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2016年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． 等边三角形 B． 正五边形
C． 矩形 D． 平行四边形
2．下列计算正确的是（ ）
A．2a3•3a2=6a6 B．a3+2a3=3a6
C．a÷b× =a D．（﹣2a2b）3=﹣8a6b3
3．由若干个小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体所用的小
正方体的个数最少是（ ）
A．8B．9C．10 D．11
4．在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≥1
5．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球
然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，直线y=2x﹣6不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（ ）A．3B．2.5 C．4D．3.5
8．将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（ ）
A．4B．6C．8D．10
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=6 ，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等
于（ ）
A．2B．3C．3 D．2
10．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（
）
A．71 B．78 C．85 D．89
[来源:学。科。网]
11．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣8，﹣1），B（﹣6，﹣9），C（﹣2．﹣9），D（﹣4，﹣1）．先
将四边形ABCD沿x轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四
边形A B C D ，最后将四边形A B C D ，绕着点A 旋转，使旋转后的四边形对角线的交点
1 1 1 1 1 1 1 1 1
落在x轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为（ ）
A．（4，0）B．（5，0）C．（4，0）或（﹣4，0）D．（5，0）或（﹣5，0）
12．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为
点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以
下结论：
①FH=2BH；②AC⊥FH；③S =1；④CE= AF；⑤EG2=FG•DG，
△ACF其中正确结论的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（每小题3分，满分24分）
13．时光飞逝，小学、中学的学习时光已过去，九年的在校时间大约有16200小时，请将数
16200用科学记数法表示为______．
14．如图，AD和CB相交于点E，BE=DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE（只添一个即
可），你所添加的条件是______．
15．某商品的进价为每件100元，按标价打八折售出后每件可获利20元，则该商品的标价为
每件______元．
16．若四个互不相等的正整数中，最大的数是8，中位数是4，则这四个数的和为______．
17．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC=______度．
18．已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1=______．
19．如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，
若AD=4，则DC=______．
20．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC+BD=40，AB=12，点E是BC边上一点，
直线OE交CD边所在的直线于点F，若OE=2 ，则DF=______．三、解答题(满分60分）
21．先化简，再求值： ÷（x﹣ ），其中x=﹣2．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，
且点B坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ）
23．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，BC=6，CD=5，过点A作AE⊥AD
且AE=AD，过点E作EF垂直于AC边所在的直线，垂足为点F，连接DF，请你画出图形，并
直接写出线段DF的长．24．为了解“足球进校园”活动开展情况，某中学利用体育课进行了定点射门测试，每人射
门5次，所有班级测试结束后，随机抽取了某班学生的射门情况作为样本，对进球的人数进
行整理后，绘制了不完整的统计图表，该班女生有22人，女生进球个数的众数为2，中位数为
3．
（1）求这个班级的男生人数；
（2）补全条形统计图，并计算出扇形统计图中进2个球的扇形的圆心角度数；
（3）该校共有学生1880人，请你估计全校进球数不低于3个的学生大约有______人．
25．快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，
快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早 小
时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程
y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）请直接写出快、慢两车的速度；
（2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式；
（3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案．26．在 ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．
▱
（1）如图①，求证：BP+BQ=BC；
（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=1，DP=3，则BC=______．
27．某绿色食品有限公司准备购进A和B两种蔬菜，B种蔬菜每吨的进价比A中蔬菜每吨的
进价多0.5万元，经计算用4.5万元购进的A种蔬菜的吨数与用6万元购进的B种蔬菜的吨
数相同，请解答下列问题：
（1）求A，B两种蔬菜每吨的进价；
（2）该公司计划用14万元同时购进A，B两种蔬菜，若A种蔬菜以每吨2万元的价格出售，B
种蔬菜以每吨3万元的价格出售，且全部售出，请求出所获利润W（万元）与购买A种蔬菜的
资金a（万元）之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，要求A种蔬菜的吨数不低于B种蔬菜的吨数，若公司欲将（2）中的最大
利润全部用于购买甲、乙两种型号的电脑赠给某中学，甲种电脑每台2100元，乙种电脑每台
2700元，请直接写出有几种购买电脑的方案．
28．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直
线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2=0的两个根（OA＞OC）．
（1）求点A，C的坐标；
（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y= （k≠0）的图象
的一个分支经过点E，求k的值；
（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶
点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．[来源:学。科。网]
2016 年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． 等边三角形 B． 正五边形
C． 矩形 D． 平行四边形
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
B、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
C、矩形是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项正确；
D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；
故选C．
2．下列计算正确的是（ ）
A．2a3•3a2=6a6 B．a3+2a3=3a6
C．a÷b× =a D．（﹣2a2b）3=﹣8a6b3
【考点】整式的混合运算；分式的乘除法．
【分析】A、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式不能合并，错误；
C、原式利用乘除法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=6a5，错误；
B、原式=3a3，错误；
C、原式=a× × = ，错误；
D、原式=﹣8a6b3，正确，
故选D
3．由若干个小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体所用的小
正方体的个数最少是（ ）A．8B．9C．10 D．11
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
【解答】解：综合主视图和俯视图，底层最少有5个小立方体，第二层最少有3个小立方体，第
三层最少有1个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是9个，
故选B．
4．在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x＜1 C．x≤1 D．x≥1
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x
的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故选：D．
5．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球
然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球
的标号之和等于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和等于5的有4种情况，
∴两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是： ．
故选C．6．在平面直角坐标系中，直线y=2x﹣6不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数的性质．
【分析】根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限．
【解答】解：∵由已知，得：k=2＜0，b=﹣6＜0，
∴图象经过第一、三、四象限，
∴必不经过第二象限．
故选：B．
7．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（ ）
A．3B．2.5 C．4D．3.5
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP= AB，利用勾股定理得到答案．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥OP，
∴AP= =3，∠APO=90°，又OA=5，
∴OP= = =4，
故选C．
8．将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．
【分析】抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后的到的新的二次函数的解析式为y=x2﹣9，
令x2﹣9=0求其解即可知道抛物线与x轴的交点的横坐标，两点之间的距离随即可求．
【解答】解：将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度，
其解析式变换为：y=x2﹣9
而抛物线y=x2﹣9与x轴的交点的纵坐标为0，
所以有：x2﹣9=0
解得：x =﹣3，x =3，
1 2则抛物线y=x2﹣9与x轴的交点为（﹣3，0）、（3，0），
所以，抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=6 ，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等
于（ ）
A．2B．3C．3 D．2
【考点】解直角三角形．
【分析】根据三角函数定义可得AD=AC•sin45°，从而可得AD的长，再利用正切定义可得BD
的长．
【解答】解：∵AC=6 ，∠C=45°，
∴AD=AC•sin45°=6 × =6，
∵tan∠ABC=3，
∴ =3，
∴BD= =2，
故选：A．
10．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（
）
A．71 B．78 C．85 D．89
【考点】规律型：图形的变化类．【分析】观察图形可知，第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形
的个数为3×3+2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；…；则第n个图形共有小正方
形的个数为（n+1）2+n，进而得出答案．
【解答】解：第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；
第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；
[来源:Zxxk.Com]
第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；
…；
则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n，
所以第8个图形共有小正方形的个数为：9×9+8=89．
故选D．
11．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣8，﹣1），B（﹣6，﹣9），C（﹣2．﹣9），D（﹣4，﹣1）．先
将四边形ABCD沿x轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四
边形A B C D ，最后将四边形A B C D ，绕着点A 旋转，使旋转后的四边形对角线的交点
1 1 1 1 1 1 1 1 1
落在x轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为（ ）
A．（4，0）B．（5，0）C．（4，0）或（﹣4，0）D．（5，0）或（﹣5，0）
【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-对称；坐标与图形变化-平移．
【分析】根据题意画出图形，发现有两种情况：①对角线交点落在x轴正半轴上，②对角线交
点落在x轴负半轴上；先求平移后的四边形A B C D 对角线交点E 的坐标，求OE 的长，从
1 1 1 1 1 1
而求出结论．
【解答】解：由题意得：A （0，0），C （6，8），
1 1
根据四个点的坐标可知：四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线交点E 是A C 的中点，
1 1 1
∴E （3，4），
1
由勾股定理得：A E = =5，
1 1
当对角线交点落在x轴正半轴上时，对角线的交点坐标为（5，0），
当对角线交点落在x轴负半轴上时，对角线的交点坐标为（﹣5，0），
故选D．12．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为
点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以
下结论：
①FH=2BH；②AC⊥FH；③S =1；④CE= AF；⑤EG2=FG•DG，
△ACF
其中正确结论的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】四边形综合题．
【分析】①②、证明△ABH≌△ADF，得AF=AH，再得AC平分∠FAH，则AM既是中线，又是
高线，得AC⊥FH，证明BH=HM=MF=FD，则FH=2BH；所以①②都正确；
③可以直接求出FC的长，计算S ≠1，错误；
△ACF
④根据正方形边长为2，分别计算CE和AF的长得结论正确；
⑤利用相似先得出EG2=FG•CG，再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1，则DG=CG，
所以⑤也正确．
【解答】解：①②如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠FAD=∠CAF=22.5°，
∵BH=DF，
∴△ABH≌△ADF，
∴AH=AF，∠BAH= FAD=22.5°，
∴∠HAC=∠FAC，
⊂
∴HM=FM，AC⊥FH，
∵AE平分∠DAC，
∴DF=FM，
∴FH=2DF=2BH，故选项①②正确；
③在Rt△FMC中，∠FCM=45°，
∴△FMC是等腰直角三角形，
∵正方形的边长为2，
∴AC=2 ，MC=DF=2 ﹣2，
∴FC=2﹣DF=2﹣（2 ﹣2）=4﹣2 ，
S = CF•AD≠1，
△AFC
所以选项③不正确；
④AF= = =2 ，
∵△ADF∽△CEF，
∴ ，
∴ ，
∴CE= ，
∴CE= AF，
故选项④正确；
⑤在Rt△FEC中，EG⊥FC，
∴EG2=FG•CG，
cos∠FCE= ，
∴CG= = =1，
∴DG=CG，
∴EG2=FG•DG，
故选项⑤正确；
本题正确的结论有4个，
故选C．二、填空题（每小题3分，满分24分）
13．时光飞逝，小学、中学的学习时光已过去，九年的在校时间大约有16200小时，请将数
16200用科学记数法表示为 1.6 2 × 1 0 4 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将16200用科学记数法表示为：1.62×104．
故答案为：1.62×104．
14．如图，AD和CB相交于点E，BE=DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE（只添一个即
可），你所添加的条件是 AE=CE ．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】由题意得，BE=DE，∠AEB=∠CED（对顶角），可选择利用AAS、SAS进行全等的判
定，答案不唯一．
【解答】解：添加AE=CE，
在△ABE和△CDE中，
∵ ，
∴△ABE≌△CDE（SAS），
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
故答案为：AE=CE．
15．某商品的进价为每件100元，按标价打八折售出后每件可获利20元，则该商品的标价为
每件 15 0 元．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设该商品的标价为每件为x元，根据八折出售可获利20元，可得出方程：80%x﹣
100=20，再解答即可．【解答】解：设该商品的标价为每件x元，
由题意得：80%x﹣100=20，
解得：x=150．
答：该商品的标价为每件150元．
故答案为：150．
16．若四个互不相等的正整数中，最大的数是8，中位数是4，则这四个数的和为 1 7 或 1 8
．
【考点】中位数．
【分析】根据中位数的定义得出第二个数和第三个数的和是8，再根据这四个数是不相等的正
整数，得出这两个数是3和5，再根据这些数都是正整数得出第一个数是2或1，再把这四个
数相加即可得出答案．
【解答】解：∵中位数是4，最大的数是8，
∴第二个数和第三个数的和是8，
∵这四个数是不相等的正整数，
∴这两个数是3和5，
∴这四个数是1，3，5，8或2，3，5，8，
∴这四个数的和为17或18；
故答案为：17或18．
17．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC= 3 0 度．
【考点】圆周角定理．
【分析】连接AC，首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后根据直角三角形
的两边利用锐角三角函数确定∠A的度数，然后利用圆周角定理确定答案即可．
【解答】解：连接AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=6，BC=3，
∴sin∠CAB= = = ，
∴∠CAB=30°，
∴∠BDC=30°，
故答案为：30．18．已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1= ﹣ 3 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】将点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c（a≠0），即可求得4a+c的值，进一步求得4a+c﹣1的
值．
【解答】解：把点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c，得
4a+6+c=4，
∴4a+c=﹣2，
∴4a+c﹣1=﹣3，
故答案为﹣3．
19．如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，
若AD=4，则DC= 5 ．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到BF=CF= BC，由AB的垂直平分
线交AB于点E，得到BD=AD=4，设DF=x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：过A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，
∴BF=CF= BC，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，
∴BD=AD=4，
设DF=x，
∴BF=4+x，
∵AF2=AB2﹣BF2=AD2﹣DF2，
即16﹣x2=36﹣（4+x）2，
∴x=1，
∴CD=5，
故答案为：5．20．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC+BD=40，AB=12，点E是BC边上一点，
直线OE交CD边所在的直线于点F，若OE=2 ，则DF= 1 8 或 3 0 ．
【考点】矩形的性质．
【分析】作ON⊥BC于N，由矩形的性质得出∠ABC=90°，AD∥BC，CD=AB=12，OA=OC=
AC，OB=OD= BD，AC=BD，得出OB=OC，AC=BD=20，由勾股定理求出BC，由等腰三角形
的性质得出BN=CN= BC=8，由三角形中位线定理得出ON= AB=6，再由勾股定理求出
EN，分两种情况：①求出CE的长，由平行线得出△DMF∽△CEF，得出对应边成比例，即可
得出结果；②求出CE的长，由平行线证出△ONE∽△FCE，得出对应边成比例求出CF，即可
得出DF的长．
【解答】解：作ON⊥BC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，CD=AB=12，
OA=OC= AC，OB=OD= BD，AC=BD，
∴OB=OC，
∵AC+BD=40，
∴AC=BD=20，
∴BC= = =16，
∵ON⊥BC，
∴BN=CN= BC=8，
∴ON= AB=6，
∴EN= = =2，
∴CE=CN+EN=10，
分两种情况：①如图1所示：∵AD∥BC，OB=OD，
∴DM：BE=OD：OB=1，△DMF∽△CEF，
∴DM=BE=BC﹣CE=6， ，
即 ，
解得：DF=18；
②如图2所示：由①得：CE=CN﹣EN=6，
∵CD⊥BC，ON⊥BC，
∴ON∥CD，
∴△ONE∽△FCE，
∴ ，即 ，
解得：CF=18，
∴DF=CD+CF=12+18=30；
故答案为：18或30．
三、解答题(满分60分）
21．先化简，再求值： ÷（x﹣ ），其中x=﹣2．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式= ÷
= •
= ，
当x=﹣2时，原式= =﹣ ．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，
且点B坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ）
【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）将已知点的坐标代入二次函数的解析式，解关于b、c的二元一次方程组即可；
（2）过点P作PH⊥Y轴于点H，过点B作BM∥y轴交直线PH于点M，过点C作CN⊥y轴
叫直线BM于点N，则S =S ﹣S ﹣S ﹣S
△CPB 矩形CHMN △CHP △PMB △CNB
【解答】i解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点（﹣1，8）与点B（3，0），
∴
解得：
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3
（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴P（2，﹣1）
过点P作PH⊥Y轴于点H，过点B作BM∥y轴交直线PH于点M，过点C作CN⊥y轴叫直
线BM于点N，如下图所示：S =S ﹣S ﹣S ﹣S
△CPB 矩形CHMN △CHP △PMB △CNB
=3×4﹣ ×2×4﹣ ﹣
=3
即：△CPB的面积为3
23．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，BC=6，CD=5，过点A作AE⊥AD
且AE=AD，过点E作EF垂直于AC边所在的直线，垂足为点F，连接DF，请你画出图形，并
直接写出线段DF的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【分析】分两种情况：①点E在CF上方，根据直角三角形的性质得出AC=8，作DG⊥AC可得
AG=4、DG=3，再证△EAF≌△ADG可得AF=DG=3，即GF=7，由勾股定理即可得答案；②点
E在AC下方时，与①同理可得．
【解答】解：①如图1，当点E在CF上方时，
[来源:学科网ZXXK]
∵点D为斜边AB的中点，BC=6，CD=5，
∴CD=AD=DB= AB=5，
∴AB=10，AC=8，
过点D作DG⊥AC于G，
∴AG=CG= AC=4，DG= BC=3，∠EFA=∠AGD=90°，
∴∠EAF+∠AEF=90°，又∵AE⊥AD，
∴∠EAF+∠DAG=90°，
∴∠AEF=∠DAG，
在△EAF和△ADG中，
∵ ，
∴△EAF≌△ADG（AAS），
∴AF=DG=3，
∴在Rt△DFG中，DF= = = ；
②如图2，当点E在AC下方时，作DH⊥AC于H，
与①同理可得△DAH≌△AEF，
∴AF=DH=3，
∴FH=AH﹣AF=1，
则DF= = = ，
综上，DF的长为 或 ．
24．为了解“足球进校园”活动开展情况，某中学利用体育课进行了定点射门测试，每人射
门5次，所有班级测试结束后，随机抽取了某班学生的射门情况作为样本，对进球的人数进
行整理后，绘制了不完整的统计图表，该班女生有22人，女生进球个数的众数为2，中位数为
3．
女生进球个数的统计表
进球数（个） 人数
0 1
1 2
2 x
3 y
4 4
5 2
（1）求这个班级的男生人数；（2）补全条形统计图，并计算出扇形统计图中进2个球的扇形的圆心角度数；
（3）该校共有学生1880人，请你估计全校进球数不低于3个的学生大约有 116 0 人．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数．
【分析】（1）根据进球数为3个的人数除以占的百分比求出男生总人数即可；
（2）求出进球数为4个的人数，以及进球数为2个的圆心角度数，补全条形统计图即可；
（3）求出进球数不低于3个的百分比，乘以1880即可得到结果．
【解答】解：（1）这个班级的男生人数为6÷24%=25（人），
则这个班级的男生人数为25人；
（2）男生进球数为4个的人数为25﹣（1+2+5+6+4）=7（人），进2个球的扇形圆心角度数为
360°× =72°；
补全条形统计图，如图所示：
（3）根据题意得：1880× =1160（人），
则全校进球数不低于3个的学生大约有1160人．
故答案为：1160
25．快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，
快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早 小
时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程
y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）请直接写出快、慢两车的速度；（2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式；
（3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案．
【考点】一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式．
【分析】（1）根据路程与相应的时间，求得快车与慢车的速度；
（2）先求得点C的坐标，再根据点D的坐标，运用待定系数法求得CD的解析式；
（3）分三种情况：在两车相遇之前；在两车相遇之后；在快车返回之后，分别求得时间即可．
【解答】解：（1）快车速度：180×2÷（ ）=120千米/时，
慢车速度：120÷2=60千米/时；
（2）快车停留的时间： ﹣ ×2= （小时），
+ =2（小时），即C（2，180），
设CD的解析式为：y=kx+b，则
将C（2，180），D（ ，0）代入，得
，
解得 ，
∴快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式为y=﹣120x+420（2≤x≤ ）；
（3）相遇之前：120x+60x+90=180，解得x= ；
相遇之后：120x+60x﹣90=180，
解得x= ；
快车从甲地到乙地需要180÷120= 小时，
快车返回之后：60x=90+120（x﹣ ﹣ ）
解得x=
综上所述，两车出发后经过 或 或 小时相距90千米的路程．
26．在 ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．
▱
（1）如图①，求证：BP+BQ=BC；
（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=1，DP=3，则BC= 2 或 4 ．
【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据平行四边形的性质证明△ADP≌△CBQ，得BQ=PD，由AD=BD=BC得：
BC=BD=BP+PD=BP+BQ；
（2）图②，证明△ABP≌△CDQ，得PB=DQ，根据线段的和得结论；
图③，证明△ADP≌△CBQ，得PD=BQ，同理得出结论；
（3）分别代入图①和图②条件下的BC，计算即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵AP∥CQ，
∴∠APQ=∠CQB，
∴△ADP≌△CBQ，
∴DP=BQ，
∵AD=BD，AD=BC，
∴BD=BC，
∵BD=BP+DP，
∴BC=BP+BQ；
（2）图②：BQ﹣BP=BC，理由是：
∵AP∥CQ，
∴∠APB=∠CQD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠ABP=∠CDQ，
∵AB=CD，
∴△ABP≌△CDQ，
∴BP=DQ，
∴BC=AD=BD=BQ﹣DQ=BQ﹣BP；
图③：BP﹣BQ=BC，理由是：
同理得：△ADP≌△CBQ，
∴PD=BQ，
∴BC=AD=BD=BP﹣PD=BP﹣BQ；
（3）图①，BC=BP+BQ=DQ+PD=1+3=4，
图②，BC=BQ﹣BP=PD﹣DQ=3﹣1=2，
∴BC=2或4．
27．某绿色食品有限公司准备购进A和B两种蔬菜，B种蔬菜每吨的进价比A中蔬菜每吨的
进价多0.5万元，经计算用4.5万元购进的A种蔬菜的吨数与用6万元购进的B种蔬菜的吨
数相同，请解答下列问题：
（1）求A，B两种蔬菜每吨的进价；
（2）该公司计划用14万元同时购进A，B两种蔬菜，若A种蔬菜以每吨2万元的价格出售，B
种蔬菜以每吨3万元的价格出售，且全部售出，请求出所获利润W（万元）与购买A种蔬菜的
资金a（万元）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，要求A种蔬菜的吨数不低于B种蔬菜的吨数，若公司欲将（2）中的最大
利润全部用于购买甲、乙两种型号的电脑赠给某中学，甲种电脑每台2100元，乙种电脑每台
2700元，请直接写出有几种购买电脑的方案．【考点】一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质．
【分析】（1）设每吨A种蔬菜的进价为x万元，每吨B种蔬菜的进价为（x+0.5）万元，根据用
4.5万元购进的A种蔬菜的吨数与用6万元购进的B种蔬菜的吨数相同，可列分式方程求解；
（2）根据所获利润W=A种蔬菜出售所获利润+B种蔬菜出售所获利润，列出函数解析式并化
简即可；
（3）先根据A种蔬菜的吨数不低于B种蔬菜的吨数，求得a的取值范围，再根据一次函数
W=﹣ a+7的性质，求得最大利润，最后根据电脑的价格判断购买电脑的方案数量．
【解答】解：（1）设每吨A种蔬菜的进价为x万元，则每吨B种蔬菜的进价为（x+0.5）万元，依
题意得
，
解得x=1.5，
经检验：x=1.5是原方程的解，
∴x+0.5=2，
∴每吨A种蔬菜的进价为1.5万元，每吨B种蔬菜的进价为2万元；
（2）根据题意得，W=（2﹣1.5）× +（3﹣2）× =﹣ a+7，
∴所获利润W（万元）与购买A种蔬菜的资金a（万元）之间的函数关系式为：
W=﹣ a+7；
（3）当 ≥ 时，a≥6，
∵在一次函数W=﹣ a+7中，W随着a的增大而减小，
∴当a=6时，W有最大值，W的最大值为﹣1+7=6（万元），
设购买甲种电脑a台，购买乙种电脑b台，则2100a+2700b=60000，
∵a和b均为整数，
∴有三种购买方案．
28．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直
线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2=0的两个根（OA＞OC）．
（1）求点A，C的坐标；（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y= （k≠0）的图象
的一个分支经过点E，求k的值；
（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶
点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程x2﹣3x+2=0即可得出OA、OC的值，再根据点
所在的位置即可得出A、C的坐标；
（2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式，根据点A、B的横坐标结合
点E为线段AB的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线CD的解析式中即可求出点E
的坐标，再利用待定系数法即可求出k值；
（3）假设存在，设点M的坐标为（m，﹣m+1），分别以BE为边、BE为对角线来考虑．根据菱
形的性质找出关于m的方程，解方程即可得出点M的坐标，再结合点B、E的坐标即可得出
点N的坐标．
【解答】解：（1）x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）=0，
∴x =1，x =2，
1 2
∵OA＞OC，
∴OA=2，OC=1，
∴A（﹣2，0），C（1，0）．
（2）将C（1，0）代入y=﹣x+b中，
得：0=﹣1+b，解得：b=1，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+1．
∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，
∴点E的横坐标为﹣1．
∵点E为直线CD上一点，
∴E（﹣1，2）．
将点E（﹣1，2）代入y= （k≠0）中，
得：2= ，解得：k=﹣2．
（3）假设存在，设点M的坐标为（m，﹣m+1），以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：
①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，
∴B（0，4），
∴BE= AB= = ．
∵四边形BEMN为菱形，
∴EM= =BE= ，
解得：m = ，m = ，
1 2
∴M（ ，2+ ）或（ ，2﹣ ），
∵B（0，4），E（﹣1，2），
∴N（﹣ ，4+ ）或（ ，4﹣ ）；
②以线段BE为对角线时，MB=ME，
∴ = ，
解得：m =﹣ ，
3
∴M（﹣ ， ），
∵B（0，4），E（﹣1，2），
∴N（0﹣1+ ，4+2﹣ ），即（ ， ）．
综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为
（﹣ ，4+ ）、（ ，4﹣ ）或（ ， ）．2016年9月30日
