文档内容
第 02 讲 平面向量的数量积及其应用
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：平面向量的数量积运算........................................................................................................2
题型二：平面向量的夹角问题............................................................................................................3
题型三：平面向量的模长....................................................................................................................5
题型四：平面向量的投影、投影向量................................................................................................6
题型五：平面向量的垂直问题............................................................................................................7
题型六：建立坐标系解决向量问题....................................................................................................8
题型七：平面向量的实际应用..........................................................................................................11
题型八：向量回路恒等式..................................................................................................................14
02 重难创新练....................................................................................................................................15
03 真题实战练....................................................................................................................................24题型一：平面向量的数量积运算
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知平行四边形 中，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】平行四边形 中，由 ，得 ，
由 ，得 ，
因此 ，
整理得 ，即 ，所以 .
故选：B
2．（2024·陕西·模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，
，则 .
【答案】【解析】
故答案为：
3．（2024·重庆·三模）已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若 ，则 .
【答案】
【解析】因为在单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，又 ，
所以 ， ，
所以 ，
故答案为：
题型二：平面向量的夹角问题
4．（2024·陕西铜川·三模）已知点 为 外接圆的圆心，且 ，则
.
【答案】 /
【解析】由 ，得 ，由 为 外接圆的圆心，得 ，如图，
结合向量加法的几何意义知，四边形 为菱形，且 ，故 .故 .
故答案为：
5．（2024·福建宁德·三模）已知 是两个单位向量，若 在 上的投影向量为 ，则 与 的夹
角为 .
【答案】【解析】由题意可得 ，即 ，
，
则 ，
故 与 的夹角为 .
故答案为： .
6．（2024·福建漳州·三模）已知向量 ，且 在 上的投影向量的坐标为 ，则 与
的夹角为 .
【答案】 /
【解析】设 与 的夹角为 ，且 ， ，
则 在 上的投影向量为 ，
即 ，所以 ，所以 ，
故答案为： .
7．（2024·福建莆田·三模）已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 ， 夹角的余弦值
是 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
则 .
故答案为：8．已知 均为单位向量，且 ，则 与 的夹角的余弦值为 .
【答案】 /
【解析】
,
则 与 的夹角的余弦值为 .
故答案为： .
题型三：平面向量的模长
9．已知向量 ，且 ，则 .
【答案】
【解析】 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
10．若向量 满足 ， ， ，则 .
【答案】
【解析】由 ，有 ，即 ，得 .
又 ，得 .
故答案为： .
11．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知向量 ， 均为单位向量，且 ， ，则实数
．
【答案】【解析】由题意知 ， ，故 ，且 ，
即 ，故 ，
故答案为：
12．已知向量 ， ，满足 ，则 ．
【答案】 / 或 / 或
【解析】因为 ， ，
所以 ，
，
得 ．
故答案为：
题型四：平面向量的投影、投影向量
13．（2024·河北张家口·三模）已知向量 ，若 ，则 在 上的投影向量为
．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 在 上的投影向量为 .
故答案为：
14．（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意 可得 ，所以 ，则
所以 ，
则 在 方向上的投影向量为 .
故选：B
15．（2024·宁夏银川·三模）已知 是单位向量，且 与 垂直， 与 的夹角为135°，则 在 上
的投影数量为 .
【答案】
【解析】因为 与 垂直，
所以 ，即 ，
解得 ，
又因为 与 的夹角为135°，
所以 ，解得 ，
所以 在 上的投影数量为 ，
故答案为：
16．（2024·山东泰安·模拟预测）已知单位向量 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 是单位向量，所以 ，由 得 ，则 ，得
，
设 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影向量为 .
故选：A题型五：平面向量的垂直问题
17．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知向量 ， ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知， ，
则 ，又 ，
所以
故选：B
18．（2024·海南·模拟预测）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】 , ,
由 得： ，
则 ，所以 ，
故选：B.
19．（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，则 ，即 ，
因此 ，所以 .
故选：B
题型六：建立坐标系解决向量问题
20．如图，在矩形ABCD中， ，点E为BC的中点，若 ，则 .【答案】14
【解析】以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系
则A（0，0），B（3，0），C（3，4），D（0，4），
因为点E为BC的中点，且 ，
所以E（3，2），F（2，4），
故 ，
所以
故答案为： .
21．在 中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上（与B、C不重合），延长射线AD到P，
使得AP＝9，若 （m为常数），则DB的长度为 ．
【答案】 /1.4
【解析】如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则B（4，0），C（0，3），
由若 ，得 ，
整理得： ．
由AP＝9，得 ，解得 或 ．
当 时，可得 ，所以点 的坐标为 ，所以直线PA的方程为 ，直线BC的方程为 ，
联立两直线方程可得点D的坐标为 ，，
所以 ，
当 时，此时 ，所以 三点共线，点 在直线 上，所以 三点共线，又
三点共线，所以可知D与C重合（舍去），
BD的长度是 ．
∴
故答案为： ．
22．如图在平面四边形 中， ，点 在线段 上满足
，若 ，则 ．
【答案】 /
【解析】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设 ，
则有 ，
，过D作 轴于F， ，
，所以 ，
， ， ，
因为 ，
所以，所以， ，解得： ，
则 的值为 .
故答案为： .
题型七：平面向量的实际应用
23．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平
衡状态时，若两只胳膊的夹角为 ，每只胳膊的拉力大小均为350N，则该学生的体重（单位：kg）约为
（ ）
（参考数据：取重力加速度大小为 m/s2， ）
A．55 B．61 C．66 D．71
【答案】B
【解析】如图， ， ，
作平行四边形 ，则 是菱形， ，
，
所以 ，
因此该学生体重为 （kg）.故选：B．
24．（2024·高三·福建厦门·期末）长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头 出发航行到北岸.假设游船
在静水中的航行速度 的大小为 ，水流的速度 的大小为 .设 和 的夹角为
，北岸的点 在 的正北方向，则游船正好到达 处时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设船的实际速度为 ， 与南岸上游的夹角为 ，如图所示，
要使得游船正好到达 处，则 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
故选：D.
25．（2024·江西南昌·二模）如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速
驶往河对岸的码头B.已知AB=1km，水的流速为2 ，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，
则客船在静水中的速度为（ ）A． B．8
C． D．10
【答案】A
【解析】设客船在静水中的速度大小为 ，水流速度为 ，则 ，
则船实际航行的速度 ， ，由题意得 .
把船在静水中的速度正交分解为 ，即 ，
km/h，而 与 同向，即 ，
∵
∴
.
∴故选：A.
26．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量 (即点P的运动方向与 相同，且每秒移动的距
离为 个单位).设开始时点P的坐标为 ，则5秒后点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】设 ，5秒后P点的坐标为 ，则 ，
由题意有 .
即
所以 解得
故选: C
27．点 在平面上以速度 作匀速直线运动，若4秒后点 的坐标为 ，则点 的初始坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，列出方程组 ，即可求解.设点 的初始坐标为 ，
因为点 在平面上以速度 作匀速直线运动，若4秒后点 的坐标为 ，
可得 ，解得 ，即点 的初始坐标为 .
故选：B.
题型八：向量回路恒等式
28．如图，在平面四边形 中， ， ，则 ．
【答案】
【解析】由题意得， ，
，
因为 ， ，
从而 .故答案为： .
29．如图，在平面四边形 中，若 ， ，则 ．
【答案】
【解析】由题意可得：
，
故 ，则 ，即 .
故答案为： .
1．（2024·甘肃兰州·三模）已知向量 ，设 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 为 与 的夹角，所以 .
故选：D
2．（2024·湖北武汉·一模）已知向量 ， ，且 ，则 （ ）A． B． C． D．8
【答案】A
【解析】因为 所以 ,所以 ,
因为 ，所以 .
故选：A.
3．（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A．5 B． C．6 D．8
【答案】B
【解析】由 ， ， ，得 ，则 ，
因此 ，
所以 ．
故选：B
4．（2024·江苏泰州·模拟预测）若 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
设 与 的夹角为 ，
所以 ，又 ，所以 .
故选：A
5．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，
， ， ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，整理得 ，即 ，
所以 ，
所以
故选：B.
6．（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 ， ，
当 时，
，即
解得
所以“ ”是 的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2024·陕西安康·模拟预测）若平面向量 满足 ，则向量 夹角的余弦值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设向量 夹角为 ，
两边平方得则 ，
又 ，
即 ，解得 .
故选：A.
8．（2024·江西新余·二模）已知 ， ，若 与 的夹角为 ，则 （ ）
A．-1 B．1 C． D．【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 ，
，
，
因为 ，
又 ，
所以 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，
所以 .
故选： .
9．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 在 的方向上的投影向量为
【答案】AB
【解析】 ， ，故A正确；
，所以 ，故B正确；
，所以 ，
又因为 ，所以 ，故C错误；
在 上的投影向量为 ，故D错误；
故选：AB．
10．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为的重心， ， ，则（ ）
A． B．
C． 的面积的最大值为 D． 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
延长 交 于点 .
因为 是 的重心，
所以点 是 中点， ，
则 .
对于选项A：因为 ，故选项A正确；
对于选项B：由 得： ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
又因为 ，即 ， ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时等号成立，故选项B正确；
对于选项C：因为 ，当且仅当 时等号成立，
，
所以 ，故选项C正确；
对于选项D：由 ， ，得 ，
所以由余弦定理 可得：
，即 ，当且仅当 时
等号成立，
所以 的最小值是 ，故选项D错误.
故选：ABC.
11．（多选题）（2024·江西鹰潭·三模）已知向量 ， ， ，则（ ）
A．若 ，则
B． 在 方向上的投影向量为
C．存在 ，使得 在 方向上投影向量的模为1
D． 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A，若 ，则 ，
则 ，即 ，所以 ，故 A正确；
对于B， 在 方向上的投影向量为 ，故B错误；
对于C， 在 方向上的投影向量的模为 ，
若 ，则 ，
即 ，其中 ， ，
所以 ，
所以存在 ，使得 在 方向上的投影向量的模为1，故C正确.
对于D， ,
因为 所以 ，所以 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
12．（多选题）（2024·广东广州·二模）在梯形 中，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】在 中， ，
则 ，
由正弦定理知 ，
即 ，故A正确；
，
，
，故B正确；
，故C错误；，
故 ，即 ，故D正确．
故选：ABD
13．（2024·天津南开·二模）已知在平行四边形 中， ， ，记 ， ，
用 和 表示 ；若 ， ，则 值为 .
【答案】 /
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ；
因为 ，所以 ，
所以 ，
故 ，即 ，
又
，
故 ，即 ，
因为 ， ，
所以 .
故答案为： ； .
14．（2024·湖南长沙·三模）在 ，已知 ， .则 .
【答案】【解析】设 ， ， ，
由 得 ，所以 .
又 ，因此 ， .
由 ，得 ；
于是 ，
所以 ，
∴ ，即 .
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 或 ，∴ 或 .
又∵ ，∴ ， ， ，则 .
故答案为：
15．（2024·广东江门·二模）设向量 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】 ，令 ，则 ，
所以 ，
当 ，即 时， 取得最小值，且最小值为 ．
故答案为：
16．已知向量 ， ， ，
【答案】【解析】因为向量 ， ， ，
所以 ，
因此， ．
故答案为： ．
1．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则
（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【解析】方法一：以 为基底向量，可知 ，
则 ，
所以 ；
方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，可得 ，
所以 ；
方法三：由题意可得： ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .
故选：B.2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 .
故选：B.
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ,所以 ,
即 ,即 ,所以 .
如图,设 ,由题知, 是等腰直角三角形,
AB边上的高 ,
所以 ,
,
.
故选:D.
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与
交于B，C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示， ，则由题意可知: ，
由勾股定理可得当点 位于直线 异侧时或PB为直径时，设 ，
则：
，则
当 时， 有最大值 .
当点 位于直线 同侧时，设 ，
则：
，，则
当 时， 有最大值 .
综上可得， 的最大值为 .
故选：A.
5．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，
即 ，整理得： ．
故选：D．
6．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知向量 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】 , ,即 ,解得 ,
故选：C
7．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因为 ，所以 .
故选：D
8．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】∵ ，又∵
9 ，
∴∴
故选：C.
9．（2022年新高考北京数学高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的
动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
10．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为
，
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则
，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.11．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形 中，点 为线段 的三等分点，
，则 ； 为线段 上的动点， 为 中点，则 的最小
值为 ．
【答案】
【解析】解法一：因为 ，即 ，则 ，
可得 ，所以 ；
由题意可知： ，
因为 为线段 上的动点，设 ，
则 ，
又因为 为 中点，则 ，
可得
，
又因为 ，可知：当 时， 取到最小值 ；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ，
可得 ，
因为 ，则 ，所以 ；
因为点 在线段 上，设 ，
且 为 中点，则 ，
可得 ，
则 ，
且 ，所以当 时， 取到最小值为 ；
故答案为： ； .
12．（2023年天津高考数学真题）在 中， ， ，记
，用 表示 ；若 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】空1：因为 为 的中点，则 ，可得 ，
两式相加，可得到 ，即 ，则 ；
空2：因为 ，则 ，可得 ，
得到 ，
即 ，即 .
于是 .
记 ，
则 ，
在 中，根据余弦定理： ，
于是 ，
由 和基本不等式， ，
故 ，当且仅当 取得等号，
则 时， 有最大值 .
故答案为： ； .
13．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
【答案】
【解析】法一：因为 ，即 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，即 ，
则 ，所以 .法二：设 ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
整理得： ，即 .
故答案为： .
14．（2022年新高考天津数学高考真题）在 中， ，D是AC中点， ，试用
表示 为 ，若 ，则 的最大值为
【答案】
【解析】方法一：
， ，
，当且仅当 时取等号，而
，所以 ．
故答案为： ； ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
， ，，所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径
的圆，当且仅当 与 相切时， 最大，此时 ．
故答案为： ； ．
15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量 ．若 ，则
．
【答案】 /
【解析】由题意知： ，解得 .
故答案为： .
16．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
．
【答案】
【解析】设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
