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二〇二三年齐齐哈尔市初中学业考试
数学试卷
考生注意：
1． 考试时间120分钟
2． 全卷共三道大题，总分120分
3． 使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1. ﹣9的相反数是【 】
A. 9 B. ﹣9 C. D. ﹣
【答案】A
【解析】
【详解】∵相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，
0的相反数还是0．
因此﹣9的相反数是9．
故选A．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义依次对各项进行分析即可得到最后结果．
【详解】解： 、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
故此选项错误；
、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，此图形不是轴对称图形，故此选项错误；
、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，旋转 能够与原图形重合，是中
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心对称图形，故此选项正确．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后
两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转 后
能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，是解答本题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据单项式乘以单项式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解
题的关键．
4. 如图，直线 ，分别与直线l交于点A，B，把一块含 角的三角尺按如图所示的位置摆放，若
，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】依据 ，即可得到 ，再根据 ，即可得出荅案．
【详解】解：如图，
，
，
又 ，
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
5. 如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】首先确定该几何体左视图的小正方形数量，然后求解面积即可．
【详解】解：该几何体左视图分上下两层，其中下层有3个小正方形，上层中间有1个正方形，共计4个
小正方形，
∵小正方体的棱长为1，
∴该几何体左视图的面积为4，
故选：C．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解左视图即为从左边看到的图形是解题关键．
6. 如果关于 的分式方程 的解是负数，那么实数 的取值范围是（ ）
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A. B. 且 C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】分式方程两边乘以 ，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，根据分式方
程的解是负数，得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：
解得： 且
∵关于 的分式方程 的解是负数，
∴ ，且
∴ 且 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
7. 某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中
随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：列表如下，
女 女 女 男
女 女 ，女 女 ，女 女 ，男
女 女 ，女 女 ，女 女 ，男
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女 女 ，女 女 ，女 女 ，男
男 男，女 男，女 男，女
共有12种等可能结果，其中符合题意的有6种，
∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．
8. 如图，在正方形 中， ，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线 ，射线 的
方向匀速运动，且速度的大小相等，连接 ， ， ．设点M运动的路程为 ，
的面积为 ，下列图像中能反映 与 之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据 ，求出 与 之间函数关系式，再判断即可得出
结论．
【详解】解： ，
，
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，
，
为
故 与 之间函数关系 二次函数，图像开口向上， 时，函数有最小值6，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出 与 之间函数关系式，
再判断 与 之间函数类型．
9. 为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为 的导
线，将其全部截成 和 两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方
案共有（ ）
A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种
【答案】C
【解析】
【分析】设 和 两种长度的导线分别为 根，根据题意，得出 ，进而根据 为
正整数，即可求解．
【详解】解：设 和 两种长度的导线分别为 根，根据题意得，
，
即 ，
∵ 为正整数，
∴
则 ，
故有7种方案，
故选：C．
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【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程求整数解是解题的关键．
10. 如图，二次函数 图像的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线
，结合图像给出下列结论：
① ；② ；③ ；
④关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根；
⑤若点 ， 均在该二次函数图像上，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点
代入抛物线解析式并结合 即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是
否大于零即可判定④；判定点 ， 的对称轴为 ，然后根据抛物线的对称性即可判
定⑤．
【详解】解： 抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，即②错误；
∴ ，即①正确，
二次函数 图像 的一部分与x轴的一个交点坐标为
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，即 ，故③正确；
∵关于x的一元二次方程 ， ，
，
∴ ， ，
∴无法判断 的正负，即无法确定关于x的一元二次方程 的根
的情况，故④错误；
∵
∴点 ， 关于直线 对称
∵点 ， 均在该二次函数图像上，
∴ ，即⑤正确；
综上，正确的为①③⑤，共3个
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的 的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确
的获取信息是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11. 经文化和旅游部数据中心测算，今年春节假期全国国内旅游出游 308000000人次，同比增长 ，
数据308000000用科学记数法表示为_________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
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【详解】解：数据308000000用科学记数法表示为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 如图，在四边形 中， ， 于点 ．请添加一个条件：______，使四边形
成为菱形．
【答案】 （荅案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意，先证明四边形 是平行四边形，根据 ，可得四边形 成为菱形．
【详解】解：添加条件
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 成为菱形．
添加条件
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
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∴四边形 成为菱形．
添加条件
∵ ，
∴
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 成为菱形．
添加条件
在 与 中，
∴
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 成为菱形．
故答案为： （ 或 或 等）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
13. 在函数 中，自变量x的取值范围是______．
【答案】 且
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【解析】
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出 ，即可求解．
【详解】解：依题意，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解
题的关键．
14. 若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为______ （结果保留 ）．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式 ，把相应数值代入即可求解．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积的计算公式．
15. 如图，点A在反比例函数 图像的一支上，点B在反比例函数 图像的一支上，点
C，D在x轴上，若四边形 是面积为9的正方形，则实数k的值为______．
【答案】
【解析】
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【分析】如图：由题意可得 ，再根据 进行计算即可
解答．
【详解】解：如图：
∵点A在反比例函数 图像的一支上，点B在反比例函数 图像的一支上，
∴
∵四边形 是面积为9的正方形，
∴ ，即 ，解得： ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数图像线上任意一点作x轴、y轴的垂线，
它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值．
16. 矩形纸片 中， ， ，点 在 边所在的直线上，且 ，将矩形纸片
折叠，使点 与点 重合，折痕与 ， 分别交于点 ， ，则线段 的长度为______．
【答案】 或
【解析】
【分析】分点 在 点右边与左边两种情况分别画出图形，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵折叠，
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∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴
∴ ，
又
∴
∴ ，
当 点在 点的右侧时，如图所示，设 交于点 ，
∵ ， ， ，
∴ 中， ，
则 ，
∵ ，
∴
∴ ，
当 点在 点的左侧时，如图所示，设 交于点 ，
∵ ， ， ，
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∴ 中，
则 ，
∵ ，
∴
∴ ，
综上所述， 的长为： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点A在 轴上，点B在 轴上， ，连接 ，过点O作
于点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作 于点 ，过点 作 轴
于点 ；过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ；…；按照如此规律操作下去，
则点 的坐标为______．
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【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合图形依次求出 的坐标，再根据其规律写出 的坐标即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在 轴上，点B在 轴上， ，
是等腰直角三角形， ，
，
是等腰直角三角形，
同理可得： 均为等腰直角三角形，
，
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，
依次可得：
由此可推出：点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形
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的性质，解题的关键是依次求出 的坐标，找出其坐标的规律．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18. （1）计算： ；
（2）分解因式： ．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）先化简各数，然后再进行计算即可；
（2）先提取公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】（1）解：原式
，
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，实数的运算，特殊角的三角函数值，提
公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19. 解方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．
【详解】解：
∴ 或
∴ ， ．
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【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．
20. 为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分
学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为
五组：A组“ ”；B组“ ”；C组“ ”；D组“ ”；E组“
”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是______ ，本次调查数据的中位数落在______组内；
（3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多少人？
【答案】（1）50，图见解析
（2） ，
（3）1920人
【解析】
【分析】（1）用条形统计图中 组人数除以扇形统计图中 组占比，计算求解可得样本容量，总人数与
其他各组人数的差即为B组人数，然后补全统计图即可；
（2）根据 计算求解A组的圆心角，然后根据中位数的定义求解判断即可；
（3）2000乘以该校随机抽取部分学生完成书面作业不超过90分钟的学生人数的占比，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，样本容量 为，
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B组人数为 （人），
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：由题意知，在扇形统计图中，A组的圆心角为 ，
∵样本容量为50，
∴将数据排序后，第25个和第26个数据的平均数为中位数，
∵ ， ，
∴本次调查数据的中位数落在 组内，
故答案为： ， ；
【小问3详解】
（人）,
答：估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1920人．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，圆心角，中位数，用样本估计总体等知识．解题的关键在
于从统计图中获取正确的信息．
21. 如图，在 中， ， 平分 交 于点D，点E是斜边 上一点，以
为直径的 经过点D，交 于点F，连接 ．
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（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ， ，由角平分线的定义可得 ，从而可得
，再根据平行线的判定可得 ，从而可得 ，再根据切线的
判定即可得出结论；
（2）连接 ， ，由 ， ，可得 ， ，再由直角三
角形的性质可得 ，再由圆周角定理可得 ，根据角平分线的定义可得
，利用锐角三角函数求得 ，再由直角三角形的性质可得
，证明 是等边三角形，可得 ，从而证明 是等边三角形，
可得 垂直平分 ，再由 ，可得 ，从而可得 ，再利用扇形
的面积公式计算即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，
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∵ ， 是 的半径，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 于点D，
又∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线．
【小问2详解】
解：连接 ， ，
∵在 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
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∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
21【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ．
【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、切线的判定、直
角三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质及扇形的面积公式，
熟练掌握相关知识是解题的关键．
22. 一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地， 小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路
线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．
巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解
答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是______千米， ______；
（2）求线段 所在直线的函数解析式；
（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
【答案】（1）60，1
（2）
（3） 小时或 小时或 小时
【解析】
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【分析】（1）根据货车从A地到B地花了 小时结合路程 速度 时间即可求出A、B两地的距离；根据
货车装货花了15分钟即可求出a的值；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可．
【小问1详解】
解： 千米，
∴A，B两地之间的距离是60千米，
∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，
∴ ，
故答案为：60，1
【小问2详解】
解：设线段 所在直线的解析式为
将 ， 代入 ，得
解得 ，
∴线段 所在直线的函数解析式为
【小问3详解】
解：设货车出发x小时两车相距15千米，
由题意得，巡逻车的速度为 千米/小时
当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则 ，
23【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解得 （所去）；
当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则 ，
解得 ；
∵ ，
∴货车装货过程中两车不可能相距15千米，
当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米，则 ，
解得 ；
当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则 ，
解得 ；
综上所述，当货车出发 小时或 小时或 小时时，两车相距15千米．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂
函数图象是解题的关键．
23. 综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知
识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
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（1）发现问题：如图1，在 和 中， ， ， ，连接
， ，延长 交 于点 ．则 与 的数量关系：______， ______ ；
（2）类比探究：如图2，在 和 中， ， ， ，连
接 ， ，延长 ， 交于点 ．请猜想 与 的数量关系及 的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ，
，且点 ， ， 在一条直线上，过点 作 ，垂足为点 ．则 ， ， 之间的数
量关系：______；
（4）实践应用：正方形 中， ，若平面内存在点 满足 ， ，则
______．
【答案】（1） ，
（2） ， ，证明见解析
（3）
（4） 或
25【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】（1）根据已知得出 ，即可证明 ，得出 ，
，进而根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）同（1）的方法即可得证；
（ 3 ） 同 （ 1 ） 的 方 法 证 明 ， 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 出
，即可得出结论；
（4）根据题意画出图形，连接 ，以 为直径, 的中点为圆心作圆，以 点为圆心， 为半径作
圆，两圆交于点 ，延长 至 ，使得 ，证明 ，得出 ，
勾股定理求得 ，进而求得 ，根据相似三角形的性质即可得出 ，勾
股定理求得 ，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 交于点 ，
26【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵
∴ ，
故答案为： ， ．
【小问2详解】
结论： ， ；
证明：∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ， ，
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
【小问3详解】
，理由如下，
∵ ，
∴ ，
27【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
即 ，
又∵ 和 均为等腰直角三角形
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
【小问4详解】
解：如图所示，
连接 ，以 为直径, 的中点为圆心作圆，以 点为圆心， 为半径作圆，两圆交于点 ，
延长 至 ，使得 ，
则 是等腰直角三角形，
28【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ,
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴
∴
过点 作 于点 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中，
∴
∴
解得： ，则 ，
29【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
设 交于点 ，则 是等腰直角三角形，
∴
在 中，
∴
∴
又 ，
∴
∴
∴ ，
∴
∴ ，
在 中，
∴ ，
综上所述， 或
故答案为： 或 ．
30【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，直
径所对的圆周角是直角，熟练运用已知模型是解题的关键．
24. 综合与探究
如图，抛物线 上的点A，C坐标分别为 ， ，抛物线与x轴负半轴交于点B，点
M为y轴负半轴上一点，且 ，连接 ， ．
的
（1）求点M 坐标及抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接 ， ，当 时，求点P的坐标；
（3）点D是线段 (包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线 于点
N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与 相似，请直接写出点Q的坐标；
（4）将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点 ，点C的对应点为点 ，在抛物
线平移过程中，当 的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______， 的最小值为
______．
【答案】（1） ，
（2）
（3） ，
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（4） ，
【解析】
【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且 可得点M的坐标为 ，利用待定系数法可得抛
物线的解析式为 ；
（2）过点 P 作 轴于点 F，交线段 AC 于点 E，用待定系数法求得直线 AC 的解析式为
，设点 P 的横坐标为 ，则 ， ，故
，先求得 ，从而得到 ，解出p
的值，从而得出点P的坐标；
（3）由 可知，要使点Q，N，C为顶点的三角形与 相似，则以点Q，N，C为顶点
的三角形也是直角三角形，从而分 和 两种情况讨论，①当 ，
可推导B与点Q重合， ，即此时符合题意，利用求抛物线与 x轴交点的方法可求出点
Q 的 坐 标 ； ② 当 时 ， 可 推 导 ， 即 此 时 符 合 题 意 ， 再 证 明
，从而得到 ，再设点 的横坐标为q，则 ， ，
从而得到 ，解得q的值，从而得到点Q的坐标，最后综合①②即可；
（4）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点 ，
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由平移的性质可知， ， 的值最小就是 最小值，作出点C
关于直线 对称的对称点 ，连接 交直线 于点 ，连接 则此时 取得
最小值，即为 的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线 的解析式，
从而确定 的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定
新抛物线的顶点．
【小问1详解】
解：∵点M在y轴负半轴且 ，
∴
将 ， 代入 ，得
解得
∴抛物线的解析式为
【小问2详解】
解：过点P作 轴于点F，交线段AC于点E，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，得
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，解得 ，
∴直线AC的解析式为
设点P的横坐标为
则 ， ，
∴
∵ ，∴ ，解得 ，
∴
【小问3详解】
， ，
补充求解过程如下：
∵在 中， ，以点Q，N，C为顶点的三角形与 相似，
的
∴以点Q，N，C为顶点 三角形也是直角三角形，
又∵ 轴，直线 交直线 于点N，
∴ ，即点N不与点O是对应点．
故分为 和 两种情况讨论：
①当 时，由于 轴，
∴ 轴，即 在x轴上，
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又∵点Q在抛物线上，
∴此时点B与点Q重合，
作出图形如下：
此时 ，
又∵
∴ ，即此时符合题意，
令 ，
解得： (舍去)
∴点Q的坐标，也即点B的坐标是 ．
②当 时，作图如下：
∵ 轴，
∴ ，
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∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即此时符合题意，
∵ ，
∴ ，即
∵ ， ，
∴
∴ ，
设点 的横坐标为q，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： (舍去)，
∴ ，
∴点Q的坐标是
综上所述：点Q的坐标是 ， ；
【小问4详解】
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， ，
补充求解过程如下：
设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，
将点M向右平移m个单位长度得到点 ，作出图形如下：
由平移的性质可知， ，
∴ 的值最小就是 最小值，
显然点 在直线 上运用，
作出点C关于直线 对称的对称点 ，连接 交直线 于点 ，连接 则此时
取得最小值，即为 的长度，
∵点C关于直线 对称的对称的点是点 ，
∴ ，
∴ ，
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设直线 的解析式是：
将点 ， 代入得：
解得：
直线 的解析式是：
令 ，解得： ，
∴ ，
∴平移的距离是
又∵ ，
∴平移前的抛物线的坐标是
∴新抛物线的顶点坐标为 即
故答案是： ， ．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与
相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换
思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨
论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M向反
方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．
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