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第4讲 复 数
复习要点 1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两
个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
一 复数的有关概念
1．复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若 b ＝ 0 ，则a
＋bi为实数；若 b ≠0 ，则a＋bi为虚数；若 a ＝ 0 且 b ≠0 ，则a＋bi为纯虚数．
2．复数相等
a＋bi＝c＋di a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，c，d∈R)．
3．共轭复数
⇔
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
4．复数的模
复数z＝a＋bi在复平面中的对应向量为向量OZ，向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模
或绝对值，记作 | z |或 | a ＋ b i |，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
二 复数的几何意义
1．复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
2．复数z＝a＋bi 平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)．
三 复数的运算
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
(1)加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d )i ；
1 2
(2)减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ( a － c ) ＋ ( b － d )i ；
1 2
(3)乘法：z·z＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i ；
1 2
(4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
常/用/结/论
1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. 若 ω ＝－＋ i，则有ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0,1＋＋ω＝0，
ωn也有周期性. ω3k＝1，ω3k＋1＝ω，ω3k＋2＝.(k∈N)
ω2＝.
2． i 4 n ＝ 1 ， i 4 n ＋ 1 ＝ i ， i 4 n ＋ 2 ＝－ 1 ， i 4 n ＋ 3 ＝－ i (n∈N)，i4n＋
in具有周期性．
i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
3．z·＝|z|2＝||2， | z · z | ＝ | z |· | z | ，＝， | z n | ＝ | z | n .
1 2 1 2
复数模的性质. 再如：|z|－|z|≤|z±z|≤|z|＋|z|.
1 2 1 2 1 2
1．判断下列结论是否正确．(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．()
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i等．
()
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．()
(4)复数z＝－1＋2i的共轭复数的对应点在第四象限．()
2．(2023·全国甲卷，文)＝( )
A．－1 B．1
C．1－i D．1＋i
解析：＝＝1－i，故选C.
答案：C
3．(多选)(2024·湖南永州模拟)设复数z＝－－i的共轭复数为，则下列结论正确的有(
)
A.＝cos＋isin
B.＝
C.＝1
D．z3＋3＝2
解析：由题意可知＝－＋i＝cos＋isin，所以A正确；因为＝＝＝1，所以B错误；因
为＝＝＝1，所以C正确；因为z3＋3＝(z＋)(z2－z＋2)＝(z＋)[(z＋)2－3z]＝(－1)×[(－1)2－
3×1]＝2，所以D正确．故选ACD.
答案：ACD
4．(2023·天津卷)已知i是虚数单位，化简的结果为________．
解析：由题意可得＝＝＝4＋i.
答案：4＋i
题型 有关复数相关概念的理解
典例1已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时：
(1)z∈R；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点位于复平面的第二象限．
解：(1)当 z 为实数时，则有 m 2 ＋ 2 m － 3 ＝ 0 且 m － 1≠0 ，
只强调虚部为零，显然也有陷阱！
解得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.
(2) 当 z 为纯虚数时 ，则有
严格概念，写出条件方程．
解得m＝0或m＝2.
(3)当z对应的点位于复平面的第二象限时，
则有解得 m<－3或1<m<2.
第二象限时，实部、虚部满足的条件不等式组．关于复数的概念的易错点
复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为做题时容易忽略 b≠0，从而造成错误.
\s\up7( )
对点练1(1)(2023·全国甲卷，理)若i为虚数单位，复数(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
(2)设复数z满足为纯虚数，则|z|＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析：(1)(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以解得a＝1，故选C.
(2)因为为纯虚数，所以可设＝bi(b≠0)，则z＝，
方法一：由题意可得z＝＝＋i，所以|z|＝＝＝1，故选A.
方法二：|z|＝＝＝＝1，故选A.
答案：(1)C (2)A
题型 复数运算的多维研讨
维度1 复数的基本运算
典例2(1)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝( )
A．－i B．i
C．0 D．1
(2)＋2 022＝________.
解析：(1) z ＝＝＝＝＝－ i ，则 ＝ i ，∴z－＝－i－i＝－i，故选A.
先化简z的形式，明确实部、虚部．
(2)原式＝ ＋ 1 01 1 ＝ i ＋ 1 01 1 ＝ i ＋ i 1 01 1 ＝ i ＋ i 4×25 2 ＋ 3＝i＋i3＝0.
体会(1－i)n的运算技巧，应先计算(1－i)2＝－2i，即(1－i)2n＝(－2i)n＝(－2)n·in. 这样使
运算简便一些！
故答案为0.
复数代数形式的运算问题的解题策略
(1)复数的加、减、乘法类似于多项式的运算(注意：i2＝－1)，可将含有虚数单位i的
看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母实数化．
(3)复数的模注意正确应用公式|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
对点练2(1)(2023·全国乙卷，文)|2＋i2＋2i3|＝( )
A．1 B．2
C. D．5
(2)(2023·全国乙卷，理)设z＝，则＝( )
A．1－2i B．1＋2iC．2－i D．2＋i
解析：(1)|2＋i2＋2i3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝＝.故选C.
(2)因为z＝＝＝＝＝－(2＋i)i＝1－2i，所以＝1＋2i，故选B.
答案：(1)C (2)B
维度2 复数的综合运算
典例3(多选)(2024·浙江杭州期末)已知非零复数z ，z 在复平面内对应的点分别为Z ，
1 2 1
Z，O为坐标原点，则( )
2
A． 当 | z ＋ z | ＝ | z － z | 时， OZ1 · OZ2 ＝ 0
1 2 1 2
利用向量视角来理解．
B．当|z＋z|＝|z－z|时，z·z＝0
1 2 1 2 1 2
C． 若 | z ＋ z | ＝ | z | ＋ | z |，则存在实数t，
1 2 1 2
仍然可用向量视角，即OZ1与OZ2同向时，等号成立．
使得z＝tz
2 1
D． 若 | z ＋ 1 | ＝ | z ＋ 1 |，则|z|＝|z|
1 2 1 2
数形结合的角度：z，z 到点(－1,0)的距离相等．
1 2
解析：对于A，|z＋z|＝|z－z|，即|OZ1＋OZ2|＝|OZ1－OZ2|，两边平方可得OZ1·OZ2
1 2 1 2
＝0，故A正确；
对于B，取z＝1，z＝i，则|z＋z|＝|z－z|，而z·z≠0，故B错误；
1 2 1 2 1 2 1 2
对于C，|z＋z|＝|z|＋|z|即|OZ1＋OZ2|＝|OZ1|＋|OZ2|，两边平方可得OZ1·OZ2＝|OZ1|
1 2 1 2
·|OZ2|，
故 cos 〈 OZ1 ， OZ2 〉＝＝ 1 ，
夹角θ＝0，OZ1，OZ2方向相同．
故OZ1∥OZ2，因此存在实数t，使得z＝tz ，故C正确；
2 1
对于D，取z＝2i，z＝1＋i，则|z＋1|＝|z＋1|，但|z|≠|z|，故D错误．
1 2 1 2 1 2
故选AC.
复数的模与共轭复数的运算性质
(1)|z·z|＝|z|·|z|；
1 2 1 2
(2)＝；
(3)|z|＝||；(4)z·＝|z|2.\s\up7( )
对点练3(1)设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则＝( )
A．i B．－i
C．±1 D．±i
(2)在数学中，记表达式ad－bc为由所确定的二阶行列式．若在复数域内，z ＝1＋i，
1
z＝，z＝，则当＝－i时，z＝________.
2 3 2 4
解析：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则解得当z＝2＋2i时，＝－i；当z＝2－2i时，＝i.
(2)依题意知，＝zz －zz ，因为z ＝ ，且z ＝＝＝，所以zz ＝|z|2＝，因此有(1＋i)z
1 4 2 3 3 2 2 2 3 2 4
－＝－i，即(1＋i)z＝3－i，故z＝＝＝1－2i.
4 4
答案：(1)D (2)1－2i题型 复数的几何意义
典例4(1)(2023·新高考全国Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)0,3＋2i，－2＋4i在复平面内对应的点为平行四边形OABC的顶点O，A，C.求：
①AO，BC所表示的复数；
②对角线CA所表示的复数；
③B点对应的复数．
(1)解析：(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i＋3＝6＋8i，在复平面内对应的点的坐标为(6,8)，位
于第一象限，故选A.
(2)解：①∵AO＝－OA，
∴AO所表示的复数为－3－2i.
∵ BC ＝ AO ， ∴ BC 所表示的复数为－ 3 － 2i .
平行四边形对边对应的向量相等，对应复数相等．
② ∵ CA ＝ OA － OC ， ∴ 对角线 CA 所表示的复数为 ( 3 ＋ 2i ) － ( － 2 ＋ 4i ) ＝ 5 － 2 i.
借用向量减法运算！
③∵OB＝OA＋AB＝OA＋OC，
∴OB所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.
复数几何意义的理解及应用
复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，
类比实数与数轴上的点、复数与复平面内的点，都属于一一对应关系，实现数与形的
对应统一，让抽象的数可视化、形象化．
每一个复数都对应着一个点(有序实数对)．复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应
着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断
复数实部、虚部的取值．
对点练4(1)(多选)(2024·江苏徐州模拟)已知复数z ＝－2＋i(i为虚数单位)在复平面内对
1
应的点为A，复数z 满足|z－1＋i|＝2，z 在复平面内对应的点B为(x，y)，则下列结论正确
2 2 2
的有( )
A．复数z 的虚部为i
1
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
C．|z－z|的最大值为＋2
1 2
D．|z＋z|的最小值为－2
1 2
(2)(2020·全国Ⅱ卷，理)设复数 z ，z 满足|z|＝|z|＝2，z ＋z ＝＋i，则|z －z|＝
1 2 1 2 1 2 1 2
________.
解析：(1)由z ＝－2＋i，知虚部为1，故A错误；因为|z －1＋i|＝2，z 在复平面内对
1 2 2
应的点B为(x，y)，则|(x－1)＋(y＋1)i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝4，故B正确；由题意知，
点B在以(1，－1)为圆心，2为半径的圆上，根据复数的几何意义，|AB|＝|z －z|，所以|z
1 2 1－z| ＝＋2＝＋2，故C正确；|z ＋z|＝|(－2＋x)＋(1＋y)i|＝表示点B与定点(2，－1)的距
2max 1 2
离，易知点(2，－1)在圆内，所以|z＋z| ＝2－＝1，故D错误．故选BC.
1 2min
(2)方法一：设z ＝x ＋yi(x ，y∈R)，z ＝x ＋yi(x ，y∈R)，则由|z|＝|z|＝2，得x＋
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2
y＝x＋y＝4.因为z ＋z ＝x ＋x ＋(y ＋y)i＝＋i，所以|z ＋z|2＝(x ＋x)2＋(y ＋y)2＝x＋y＋x
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
＋y＋2xx ＋2yy ＝8＋2xx ＋2yy ＝()2＋12＝4，所以2xx ＋2yy ＝－4，所以|z －z|＝|x －
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
x＋(y－y)i|＝
2 1 2
＝
＝＝2.
方法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝－a＋(1－b)i，则
1 2
即
所以|z －z|2＝(2a－)2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z －
1 2 1
z|＝2.
2
方法三：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(，1)，求|a－b|.因为(a＋
b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝2，即|z－z|＝2.
1 2
方法四：设z ，z 在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，z ＋z ＝z＝＋i，
1 2 1 2
则z在复平面上对应的点为P(，1)，所以|z ＋z|＝|z|＝2，由平行四边形法则知OAPB是边
1 2
长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z－z|＝2××2＝2.
1 2
答案：(1)BC (2)2
