文档内容
二〇二四年绥化市初中毕业学业考试
数学试题
考生注意：
1．考试时间120分钟
2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分
3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内
一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）
请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的方框涂黑
1. 实数 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
【详解】解：实数 的相反数是 ，
故选：D．
2. 下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A. 圆 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可.
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.辨别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
沿对称轴折叠后可重合；.辨别中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. 某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正
1方体的个数是（ ）
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
【答案】A
【解析】
【分析】此题主考查了三视图，由主视图易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，
由主视图和左视图可得第二层立方体的个数，相加即可．
【详解】解：由三视图易得最底层有 个正方体，第二层有 个正方体，那么共有 个正方体组成．
故选：A．
4. 若式子 有意义，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得 ，即可求解．
【详解】解：∵式子 有意义，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
5. 下列计算中，结果正确的是（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】A
2【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根，积的乘方，据此逐项分析计算，即可求
解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
6. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的
两个根是 和 ；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是 和 ．则原来的
方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中 ， ，逐
项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是 和 ；
∴ ，
又∵写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是 和 ．
∴
A. 中， ， ，故该选项不符合题意；
3B. 中， ， ，故该选项符合题意；
C. 中， ， ，故该选项不符合题意；
D. 中， ， ，故该选项不符合题意；
故选：B．
7. 某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表：
鞋码
平均每天销售量/双
如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查统计的有关知识，了解平均数、中位数、众数、方差的意义；平均数、中位数、众
数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数
据的众数．
【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故老板最关注的销售数据的统计量是众数．
故选：C．
8. 一艘货轮在静水中的航速为 ，它以该航速沿江顺流航行 所用时间，与以该航速沿江逆
流航行 所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了分式方程的应用，利用顺水速 静水速 水速，逆水速 静水速 水速，设未知
数列出方程，解方程即可求出答案．
【详解】解：设江水的流速为 ，根据题意可得：
，
4解得： ，
经检验： 是原方程的根，
答：江水的流速为 ．
故选：D．
9. 如图，矩形 各顶点 的坐标分别为 ， ， ， ，以原点 为位似中
心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点 在第一象限对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意 的坐标乘以 ，即可求解．
【详解】解：依题意， ，以原点 为位似中心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点 在第一象
限对应点的坐标是
故选：D．
10. 下列叙述正确的是（ ）
A. 顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B. 平分弦的直径垂直于弦
5C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析
判断，即可求解．
【详解】A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；
C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；
D. 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正
确，不符合题意；
故选：C．
11. 如图，四边形 是菱形， ， ， 于点 ，则 的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得 ，进而得出 ，进而根据等面
积法，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ， ， ，
在 中， ，
∴ ，
6∵菱形 的面积为 ，
∴ ，
故选：A．
12. 二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，则下列结论中：
① ② （m为任意实数） ③
④若 、 是抛物线上不同的两个点，则 ．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得 ， 即可
判断①， 时，函数值最大，即可判断②，根据 时， ，即可判断③，根据对称性可得
即可判段④，即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象开口向下
∴
∵对称轴为直线 ，
7∴
∴
∵抛物线与 轴交于正半轴，则
∴ ，故①错误，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ,
∴当 时， 取得最大值，最大值为
∴ （m为任意实数）
即 ，故②正确；
∵ 时，
即
∵
∴
即
∴ ，故③正确；
∵ 、 是抛物线上不同的两个点，
∴ 关于 对称，
∴ 即 故④不正确
正确的有②③
故选：B
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内
13. 中国的领水面积约为370 000 km2，将数370 000用科学记数法表示为：__________．
【答案】3.7×105
8【解析】
【详解】科学记数法是指：a× ，且1≤ ＜10，n为原数的整数位数减一，370000=3.7× ．
故答案为：3.7×105．
14. 分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式 ，然后根据平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】解：
故答案为： ．
15. 如图， ， ， ．则 ______ ．
【答案】66
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得
，根据三角形的外角的性质可得 ，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
916. 如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点 测得该楼顶部点 的仰角为 ，测得
底部点 的俯角为 ，点 与楼 的水平距离 ，则这栋楼的高度为______m（结果保留根
号）．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意
得 ，然后利用三角函数求解即可．
【详解】解：依题意， ．
在 中， ，
在 中， ，
∴ ．
故答案为： ．
17. 计算： _________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算．先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行
计算即可．
10【详解】解：
，
故答案为： ．
18. 用一个圆心角为 ，半径为 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______
．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面的弧长，代入数据计算，即可求解．
【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为 ，由题意得，
解得：
故答案为： ．
19. 如图，已知点 ， ， ，在平行四边形 中，它的对角线 与反比
例函数 的图象相交于点 ，且 ，则 ______．
11【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点 ，作 的垂
线，垂足分别为 ，根据平行四边形的性质得出 ，证明 得出 ，
，进而可得 ，即可求解．
【详解】如图所示，分别过点 ，作 的垂线，垂足分别为 ，
∵四边形 是平行四边形，点 ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，则 ，
∵ 轴， 轴，
∴
∴
∴
∴ ，
12∴
∴
故答案为： ．
20. 如图，已知 ，点 为 内部一点，点 为射线 、点 为射线 上的两个动
点，当 的周长最小时，则 ______．
【答案】 ## 度
【解析】
【分析】本题考查了轴对称 最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作关于 ，
的对称点 ．连接 ．则当 ， 是 与 ， 的交点时， 的周长最短，
根据对称的性质可以证得： ， ，根据等腰三角形的性质即可求
解．
【详解】解：作 关于 ， 的对称点 ．连接 ．则当 ， 是 与 ， 的
交点时， 的周长最短，连接 ，
关于 对称，
∴
13同理， ，
， ，
是等腰三角形．
，
故答案为： ．
21. 如图，已知 ， ， ， ， ， ， ，
…，依此规律，则点 的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知 个
点坐标的纵坐标为一个循环， 的坐标为 ，据此可求得 的坐标．
14【详解】解：∵ ， ， ， ， ， ， ，
…，，
∴可知 个点坐标的纵坐标为一个循环， 的坐标为 ，
∵ ，
∴ 的坐标为 ．
∴ 的坐标为
故答案为： ．
22. 在矩形 中， ， ，点 在直线 上，且 ，则点 到矩形对角
线所在直线的距离是______ ．
【答案】 或 或
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，设 交于点 ，点 在线段 上， 在
的延长线上，过点 作 ， 的垂线，垂足分别为 ，进而分别求得垂线段的长度，即可求
解．
【详解】解：∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ， ，
∴
∴ ， ，
如图所示，设 交于点 ，点 在线段 上， 在 的延长线上，过点 作 ， 的
15垂线，垂足分别为
∵
∴
当 在线段 上时，
∴
中个，
在
∵
在 中， ；
当E在射线 上时，
在 中，
∴
∴
∴
∴ ，
在 中，
16综上所述，点 到对角线所在直线的距离为： 或 或
故答案为： 或 或 ．
三、解答题（本题共6个小题，共54分）
请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内
23. 已知： ．
（1）尺规作图：画出 的重心 ．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，连接 ， ．已知 的面积等于 ，则 的面积是______ ．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形重心的性质，画垂线；
（1）分别作 的中线，交点即为所求；
（2）根据三角形重心的性质可得 ，根据三角形中线的性质可得
【小问1详解】
解：作法：如图所示
①作 的垂直平分线交 于点
17②作 的垂直平分线交 于点
③连接 、 相交于点
④标出点 ，点 即为所求
【小问2详解】
解：∵ 是 的重心，
∴
∴
∵ 的面积等于 ，
∴
又∵ 是 的中点，
∴
故答案为： ．
24. 为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活
动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你
最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，
绘制成如下两幅统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）参加本次问卷调查的学生共有______人．
（2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图．
（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请
18用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
【答案】（1）
（2） ，作图见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或画树状图法求概率；
（1）根据 组的人数除以占比得出总人数；
（2）根据总人数求得 组的人数，进而求得占比，以及补全统计图；
（3）根据列表法或画树状图法求概率，即可求解．
【小问1详解】
解：参加本次问卷调查的学生共有 （人）；
【小问2详解】
解：A组人数为 人
A组所占的百分比为：
补全统计图如图所示，
【小问3详解】
画树状图法如下图
列表法如下图
A B C D
19A
B
C
D
由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两
种．
∴P（选中的2个社团恰好是B和C） ．
25. 为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买 、 两种电动车．若
购买 种电动车 辆、 种电动车 辆，需投入资金 万元；若购买 种电动车 辆、 种电动车
辆，需投入资金 万元．已知这两种电动车的单价不变．
（1）求 、 两种电动车的单价分别是多少元？
（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买 、 两种电动车 辆，其中 种电动车的数
量不多于 种电动车数量的一半．当购买 种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？
（3）该公司将购买的 、 两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用 元与骑行时间
之间的对应关系如图．其中 种电动车支付费用对应的函数为 ； 种电动车支付费用是 之内，
起步价 元，对应的函数为 ．请根据函数图象信息解决下列问题．
20①小刘每天早上需要骑行 种电动车或 种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为3
（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为 ，那么小刘
选择______种电动车更省钱（填写 或 ）．
②直接写出两种电动车支付费用相差 元时， 的值______．
【答案】（1） 、 两种电动车的单价分别为 元、 元
（2）当购买 种电动车 辆时所需的总费用最少，最少费用为 元
（3）① ② 或
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用；
（1）设 、 两种电动车的单价分别为 元、 元，根据题意列二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设购买 种电动车 辆，则购买 种电动车 辆，根据题意得出 的范围，进而根据一次
函数的性质，即可求解；
（3）①根据函数图象，即可求解；
②分别求得 的函数解析式，根据 ，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：设 、 两种电动车的单价分别为 元、 元
由题意得，
21解得
答： 、 两种电动车的单价分别为 元、 元
【小问2详解】
设购买 种电动车 辆，则购买 种电动车 辆，
由题意得
解得：
设所需购买总费用为 元，则
， 随着 的增大而减小，
取正整数
时， 最少
元
答：当购买 种电动车 辆时所需的总费用最少，最少费用为 元
【小问3详解】
解：①∵两种电动车的平均行驶速度均为3 ，小刘家到公司的距离为 ，
∴所用时间为 分钟，
根据函数图象可得当 时， 更省钱，
∴小刘选择 种电动车更省钱，
故答案为： ．
②设 ，将 代入得，
22解得：
∴ ；
当 时， ，
当 时，设 ，将 ， 代入得，
解得：
∴
依题意，当 时，
即
解得：
当 时，
即
解得： （舍去）或
故答案为： 或 ．
26. 如图1， 是正方形 对角线上一点，以 为圆心， 长为半径的 与 相切于点 ，
与 相交于点 ．
23（1）求证： 与 相切．
（2）若正方形 的边长为 ，求 的半径．
（3）如图2，在（2）的条件下，若点 是半径 上的一个动点，过点 作 交 于点 ．
当 时，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）方法一：连接 ，过点 作 于点 ，四边形 是正方形， 是正方形
的对角线，得出 ，进而可得 为 的半径，又 ，即可得证；
方法二：连接 ，过点 作 于点 ，根据正方形的性质证明 得出
，同方法一即可得证；
方法三：过点 作 于点 ，连接 ．得出四边形 为正方形，则 ，同方法一
即可得证；
（2）根据 与 相切于点 ，得出 ，由（1）可知 ，设
24，在 中，勾股定理得出 ，在 中，勾股定理求
得 ，进而根据 建立方程，解方程，即可求解．
（3）方法一：连接 ，设 ，在 中，由勾股定理得： ，在 中，
由勾股定理得： ，结合题意 得出 ，即可得出
；
方法二：连接 ，证明 得出 ，进而可得 ，同
理可得
方法三：连接 ，证明 得出 ，设 ，则 ，进而可
得 ，进而同方法一，即可求解．
【小问1详解】
方法一：证明：连接 ，过点 作 于点 ，
与 相切于点 ，
．
四边形 是正方形， 是正方形的对角线，
，
，
为 的半径，
为 的半径，
25，
与 相切．
方法二：
证明：连接 ，过点 作 于点 ，
与 相切于点 ， ，
，
四边形 是正方形，
，
又 ，
，
，
为 的半径，
为 的半径，
，
与 相切．
方法三：
证明：过点 作 于点 ，连接 ．
与 相切， 为 半径，
26，
，
，
，
又 四边形 为正方形，
，
四边形 为矩形，
又 为正方形的对角线，
，
，
矩形 为正方形，
．
又 为 的半径，
为 的半径，
又 ，
与 相切．
【小问2详解】
解： 为正方形 的对角线，
，
与 相切于点 ，
，
27由（1）可知 ，设 ，
在 中，
，
，
， ，
又 正方形 的边长为 ．
在 中，
，
，
，
．
∴ 的半径为 ．
【小问3详解】
方法一：
解：连接 ，设 ，
，
，
，
．
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
28又 ，
．
．
方法二：
解：连接 ，
为 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
29，
，
．
方法三：
解：连接 ，
为 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
30，
，
设 ，则 ，
，
．
又 ，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，
相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
27. 综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．
纸片 和 满足 ， ．
下面是创新小组的探究过程．
操作发现
（1）如图1，取 的中点 ，将两张纸片放置在同一平面内，使点 与点 重合．当旋转 纸片
31交 边于点 、交 边于点 时，设 ， ，请你探究出 与 的函数关系
式，并写出解答过程．
问题解决
（2）如图2，在（1）的条件下连接 ，发现 的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理
由．
拓展延伸
（3）如图3，当点 在 边上运动（不包括端点 、 ），且始终保持 ．请你直接写出
纸片的斜边 与 纸片的直角边所夹锐角的正切值______（结果保留根号）．
【答案】（1） ，见解析；（2）2，见解析；（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据题意证明 ，得出关系式 ，进而求得
，代入比例式，即可求解；
（2）方法一：勾股定理求得 ，将将（1）中 代入得 ，进而根据三角形的周长公
式，即可求解；
方法二：证明 ， ，过 作 交 于点 ，作
交 于点 ，作 交 于点 ．证明 ， ，
得出 ，得出 ，进而根据三角形的周长公式可得 的周长
32．
方法三：过 作 交 于点 ，作 交 于点 ，在 上截取一点 ，使
，连接 ．得出 ， ，则 ，同
方法二求得 ，进而即可求解；
（3）分两种情况讨论， 于 的夹角；①过点 作 于点 ，作 的垂直平分线交
于点 ，连接 ，在 中，设 ，由勾股定理得， ，
进而根据正确的定义，即可求解；②过点 作 于点 ，作 的垂直平分线交 于点 ，
连接 ，在 中，设 ，同①即可求解．．
【详解】操作发现
解：（1）∵ ，且 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
33∴ ，
∵ 是 的中点，点 与点 重合，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
问题解决
（2）方法一：
解： 的周长定值为2．
理由如下：∵ ， ， ，
∴ ， ，
在 中，∴
．
将（1）中 代入得：
∴ ．
∵ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ．
34∵ 的周长 ，
∴ 的周长 ．
方法二：
解： 的周长定值为2．
理由如下：∵ 和 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵O为AB的中点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
， ，
∴过 作 交 于点 ，作 交 于点 ，作 交 于点 ．
35∴ ．
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ 的周长 ．
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
点 是 的中点，同理点 是 的中点．
∴ ，
∴ 的周长 ．
方法三：
36解： 的周长定值为2．
理由如下：过 作 交 于点 ，作 交 于点 ，在 上截取一点 ，使
，连接 ．
∵ 是等腰直角三角形， 为 的中点，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长 ．
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
37∵ ， ，
∴ ．
∵ 是 的中点， 点 是 的中点，同理点 是 的中点．
∴ ，
∴ 的周长 ．
拓展延伸
（3） 或
①解：∵ ， ，
∴ ，
过点 作 于点 ，作 的垂直平分线交 于点 ，连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，设 ，
∴ ，由勾股定理得，
38，
∴ ，
∴在 中， ．
②解：∵ ， ，
∴ ，
过点 作 于点 ，作 的垂直平分线交 于点 ，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，设 ，
∴ ，由勾股定理得， ，
∴ ，
∴在 中， ．
∴ 或 ．
39【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解
直角三角形，旋转的性质，函数解析式，熟练掌握相似三角形的性质与判定，解直角三角形是解题的关键．
28. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线相交于 ， 两点，其中点 ，
．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）过点 作 轴交抛物线于点 ，连接 ，在抛物线上是否存在点 使
．若存在，请求出满足条件的所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．（提
示：依题意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移 个单位长度得到 ，平移后的抛物线与原抛物线相
交于点 ，点 为原抛物线对称轴上的一点， 是平面直角坐标系内的一点，当以点 、 、 、 为
顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）
40（2）存在，点 坐标为 ， ，补图见解析
（3） 、 、 、
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据平行线的性质可得 ，求得 ，进而分别求得 ， ，根
据 可得 ，设直线 交 轴于点 ，则 ， ．
进而可得 ， 的解析式为 ， ，连接 交抛物线于 ，连接
交抛物线于 ，进而联立抛物线与直线解析式，解方程，即可求解．
（3）①以 为对角线，如图作 的垂直平分线 交 于点 交直线 于 ，设 ，
根据两点距离公式可得 ，根据中点坐标公式可得 ，②以 为边，如图以 为圆心，
为半径画圆交直线 于点 ， ；连接 ， ，根据勾股定理求得 ，进而得出
， ，根据平移的性质得出 ， ，③以 为边，如
图以点 为圆心， 长为半径画圆交直线 于点 和 ，连接 ， ，则
，过点 作 于点 ，则 ，在 和 中，
由勾股定理得 ，则 、 ，根据 ，可得
，过点 作 ，过 作 ， 和 相交于点 ， 的中
41点 ．根据中点坐标公式可得 ；
【小问1详解】
解：∵把点 ， 代入 得
，
解得 ，
∴ ．
【小问2详解】
存在．
理由：∵ 轴且 ，
∴ ，
∴ （舍去）， ，
∴ ．
过点 作 于点 ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
设直线 交 轴于点 ，
42， ，
∴ ， ．
连接 交抛物线于 ，连接 交抛物线于 ，
∴ ， 的解析式为 ， ，
∴ ，解得 ，
或 ，解得 ．
∴把 ， 代入 得 ， ，
∴ ， ．
综上所述，满足条件的点 坐标为 ， ．
【小问3详解】
、 、 、 ．
方法一：
①以 为对角线，如图作 的垂直平分线 交 于点 交直线 于
43∵ ， ，
∴ ．
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
．
②以 为边
如图以 为圆心， 为半径画圆交直线 于点 ， ；连接 ， ，
过点 作 ，过点 作 ， 和 相交于点 ，同理可得
， ，
，
．
44过点 作 直线 于点 ，则 ；
在 和 中，由勾股定理得，
，
， ．
点 是由点 向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到的，
， ，
③以 为边
如图以点 为圆心， 长为半径画圆交直线 于点 和 ，
连接 ， ，则 ，
过点 作 于点 ，则 ，在 和 中，由勾股定理得，
，
、 ，
，
，
、 、 三点共线，
45过点 作 ，过 作 ，
和 相交于点 ，
∵ 、 ，
的中点 ．
，点 为 的中点，
．
综上所述： 、 、 、 ．
46
