文档内容
人教版初中数学七年级下册
5.1.2 垂线 分层作业
夯实基础篇
一、单选题：
1．如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作 于点D，将水泵
房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，直线最短
C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短
【答案】D
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：过点C作 于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是：垂
线段最短．
故选D．
【点睛】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段性质是解答本题的关键．从直线外一点到这条直线上
各点所连的线段中，垂线段最短．
2．如图， ，直线BD经过点O，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用垂直的含义求解 再利用邻补角的含义求解 即可．
【详解】解：∵ ，
∴
∵直线BD经过点O，∴
故选B．
【点睛】本题考查的是垂直的含义，邻补角的含义，熟练的利用垂直与邻补角的定义求解角的度数是解本
题的关键．
3．以下说法中：①同角的余角相等；②对顶角相等；③平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；④
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这
个点到这条直线的距离．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据余角的性质判断①；根据对顶角的性质判断②；根据垂线的性质判断③④；根据点到这条直
线的距离判断⑤．
【详解】解：同角的余角相等，故①符合题意；
对顶角相等，故②符合题意；
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③不符合题意；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故④符合题意；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑤不符合题意；
正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，余角和补角，垂线，垂线段最短，掌握从直线外一点到这条直线的
垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离是解题的关键．
4．如图，直线 ， 相交于点 ，下列条件： ； ； ，
其中能说明 的有（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或 或
【答案】B【分析】根据垂直定义“当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂
直”进行判定即可．
【详解】解： ，可以得出 ，故符合题意；
， ，故符合题意，
，可以得出 ；
，不能得到 ，故不符合题意；
故能说明 的有 ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为 ．
5．若A、B、C是直线 上的三点， 是直线 外一点，且 ， ， ，则点 到直线 的距离
不可能的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据垂线段最短定理可解．
【详解】解：根据垂线段最短可知，点 到直线 的距离不会超过 ， ， 三者的长度，故 到直线
的距离要小于或等于5，
故不可能是6，
故选：D．
【点睛】本题考查定理垂线段最短，掌握这个定理是解题的关键．
6．如图，在 ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，则图中能表示点到直线距离的垂线段共有（
） △
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】D
【分析】根据点到直线的距离的定义，得结论．
【详解】解：点C到AB的距离是线段CD的长度，
点B到CD的距离是线段BD的长度，
点A到CD的距离是线段AD的长度，点A到CB的距离是线段CA的长度，
点B到AC的距离是线段BC的长度，
综上，图中能表示点到直线距离的垂线段共有5条，
故选：D．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，理解点到直线的距离是解决本题的关键．
7．如图，直线 ， 相交于点E， 于点E，若 ，那么 的度数为
（ ）
A．125° B．135° C．140° D．145°
【答案】D
【分析】先根据垂直的定义求出 的度数，再根据平角等于 列式计算即可得解．
【详解】设 为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
即 ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直角及互补角的性质，理解题意是解题的关键．
二、填空题：
8．已知直线 AB，CB ， l 在同一平面内，若 AB⊥ l ，垂足为 B，CB⊥ l ，垂足也为 B，则符合题意
的图形可以是如图中的图___(填甲或乙)， 你选择的依据是_____（写出你学过的一条公理）.
【答案】 乙 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.【分析】根据题意可得，过点B作l的垂线即可.
【详解】根据题意可得图形
故答案为乙，根据：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【点睛】此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直
角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
9．如图，在三角形 中， ， 于点 ，比较线段 ， ， 长度的大小，用
“ ”连接为__________．
【答案】AD＜AB＜BC．
【分析】根据垂线段的性质即可得到结论．
【详解】解：∵在三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，
∴AD＜AB＜BC，
故答案为：AD＜AB＜BC．
【点睛】本题考查了垂线段，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
10．如图，已知AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）点A到直线BC的距离是线段_______的长；
（2）点D到直线AF的距离是线段_______的长；
（3）线段AF的长表示点A到直线_______距离；
（4）线段CE的长表示点C到直线_______距离；
（5）线段BE的长表示点_______到直线______距离；
（6）线段CF的长表示点_______到直线______距离；【答案】 AE DF CD AE B AE C AF
【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度．
【详解】（1）点A到直线BC的距离是线段AE的长；
（2）点D到直线AF的距离是线段DF的长；
（3）线段AF的长表示点A到直线CD距离；
（4）线段CE的长表示点C到直线AE距离；
（5）线段BE的长表示点B到直线AE距离；
（6）线段CF的长表示点C到直线AF距离；
故答案为：(1). AE (2). DF (3). CD (4). AE (5). B (6). AE (7). C (8). AF
【点睛】此题考查点到直线的距离的定义，两点间的距离的定义，解题关键在于掌握其定义.
11．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOC：∠COE＝2：3，则∠AOD＝______．
【答案】144°
【分析】直接利用垂直的定义得出∠AOE=90°，进而利用∠AOC：∠COE=2：3，得出∠AOC的度数，进
而得出答案．
【详解】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC：∠COE=2：3，
∴设∠AOC=2x，∠COE=3x，
则3x+2x=90°，
解得：x=18°，
故∠AOC=36°，
则∠AOD=180°-36°=144°．故答案为：144°．
【点睛】此题主要考查了垂直的定义以及邻补角，正确得出∠AOC度数是解题关键．
12．如图，点C，O，D在一条直线上， ，OE平分 比 大 ， 的度
数为________．
【答案】 ##72.5度
【分析】根据 比 大 ， 和 互补，即可求出 ，进而由垂直性质
可求出 ，再由角平分线性质即可得出答案．
【详解】解：∵ 比 大 ，
∴设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵OE平分 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂直的性质，角平分线的性质以及角的运算，掌握以上知识是解题的关键．
13．已知如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，则点C到AB的距离是
_____cm．【答案】4.8
【分析】根据点到直线的距离，三角形的面积公式，可得答案．
【详解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB， AC=6cm，BC=8cm ，AB=10cm，
∴S = ×AC×BC= ×AB×CD，即AC×BC= AB×CD，6×8=10×CD，解得：CD=4.8.
Rt ABC
△
故答案为4.8.
【点睛】本题考查点到直线的距离，利用了三角形面积相等法求解．
14．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝20°，则∠BOD的度
数_____度．
【答案】50
【分析】要求∠BOD的度数，因为对顶角相等可求∠AOC的度数．根据OF平分∠AOE，可得到关于
∠AOC的方程，求解即可．
【详解】解：∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠FOE＝ ∠AOE．
∵∠AOF＝∠AOC+∠COF，∠AOE＝∠AOC+∠COE，
∴∠AOC+∠COF＝ （∠AOC+∠COE）．
∵∠COE＝90°，∠COF＝20°，
∴∠AOC+20°＝ （∠AOC+90°）
∴∠AOC+20°＝ ∠AOC+45°∴∠AOC＝50°．
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠BOD＝50°
故答案为50．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、对顶角的性质及一元一次方程的解法．由OF平分∠AOE得到关于
∠AOC的方程，是解决本题的关键．
三、解答题：
15．按下列要求画图并填空：如图，直线AB与CD相交于点O，P是CD上的一点．
(1)过点P画出CD的垂线，交直线AB于点E；
(2)过点P画PF⊥AB，垂足为点F；
(3)点O到直线PE的距离是线段 的长；
(4)点P到直线CD的距离为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)OP
(4)0
【分析】（1）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可；
（2）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可；
（3）根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离解答即可；
（3）根据直线上的点到这条直线的距离等于0解答即可．
（1）
解：如图，直线PE即为所求；（2）
解：如图，直线PF即为所求；
（3）
解：点O到直线PE的距离是线段OP的长．
故答案为：OP；
（4）
解：由图可知，点P到直线CD的距离为0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了垂线的作法，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解
决问题．
16．如图，已知，直线AB、CD相交于点O，过点O作 ， ，若 .求 的
度数.
【答案】148°
【分析】先根据垂直定义得到∠COE=∠AOF=90°，再根据周角是360°求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴∠COE=∠AOF=90°，
∴∠EOF=360°-∠AOC-∠COE-∠AOF
=360°-32°-90°-90°
=148°．
【点睛】本题考查垂直定义、周角，理解垂直定义，熟知周角等于360°是解答的关键．
17．如图所示，直线AB，CD，EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE=70°．求∠GOF和∠DOG的度数．
【答案】 ，
【分析】求出∠BOF，根据角平分线求出∠GOF，求出∠EOD，代入∠DOG=180°-∠GOF-∠EOD求出即
可．
【详解】解：∵∠AOE=70°，
∴∠BOF=∠AOE=70°，
又∵OG平分∠BOF，
∴∠GOF= ∠BOF=35°，
又∵CD⊥EF，
∴∠EOD=90°，
∴∠DOG=180°-∠GOF-∠EOD=180°-35°-90°=55°．
【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直，邻补角的应用，主要考查学生的计算能力．
18．如图，已知直线 、 相交于点 ， ， 是 的角平分线，请说明
的理由．
解： 直线 、 相交于点 （已知）
（______）
（已知）
（______）（______）
是 的角平分线（已知）
（______）
（______）
【答案】平角的定义；垂线的性质；等量代换；角平分线的定义；等量代换
【分析】根据垂线，角平分线的定义进行判定即可得出答案．
【详解】解： 直线 、 相交于点 ，（已知）
，（平角的定义）
，（已知）
，（垂线的性质）
，（等量代换）
是 的角平分线，（已知）
，（角平分线的定义）
，（等量代换）
故答案为：平角的定义，垂线的性质，等量代换，角平分线的定义，等量代换．
【点睛】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，熟练掌握垂线，角平分线的定义进行求解是解决本题的
关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，P为直线l外一点，A，B，C在l上，且PB⊥l，下列说法中，正确的个数是（ ）
①PA，PB，PC三条线段中，PB最短；②线段PB叫做点P到直线l的距离；③线段AB的长是点A到PB
的距离；④线段AC的长是点A到PC的距离．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；从直线外一点到这条直线上
各点所连的线段中，垂线段最短．逐一判断．
【详解】解：①线段BP是点P到直线l的垂线段，根据垂线段最短可知，PA，PB，PC三条线段中，PB
最短；故原说法正确；②线段BP是点P到直线l的垂线段，故线段BP的长度叫做点P到直线l的距离，故原说法错误；
③线段AB是点A到直线PB的垂线段，故线段AB的长度叫做点P到直线l的距离，故故原说法正确；
④由题意及图形无法判断线段AC的长是点A到PC的距离，故原说法错误；
综上所述，正确的说法有①③；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念．垂线的两条性质：①从直线外一点
到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂
线段最短．
2．如图，直线 ， 相交于点 ， ． 平分 ， ．则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 先求出∠BOE的度数，再结合对顶角的性质得到∠BOD的度数，继而求得∠DOE
的度数，结合角平分线的定义及角的和差即可求得答案．
【详解】解：∵
∴∠BOE=90°，
∵∠BOD=∠AOC=46°，
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=90°-46°=44°，
∵ 平分 ，
∴∠EOF= ∠DOE=22°，
∴∠FOB=∠BOE-∠EOF=90°-22°=68°，
故选：A．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的角的计算，对顶角性质，垂直的定义，结合图形，掌握角的和差运
算是解题的关键．3．如果∠A的两边分别垂直于∠B的两边，那么∠A和∠B的数量关系是（ ）
A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补
【答案】D
【分析】由题意直接根据∠A的两边分别垂直于∠B的两边画出符合条件的图形进行判断即可.
【详解】解：BD⊥AD，CE⊥AB，如图：
∵∠A＝90°﹣∠ABD＝∠DBC，
∴∠A与∠DBC两边分别垂直，它们相等，
而∠DBE＝180°﹣∠DBC＝180°﹣∠A，
∴∠A与∠DBE两边分别垂直，它们互补，
故选：D．
【点睛】本题考查垂线及角的关系，解题关键是根据已知画出符合条件的图形．
二、填空题：
4．如图，已知OA⊥OB，∠AOD=∠BOC由此判定OC⊥OD，下面是推理过程，请填空．
解：∵OA⊥OB(已知)
所以_____=90°( )
因为_____=∠AOD-∠AOC，____=∠BOC-∠AOC，∠AOD=∠BOC，
所以______=_____(等量代换)
所以______=90°
所以OC⊥OD．
【答案】 ∠AOB； 垂直的定义； ∠COD； ∠AOB；∠COD； ∠AOB； ∠COD
【分析】根据垂线的定义，可得∠AOB，根据等式的性质，可得∠COD，根据垂线的定义，可得答案．
【详解】∵OA⊥OB(已知)，
所以∠AOB=90°（垂直的定义），
因为∠COD=∠AOD-∠AOC，∠AOB=∠BOC-∠AOC，∠AOD=∠BOC，
所以∠COD=∠AOB(等量代换)，
所以∠COD=90°，
所以OC⊥OD．
故答案为：∠AOB；垂直的定义；∠COD；∠AOB；∠COD；∠AOB；∠COD．
【点睛】本题考查了垂线，利用等式的性质得出∠COD是解题的关键．
5．如图，已知点O是直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=110°．现将射线OA绕点O以每秒
10°的速度顺时针旋转一周．设运动时间为t秒．当射线OA、射线OB、射线OC中有两条互相垂直时，此
时t的值为__________．
【答案】2、9、20或27
【分析】分4种情况确定垂直关系，可得OA的旋转角度，从而可求出t的值．
【详解】解：①当射线OA绕点O顺时针旋转20°时，如图1，
则∠COA=110°-20°=90°，故OA⊥OC，
此时，t=20°÷10°=2；
②当射线OA绕点O顺时针旋转90°时，如图2，则∠AOB=180°-90°=90°，故OA⊥OB，
此时，t=90°÷10°=9；
③当射线OA绕点O顺时针旋转200°时，如图3，
则∠COA=200°-110°=90°，故OA⊥OC，
此时，t=200°÷10°=20；
④当射线OA绕点O顺时针旋转270°时，如图4，
则∠BOA=270°-180°=90°，故OA⊥OB，
此时，t=270°÷10°=27，
故答案为：2，9，20或27．
【点睛】本题主要考查了角的有关计算，注意在分类讨论时要做到不重不漏．
6．如图，已知OA⊥OB，点O为垂足，OC是∠AOB内任意一条射线，OB，OD分别平分∠COD，
∠BOE，下列结论：①∠COD=∠BOE；②∠COE=3∠BOD；③∠BOE=∠AOC；④∠AOC与∠BOD互余，
其中正确的有______（只填写正确结论的序号）．【答案】①②④
【分析】由角平分线将角分成相等的两部分．结合选项得出正确结论．
【详解】解：①∵OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，
∴∠COB=∠BOD=∠DOE，
设∠COB=x，
∴∠COD=2x，∠BOE=2x，
∴∠COD=∠BOE，
故①正确；
②∵∠COE=3x，∠BOD=x，
∴∠COE=3∠BOD，
故②正确；
③∵∠BOE=2x，∠AOC=90°-x，
∴∠BOE与∠AOC不一定相等，
故③不正确；
④∵OA⊥OB，
∴∠AOB=∠AOC+∠COB=90°，
∵∠BOC=∠BOD，
∴∠AOC与∠BOD互余，
故④正确，
∴本题正确的有：①②④；
故答案为①②④．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，互余的定义，垂直的定义，掌握图形间角的和、差、倍、分关系是
解题的关键．
三、解答题：
7．已知：如图， 、 、 相交于点 ， 是它补角的一半， ，且有
，求 的度数．【答案】50°
【分析】设∠DOB=x，其补角为180°-x，根据 是它补角的一半，列方程解出x，然后根据
∠AOE=2∠DOF，且有OG⊥OA，表示出∠EOG即可求解．
【详解】解：设∠BOD=x，则其补角为180°-x，那么
(180°-x)=x，
解得：x=60°，
根据∠AOE=2∠DOF，
∵∠AOE=∠BOF（对顶角相等），
∴3∠DOF=∠DOB=60°，
故∠DOF=20°，∠BOF=40°，
∵OG⊥OA，
∴∠EOG=90°-∠BOF=90°-40°=50°．
故∠EOG的度数是50°．
【点睛】本题考查了角的计算及余角和补角，解题的关键是正确利用已知条件找出等量关系．
8．如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．
(1)求∠AOD的度数；
(2)作射线OE，使∠BOE＝ ∠COE，求∠COE的度数；
(3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出
∠AOH的度数．
【答案】(1)70°(2)24°或120°
(3)175°或170°或140°
【分析】（1）根据平角定义和角平分线定义即可得结果；
（2）根据题意分两种情况画图：①如图1，当射线OE在AB上方时，②如图2，当射线OE在AB下方时，
∠BOE＝ ∠COE，利用角的和差进行计算即可；
（3）根据题意分四种情况画图：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，作∠FOH＝90°，使
射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，③如
图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，利用
角的和差进行计算即可．
（1）
解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝ ∠AOC＝70°；
（2）
解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE＝ ∠COE，
∵∠BOE＋∠COE＝∠BOC，
∴ ∠COE＋∠COE＝40°，
∴∠COE＝24°；
②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝ ∠COE，∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC，
∴∠COE﹣ ∠COE＝40°，
∴∠COE＝120°；
综上所述：∠COE的度数为24°或120°；
（3）
解：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，
作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，
设∠BOH＝x°，则∠DOF＝3x°，∠FOC＝∠COD﹣∠DOF＝70°﹣3x°，
∵∠AOH＝∠AOD＋∠DOF＋∠FOH＝70°＋3x°＋90°＝160°＋3x°，
∠EOH＝∠BOC﹣∠COE﹣∠BOH＝40°﹣24°﹣x°＝16°﹣x°，
∴∠FOH＝∠FOC＋∠COE＋∠EOH＝70°﹣3x°＋24°＋16°﹣x°＝90°，
∴x°＝5°，
∴∠AOH＝160°＋3x°＝175°；
②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝80°，
∵∠COB＝40°，
∵80°＞40°，
∴x°＝80°不符合题意舍去；
③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，
∵∠AOF＝∠DOF＋∠AOD＝3x°＋70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°＋70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝10°，
∴∠AOH＝180°﹣∠BOH＝180°﹣x°＝170°；
④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH＋∠BOH＝90°＋x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°＋x°＝180°，
解得x°＝40°，
∴∠AOH＝∠AOF＋∠FOH＝50°＋90°＝140°，
综上所述：∠AOH的度数为175°或170°或140°．
【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论．
