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第五章 平面向量与复数（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知向量 为单位向量， 且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为向量 均为单位向量，即 ，且 ， ，
则 ，两边平方可得 ，
即 ，所以 ，
又 ，所以 与 的夹角为 ．
故选：C．
2．已知向量 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】由 两边平方得， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D.
3．复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．直线 上 B．直线 上
C．直线 上 D．直线 上【答案】B
【解析】易知 ，
所以 ，
可得复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于直线 上.
故选：B
4．若复数 满足 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 复数 满足 ， .
故选：A
5．设 是关于 的方程 的两根其中 ，若 （ 为虚数单位）.则
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】因为关于 的方程 的一个根为 ，
所以另一个根 ，
所以 .
故选：A.
6．已知非零不共线向量 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ， 则 ，由 两边平方得， ，整理得，
，
因 是非零不共线向量，则 ，即 ，解得， ，此时函数 是增函数，故 ，即 的取值范围为 .
故选：D.
7．已知 ， 都是正实数，若向量 ， ，且满足 ，则 的最小值是
（ ）
A．50 B． C． D．
【答案】A
【解析】因为向量 ， ，且 ，
则 ，所以 ，
化简可得 ，
整理可得 ，因为 ， 都是正实数，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 或 （舍），
所以 ，即 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值是 .
故选：A
8． 是等腰直角三角形，其中 ， 是 所在平面内的一点，若
（ 且 ），则 在 上的投影向量的长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， （ 且 ），
则 （ 且 ），
则 在线段 上，如图所示，当 与 重合时， 在 上的投影向量的长度取得最大值，最大值为 ；
当 与 重合时， 在 上的投影向量的长度取得最小值，最大值为 ；
则 在 上的投影向量的长度的取值范围是 ．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量 ， ， 为非零向量，下列说法正确的有（ ）
A．若 ， ，则
B．已知向量 ， ，则
C．若 ，则 和 在 上的投影向量相等
D．已知 ， ， ，则点A，B，D一定共线
【答案】CD
【解析】对于A，若 ， ，则 与 可能平行，故A错误；
对于B，设 ，则 ，解得 ，所以 ，故B错误；
对于C，若 ，则 ，所以 ，所以 和 在 上的投
影向量相等，故C正确；
对于D，因为 ， ，所以 ,所以点A，B，D一定共线，故D正
确.
故选：CD.
10．已知复数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，设 ，显然 ，
但 ，故A错；对于B，设 ，
则 ，
，
，
所以 ，故B对；
对于CD，根据复数的几何意义可知，复数 在复平面内对应向量 ，
复数 对应向量 ，复数加减法对应向量加减法，
故 和 分别为 和 为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，
所以 ， ，故C对，D对.
故选：BCD.
11．已知点 ， ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， D． 的最大值为
【答案】ACD
【解析】由题意可知， ，
对于A，当 时， ，所以 ,
即 ，故 ，故A正确；
对于B，因为 ，
所以存在实数 ，使得 ，即 ，
解得 ，故 或 ，故B错误；
对于C，因为 ，
所以 ，解得 ，故C正确；
对于D，因为 ，
所以，其中 ，
所以当 时， ，故D正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若 ，则 .
【答案】
【解析】因为在单位正方形 ，点 是 边上一点，又 ，所以 ，
，
所以 .
故答案为：
13．已知复数 ，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】1
【解析】因为复数 ，且 ，
所以 ，所以 ，得 ，
所以 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 或 （舍去）时取等号，所以 的最小值是1.
故答案为：1
14．如图所示，正方形 的边长为 ，正方形 边长为1，则 的值为 .若在
线段 上有一个动点 ，则 的最小值为 .
【答案】 6
【解析】由已知得正方形 与正方形 的中心重合，不妨设为 ，
所以 ， ，
则 ；
，
显然，当 为 的中点时， ，
所以
故答案为：6； ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知平面向量 ， .(1)求 的值；
(2)求 与 夹角的余弦值.
【解析】（1） ，（3分）
故 ； （6分）
（2）设 与 夹角为 ，
，（12分）
故 与 夹角的余弦值为 （13分）
16．（15分）
已知复数 与 ．
(1)求 及 的值；
(2)设 ，满足 的点Z的集合是什么图形？
【解析】（1） ， ；（7分）
（2）由（1）知 ，设 （x、 ）．
因为不等式 的解集是以为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合，
不等式 的解集是以O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合，（12分）
所以满足条件 的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括
圆环的边界，如图所示．
（15分）
17．（15分）
在复数域中，对于正整数 满足 的所有复数 称为单位根，其中满足
对任意小于 的正整数 ，都有 ，则称这种复数为 次的本原单位根，例如当 时，存在四个4次单位根 ，因为 ，因此只有两个4次本原单位根 ．
(1)直接写出复数 的3次单位根，并指出那些是复数 的3次本原单位根（无需证明）．
(2)①若 是复数 的8次本原单位根，证明： ．
②若 是复数 的 次本原单位根，证明： ．
【解析】（1）由题意可得 的解为 ，（3分）
则复数 的3次单位根为 ，
由于因为 ， 的一次方以及2次方均不等于1，
故复数 的3次本原单位根为 . （6分）
（2）证明：①因为 是复数 的8次本原单位根，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，
则 . （11分）
②因为 是复数 的 次本原单位根，所以 ，
设 ，则 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，即 ，
则 ，即 . （15分）
18．（17分）
如图，在平面四边形 中，已知 ， ， ， 为线段 上一点.
(1)求 的值；
(2)若 为线段 的中点，求 的值；
(3)试确定点 的位置，使得 最小.【解析】（1） ， ， ， ，
， ，
， ；（5分）
（2）
（9分）
（3）法一：设 ( )，则 ，
，
当 时，即 时， 最小. （17分）
法二：建立如图平面直角坐标系，则 ， ，
， ，
设 ( )，则 ，
当 时，即 时， 最小．（17分）
19．（17分）
定义向量 的“伴随函数”为 ；函数 的“伴随向量”为 .
(1)写出 的“伴随函数” ，并直接写出 的最大值；
(2)写出函数 的“伴随向量”为 ，并求 ；
(3)已知 ， 的“伴随函数”为 ， 的“伴随函数”为 ，设
，且 的伴随函数为 ，其最大值为 .
①若 ，求 的取值范围；
②求证：向量 的充要条件是 .
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 的最大值为 ；（4分）
（2）因为 ，
所以“伴随向量”为 ，所以 ；（8分）
（3）设 ，
①因为 ，所以 ，
所以
，
所以
，
因为 ，所以 的取值范围是 ；（12分）
②因为 ，
所以
，
所以 ，充分性： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 .
必要性：当 时， ，
所以 ，
综上所述，向量 的充要条件是 . （17分）
