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第五章 平面向量与复数（测试）
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知 ， ，若 与 模相等，则 =（ ）.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
故 ，而又已知 ，且 ，
所以 ，解得 .
故选：C
2．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知向量 ，若 与 共线，则
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】 ， ；
故选：D.
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在 中， ， ，设 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ， 可知 分别为 的中点，所以
,
故选：B4．（2023·陕西商洛·统考三模）已知两个单位向量 ， 的夹角为150°，则 （ ）
A．7 B．3 C． D．1
【答案】D
【解析】 ，
所以 ．
故选:D.
5．（2023·全国·校联考三模）将向量 绕坐标原点O顺时针旋转 得到 ，则
（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】根据题意可知 ．
故选：D
6．（2023·全国·校联考三模）已知向量 ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【解析】由题知，向量 ，所以 .
又 ，所以向量 在向量 方向上的投影为 .
故选:B.
7．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知平面向量 ， 满足 ，
，点D满足 ，E为 的外心，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意， ，∵ ，解得： ，
∴两向量夹角 ，
∵ ，
以 为坐标原点, ,垂直于 所在直线为 , 轴建立平面直角坐标系, 如图所示,
则 , 设 , 由 , 知 ,
解得 ,
∴
又E为 的外心，
∴ ，
∴ 为等边三角形,
∴ ，
∴ ,
∴ .
故选：B.
8．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P
满足 ，则点P的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【解析】因为 为 方向上的单位向量， 为 方向上的单位向量，
则 的方向与 的角平分线一致，由 ，可得 ，
即 ，
所以点P的轨迹为 的角平分线所在直线，
故点P的轨迹一定经过 的内心.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 与 共线且模长相等，则
C．若 且 与 方向相同，则 D． 恒成立
【答案】ABC
【解析】对于A选项，取 ，因为 ， ，则 、 不一定共线，A错；
对于B选项，若 与 共线且模长相等，则 或 ，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项， 恒成立，D对.
故选：ABC.
10．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知向量 ， 满足 且 ，则下
列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ，所以 ，故C错误，D正确；
因为 ，所以 ，A正确；
因为 ，所以 ，B错误；
故选：AD.
11．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知向量 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若向量 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
【答案】AC
【解析】对于A，因为 ， ，所以 ，所以 ，A正确；
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，又 ， ，
所以 ，所以 ，B错误；
对于C，由 可得， ，
所以 ，所以 ，由 ， ，
可得 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ，C正确；
对于D，由向量 与 的夹角为锐角，可得 ，且向量 与 不共线，
所以 ，且 ，所以实数 的取值范围是 ，D错误；
故选：AC.
12．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形 中， 为 中点，
分别为线段 的两个三等分点，点 为线段 上任意一点，若 ，则 的值
可能是（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】AB
【解析】如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设 ，则 ，
则
设 ，则
∵ ，
∴ ，
∴ 整理得 ，
因为 ，所以
故选：AB.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知向量 ， ， ，若
，则 ______．
【答案】9
【解析】因为 ， ，
所以 ，解得 ，
则 ， ．
故答案为：9.
14．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在 中， ，点 是 的中点.若存在实数
使得 ，则 __________（请用数字作答）.
【答案】
【解析】因为 是 的中点，所以因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 .
故答案为： .
15．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）在 中， ， ， 的平分线交
BC于点D，若 ，则 ______．
【答案】 /
【解析】在 中， ， ，则 ，又 平分 ，即有
，
因此 ，即有 ， ，整理得 ，
而 ，且 不共线，于是 ，
所以 .
故答案为：
16．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知点 是以 为直径的圆上任意一点，且 ，则 的
取值范围是______________．
【答案】
【解析】依题意，以 为 轴， 的中垂线为 轴建立直角坐标系，如图，则 ，
因为点 是以 为直径的圆上任意一点，故可设 ，
则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，
故 ，即 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·河南许昌·高三校考期末）已知向量 ， ．
(1)求 ；
(2)已知 ，且 ，求向量 与向量 的夹角．
【解析】（1）由题知， ，
所以 ，
所以 .
（2）由题知， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
向量 与向量 的夹角为 .
18．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ．
(1)若点A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系；
(2)若x=1且 为钝角，求实数y的取值范围．
【解析】（1）因为A，B，C三点共线，即 ，， ，所以 ，
即 ；
（2）因为 为钝角，所以 且 ， 不共线，
由（1）得：当 ，且 时， ，
因为 ， 不共线，所以 ，
， ，
，
解得： ，
所以 且 .
19．（12分）
（2023·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知向量： .
(1)求 与 的模长.
(2)求 与 的数量积.
(3)求 与 的夹角的余弦值.
(4)借助向量和单位圆求证：
【解析】（1）向量 ，则 .
（2）向量 ，则 .
（3）由（1）（2）知， 与 的夹角的余弦值 .
（4）令角 的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆分别交于点 ，
则 ，即 ，存在 ，使得 或
于是 ，
所以 .
20．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ．
(1)求C的大小；
(2)若点D满足 ， ， ，求c．
【解析】（1）由正弦定理得 ，
所以 ，
展开得 ，
即 ．
因为 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
（2）因为 ，所以A为CD的中点，又 ，所以 ．
由题可知， ，所以 ，则 ，
解得 ， ，所以 ，即 ．
21．（12分）
（2023·四川广元·高一广元中学校考期中）已知H是 内的一点， ．
(1)若H是 的外心，求∠BAC；
(2)若H是 的垂心，求∠BAC的余弦值．
【解析】（1）设 为 的中点， 为 中点，
是 的外心，所以 ，
点H在边 和 的垂直平分线上， ，
，，
即 ①，同理，
可得 ②，
联立①②得 ，而 ，则 ，
， .
（2） 是 的垂心， ，即 ，
，
化简得 ，①
同理
，
化简得 ，②，
联立①②得 ，则 ， ，
则 .22．（12分）
（2023·山东聊城·高一统考期中）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中
线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于 ．已知 ，且 ．
(1)求 边的长度；
(2)若 ，求 的余弦值；
(3)在（2）的条件下，若 ，求 的取值范围．
【解析】（1）由已知 ，
由正弦定理角化边可得， .
由余弦定理角化边可得， ，
整理可得， ，即 .
因为 ，所以 ．
（2）因为 为中点，所以 .
设 ， 的夹角为 ，
则 .
又 ，
所以 ，整理可得 ，
解得 或 .
又 ，所以 ， ，
所以 ，所以 的余弦值为 ．
（3）由（2）可得， .
由已知可设 ， ， ，
所以 ， ， ， .
因为 ，所以 .
由 可得， ，即 .
由G，E，F三点共线，得 ，即 .
所以
.
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，
所以 ，所以 的取值范围为 ．
