文档内容
第 02 讲 平面向量的数量积及其应用
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：平面向量的数量积运算........................................................................................................2
题型二：平面向量的夹角问题............................................................................................................2
题型三：平面向量的模长....................................................................................................................3
题型四：平面向量的投影、投影向量................................................................................................3
题型五：平面向量的垂直问题............................................................................................................3
题型六：建立坐标系解决向量问题....................................................................................................4
题型七：平面向量的实际应用............................................................................................................4
题型八：向量回路恒等式....................................................................................................................5
02 重难创新练......................................................................................................................................6
03 真题实战练......................................................................................................................................8题型一：平面向量的数量积运算
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知平行四边形 中，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西·模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，
，则 .
3．（2024·重庆·三模）已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若 ，则 .
题型二：平面向量的夹角问题
4．（2024·陕西铜川·三模）已知点 为 外接圆的圆心，且 ，则
.
5．（2024·福建宁德·三模）已知 是两个单位向量，若 在 上的投影向量为 ，则 与 的夹
角为 .
6．（2024·福建漳州·三模）已知向量 ，且 在 上的投影向量的坐标为 ，则 与
的夹角为 .
7．（2024·福建莆田·三模）已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 ， 夹角的余弦值
是 .8．已知 均为单位向量，且 ，则 与 的夹角的余弦值为 .
题型三：平面向量的模长
9．已知向量 ，且 ，则 .
10．若向量 满足 ， ， ，则 .
11．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知向量 ， 均为单位向量，且 ， ，则实数
．
12．已知向量 ， ，满足 ，则 ．
题型四：平面向量的投影、投影向量
13．（2024·河北张家口·三模）已知向量 ，若 ，则 在 上的投影向量为
．
14．（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为
（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·宁夏银川·三模）已知 是单位向量，且 与 垂直， 与 的夹角为135°，则 在 上
的投影数量为 .
16．（2024·山东泰安·模拟预测）已知单位向量 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
题型五：平面向量的垂直问题
17．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知向量 ， ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．18．（2024·海南·模拟预测）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
19．（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
题型六：建立坐标系解决向量问题
20．如图，在矩形ABCD中， ，点E为BC的中点，若 ，则 .
21．在 中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上（与B、C不重合），延长射线AD到P，
使得AP＝9，若 （m为常数），则DB的长度为 ．
22．如图在平面四边形 中， ，点 在线段 上满足
，若 ，则 ．
题型七：平面向量的实际应用
23．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平
衡状态时，若两只胳膊的夹角为 ，每只胳膊的拉力大小均为350N，则该学生的体重（单位：kg）约为
（ ）（参考数据：取重力加速度大小为 m/s2， ）
A．55 B．61 C．66 D．71
24．（2024·高三·福建厦门·期末）长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头 出发航行到北岸.假设游船
在静水中的航行速度 的大小为 ，水流的速度 的大小为 .设 和 的夹角为
，北岸的点 在 的正北方向，则游船正好到达 处时， （ ）
A． B． C． D．
25．（2024·江西南昌·二模）如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速
驶往河对岸的码头B.已知AB=1km，水的流速为2 ，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，
则客船在静水中的速度为（ ）
A． B．8
C． D．10
26．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量 (即点P的运动方向与 相同，且每秒移动的距
离为 个单位).设开始时点P的坐标为 ，则5秒后点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
27．点 在平面上以速度 作匀速直线运动，若4秒后点 的坐标为 ，则点 的初始坐标为
（ ）
A． B． C． D．题型八：向量回路恒等式
28．如图，在平面四边形 中， ， ，则 ．
29．如图，在平面四边形 中，若 ， ，则 ．
1．（2024·甘肃兰州·三模）已知向量 ，设 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北武汉·一模）已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．8
3．（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A．5 B． C．6 D．8
4．（2024·江苏泰州·模拟预测）若 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，， ， ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024·陕西安康·模拟预测）若平面向量 满足 ，则向量 夹角的余弦值
为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·江西新余·二模）已知 ， ，若 与 的夹角为 ，则 （ ）
A．-1 B．1 C． D．
9．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 在 的方向上的投影向量为
10．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为
的重心， ， ，则（ ）
A． B．
C． 的面积的最大值为 D． 的最小值为
11．（多选题）（2024·江西鹰潭·三模）已知向量 ， ， ，则（ ）
A．若 ，则
B． 在 方向上的投影向量为
C．存在 ，使得 在 方向上投影向量的模为1
D． 的取值范围为
12．（多选题）（2024·广东广州·二模）在梯形 中，
，则（ ）A． B． C． D．
13．（2024·天津南开·二模）已知在平行四边形 中， ， ，记 ， ，
用 和 表示 ；若 ， ，则 值为 .
14．（2024·湖南长沙·三模）在 ，已知 ， .则 .
15．（2024·广东江门·二模）设向量 ，则 的最小值为 .
16．已知向量 ， ， ，
1．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则
（ ）
A． B．3 C． D．5
2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与
交于B，C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．C． D．
6．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知向量 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．5 D．6
7．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
9．（2022年新高考北京数学高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的
动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦
点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
11．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形 中，点 为线段 的三等分点，
，则 ； 为线段 上的动点， 为 中点，则 的最小
值为 ．
12．（2023年天津高考数学真题）在 中， ， ，记
，用 表示 ；若 ，则 的最大值为 ．
13．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
14．（2022年新高考天津数学高考真题）在 中， ，D是AC中点， ，试用
表示 为 ，若 ，则 的最大值为
15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量 ．若 ，则．
16．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
．
