文档内容
二○二四年齐齐哈尔市初中学业考试
数学试卷
考生注意：
1．考试时间120分钟
2．全卷共三道大题，总分120分
3．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置
一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)
1. 实数 的相反数是（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可．
【详解】 的相反数是5．
故选：A．
2. 下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，轴对称图形的定义：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做
对称轴，根据定义即可判断出答案．
【详解】解：选项 是轴对称图形，不是中心对称图形，故 不符合题意；
选项 是轴对称图形，不是中心对称图形，故 不符合题意；
选项 是轴对称图形，不是中心对称图形，故 不符合题意；
选项 是轴对称图形，也是中心对称图形，故 符合题意；
1故选：
【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟记两种图形的特点并准确判断是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂相乘、除，根据运算法则逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、 ，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项不符合题意；
C、 ，故该选项不符合题意；
D、 ，故该选项符合题意；
故选：D
4. 将一个含 角的三角尺和直尺如图放置，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求
解．
【详解】解：如图所示，
2由题意得 ， ， ，
∴ ，
故选：B．
5. 如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（
）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9·
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据从左面看得到的图形是左视图，从上面看的到的视图是俯视
图，再根据面积的和，可得答案．
【详解】左视图：
俯视图：
的
∴该几何体左视图与俯视图 面积和是：
故选：B
6. 如果关于 的分式方程 的解是负数，那么实数 的取值范围是（ ）
A. 且 B. C. D. 且
【答案】A
3【解析】
【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的
解是负数得到 ，并结合分式方程的解满足最简公分母不为 ，求出 的取值范围即可，熟练掌握
解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以 得， ，
解得 ，
∵分式方程的解是负数，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 且 ，
故选： ．
7. 六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且
每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项
目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，分别用 A、B、C、D表示篮球、足球、排球、羽毛球，
根据题意画树状图求解即可．
【详解】解：分别用A、B、C、D表示篮球、足球、排球、羽毛球，
列树状图如下：
4由树状图可知，共有 种等可能情况，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的情况有
种，
即甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是 ，
故选：C．
8. 校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用
于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（ ）
A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为 个，根据题
意列出方程，根据整数解的个数，即可求解．
【详解】解：设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为 个，
依题意，
∴
∵ ， 为正整数，
∴当 时， ，
当 时，
当 时，
当 时，
∴购买方案有4种，
故选：B．
59. 如图，在等腰 中， ， ，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线
和射线 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接 ，以
为边向下做正方形 ，设点E运动的路程为 ，正方形 和等腰
重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之
间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当 与 重合时，及当 时图象的
走势，和当 时图象的走势即可得到答案．
【详解】解：当 与 重合时，设 ，由题可得：
∴ ， ，
在 中，由勾股定理可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
6∵ ，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当 在 下方时，设 ，由题可得：
∴ ， ，
∵ ， ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∵ ，
∴图象为开口向下的抛物线的一部分，
综上所述：A正确，
故选：A．
10. 如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， ，其中 ．结合图
象给出下列结论：
7① ；② ；
③当 时， 随 的增大而减小；
④关于 的一元二次方程 的另一个根是 ；
⑤ 的取值范围为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系、一元二次
方程的解判断结论④；利用结论④及题中条件 可求得 的取值范围，再由结论② 可得
取值范围，判断⑤是否正确．
【详解】解：由图可得： ，对称轴 ，
，
，①错误；
由图得，图象经过点 ，将 代入 可得 ，
，②正确；
该函数图象与 轴的另一个交点为 ，且 ，
8对称轴 ，
该图象中，当 时， 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大而增大，
当 时， 随着 的增大而减小，
③正确；
， ，
关于 的一元二次方程 的根为
，
，
， ，
④正确；
，即 ，
解得 ，
即 ，
，
，
⑤正确．
综上，②③④⑤正确，共 个．
9故选： ．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程中抛物线与 轴的交点问
题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式中根据交点确定不等式的解集，解题关键是熟练
掌握二次函数的图象与性质．
二、填空题(每小题3分，满分21分)
11. 共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共青团员 万名．将 万用科学
记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整
数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值大于 与小数点移动的位数相
同．
【详解】解： 万 ，
故答案为：
12. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴
于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线 ，
若 ，则 ______．
【答案】2
10【解析】
【分析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点H在第一
象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案．
【详解】解：根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数；
，
解得： ，
故答案为： ．
13. 在函数 中，自变量 的取值范围是______．
【答案】 且
【解析】
【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组
解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得， ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
14. 若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为______cm．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧
长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 ，然后解方程即可
得母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为R，
根据题意得 ，
解得： ．
11即圆锥的母线长为 ，
∴圆锥的高 cm，
故答案是： ．
15. 如图，反比例函数 的图象经过平行四边形 的顶点 ， 在 轴上，若点
， ，则实数 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数，根据 的纵坐标相同以及点 在反比例函数上得到 的坐标，进而
用代数式表达 的长度，然后根据 列出一元一次方程求解即可．
【详解】 是平行四边形
纵坐标相同
的纵坐标是
在反比例函数图像上
将 代入函数中，得到
12的纵坐标为
即：
解得：
故答案为： ．
16. 已知矩形纸片 ， ， ，点P在边 上，连接 ，将 沿 所在的直线
折叠，点B的对应点为 ，把纸片展平，连接 ， ，当 为直角三角形时，线段 的长为
______．
【答案】 或2
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，分两种情况进
行讨论：当 时，当 ，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
当 时，如图所示：
13∵ ，
∴点 在 上，
根据折叠可知： ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
，
在 中，根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 ；
当 ，如图所示：
根据折叠可知： ，
∴ ，
∵ ， ，
14∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
综上分析可知： 或2．
故答案为： 或2，
17. 如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三
角形 OBC 置于平面直角坐标系中，点 O 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，点 C 在第一象限，
．将 沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点
O的对应点为 ，点C的对应点为 ， 与 的交点为 ，称点 为第一个“花朵”的花心，点
为第二个“花朵”的花心；……；按此规律， 滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的
花心的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角的性质，点的坐标规律探索．连接 ，求得 ，
15， ，分别得到 ， ， ， ，推导得到
， 滚动一次得到 ， 滚动四次得到 ， 滚动七次
得到 ，由此得到 滚动2024次后停止滚动，则 ，据此求解即可．
【详解】解：连接 ，
由题意得 ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
，
同理 ，
，
，
滚动一次得到 ， 滚动四次得到 ， 滚动七次得到 ，
16∴ 滚动2024次后停止滚动，则 时， ，
故答案为： ．
三、解答题(本题共7道大题，共69分)
18. (1)计算：
(2)分解因式：
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，因式分解；
（1）根据算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，进行计算即可求解；
（2）先提公因式 ，进而根据平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
19. 解方程：x2﹣5x+6＝0
【答案】x＝2，x＝3
1 2
【解析】
【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.
【详解】利用因式分解法求解可得．
解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x＝2，x＝3．
1 2
17【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.
20. 为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了
整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成 四组进行整理．
(满分 分，所有竞赛成绩均不低于 分)如下表：
组别
成绩(
/分)
人数
(人)
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ______， ______；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中， 组对应的圆心角的度数是______ ；
的
（4）若竞赛成绩 分以上(含 分)为优秀，请你估计该校参加竞赛 名学生中成绩为优秀的人数．
【答案】（1） ， ；
（2）补图见解析； （3） ；
（4） ．
【解析】
【分析】（ ）根据 组人数及其百分比求出抽取的学生人数，进而可求出 的值；
（ ）根据（ ）中 的值补图即可；
18（ ）用 乘以 组人数的占比即可求解；
（ ）用 乘以 分以上(含 分)的人数占比即可求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，统计表，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键．
【小问1详解】
解：抽取的学生人数为 人，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解： ，
故答案为： ；
【小问4详解】
解： ，
答：估计该校参加竞赛的 名学生中成绩为优秀的人数大约是 人．
21. 如图， 内接于 ， 为 的直径， 于点D，将 沿 所在的直线翻折，
得到 ，点D的对应点为E，延长 交 的延长线于点F．
19（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，由折叠的性质得 ， ，再证明
，推出 ，据此即可证明 是 的切线；
（2）先求得 ，在 中，求得 ，再利用扇形面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 沿直线 翻折得到 ，
∴ ， ，
20∵ 是 的半径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 于点C，
又∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
21∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合
三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键．
22. 领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地
面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上
升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的
高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架
无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象
解答下列问题：
（1） ______米/秒， ______秒；
（2）求线段 所在直线的函数解析式；
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可)
【答案】（1）8，20
（2） ；
（3）2秒或10秒或16秒．
【解析】
【分析】本题主要考查求一次函数 的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
（1）根据图形计算即可求解；
（2）先求得甲无人机单独表演所用时间为 秒，得到 ，利用待定系数法即可求解；
22（3）利用待定系数法分别求得线段 、线段 、线段 所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，
列式计算即可求解
【小问1详解】
解：由题意得甲无人机的速度为 米/秒，
，
故答案为：8，20；
【小问2详解】
解：由图象知， ，
的
∵甲无人机 速度为8米/秒，
甲无人机匀速从0米到96米所用时间为 秒，
甲无人机单独表演所用时间为 秒，
∴ 秒，
∴ ，
设线段 所在直线的函数解析式为 ，
将 ， 代入得 ，
解得 ，
∴线段 所在直线的函数解析式为 ；
【小问3详解】
解：由题意 ， ，
同理线段 所在直线的函数解析式为 ，
线段 所在直线的函数解析式为 ，
23线段 所在直线的函数解析式为 ，
当 时，由题意得 ，
解得 或 （舍去），
当 时，由题意得 ，
解得 或 （舍去），
当 时，由题意得 ，
解得 或 （舍去），
综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米．
23. 综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为
“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在 中，
，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，作 交 的延长线于点 ．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段 与 的数量关系是______；
（2）【问题解决】如图3，连接 并延长交 的延长线于点 ，若 ， ，求 的
面积；
24（3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接 交 于点 ，则 ______；
（4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线 上找点 ，使 ，请直接写出线段 的长
度．
【答案】（1）
（2）10 （3）
（4） 或
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质可得 ， ，进而证明 ，即可求
解；
（2）根据（1）的方法证明 ，进而证明 ，求得 ，则
，然后根据三角形的面积公式，即可求解．
（3）过点 作 于点 ，证明 得出 ，证明 ，设
，则 ，代入比例式，得出 ，进而即可求解；
（4）当 在 点的左侧时，过点 作 于点 ，当 在 点的右侧时，过点 作 交
的延长线于点 ，分别解直角三角形，即可求解．
【小问1详解】
解：∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，作 交 的延长线于点 ．
25，
，
，
，
，
又 且
，
；
【小问2详解】
解： ，
，
，
，
，
又 且 ，
，
26，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图所示，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴
∴ ，
27即 ，即 ，
又∵
∴
∴ ，
设 ，则 ，
解得：
∴ ；
【小问4详解】
解：如图所示，当 在 点的左侧时，过点 作 于点
∵
∴ ，设 ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
28∴
∴
∴
∴ ，
解得：
在 中，
∴
∴
如图所示，当 在 点的右侧时，过点 作 交 的延长线于点 ，
∵
∴
∵
29∴
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴
解得：
∴
∴
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
24. 综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，过
A，C两点的抛物线 与x轴的另一个交点为点 ，点P是抛物线位于第四象
限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线 于点E，点F．
30（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是x轴上的任意一点，若 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）当 时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接
，则 的最小值为______．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的
关键．
（1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
（2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答；
（3）先证明 可得 ，设 ，则
,可得 ，即 ，求得可得m的值，进而求得点P的坐标；
31（4）如图：将线段 向右平移 单位得到 ,即四边形 是平行四边形，可得
,即 ，作 关于对称轴 的点 ,则 ，由
两点间的距离公式可得 ，再根据三角形的三边关系可得
即可解答．
【小问1详解】
解：∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
∵ ，
∴设抛物线的解析式为 ，
把 代入可得： ，解得： ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ．
【
小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ,
32∴ ，
如图：当 ，
∴ ,即 ；
如图：当 ，
∴ ,即 ；
如图：当 ，
∴ ,即 ；
综上，点D的坐标为 ．
【小问3详解】
解：如图：∵ 轴，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ,
33∵设 ，则 ,
∴ ，
∴ ，解得： （负值舍去），
当 时， ，
∴ ．
【小问4详解】
解： ∵抛物线的解析式为： ，
∴抛物线的对称轴为：直线 ，
如图：将线段 向右平移 单位得到 ,
∴四边形 是平行四边形，
∴ ,即 ,
作 关于对称轴 的点 ,则
∴ ,
∵ ，
34∴ 的最小值为 ．
故答案为 ．
35
