求解．
【详解】
建立如图所示的直角坐标系，并设边长为1， ，
则 ，可得 ，
由 ，
可得 ，解得 其中 ，
所以 ，令 ，则 ，
当且仅当 时，即 时取等号，
所以 的最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐标运算，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中
将平面向量问题坐标化，通过数形结合求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能
力．
34．已知向量 与 的夹角为 , , ，则 ________.
【答案】
【分析】
先求出 ，然后利用向量模的计算方法，可得结果.
【详解】
因为向量 与 的夹角为 ,
., ,
,
.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查向量模的计算，属基础题.
35．已知平面向量 ， ， 满足： ， 的夹角为 ，| |＝5， ， 的夹角为 ，|
|＝3 ，则 • 的最大值为_____．
【答案】36
【分析】
设 ， ， ，由题意知 四点共圆，建立坐标系，求出点 的坐标和圆的半
径，设 ，用 表示 ，根据 范围和三角和差公式，即可求解．
【详解】
设 ， ， ，
则AB＝| |＝5，AC＝| |＝3 ，∠ACB ，∠APB ，
可得P，A，B，C四点共圆．
设△ABC的外接圆的圆心为O，则∠AOB＝2∠APB ，
由正弦定理可知：2OA 5 ，故OA ．
以O为圆心，以OA，OB为坐标轴建立平面坐标系如图所示：则A（ ，0），B（0， ）．
在△OAC中，由余弦定理可得cos∠AOC ，
故sin∠AOC ，∴C（ ， ）．
设P（ cosα， sinα）， ，
则 （ cosα， sinα）， （ cosα， sinα），
∴ （ cosα）（ cosα） sinα（ sinα）
＝16+12sinα﹣16cosα＝16+20•（ sinα cosα）
＝16+20sin（α﹣φ），其中sinφ ，cosφ ．
∴当α＝φ 时， 取得最大值36．
答案：36．【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，正弦定理、余弦定理的应用，以及三角恒等变换与三角函数的图象
与性质的综合应用，着重考查了逻辑推理能力和分析问题和解答问题的能力，属于难题．
36．若向量 、 满足 ＝1， ＝2，且 与 的夹角为 ，则 ＝_________.
【答案】
【分析】
由 夹角为 ，利用平面向量数量积公式，求得 平方的值，从而可得结果.
【详解】
夹角为 ，
所以
所以 ，故答案为 .
.
37．下列命题中，正确的是______（填序号）.
①若 是平面内三个非零向量，则 ；②若 ， ，其中 ，则 ；
③若 是 所在平面上一定点，动点 满足 ， ，则直线
一定经过 的内心.
【答案】②③
【分析】
根据数量积运算的结果、相等向量的定义可知①中存在等式不成立的情况；利用向量数量积的坐标运算，
结合角的范围可得 ，从而得到垂直关系，知②正确；根据单位向量的表示法可确定 在 的角
平分线上，由内心定义可知③正确.
【详解】
和 为实数 当 方向不同，且 ， 时，等式不成立，则①错误
，又
，即 ，②正确
表示 方向上的单位向量， 表示 方向上的单位向量
在 的角平分线上 直线 必过 的内心，③正确
本题正确结果：②③
【点睛】
本题考查平面向量数量积运算、垂直关系的向量表示、利用向量表示与三角形的“心”有关的问题，属于
中档题.
38．如图， ，点 是线段AB上的一个动点，D为OB的中点，则
的最小值为______________.【答案】
【解析】
【分析】
选取 为基向量，设 得 ，
利用数量积运算结合二次函数求最值即可
【详解】
选取 为基向量，设 ，其中 ，
因为D为OB的中点，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， 取得最小值，为 ，
故答案为 ．
【点睛】
本题考查平面向量基本定理，数量积运算，二次函数的值域，考查计算能力，是中档题
39．下列命题：① ；②若 则 ；③ ；④y=tanx在定义域上
单调递增；⑤若锐角 满足 ，则 .其中真命题的序号为_____________【答案】③⑤
【解析】
【分析】
对给出的五个命题分别进行分析、判断后可得正确命题，进而得到答案．
【详解】
对于①，由于 是与 共线的向量， 是与 共线的向量，而 与 不一定共线，所以①不正
确．
对于②，由于向量的数量积不满足消去律，所以②不正确．
对于③，由于 （ 为两向量的夹角），所以 ，所以③正确．
对于④，由正切函数的性质可得，函数 在区间 上单调递增，而在定义
域上没有单调性，所以④不正确．
对于⑤，由题意得 ，而 均为锐角，所以 ，即 ．
所以⑤正确．
综上可得③⑤正确．
故答案为③⑤
【点睛】
解答本题时要熟悉相关的知识，在求解过程中注意推理证明和举反例等方法的运用，考查综合运用知识解
决问题的能力，属于基础题．
40．在 中， ， ， ，动点 在以点 为圆心，半径为1的圆上，则
的最小值为__________．
【答案】
【分析】
根据题意建立平面直角坐标系，设 ，然后将数量积用点 的坐标表示出来，再结合圆中的最值问
题求解即可．【详解】
如图，以点 为原点， 边所在直线为 轴建立平面直角坐标系．
则 ，
设 ，则 ，
∴
，
其中 表示圆A上的点P与点 间距离 的平方，
由几何图形可得 ，
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】
（1）解答本题的关键是将问题转化为坐标运算来求解，利用代数运算来解决向量数量积的问题，体现数
形结合的利用．
（2）求与圆有关的最值问题时仍需要结合图形进行，结合图形利用两点间的距离或点到直线的距离求解，
解题时注意几何方法的运用．
41．△ABC是边长为3的等边三角形,已知向量 满 ， ，则下列结论中正确的是__________．(写出所有正确结论的编号)
① 为单位向量； ② 为单位向量； ③ ⊥ ； ④ // ； ⑤ (6 + )⊥ ．
【答案】②④⑤
【分析】
利用向量线性运算的法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择后可得正确的结论．
【详解】
因为△ABC是边长为3的等边三角形，向量 满 ， ，
则 ，
所以 ，因此 为单位向量，故②正确．
又 ，
所以 ，因此 ，故①不正确．
对于③，由 可得 ，故 ，可得 ，
设 的夹角为θ，则 ，从而可得 ，所以③不正确．
对于④，由 ， 得 ，所以 // ，故④正确．
对于⑤，因为（6 + ） ，所以
(6 + )⊥ ，故⑤正确．
综上可得② ④ ⑤正确．
故答案为② ④ ⑤．
【点睛】
本题综合考查向量的线性运算和数量积运算及其应用，解题的关键是结合题意逐项进行分析，考查综合运用知识解决问题的能力和灵活的应变能力，属于基础题．
42．若 是虚数单位，复数 满足 ，则 ___________.
【答案】
【分析】
根据复数的四则运算法则和复数的模的计算公式，即可化简得到答案.
【详解】
由题意，复数满足 ，则 ,
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了复数的运算与化简和复数模的求解，其中熟记复数的四则运算和复数模的计算公式是解答
的关键，着重考查了推理与运算能力.
43．设复数 （ 为虚数单位），则 的共轭复数为____．
【答案】
【分析】
根据复数的乘法运算，求得 ，再根据共轭复数的概念，即可得答案.
【详解】
由于 ，所以 的共轭复数为 ．
【点睛】
本题主要考查了复数的运算和复数的共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运算法则
是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
44．在复变函数中，自变量 可以写成 ，其中 ， 是z的辐角．点绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点 绕原点逆时针旋转 得 _______；
复变函数 ， ， _______．
【答案】
【分析】
点 对应的复数 ，其中 ，则 对应的复数
，其中 ，利用两角和差公式求得 的坐标；由
， ，则 ，化简可得 .
【详解】
点 对应的复数 ，其中 ，
则 对应的复数 ，其中 ，
则 ，
，
则 ，故 的坐标为 ；
由 ， ，则 ，
得 .故答案为： ；
【点睛】
本题考查了复数的运算，结合考查了两角和的正弦、余弦公式，还考查了学生阅读理解能力，分析能力，
运算能力，属于中档题.
45．已知复数 ，则 ____________.
【答案】
【分析】
根据复数的运算，化简得 ，得到 ，利用模的计算的公式，即可求解.
【详解】
由题意，复数 ，则 ，
则 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数模的运算，其中解答中熟记复数的运算法则是解
答的关键，着重考查了计算能力.
46．若复数 （i为虚数单位），且 为实数，则实数 ______________.
【答案】
【分析】
根据复数的乘法运算法则，求出 ，由虚部为零，即可求解.
【详解】
,
为实数， .故答案为:4.
【点睛】
本题考查复数的代数运算以及复数的分类，属于基础题.
四、双空题
47．若向量 ， 满足 ，则 的最小值为________，最大值为
________．
【答案】12
【分析】
设 ， 的夹角为 ，根据向量的运算，得到所以 ，结合三角函数的
性质，即可求解．
【详解】
由题意，设 ， ， 的夹角为 ，
则 ，
，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故 的最小值为12，最大值为 ．
故答案为： ，
【点睛】
本题主要考查了平面向量的模、基本不等式的应用，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理、
数学运算能力．48．已知矩形 ， ， ，点 是 的中点，点 是对角线 上的动点，若
，则 的最小值是__________， 最大值是__________．
【答案】
【解析】
根据题意建立以 为原点，直线 为 轴的平面直角坐标系，如图所示
则 ， ， ，
∴直线 的方程为
设
∵ ，
∴
∵
∴ 的最小值是1
∵
∴∴
∴
∴
∴当 时， 取得最大值为
故答案为1，5
点睛：对于平面向量应用性问题，常常要利用向量的坐标运算，当题中出现明显的垂直和长度特征，优先
考虑建立平面直角坐标系，用图形表示或构造出要题中给定的条件，再利用几何意义或转换为坐标运算进
行求解.尤其要与平面几何结合考虑，本题较好的考查考生转化与化归思想、坐标运算的引入为向量提供了
数形转化的基础，将数与形紧密结合起来．
49．已知复数 满足 （ 是虚数单位），则 _____； _____．
【答案】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简 ，进一步求得 ，再由复数模的计算公式求 ．
【详解】
由题意，根据复数的运算，化简得 ，
所以 ．
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及模的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
50．已知复数 满足 ， 为虚数单位，则 的虚部是_____， _____．
【答案】
【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z的虚部，再由复数模的公式求|z|．
【详解】
由 ，得 ，∴ 的虚部是 ， ．
故答案为 ， ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，属于基础题．
51．已知复数 ， ，若 为纯虚数，则
（1）实数 ______________；
（2）复数 的平方根为______________．
【答案】 或
【分析】
（1）由条件利用两个复数代数形式的除法，求得 ，由纯虚数，得a的关系式，
由此求得a的值．（2）由（1）可得复数 ＝3﹣4i，设 的平方根为a+bi，a、b∈R，则3﹣4i＝a2﹣
b2+2abi，利用两个复数相等的充要条件，求出a、b的值，可得 的平方根．
【详解】
∵复数 ＝a﹣4i， ＝8+6i，为纯虚数，
∴8a﹣24＝0，且 32+6a≠0，∴a＝3．
（Ⅱ）由（1）可得复数 ＝a﹣4i＝3﹣4i，设 的平方根为a+bi，a、b∈R，
则3﹣4i＝a2﹣b2+2abi，∴a2﹣b2＝3，2ab＝﹣4．
解得 ，或 ，
∴ 的平方根为2﹣i，或﹣2+i．
【点睛】
本题主要考查两个复数代数形式的除法，求复数的平方根，两个复数相等的充要条件，准确计算是关键，
属于基础题．
52．已知 为虚数单位，如图所示，平行四边形 的顶点 ， ， 分别对应复数 ， ，
，则向量 ， ， 对应的复数分别为________________、________________、
________________．
【答案】
【分析】
利用向量的减法计算向量 ， 对应的复数即可，利用向量的加法计算向量 对应的复数即可.
【详解】
向量 对应的复数为 ；
因为 ，所以向量 对应的复数为 ；因为 ，所以向量 对应的复数为 ．
【点睛】
本题主要考查复数与向量的联系，复数的加减运算，向量的加减运算等知识，意在考查学生的转化能力和
计算求解能力.
53．设复数 ，其中 为虚数单位，则 的虚部是____， ___.
【答案】1
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【详解】
解：∵ ， ，
∴z＝（ ）2018+（ ）2019＝（﹣i）2018+i2019＝i2+i3＝﹣1﹣i，
∴ ，则 的虚部为1．
|z| ．
故答案为1； ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
五、解答题
54．已知 是平面内两个不共线的非零向量， = ，且A，
E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若 ，求 的坐标；（3）已知 ，在（2）的条件下，若 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【答案】（1） ；（2）(－7，－2)；（3）(10，7)．
【分析】
（1） =k ， 得到 .由 不共线，得到 ，求解得到 的值；
（2）利用平面向量的坐标运算计算即可；
（3）设A(x，y)，由 ，利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】
（1） .
因为A，E，C三点共线，
所以存在实数k，使得 =k ，
即 ，得 .
因为 是平面内两个不共线的非零向量，
所以 解得 .
（2） ．
（3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，
所以 .
设A(x，y)，则 ，
因为 ，所以 解得
即点A的坐标为(10，7)．【点睛】
本题考查平面向量的基本定理的应用，平面向量的坐标运算，属基础题.
根据平面向量的基本定理中的唯一性可得若 不共线，由 ，则 .这是在已知三点共
线或向量共线求参数值的常用方法.
55．在 中，底边 上的中线 ，若动点 满足 .
（1）求 的最大值；
（2）若 为等腰三角形，且 ，点 满足（1）的情况下，求 的值.
【答案】（1）8；（2）-5.
【分析】
（1）根据平面向量基本定理可知 三点共线且 在线段 上，设 ，则 ，
，可将 整理为 ，根据二次函数图象可求得最值；（2）以 为坐
标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴建立平面直角坐标系，根据 可求得
坐标，根据数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】
（1） 且
三点共线，又
在线段 上
为 的中点，设 ，则 ， ，
当 时， 取最大值
（2） 为等腰三角形，且 为底边的中线以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴建立平面直角坐标系
由（1）可得 ，又
，
则
【点睛】
本题考查平面向量数量积运算的相关计算，涉及到平面向量基本定理的应用、向量的坐标运算、二次函数
最值的求解问题.
56．已知 =（1，2） =（-3，2），当 为何值时．
（1） 与 垂直；
（2） 与 平行．
【答案】（1）19； （2） .
【分析】
（1）由题意，求得 ，根据因为 与 垂直，列出方程，
即可求解；
（2）根据 与 平行，列出方程，即可求解.
【详解】（1）由题意，向量 ，
则 ，
因为 与 垂直，
所以 ，
即 ，解得 .
（2）若 与 平行，则满足 ，
即 ，解得 .
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，以向量垂直和平行的判定及应用，其中解答中熟练应用向量的坐标运算
公式，根据向量垂直和平行，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
57．在直角坐标系 中，已知点 ， ， ，其中 .
（1）求 的最大值；
（2）是否存在 ，使得 为钝角三角形？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）2；（2）存在，
【分析】
（1）根据向量数量积用坐标表示，结合辅助角公式，以及余弦函数的性质，利用整体法，可得结果.
（2）利用向量的数量积的符号，来判断三角形的角度大小，可得结果.
【详解】
解：（1）由题意： ，
；所以
则
即 ；
因为 ，所以 ；
所以当 ，即 时，
取得最大值 ；
（2）因为 ，
，
；
又 ，所以 ， ，
所以 ， ；
所以若 为钝角三角形，则角 是钝角，
从而 ；
由（1）得 ，
解得 ；所以 ，即 ；
反之，当 时， ，
又 三点不共线，所以 为钝角三角形；
综上，当且仅当 时， 为钝角三角形.
【点睛】
本题考查向量在三角形的应用，还考查了向量数量积的坐标表示以及求最值.
58．已知 ， ， .
（1）求 ；
（2）求满足条件 的实数 ；
（3）若向量 满足 ，且 ，求 .
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】
（1）根据向量加减法和模长的坐标运算法则即可求得结果；（2）利用向量相等关系可构造方程组求得结
果；（3）由平行关系知 ，利用模长可构造出关于 的方程，解方程求得 后，代入即
可求得 .
【详解】
（1）（2）
，解得：
（3） 且 ，
，解得：
当 时，
当 时，
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量加减法、数乘运算、向量相等关系、向量共线的坐标表示等知
识，属于中档题.
59．已知向量 、 是两个共线向量，若 ＝ - ， + ,求证： ∥ .
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
根据向量共线的等价条件进行证明即可．
【详解】
证明：若 = ，则 ＝ ＝0，
所以 , 共线，即 ∥ ；
若 、 中至少有一个不为零向量，不妨设 ≠ ，
则 ＝λ (λ∈R)，且 ＝(1－λ) ，＝(2＋λ) ，所以 ∥ ， ∥ .
因为 ≠ ，所以 ∥ ..
综上可知， ∥ ..
【点睛】
本题主要考查向量共线的证明，比较基础，熟记向量共线的充要条件是关键.
60．在 中， ，且 与 的夹角为 ， .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）选取向量 为基底，根据平面向量基本定理得 ，又 ，然后
根据向量的数量积的运算量可得结果；（2）结合向量的线性运算可得 ，然后与
对照后可得 ．
【详解】
选取向量 为基底．
（1）由已知得 ，
，∴
．
（2）由（1）得 ，
又 ，
∴ ．
【点睛】
求向量数量积的方法
（1）根据数量积的定义求解，解题时需要选择平面的基底，将向量统一用同一基底表示，然后根据数量
积的运算量求解．
（2）建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，将数量积的问题转化为数的运算的问题求解．
61．已知A(-1,0)， B(0,2)，C(-5,-3)， ， ．
(1)求点D的坐标；
(2)用 表示 ．
【答案】（1） 或 ；（2）见解析
【分析】
（1）设D(x,y)，于是得到 ，再根据 ， 得到关于 的方程组求解
即可．（2）由条件得到 ，然后根据平面向量基本定理求解可得结论．
【详解】
(1)设D(x,y)，则 ，由 得 ；
又 ，
由 得x+2y=4；
由 ，解得 或 ．
故点D的坐标为(2,1)或(-2,3).
(2)由题意得 ．
①当D(2,1)时， ，
设 ，即
则 ，解得 ，
所以 ．
②当D(-2，3)时， ，
设 ，即
则 ，解得 ，
所以 ．
综上可得，当D(2,1)时， ；当D(-2,3)时， ．
【点睛】
本题考查向量的模的计算和平面向量基本定理的应用，解题时根据有关结论将向量问题转化为数的运算的
问题处理，考查转化能力的运用和计算能力，属于基础题．
62．设 是不共线的两个向量,已知 ， ， 若A、B、D三点共线,求k的值.
【答案】 =1，k=－1
【分析】
根据A,B,D三点共线得 ,再根据向量共线得 ，利用 是不共线的两个向量得方程，
解得k的值.
【详解】
由A、B、C三点共线，存在实数 ，使得
∵
∴
故
又a,b不共线
∴ =1，k=－1
【点睛】
向量共线：
（1） ，
（2）
（3）若 ，则 三点共线
（4） 三点共线
63．在平面直角坐标系 中，已知点 ．
(1)求以线段 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)若向量 与向量 垂直，求实数 的值.【答案】（1） .（2）
【解析】
试题分析：
（1）由题意可求得 ， ，即为四边形两条对角线的长．（2）根据题意求得
和 ，根据两向量的数量积为零可得 ．
试题解析：
(1) ,
由 ,得 ,
由 ，得 .
故以线段 为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为 .
(2)由题意得 ,
所以 ,
因为向量 与向量 垂直，
所以 ,
所以 ，
解得 .
所以实数 的值为 ．
64．运用向量法证明：平行四边形的一顶点与不过此点的一条边的中点的连线三等分该平行四边形的一条对角线．
【答案】见解析.
【解析】
试题分析：作出平行四边形 ， 为 的中点， 为 与 的交点，要说明 为 的一个
三等分点，只要得到 即可，根据题意设 ，利用向量的加法与减法，即可得到 ，
的值，从而得出结论.
试题解析：如图：
在平行四边形 中， 为 的中点， 为 与 的交点，要说明 为 的一个三等分
点，只要得到 即可．
由于 ， ， 三点共线， ， ， 三点共线，则设 ( ， 为实数)
∴ ．
又∵
∴ ，即∴ ，解得 ，即
∴点 三等分 .
65．平面直角坐标系 中，已知向量 ， ， ，且 ．
（1）若已知 ， ， ，则求出 的范围；
（2）若 ，求四边形 的面积．
【答案】(1) (2)16
【解析】
试题分析：（1）由 可得 ，故 ，
，转化为二次函数的最值求解；（2）由于 ，
，根据条件求出 的值，进而确定出 的坐标，然后根据
求解．
试题解析：
（1）由题意得 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ．
，所以范围是
（2）由题意 ， ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
联立 ，
解得 或
当 时， ， ， ；
当 时， ， ， ．
所以四边形 的面积为16．
点睛：用向量解决平面几何问题的步骤
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
66．在平面直角坐标系xoy中，点 ．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）设实数t满足 ，求t的值．
【答案】（1） 、 ；（2）【详解】
解:(1)由题设知 =(3,5), =(-1,1),
则 + =(2,6), - =(4,4).
所以| + |=2 ,
| - |=4 .
故所求的两条对角线长分别为4 ,2 .
(2)由题设知 =(-2,-1),
-t =(3+2t,5+t).
由( -t )· =0,
得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,
从而5t=-11,所以t=- .
67．在平面直角坐标系 中，点 ， ， .
（1）求以线段 ， 为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）当 为何值时， 与 垂直；
（3）当 为何值时， 与 平行，平行时它们是同向还是反向.
【答案】（1） ， ；（2） ；（3） ，反向.
【分析】
（1）两条对角线的长即 和 ，求出坐标即可求解；（2）两向量垂直，数量积为零，
用坐标表示即可求解；（3）两向量平行，根据共线向量定理得坐标表示即可求解，若倍数为正数，则同
向，若为负数，则为反向.【详解】
（1）由题设知 ，
则 ，
所以 .
故所求的两条对角线的长分别为 ， .
（2）由题设知： .
由 与 垂直，得： .
即 ，
从而 ，所以 .
（3）由题设知： ，
由 ∥ ，得 .解得： .
此时， ，所以它们方向相反.
【点睛】
本题考查向量的模及向量的垂直、共线. 向量的垂直、共线问题都分为有坐标和无坐标两种，向量的垂直
根据的是数量积为零，向量的共线根据的是共线向量定理.
68．已知 ， 与 垂直， 与 的夹角 ，且 ，求实数
m，n的值及 与 的夹角
【答案】 ；【解析】
解：
又
又
当 时，
当 时，同理可求
综上知， 时， 时，
69．已知i是虚数单位，复数z＝m2(1＋i)－m(2＋3i)－4(2＋i)，当m分别取何实数时，z满足如下条件？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数；
(4)零.
【答案】（1）m＝－1或m＝4；（2）m≠－1且m≠4；（3）m＝－2；（4）m＝4.
【分析】
（1）由虚部等于0求得 的值；
（2）由虚部不为0求得 值；
（3）由实部为0且虚部不为0求得 值；
（4）由实部为0且虚部为0求得 值．
【详解】
z＝m2(1＋i)－m(2＋3i)－4(2＋i)化为
（1）由 ，得 ，或 ，当 ，或 时， 是实数；
（2）由 ，得 且 ，
当 且 时， 为虚数；
（3）由 ，且 ，解得 ，
当 时， 为纯虚数；
（4）由 ，解得 ，
当 时， 为零．
70．（1）若复数 是实数（其中 是虚数单位）,则求 的值.
（2）求曲线 ，直线 及y轴所围成的封闭图形的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）先化简复数 再令虚部为0，求解即可．
（2）利用微积分基本定理即可求出．
【详解】
（1）因为 是实数,
所以 ，所以 .
(2)由 解得 ，故面积为 .
【点睛】
（1）本题考查复数的运算和基本概念，考查计算能力；（2）考查微积分基本定理求解区域面积，均属于
基础题．71．已知复数 ， ， .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 是关于 的方程 的一个根，求实数 与 的值.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【分析】
（1）根据题意，结合复数的运算和模的计算公式，得到 ，即可求解实数 的取值范
围；
（2）由 是方程 的一个根，得到 也是此方程的一
个根，结合根据与系数的关系，即可求解.
【详解】
（1）由题意，复数 ， ， .
则
又由
因为 ，所以 ，即
解得 .
所以实数 的取值范围为 .
（2）因为 是方程 的一个根，
则 也是此方程的一个根，
可得 ，解得 或 ，且满足 ，所以 或 .
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，复数模的计算，以及复数方程和复数相等的条件的应用，着重考查推理与运
算能力.
72．已知复数 （其中 是虚数单位， ）.
（1）若复数 是纯虚数，求 的值；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）先对复数进行化简，然后结合 是纯虚数可求 的值；
（2）结合复数的模长公式，表示出 ，利用二次函数的知识求解.
【详解】
（1）
，
若复数 是纯虚数，则 ，所以 .
（2）由（1）得 ， ，
，
因为 是开口向上的抛物线，有最小值 ；所以 .
【点睛】
本题主要考查复数的分类及运算，纯虚数需要满足两个条件，即实部为零，虚部不为零，模长范围问题一
般是先求解模长的表达式，结合表达式的特点求解最值，侧重考查数学运算的核心素养.
73．已知复数z满足 ，求：
（1） 的最大值和最小值；
（2） 的最大值和最小值.
【答案】（1）最大值为3，最小值为1.（2）最大值为 ，最小值为 .
【分析】
(1)由复数的几何意义知 表示圆心为 ，半径为1的圆内区域并包括边界，
则表示圆面上一点到原点的距离， ， ； (2) 设 ，
则 ， 可表示为 ，由(1)可求得 的最大值与最
小值.
【详解】
（1）满足 的复数z的几何意义：圆心为 ，半径为1的圆内区域并包括边界，
则表示圆面上一点到原点的距离.如图所示， 对应的复数的模为 的最大值， 对应的复数的模
为 的最小值.
∵ ，
∴ .即 的最大值为3，最小值为1.
（2）设 ，则 ，
，
由（1）知 的最大值为 ，
最小值为 .
【点睛】
本题考查复数的基本运算与几何意义，涉及模与复平面上两点的距离，圆外点到圆上点的距离的最值，属
于中档题.
74．已知复数 ．当实数 取什么值时，复数 是：
虚数；
纯虚数；
复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．
【答案】（1） （2） （3）
【分析】
（1）复数 可表示为 ，即 时， 为虚数（2）当 ，且 为纯虚数
（3）当 即 时， 为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应
【详解】
由于 ，复数 可表示为
当 ，即 时， 为虚数．
当 ，且 即 时， 为纯虚数．
当 即 时， 为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．
【点睛】
本题考查了复数知识，属于基础题型.
75．已知复数 ，其中 是虚数单位，根据下列条件分别求实数 的值.
（Ⅰ）复数 是纯虚数；
（Ⅱ）复数 在复平面内对应的点在直线 上.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 或 .
【分析】
（Ⅰ）根据纯虚数为实部为0，虚部不为0即可得到方程，于是求得答案；
（Ⅱ）将复数 在复平面内对应的点表示出来，代入直线上，即可得到答案.
【详解】
解：因为 ，复数 可表示为
，
（Ⅰ）因为 为纯虚数，所以解得 ；
（Ⅱ）复数 在复平面内对应的点坐标为
因为复数 在复平面内对应的点在直线 上
所以
即
解得 或 .
【点睛】
本题主要考查纯虚数，复数的几何意义等相关概念，难度较小.
76．已知复数 在复平面上的对应点在第四象限.
（Ⅰ）求实数 的取值集合 ；
（Ⅱ）若集合 ，求 .
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）由于复数 在复平面上的对应点在第四象限，因此 从而得到答案;
（Ⅱ）由 得 ,解得集合 ，从而求得 .
【详解】
（Ⅰ）依题意 ， 解得 ， 即 .
（Ⅱ）由 得 ， 即 ，化简得 解得：，即 ，
所以 故
【点睛】
本题主要考查复数的几何意义，集合的相关运算，意在考查学生对于基础知识概念的掌握，难度不大.
77．已知复数 ， ，其中 .
（1）若复数 为实数，求 的取值范围；
（2）求 的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）由复数 为实数，则 ，即可求解 的取值范围；
（2）根据题意，求得 ，由模的计算公式得 ，即可求解，得
到答案.
【详解】
（1）由复数 为实数，则 ，解得 ，
即复数 为实数，求 的取值范围为 ；
（2）因为 ，
所以 ，
故 的最小值为 ，此时
【点睛】
本题主要考查了复数的分类，以及复数的模的计算，其中解答中熟记复数的分类，以及复数的模的计算公
式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.78．已知复数 （ 是虚数单位）.
（1）若 是纯虚数，求 的值和 ；
（2）设 是 的共轭复数，复数 在复平面上对应的点位于第三象限，求 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】
将复数 化成 形式．
（1）若 是纯虚数，则 ，从而求出 ，进而求模．
（2）复数 在复平面上对应的点位于第三象限，则横坐标小于零，纵坐标小于零，列出不等式求
的取值范围．
【详解】
）（1）由题复数 （ 是虚数单位），
化简
若 是纯虚数，则 ，解得
此时 所以 .
（2）由（1）可知 ，所以
又因为复数 在复平面上对应的点位于第三象限
所以 ，即【点睛】
本题考查复数的基本运算及复数的几何意义，解题的关键是将复数化成 形式，属于基础题．
79． 是虚数单位，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设复数 ，且满足复数 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线
上，求 ．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求a、b的值；
（Ⅱ）利用复数代数形式的乘除运算，再由实部与虚部相等列式求得y，则z可求．
【详解】
（Ⅰ）∵a+bi= ，
∴ ；
（Ⅱ）∵z=-1+yi，∴（a+bi）z=（3-i）（-1+yi）=（-3+y）+（3y+1）i，
由题意，-3+y=3y+1，即y=-2．
∴z=-1-2i．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是基础题．
