文档内容
第4讲 复 数
复习要点 1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两
个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
一 复数的有关概念
1．复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若 b ＝ 0 ，则a
＋bi为实数；若 b ≠0 ，则a＋bi为虚数；若 a ＝ 0 且 b ≠0 ，则a＋bi为纯虚数．
2．复数相等
a＋bi＝c＋di a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，c，d∈R)．
3．共轭复数
⇔
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
4．复数的模
复数z＝a＋bi在复平面中的对应向量为向量OZ，向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模
或绝对值，记作 | z |或 | a ＋ b i |，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
二 复数的几何意义
1．复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
2．复数z＝a＋bi 平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)．
三 复数的运算
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
(1)加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d )i ；
1 2
(2)减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ( a － c ) ＋ ( b － d )i ；
1 2
(3)乘法：z·z＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i ；
1 2
(4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
常/用/结/论
1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. 若 ω ＝－＋ i，则有ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0,1＋＋ω＝0，
ωn也有周期性. ω3k＝1，ω3k＋1＝ω，ω3k＋2＝.(k∈N)
ω2＝.
2． i 4 n ＝ 1 ， i 4 n ＋ 1 ＝ i ， i 4 n ＋ 2 ＝－ 1 ， i 4 n ＋ 3 ＝－ i (n∈N)，i4n＋
in具有周期性．
i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
3．z·＝|z|2＝||2， | z · z | ＝ | z |· | z | ，＝， | z n | ＝ | z | n .
1 2 1 2
复数模的性质. 再如：|z|－|z|≤|z±z|≤|z|＋|z|.
1 2 1 2 1 2
1．判断下列结论是否正确．(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．()
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i等．
()
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．()
(4)复数z＝－1＋2i的共轭复数的对应点在第四象限．()
2．(2023·全国甲卷，文)＝( )
A．－1 B．1
C．1－i D．1＋i
解析：＝＝1－i，故选C.
答案：C
3．(多选)(2024·湖南永州模拟)设复数z＝－－i的共轭复数为，则下列结论正确的有(
)
A.＝cos＋isin
B.＝
C.＝1
D．z3＋3＝2
解析：由题意可知＝－＋i＝cos＋isin，所以A正确；因为＝＝＝1，所以B错误；因
为＝＝＝1，所以C正确；因为z3＋3＝(z＋)(z2－z＋2)＝(z＋)[(z＋)2－3z]＝(－1)×[(－1)2－
3×1]＝2，所以D正确．故选ACD.
答案：ACD
4．(2023·天津卷)已知i是虚数单位，化简的结果为________．
解析：由题意可得＝＝＝4＋i.
答案：4＋i
题型 有关复数相关概念的理解
典例1已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时：
(1)z∈R；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点位于复平面的第二象限．
解：(1)当 z 为实数时，则有 m 2 ＋ 2 m － 3 ＝ 0 且 m － 1≠0 ，
只强调虚部为零，显然也有陷阱！
解得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.
(2) 当 z 为纯虚数时 ，则有
严格概念，写出条件方程．
解得m＝0或m＝2.
(3)当z对应的点位于复平面的第二象限时，
则有解得 m<－3或1
