文档内容
2016 年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．地球上的海洋面积为361 000 000平方千米，数字361 000 000用科学记数法表示为（
）
A．36.1×107 B．0.361×109 C．3.61×108 D．3.61×107
2．已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a•b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0
3．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．一组对边平行的四边形是平行四边形
D．四边相等的四边形是菱形
4．当0＜x＜1时，x2、x、 的大小顺序是（ ）
A．x2 B． ＜x＜x2 C． ＜x D．x＜x2＜
5．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的
是一个红球、一个白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则构成这
个几何体的小正方体有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
7．下列图形中是中心对称图形的有（ ）个．
1A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作
为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．已知A（x，y）、B（x，y）、C（x，y）是反比例函数y= 上的三点，若x＜x＜x，y＜y＜
1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 1
y，则下列关系式不正确的是（ ）
3
A．x•x＜0 B．x•x＜0 C．x•x＜0 D．x+x＜0
1 2 1 3 2 3 1 2
10．若x 是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax+1）2，则M与N的大小关系
0 0
正确的为（ ）
A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
12．若am=2，an=8，则am+n= ．
13．甲乙两人进行飞镖比赛，每人各投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为
15，乙所得环数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
14．如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC= ．
215．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角
形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为
．
16．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后
到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为 海里/小时．
17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10 ，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部
分面积为 ．
18．直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A（x，y）、B（x，y）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一
1 1 2 2
个定点，该定点坐标为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．计算（ +1）2﹣π0﹣|1﹣ |
320．已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
21．关于x的两个不等式① ＜1与②1﹣3x＞0
（1）若两个不等式的解集相同，求a的值；
（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．
22．某车间计划加工360个零件，由于技术上的改进，提高了工作效率，每天比原计划多加工
20%，结果提前10天完成任务，求原计划每天能加工多少个零件？
23．为了了解某学校初四年纪学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初四年
级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统
计图（图二）：
（1）根据以上信息回答下列问题：
①求m值．
②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数．
③补全条形统计图．
（2）直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数．
424．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点
E．
（1）求证：AG=CG．
（2）求证：AG2=GE•GF．
25．如图，P、P 是反比例函数y= （k＞0）在第一象限图象上的两点，点A 的坐标为（4，0）．
1 2 1
若△POA 与△PAA 均为等腰直角三角形，其中点P、P 为直角顶点．
1 1 2 1 2 1 2
（1）求反比例函数的解析式．
（2）①求P 的坐标．
2
②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P、P 的一次函数的函数值
1 2
大于反比例函数y= 的函数值．
526．由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y（万
1
m3）与干旱持续时间x（天）的关系如图中线段l 所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向
1
水库注水，注水量y（万m3）与时间x（天）的关系如图中线段l 所示（不考虑其它因素）．
2 2
（1）求原有蓄水量y（万m3）与时间x（天）的函数关系式，并求当x=20时的水库总蓄水量．
1
（2）求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y（万m3）与时间x（天）的函数关系式（注明x的范围），
若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．
27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，
连接MH．
（1）求证：MH为⊙O的切线．
（2）若MH= ，tan∠ABC= ，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N
点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．
628．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C：y=﹣2x2+4x+2与C：
1 1 2
u=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．
2
（1）求抛物线C 的解析式．
2
（2）点A是抛物线C 上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值．
2
（3）设抛物线C 的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在C 的对称轴上是否存在点M，使线
2 2
段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C 上？若存在求出点
2
M的坐标，不存在说明理由．
72016 年黑龙江省大庆市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．地球上的海洋面积为361 000 000平方千米，数字361 000 000用科学记数法表示为（
）
A．36.1×107B．0.361×109C．3.61×108D．3.61×107
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：361 000 000用科学记数法表示为3.61×108，
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a•b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0
【考点】实数与数轴．
【分析】根据点a、b在数轴上的位置可判断出a、b的取值范围，然后即可作出判断．
【解答】解：根据点a、b在数轴上的位置可知1＜a＜2，﹣1＜b＜0，
∴ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|，a﹣b＞0，．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是数轴的认识、有理数的加法、减法、乘法法则的应用，掌握法则是解
题的关键．
3．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
8C．一组对边平行的四边形是平行四边形
D．四边相等的四边形是菱形
【考点】矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定．
【分析】直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案．
【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误；
C、两组组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误；
D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确．
故选．
【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定．注意掌握各特殊平行四
边形对角线的性质是解此题的关键．
4．当0＜x＜1时，x2、x、 的大小顺序是（ ）
A．x2 B． ＜x＜x2C． ＜x D．x＜x2＜
【考点】不等式的性质．
【分析】先在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，再在不等式0＜x＜1的两边都除以x，根据所得
结果进行判断即可．
【解答】解：当0＜x＜1时，
在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，可得0＜x2＜x，
在不等式0＜x＜1的两边都除以x，可得0＜1＜ ，
又∵x＜1，
∴x2、x、 的大小顺序是：x2＜x＜ ．
故选（A）
【点评】本题主要考查了不等式，解决问题的根据是掌握不等式的基本性质．不等式的两边同
时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或 ＞
．
95．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的
是一个红球、一个白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红
球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，
∴取到的是一个红球、一个白球的概率为： = ．
故选C．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概
率=所求情况数与总情况数之比．
6．由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则构成这
个几何体的小正方体有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，故可得出
该几何体的小正方体的个数．
【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有2+1+1+1=5个小正方体，
第二层应该有2个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是5+2=7个．
10故选C
【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能
力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得
到答案．
7．下列图形中是中心对称图形的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第2个、第4个图形是中心对称图形，共2个．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180
度后两部分重合．
8．如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作
为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题与定理．
【分析】直接利用平行线的判定与性质分别判断得出各结论的正确性．
【解答】解：如图所示：当①∠1=∠2，
则∠3=∠2，
故DB∥EC，
则∠D=∠4，
11当②∠C=∠D，
故∠4=∠C，
则DF∥AC，
可得：∠A=∠F，
即 ⇒③；
当①∠1=∠2，
则∠3=∠2，
故DB∥EC，
则∠D=∠4，
当③∠A=∠F，
故DF∥AC，
则∠4=∠C，
故可得：∠C=∠D，
即 ⇒②；
当③∠A=∠F，
故DF∥AC，
则∠4=∠C，
当②∠C=∠D，
则∠4=∠D，
故DB∥EC，
则∠2=∠3，
可得：∠1=∠2，
即 ⇒①，
故正确的有3个．
故选：D．
12【点评】此题主要考查了命题与定理，正确掌握平行线的判定与性质是解题关键．
9．已知A（x，y）、B（x，y）、C（x，y）是反比例函数y= 上的三点，若x＜x＜x，y＜y＜
1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 1
y，则下列关系式不正确的是（ ）
3
A．x•x＜0 B．x•x＜0 C．x•x＜0 D．x+x＜0
1 2 1 3 2 3 1 2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数y= 和x＜x＜x，y＜y＜y，可得点A，B在第三象限，点C在第一
1 2 3 2 1 3
象限，得出x＜x＜0＜x，再选择即可．
1 2 3
【解答】解：∵反比例函数y= 中，2＞0，
∴在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵x＜x＜x，y＜y＜y，
1 2 3 2 1 3
∴点A，B在第三象限，点C在第一象限，
∴x＜x＜0＜x，
1 2 3
∴x•x＜0，
1 2
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的
增减性，本题是逆用，难度有点大．
10．若x 是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax+1）2，则M与N的大小关系
0 0
正确的为（ ）
A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x 代入方程ax2+2x+c=0得ax2+2x=﹣c，作差法比较可得．
0 0 0
【解答】解：∵x 是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
0
13∴ax2+2x+c=0，即ax2+2x=﹣c，
0 0 0 0
则N﹣M=（ax+1）2﹣（1﹣ac）
0
=a2x2+2ax+1﹣1+ac
0 0
=a（ax2+2x）+ac
0 0
=﹣ac+ac
=0，
∴M=N，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立
的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．函数y= 的自变量x的取值范围是 x≥ ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0，
解得x≥ ．
故答案为：x≥ ．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．若am=2，an=8，则am+n= 1 6 ．
【考点】同底数幂的乘法．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用同底数幂的乘法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵am=2，an=8，
∴am+n=am•an=16，
故答案为：16
14【点评】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．
13．甲乙两人进行飞镖比赛，每人各投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为
15，乙所得环数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较稳定的是 甲 （填“甲”或“乙”）．
【考点】方差．
【分析】计算出乙的平均数和方差后，与甲的方差比较后，可以得出判断．
【解答】解：乙组数据的平均数=（0+1+5+9+10）÷5=5，
乙组数据的方差S2= [（0﹣5）2+（1﹣5）2+（9﹣5）2+（10﹣5）2]=16.4，
∵S2 ＜S2 ，
甲 乙
∴成绩较为稳定的是甲．
故答案为：甲．
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x，x，…x 的平均数为 ，则方差
1 2 n
S2= [（x﹣ ）2+（x﹣ ）2+…+（x﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动
1 2 n
性越大，反之也成立．
14．如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC= 110°
．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70，再利用三角形内角
和定理即可求出∠BDC的度数．
【解答】解：∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴有∠CBD=∠ABD= ∠ABC，∠BCD=∠ACD= ∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=180﹣40=140，
∴∠OBC+∠OCB=70，
∴∠BOC=180﹣70=110°，
15故答案为：110°．
【点评】此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点
的理解和掌握，难度不大，是一道基础题，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键．
15．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角
形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为 4n﹣
3 ．
【考点】三角形中位线定理；规律型：图形的变化类．
【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，即可
得出结果．
【解答】解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；
第②是5个三角形，5=4×2﹣3；
第③是9个三角形，9=4×3﹣3；
∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；
故答案为：4n﹣3．
【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之
间的关系．
16．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到
达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为 海里/小时．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
16【分析】设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC=3x，AQ⊥BC，∠BAQ=60°，
∠CAQ=45°，AB=80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，
得出BC=40+40 =3x，解方程即可．
【解答】解：如图所示：
设该船行驶的速度为x海里/时，
3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，
由题意得：AB=80海里，BC=3x海里，
在直角三角形ABQ中，∠BAQ=60°，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∴AQ= AB=40，BQ= AQ=40 ，
在直角三角形AQC中，∠CAQ=45°，
∴CQ=AQ=40，
∴BC=40+40 =3x，
解得：x= ．
即该船行驶的速度为 海里/时；
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角
的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．
17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10 ，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部
分面积为 7 5 ﹣ ．
17【考点】扇形面积的计算；矩形的性质；切线的性质．
【分析】设圆的半径为x，根据勾股定理求出x，根据扇形的面积公式、阴影部分面积为：矩形
ABCD的面积﹣（扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积）进行计算即可．
【解答】解：设圆弧的圆心为O，与AD切于E，
连接OE交BC于F，连接OB、OC，
设圆的半径为x，则OF=x﹣5，
由勾股定理得，OB2=OF2+BF2，
即x2=（x﹣5）2+（5 ）2，
解得，x=5，
则∠BOF=60°，∠BOC=120°，
则阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣（扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积）
=10 ×5﹣ + ×10 ×5
=75 ﹣ ，
故答案为：75 ﹣ ．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握矩形的性质、切线的性质和扇形的面积公式S=
是解题的关键．
1818．直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A（x，y）、B（x，y）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一
1 1 2 2
个定点，该定点坐标为 （ 0 ， 4 ） ．
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质．
【专题】推理填空题．
【分析】根据直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A（x，y）、B（x，y）两点，可以联立在一起，得
1 1 2 2
到关于x的一元二次方程，从而可以得到两个之和与两根之积，再根据OA⊥OB，可以求得b
的值，从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标．
【解答】解：∵直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A（x，y）、B（x，y）两点，
1 1 2 2
∴kx+b= ，
化简，得 x2﹣4kx﹣4b=0，
∴x+x=4k，xx=﹣4b，
1 2 1 2
又∵OA⊥OB，
∴ = ，
解得，b=4，
即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），
故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题
需要的条件，知道两条直线垂直时，它们解析式中的k的乘积为﹣1．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．计算（ +1）2﹣π0﹣|1﹣ |
【考点】实数的运算；零指数幂．
【分析】直接利用完全平方公式以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简求出答案．
【解答】解：原式=2+2 +1﹣1﹣（ ﹣1）
=2+2 ﹣ +1
=3+ ．
19【点评】此题主要考查了完全平方公式以及零指数幂的性质、绝对值的性质等知识，正确化简
各数是解题关键．
20．已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得
解．
【解答】解：a3b+2a2b2+ab3
=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2，
将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2×32=18．
故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公
因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
21．关于x的两个不等式① ＜1与②1﹣3x＞0
（1）若两个不等式的解集相同，求a的值；
（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．
【考点】不等式的解集．
【专题】计算题；一元一次不等式(组)及应用．
【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值
即可；
（2）根据不等式①的解都是②的解，求出a的范围即可．
【解答】解：（1）由①得：x＜ ，
由②得：x＜ ，
由两个不等式的解集相同，得到 = ，
解得：a=1；
（2）由不等式①的解都是②的解，得到 ≤ ，
20解得：a≥1．
【点评】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．
22．某车间计划加工360个零件，由于技术上的改进，提高了工作效率，每天比原计划多加工
20%，结果提前10天完成任务，求原计划每天能加工多少个零件？
【考点】分式方程的应用．
【分析】关键描述语为：“提前10天完成任务”；等量关系为：原计划天数=实际生产天数
+10．
【解答】解：设原计划每天能加工x个零件，
可得： ，
解得：x=6，
经检验x=6是原方程的解，
答：原计划每天能加工6个零件．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决
问题的关键．本题需注意应设较小的量为未知数．
23．为了了解某学校初四年纪学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初四年
级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统
计图（图二）：
（1）根据以上信息回答下列问题：
①求m值．
②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数．
③补全条形统计图．
（2）直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数．
21【考点】众数；扇形统计图；条形统计图；加权平均数；中位数．
【分析】（1）①根据2小时所占扇形的圆心角的度数确定其所占的百分比，然后根据条形统计
图中2小时的人数求得m的值；
②求得总人数后减去其他小组的人数即可求得第三小组的人数；
（2）利用众数、中位数的定义及平均数的计算公式确定即可．
【解答】解：（1）①∵课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角的度数为90°，
∴其所占的百分比为 = ，
∵课外阅读时间为2小时的有15人，
∴m=15÷ =60；
②第三小组的频数为：60﹣10﹣15﹣10﹣5=20，
补全条形统计图为：
（2）∵课外阅读时间为3小时的20人，最多，
∴众数为 3小时；
∵共60人，中位数应该是第30和第31人的平均数，且第30和第31人阅读时间均为3小时，
∴中位数为3小时；
平均数为： ≈2.92小时．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数及扇形统计图和条形统计图的知识，解题的关键是
能够结合两个统计图并找到进一步解题的有关信息，难度不大．
24．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点
E．
22（1）求证：AG=CG．
（2）求证：AG2=GE•GF．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据菱形的性质得到AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根据全等三
角形的性质即可得到结论；
（2）由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG，等量代换得到∠EAG=∠F，求得△AEG∽△FGA，即
可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，
∴∠F∠FCD，
在△ADG与△CDG中， ，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠EAG=∠DCG，
∴AG=CG；
（2）∵△ADG≌△CDG，
∴∠EAG=∠F，
∵∠AGE=∠AGE，
∴△AEG∽△FGA，
∴ ，
∴AG2=GE•GF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练
掌握各定理是解题的关键．
2325．如图，P、P 是反比例函数y= （k＞0）在第一象限图象上的两点，点A 的坐标为（4，0）．
1 2 1
若△POA 与△PAA 均为等腰直角三角形，其中点P、P 为直角顶点．
1 1 2 1 2 1 2
（1）求反比例函数的解析式．
（2）①求P 的坐标．
2
②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P、P 的一次函数的函数值
1 2
大于反比例函数y= 的函数值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形．
【分析】（1）先根据点A 的坐标为（4，0），△POA 为等腰直角三角形，求得P 的坐标，再代入
1 1 1 1
反比例函数求解；（2）先根据△PAA 为等腰直角三角形，将P 的坐标设为（4+a，a），并代入
2 1 2 2
反比例函数求得a的值，得到P 的坐标；再根据P 的横坐标和P 的横坐标，判断x的取值范
2 1 2
围．
【解答】解：（1）过点P 作PB⊥x轴，垂足为B
1 1
∵点A 的坐标为（4，0），△POA 为等腰直角三角形
1 1 1
∴OB=2，PB= OA=2
1 1
∴P 的坐标为（2，2）
1
将P 的坐标代入反比例函数y= （k＞0），得k=2×2=4
1
∴反比例函数的解析式为
（2）①过点P 作PC⊥x轴，垂足为C
2 2
∵△PAA 为等腰直角三角形
2 1 2
∴PC=AC
2 1
设PC=AC=a，则P 的坐标为（4+a，a）
2 1 2
24将P 的坐标代入反比例函数的解析式为 ，得
2
a= ，解得a= ，a= （舍去）
1 2
∴P 的坐标为（ ， ）
2
②在第一象限内，当2＜x＜2+ 时，一次函数的函数值大于反比例函数的值．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是根据等腰直
角三角形的性质求得点P 和P 的坐标．等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具备等腰三角
1 2
形和直角三角形的所有性质．
26．由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y（万
1
m3）与干旱持续时间x（天）的关系如图中线段l 所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向
1
水库注水，注水量y（万m3）与时间x（天）的关系如图中线段l 所示（不考虑其它因素）．
2 2
（1）求原有蓄水量y（万m3）与时间x（天）的函数关系式，并求当x=20时的水库总蓄水量．
1
（2）求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y（万m3）与时间x（天）的函数关系式（注明x的范围），
若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据两点的坐标求y（万m3）与时间x（天）的函数关系式，并把x=20代入计算；
1
（2）分两种情况：①当0≤x≤20时，y=y，②当20＜x≤60时，y=y+y；并计算分段函数中
1 1 2
y≤900时对应的x的取值．
【解答】解：（1）设y=kx+b，
1
25把（0，1200）和（60，0）代入到y=kx+b得：
1
解得 ，
∴y=﹣20x+1200
1
当x=20时，y=﹣20×20+1200=800，
1
（2）设y=kx+b，
2
把（20，0）和（60，1000）代入到y=kx+b中得：
2
解得 ，
∴y=25x﹣500，
2
当0≤x≤20时，y=﹣20x+1200，
当20＜x≤60时，y=y+y=﹣20x+1200+25x﹣500=5x+700，
1 2
y≤900，则5x+700≤900，
x≤40，
当y=900时，900=﹣20x+1200，
1
x=15，
∴发生严重干旱时x的范围为：15≤x≤40．
【点评】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式：设直线
解析式为y=kx+b，将直线上两点的坐标代入列二元一次方程组，求解；注意分段函数的实际
意义，会观察图象．
27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，
连接MH．
（1）求证：MH为⊙O的切线．
（2）若MH= ，tan∠ABC= ，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N
点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．
26【考点】圆的综合题．
【分析】（1）连接OH、OM，易证OH是△ABC的中位线，利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH，
所以∠HCO=∠HMO=90°，从而可知MH是⊙O的切线；
（2）由切线长定理可知：MH=HC，再由点M是AC的中点可知AC=3，由tan∠ABC= ，所以BC=4，
从而可知⊙O的半径为2；
（3）连接CN，AO，CN与AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切线可知AO⊥CN，利用等面积可求出可
求得CI的长度，设CE为x，然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ．
【解答】解：（1）连接OH、OM，
∵H是AC的中点，O是BC的中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH∥AB，
∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB，
又∵OB=OM，
∴∠OMB=∠MBO，
∴∠COH=∠MOH，
在△COH与△MOH中，
，
∴△COH≌△MOH（SAS），
∴∠HCO=∠HMO=90°，
∴MH是⊙O的切线；
（2）∵MH、AC是⊙O的切线，
27∴HC=MH= ，
∴AC=2HC=3，
∵tan∠ABC= ，
∴ = ，
∴BC=4，
∴⊙O的半径为2；
（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，
∵AC与AN都是⊙O的切线，
∴AC=AN，AO平分∠CAD，
∴AO⊥CN，
∵AC=3，OC=2，
∴由勾股定理可求得：AO= ，
∵ AC•OC= AO•CI，
∴CI= ，
∴由垂径定理可求得：CN= ，
设OE=x，
由勾股定理可得：CN2﹣CE2=ON2﹣OE2，
∴ ﹣（2+x）2=4﹣x2，
∴x= ，
∴CE= ，
由勾股定理可求得：EN= ，
∴由垂径定理可知：NQ=2EN= ．
28【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切线的
判等知识内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
28．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C：y=﹣2x2+4x+2与C：
1 1 2
u=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．
2
（1）求抛物线C 的解析式．
2
（2）点A是抛物线C 上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值．
2
（3）设抛物线C 的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在C 的对称轴上是否存在点M，使线
2 2
段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C 上？若存在求出点
2
M的坐标，不存在说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先求得y 顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得m、n的值；
1
29（2）设A（a，﹣a2+2a+3）．则OQ=x，AQ=﹣a2+2a+3，然后得到OQ+AQ与a的函数关系式，最后依
据配方法可求得OQ+AQ的最值；
（3）连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．接下来证明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的
性质得到BC=MD，CM=B′D，设点M的坐标为（1，a）．则用含a的式子可表示出点B′的坐标，
将点B′的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M的坐标．
【解答】解：（1）∵y=﹣2x2+4x+2=﹣﹣2（x﹣1）2+4，
1
∴抛物线C 的顶点坐标为（1，4）．
1
∵抛物线C：与C 顶点相同，
1 2
∴ =1，﹣1+m+n=4．
解得：m=2，n=3．
∴抛物线C 的解析式为u=﹣x2+2x+3．
2 2
（2）如图1所示：
设点A的坐标为（a，﹣a2+2a+3）．
∵AQ=﹣a2+2a+3，OQ=a，
∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=﹣（a﹣ ）2+ ．
∴当a= 时，AQ+OQ有最大值，最大值为 ．
（3）如图2所示；连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．
30∵B（﹣1，4），C（1，4），抛物线的对称轴为x=1，
∴BC⊥CM，BC=2．
∵∠BMB′=90°，
∴∠BMC+∠B′MD=90°．
∵B′D⊥MC，
∴∠MB′D+∠B′MD=90°．
∴∠MB′D=∠BMC．
在△BCM和△MDB′中， ，
∴△BCM≌△MDB′．
∴BC=MD，CM=B′D．
设点M的坐标为（1，a）．则B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2．
∴点B′的坐标为（a﹣3，a﹣2）．
∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2．
整理得：a2﹣7a﹣10=0．
解得a=2，或a=5．
当a=2时，M的坐标为（1，2），
当a=5时，M的坐标为（1，5）．
综上所述当点M的坐标为（1，2）或（1，5）时，B′恰好落在抛物线C 上．
2
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标
公式、二次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析
式的关系，用含a的式子表示点B′的坐标是解题的关键．
31
