文档内容
【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
二〇二三年绥化市初中毕业学业考试数学试题
考生注意：
1．考试时间120分钟
2．本试题共三道大题，28个小题
3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内
一、单选题
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如
果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进
行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对
称图形的定义．
2. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据求一个数的绝对值，零指数幂进行计算即可求解．
1【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】解： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，零指数幂，熟练掌握求一个数的绝对值，零指数幂是解题的关键．
3. 如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据左视图的意义判断即可．
【详解】根据题意，该几何体的左视图为：
，
故选B．
【点睛】本题考查了三视图的画法，熟练掌握三视图的空间意义是解题的关键．
4. 纳米是非常小的长度单位， ，把 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
【详解】解： ．
故选：A．
2【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为 ，其中 ，
为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 的个数所决定，确定 与 的值是解题的关键．
5. 下列计算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，熟练掌握以
上运算法则是解题的关键．
6. 将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内， ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解．
【详解】解：依题意， ，
∵ ，
3【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
7. 下列命题中叙述正确的是（ ）
A. 若方差 ，则甲组数据的波动较小
B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的内心
D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，逐项分析判断即可
求解．
【详解】解：A. 若方差 ，则乙组数据的波动较小，故该选项不正确，不符合题意；
B. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选项不正确，不符合题意；
C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故该选项不正确，不符合题意；
D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，熟练掌握以
上知识是解题的关键．
8. 绥化市举办了 年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分钟），并制作了
如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图．则下列说法正确的是（ ）
组别 参赛者成绩
A
4【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
B
C
D
E
A. 该组数据的样本容量是 人
B. 该组数据的中位数落在 这一组
C. 这组数据的组中值是
D. 这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为
【答案】B
【解析】
【分析】根据 组的人数除以占比求得样本的容量，结合统计图求得 的人数为15，进而根据中
位数的定义，即可判断B选项，根据组中值为 ，即可判断C选项，根据 的占比乘
以 ，即可判断D选项．
【详解】解：A、 该组数据的样本容量是 ，故该选项不正确，不符合题意；
B、 的人数为： ， ，
该组数据的中位数落在 这一组，故该选项正确，符合题意；
C、 这组数据的组中值是 ，故该选项不正确，不符合题意；
D、 这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为 ，故该选项不正确，不符合
题意；
故选：B．
5【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查了样本的容量，条形统计图与扇形统计图信息关联，中位数的定义，求扇形统计图的圆
心角的度数，求频数分布直方图组中值，从统计图表中获取信息是解题的关键．
9. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上， 平行于x轴，点B，C的横坐标都是3， ，
点D在 上，且其横坐标为1，若反比例函数 （ ）的图像经过点B，D，则k的值是（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，则 根据反比例函数的性质，列出等式计算即可．
【详解】设 ，
∵点B，C的横坐标都是3， ， 平行于x轴，点D在 上，且其横坐标为1，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握ｋ的意义，反比例函数的性质是解题的关键．
6【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
10. 某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的 ．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运
送货物，两车又共同运送货物 天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送
这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列出分式方程即可求解．
【详解】解：设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程
，
故选：B．
【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
11. 如图，在菱形 中， ， ，动点 ， 同时从 点出发，点 以每秒 个单
位长度沿折线 向终点 运动；点 以每秒 个单位长度沿线段 向终点 运动，当其中一点
运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为 秒， 的面积为 个平方单位，则下列正确
表示 与 函数关系的图象是（ ）
7【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接 ，过点 作 于点 ，根据已知条件得出 是等边三角形，进而证明
得出 ，当 时， 在 上，当 时， 在 上，
根据三角形的面积公式得到函数关系式，
【详解】解：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，
当 时， 在 上，
菱形 中， ， ，
∴ ，则 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，又
∴
∴
8【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴
当 时， 在 上，
∴ ，
综上所述， 时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当 时，函数图象是直线的一部
分，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾
股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
12. 如图，在正方形 中，点 为边 的中点，连接 ，过点 作 于点 ，连接
交 于点 ， 平分 交 于点 ．则下列结论中，正确的个数为（ ）
① ；② ；③当 时，
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】D
【解析】
9【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【分析】①根据题意可得 ，则 ，即 ，
又 ,即可判断①；②设正方形的边长为 ，根据勾股定理求得 ，证明 ，根据
相似三角形的性质求得 ，进而求得 ，即可判断②；过点 分别作 的垂线，垂足分别为
，根据②的结论求得 ，勾股定理求得 ，即可判断③．
【详解】∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵
∴
∴
即 ，又 ,
∴ ，故①正确；
设正方形的边长为 ，
∵点 为边 的中点，
∴ ,
∴ ,
在 中， ，
∴
在 中，
10【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ,
如图所示，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ 是 的角平分线，
11【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴
∵
∴
设 ，则
在 中， ，
∵
∴
解得：
∴ ，
∴ ，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性
质与判定是解题的关键．
二、填空题
13. 因式分解： _______．
【答案】
【解析】
【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．
12【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
14. 若式子 有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】 且 ## 且
【解析】
【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．
【详解】∵式子 有意义，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件
是解题的关键．
15. 在 张完全相同的卡片上，分别标出 ， ， ， ，从中随机抽取 张后，放回再混合在一起．再随
机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是_________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意列表法求概率即可求解．
【详解】解：列表如下，
13【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
共有16种等可能结果，符合题意的有8种，
∴第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法求概率，整除，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．
16. 已知一元二次方程 的两根为 与 ，则 的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，将分式通分，代入即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程 ，即 ，的两根为 与 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的
关系是解题的关键．
17. 化简： _______．
【答案】 ##
14【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．
【详解】解：
；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
18. 如图， 的半径为 ， 为 的弦，点 为 上的一点，将 沿弦 翻折，使点
与圆心 重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留 与根号）
【答案】
【解析】
【分析】根据折叠的性质得出 是等边三角形，则 ， ，根据阴影部分面
积 即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，设 交于点
15【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵将 沿弦 翻折，使点 与圆心 重合，
∴ ，
又
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ,
∴阴影部分面积
故答案为： ．
19. 如图，在平面直角坐标系中， 与 的相似比为 ，点 是位似中心，已知点 ，
点 ， ．则点 的坐标为_______．（结果用含 ， 的式子表示）
【答案】
【解析】
16【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【分析】过点 分别作 轴的垂线 垂足分别为 ，根据题意得出 ，则
，得出 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 分别作 轴的垂线 垂足分别为 ，
∵ 与 的相似比为 ，点 是位似中心，
∴
∵ ，
∴ ,
∴ ，
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
20. 如图， 是边长为 的等边三角形，点 为高 上的动点．连接 ，将 绕点 顺时针旋
转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是______．
17【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意，证明 ，进而得出 点在射线 上运动，作点 关于 的对称点
，连接 ，设 交 于点 ，则 ，则当 三点共线时， 取得最
小值，即 ，进而求得 ，即可求解．
【详解】解：∵ 为高 上的动点．
∴
∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ． 是边长为 的等边三角形，
∴
∴
∴ ，
∴ 点在射线 上运动，
如图所示，
18【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
作点 关于 的对称点 ，连接 ，设 交 于点 ，则
在 中， ，则 ，
则当 三点共线时， 取得最小值，即
∵ ， ，
∴
∴
在 中， ,
∴ 周长的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，
勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．
21. 在求 的值时，发现： ， ，从而得到
．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作 ；
分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作 ；再分别连接图（2）中间的小三
角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作 ；按此方法继续下去，则
_______．（结果用含n的代数式表示）
【答案】 ##
19【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】根据题意得出 ，进而即可求解．
【详解】解：依题意， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．
22. 已知等腰 ， ， ．现将 以点 为旋转中心旋转 ，得到 ，
延长 交直线 于点D．则 的长度为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先求得 ，当 以点 为旋转中心逆时针旋转 ，过点 作
交 于点 ，当 以点 为旋转中心顺时针旋转 ，过点 作 交 于
点 ，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，
∵等腰 ， ， ．
∴ ，
∴ ， ,
∴ ，
20【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
如图所示，当 以点 为旋转中心逆时针旋转 ，过点 作 交 于点 ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∵等腰 ， ， ．
∴ ，
∵ 以点 为旋转中心逆时针旋转 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，当 以点 为旋转中心顺时针旋转 ，过点 作 交 于点 ，
21【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
在 中， ，
∴
在 中，
∴
∴
∴
∴
∴ ，
综上所述， 的长度为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分类
讨论是解题的关键．
三、解答题
23. 已知：点 是 外一点．
（1）尺规作图：如图，过点 作出 的两条切线 ， ，切点分别为点 、点 ．（保留作图痕
迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点 在 上（点 不与 ， 两点重合），且 ．求 的
度数．
【答案】（1）见解析 （2） 或
22【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】（1）①连接 ，分别以点 为圆心，大于 的长为半径画圆，两圆交于点 两点，
作直线 交 于点 ，②以点 为圆心， 为半径画圆，与 交于 两点，作直线 ，
（2）根据切线的性质得出 ，根据四边形内角和得出 ，进而根据圆
周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
①连接 ，分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 两点，作直线 交
于点 ，
②以点 为圆心， 为半径画圆，与 交于 两点，作直线 ，
则直线 即为所求；
【小问2详解】
如图所示，点 在 上（点 不与 ， 两点重合），且 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
23【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
当点 在优弧 上时， ，
当点 在劣弧 上时， ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
24. 如图，直线 和 为河的两岸，且 ，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸
的 点测得 ，从 点沿河岸 的方向走 米到达 点，测得 ．
（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）
（2）若从D点继续沿 的方向走 米到达P点．求 的值．
【答案】（1）河两岸之间的距离是 米
（2）
【解析】
【分析】（1）过点 作 于点 ，设 米，在 中， ，在
中， ，根据 ，建立方程，解方程即可求解；
（2）根据题意求得 的长，进而根据正切的定义，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
24【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
过点 作 于点 ，设 米，
∵
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴
∴
解得：
答：河两岸之间的距离是 米；
【小问2详解】
解：如图所示，
依题意， ，
∴ ，
在 中， ，
25【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
25. 某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用 、 两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）． 型
车每辆租金 元， 型车每辆租金 元．若 辆 型和 辆 型车坐满后共载客 人； 辆 型和
辆 型车坐满后共载客 人．
（1）每辆 型车、 型车坐满后各载客多少人？
（2）若该校计划租用 型和 型两种客车共 辆，总租金不高于 元，并将全校 人载至目的地．
该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
（3）在这次活动中，学校除租用 、 两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令
营目的地的路程为 千米，甲车从学校出发 小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早 小时到达
目的地．下图是两车离开学校的路程 （千米）与甲车行驶的时间 （小时）之间的函数图象．根据图象
信息，求甲乙两车第一次相遇后， 为何值时两车相距 千米．
【答案】（1）每辆 型车、 型车坐满后各载客 人、 人
（2）共有 种租车方案，租 辆 型车， 辆 型车最省钱
（3）在甲乙两车第一次相遇后，当 小时或 小时时，两车相距 千米
26【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】（1）设每辆 型车、 型车坐满后各载客 人、 人，由题意列出二元一次方程组，解方程组即
可求解；
（2）设租用 型车 辆，则租用 型车 辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整
数解即可得出 的值，设总租金为 元，根据一次函数的性质即可求解；
（3）设 ， ，由题意可知，甲车的函数图像经过 ；乙车的函数图像经过
， 两点．求出函数解析式，进而即可求解．
【小问1详解】
解：设每辆 型车、 型车坐满后各载客 人、 人，由题意得
解得
答：每辆 型车、 型车坐满后各载客 人、 人
【小问2详解】
设租用 型车 辆，则租用 型车 辆，由题意得
解得：
取正整数，
， ， ，
共有 种租车方案
设总租金为 元，则
随着 的增大而减小
时， 最小
租 辆 型车， 辆 型车最省钱
27【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问3详解】
设 ， ．
由题意可知，甲车的函数图象经过 ；乙车的函数图象经过 ， 两点．
∴ ，
，即
解得
或
解得
所以，在甲乙两车第一次相遇后，当 小时或 小时时，两车相距25千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等
量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键．
26. 已知：四边形 为矩形， ， ，点 是 延长线上的一个动点（点 不与点
重合）．连接 交 于点 ．
（1）如图一，当点 为 的中点时，求证： ．
（2）如图二，过点 作 ，垂足为 ．连接 ，设 ， ．求 关于 的函数关系
式．
（3）如图三，在（2）的条件下，过点 作 ，交 的延长线于点 ．当 时，求线段
28【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
的长．
【答案】（1）见解析 （2） （或 ）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得出 ，则 ，根据题意得出 ，即可证明
；
（2）在 中， ，证明 ，根据相似三角形的性质
即可求解；
（3）过点 作 于点 ，得出 ， 为等腰直角三角形，在 中，勾股定理
求得 ，证明 ，根据相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
为
∵ 中点，
∴ ，
在
和 中
，
∴ ；
【小问2详解】
29【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ （或 ）；
【小问3详解】
过点 作 于点 ，
30【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵四边形 为矩形，且 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
31【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，列函数关系式，
勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
27. 如图， 为⊙O的直径，且 ， 与 为圆内的一组平行弦，弦 交 于点H．
点A在 上，点B在 上， ．
（1）求证： ．
（2）求证： ．
（3）在⊙O中，沿弦 所在的直线作劣弧 的轴对称图形，使其交直径 于点G．若
，求 的长．
32【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明 即可；
（2）连接 ，交 于点 ，根据平行线的性质和已知条件证明垂直平分即可；
（3）利用对称的性质作辅助线，根据已知条件，转化为解直角三角形问题即可．
【小问1详解】
和 是 所对的圆周角，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
连接 ，交 于点 ，
与 为一组平行弦，即： ，
，
33【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
，
，
，
，
是 的垂直平分线，
．
【小问3详解】
连接 、 ，过点 作 ，垂足为 ，设点 的对称点 ，连接 、 ，
， ，
∴ ，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
34【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
为
直径，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
，
35【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，同弧所对圆周角相等、构建合适的辅助线是解题的关键；熟练掌握相
似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、熟悉锐角三角函数解决直角三角形．
28. 如图，抛物线 的图象经过 ， ， 三点，且一次函数
的图象经过点 ．
（1）求抛物线和一次函数的解析式．
（2）点 ， 为平面内两点，若以 、 、 、 为顶点的四边形是正方形，且点 在点 的左侧．
这样的 ， 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标：如果不存在，请说明
理由．
（3）将抛物线 的图象向右平移 个单位长度得到抛物线 ，此抛物线的图象与 轴交于
， 两点（ 点在 点左侧）．点 是抛物线 上的一个动点且在直线 下方．已知点 的横坐
标为 ．过点 作 于点 ．求 为何值时， 有最大值，最大值是多少？
【答案】（1） ，
（2）满足条件的E、F两点存在， ， ，
36【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（3）当 时， 的最大值为
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①当 为正方形的边长时，分别过 点 点作 ， ，使 ，
， 连 接 、 ， 证 明 ， 得 出 ，
，则 同理可得， ；②以 为正方形的对角线时，过 的中点 作
，使 与 互相平分且相等，则四边形 为正方形，过点 作 轴于点 ，
过点 作 于点 ，证明 ，得出 ，在 中，
，解得 或4，进而即可求解；
（3）得出 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，则 ，点 在抛物
线 上 ， 且 横 坐 标 为 得 出 ， 进 而 可 得
，则 ，根
据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：把 ， ， 代入
得
37【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解得
∴
把 代入 得
∴
【小问2详解】
的
满足条件 、 两点存在， ， ，
解：①当 为正方形的边长时，分别过 点 点作 ， ，使 ，
，连接 、 .
过点 作 轴于 .
∵ ，
又 ，
∴ ，
38【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴
同理可得，
②以 为正方形的对角线时，过 的中点 作 ，使 与 互相平分且相等，则四边
形 为正方形，
过点 作 轴于点 ，过点 作 于点
∵ ，
又
∴
∴ ，
∵
∴
∴
39【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
在 中，
∴
解得 或4
当 时， ，此时点 在点 右侧故舍去；
当 时， .
综上所述： ， ，
【小问3详解】
∵ 向右平移8个单位长度得到抛物线
当 ，即
解得：
∴ ，
∵ 过 ， ， 三点
∴
的
在直线 下方 抛物线 上任取一点 ，作 轴交 于点 ，过点 作 轴于点
40【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ，
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵ ，
∴
又
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵点 在抛物线 上，且横坐标为
∴
∴
∵
∴
∴
41【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴
∴
∴当 时， 的最大值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数
的性质是解题的关键．
42
