文档内容
2015 年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2015•南通）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2015•牡丹江）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． x＞0 B． x≥0 C． x＜0 D． x≤0
3．（3分）（2015•牡丹江）下列计算正确的是（ ）
A． 2a•3b=5ab B． a3•a4=a12 C． （﹣3a2b）2=6a4b2 D． a5÷a3+a2=2a2
4．（3分）（2015•牡丹江）抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度后的函数解
析式为（ ）
A． y=3x2+2x﹣5 B． y=3x2+2x﹣4 C． y=3x2+2x+3 D． y=3x2+2x+4
5．（3分）（2015•牡丹江）学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与
小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2015•牡丹江）在同一直角坐标系中，函数y=﹣ 与y=ax+1（a≠0）的图
象可能是（ ）
A． B．
C． D．7．（3分）（2015•牡丹江）如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在
⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（ ）
A． 32° B． 38° C． 52° D． 66°
8．（3分）（2015•牡丹江）在平面直角坐标系中，点P（x，0）是x轴上一动点，它与
坐标原点O的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）（2015•牡丹江）在△ABC中，AB=12 ，AC=13，cos∠B= ，则BC边长
为（ ）
A． 7 B． 8 C． 8或17 D． 7或17
10．（3分）（2015•牡丹江）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BM是AC边
中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB=DE，EF⊥AC于点F，以下结论：
（1）∠DBM=∠CDE； （2）S ＜S ；
BDE 四边形BMFE
△
（3）CD•EN=BN•BD； （4）AC=2DF．
其中正确结论的个数是（ ）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
二、填空题（每小题3分，满分30分）
11．（3分）（2015•牡丹江）位于我国东海的台湾岛是我国第一大岛，面积约36000
平方千米，数36000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）（2015•牡丹江）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请
添加一个条件 （只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
13．（3分）（2015•牡丹江）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和
俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是 个．
14．（3分）（2015•牡丹江）某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价
10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为 元．
15．（3分）（2015•牡丹江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，
CD=6，则BE= ．
16．（3分）（2015•牡丹江）一组数据1，4，6，x的中位数和平均数相等，则x的值是
．17．（3分）（2015•牡丹江）抛物线y=ax2+bx+2经过点（﹣2，3），则3b﹣6a=
．
18．（3分）（2015•牡丹江）一列单项式：﹣x2，3x3，﹣5x4，7x5，…，按此规律排列，
则第7个单项式为 ．
19．（3分）（2015•牡丹江）如图，△ABO中，AB⊥OB，AB= ，OB=1，把△ABO
绕点O旋转120°后，得到△A B O，则点A 的坐标为 ．
1 1 1
20．（3分）（2015•牡丹江）矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，
且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点
E，F，则EF长为 ．
三、解答题（满分60分）
21．（5分）（2015•牡丹江）先化简：（x﹣ ）÷ ，其中的x选一个适当
的数代入求值．
22．（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．
请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，
连接FH，求线段FH的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣ ．23．（6分）（2015•牡丹江）在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC为一边作
等边△ACD，连接BD．请画出图形，并直接写出△BCD的面积．
24．（7分）（2015•牡丹江）为倡导“低碳出行”，环保部门对某城市居民日常出行
使用交通方式的情况进行了问卷调查，将调查结果整理后，绘制了如下不完整的
统计图，其中“骑自行车、电动车”所在扇形的圆心角是162°．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查共收回多少张问卷？
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中，“其他”对应扇形的圆心角是
度；（3）若该城市有32万居民，通过计算估计该城市日常出行“骑自行车、电动车”
和“坐公交车”的共有多少人？
25．（8分）（2015•牡丹江）甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出
发匀速驶向B地．40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货
耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车
同时到达B地．甲乙两车距A地的路程y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的
函数图象如图所示．
请结合图象信息解答下列问题：
（1）直接写出a的值，并求甲车的速度；
（2）求图中线段EF所表示的y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范
围；
（3）乙车出发多少小时与甲车相距15千米？直接写出答案．26．（8分）（2015•牡丹江）已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角
顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．
（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：
AB+BE=AM；
（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）
（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的
延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数
量关系，不需要证明；
（3）在（1），（2）的条件下，若BE= ，∠AFM=15°，则AM= ．
27．（10分）（2015•牡丹江）夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调．已知甲种空
调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元
购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台的进价；（2）若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场欲同时购进
两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函
数关系式；
（3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过36000元购进空调，且甲种空调至少购
进10台，并将所获得的最大利润全部用于为某敬老院购买1100元/台的A型按
摩器和700元/台的B型按摩器．直接写出购买按摩器的方案．
28．（10分）（2015•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴
负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点
D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36=0的两根，BC=4 ，
∠BAC=45°．
（1）求点A，C的坐标；
（2）反比例函数y= 的图象经过点B，求k的值；
（3）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的
三角形相似？若存在，请写出满足条件的点P的个数，并直接写出其中两个点P
的坐标；若不存在，请说明理由．2015 年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2015•南通）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
考点： 中心对称图形；轴对称图形．版权所有
分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答： 解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：A．点评： 本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴
对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）（2015•牡丹江）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． x＞0 B． x≥0 C． x＜0 D． x≤0
考点： 函数自变量的取值范围．版权所有
分析： 根据被开方数大于等于0列式求解即可．
解答： 解：由题意得，x≥0．
故选B．
点评： 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．（3分）（2015•牡丹江）下列计算正确的是（ ）
A． 2a•3b=5ab B． a3•a4=a12 C． （﹣3a2b）2=6a4b2 D． a5÷a3+a2=2a2
考点： 同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项
式．版权所有
分析： 根据单项式的乘法，可判断A；根据同底数幂的乘法，可判断B；根据积的
乘方，可判断C；根据同底数幂的除法，可判断D．
解答： 解：A、单项式乘单项式系数乘系数，同底数的幂相乘，故A错误；[来
源:Zxxk.Com]
B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B错误；
C、积的乘方等于乘方的积，故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；
故选：D．
点评： 本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．4．（3分）（2015•牡丹江）抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度后的函数解
析式为（ ）
A． y=3x2+2x﹣5 B． y=3x2+2x﹣4 C． y=3x2+2x+3 D． y=3x2+2x+4
考点： 二次函数图象与几何变换．版权所有
专题： 计算题．
分析： 利用平移规律“上加下减”，即可确定出平移后解析式．
解答： 解：抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度的函数解析式为y=3x2+2x
﹣1+4=3x2+2x+3，
故选C．
点评： 此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移规律是解本题的
关键．
5．（3分）（2015•牡丹江）学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与
小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 列表法与树状图法．版权所有
分析： 首先用A，B，C分别表示给九年级的三辆车，然后根据题意画树状图，再
由树状图求得所有等可能的结果与小明与小红同车的情况，然后利用概率公式求
解即可求得答案．
解答： 解：用A，B，C分别表示给九年级的三辆车，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明与小红同车的有3种情况，∴小明与小红同车的概率是： = ．
故选C．
点评： 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况
数与总情况数之比．
6．（3分）（2015•牡丹江）在同一直角坐标系中，函数y=﹣ 与y=ax+1（a≠0）的图
象可能是（ ）
A． B． C． D．
考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象．版权所有
分析： 由于a≠0，那么a＞0或a＜0．当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲
线经过第二、四象限，当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三
象限，利用这些结论即可求解．
解答： 解：∵a≠0，
∴a＞0或a＜0．
当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，
当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限．A、图中直线经过直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故A选项
错误；
B、图中直线经过第第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，故B选项正确；
C、图中直线经过第二、三、四象限，故C选项错误；
D、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故D选项错误．
故选：B．
点评： 此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．直
线y=kx+b、双曲线y= ，当k＞0时经过第一、三象限，当k＜0时经过第二、四象
限．
7．（3分）（2015•牡丹江）如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在
⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（ ）
A． 32° B． 38° C． 52° D． 66°
考点： 圆周角定理．版权所有
分析： 由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB的
度数，继而求得∠A的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
解答： 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=52°，∴∠A=90°﹣∠ABD=38°；
∴∠BCD=∠A=38°．
故选：B．
点评： 此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握
数形结合思想的应用．
8．（3分）（2015•牡丹江）在平面直角坐标系中，点P（x，0）是x轴上一动点，它与
坐标原点O的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点： 动点问题的函数图象．版权所有
分析： 根据x轴上的点到原点的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．
解答： 解：x＜0时，y=﹣x，x＞0时，y=x．
故选：A．
点评： 本题考查了动点函数图象，x轴上的点到原点的距离等于点的横坐标的绝
对值．
9．（3分）（2015•牡丹江）在△ABC中，AB=12 ，AC=13，cos∠B= ，则BC边长
为（ ）A． 7 B． 8 C． 8或17 D． 7或17
考点： 解直角三角形．版权所有
专题： 分类讨论．
分析： 首先根据特殊角的三角函数值求得∠B的度数，然后分锐角三角形和钝角
三角形分别求得BD和CD的长后即可求得线段BC的长．
解答： 解：∵cos∠B= ，
∴∠B=45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图1，
∵AB=12 ，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
∵AC=13，
∴由勾股定理得CD=5，
∴BC=BD﹣CD=12﹣5=7；
当△ABC为锐角三角形时，如图2，
BC=BD+CD=12+5=17，
故选D．
点评： 本题考查了解直角三角形的知识，能从中整理出直角三角形是解答本题
的关键，难点为分类讨论，难点中等．10．（3分）（2015•牡丹江）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BM是AC边
中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB=DE，EF⊥AC于点F，以下结论：
（1）∠DBM=∠CDE； （2）S ＜S ；
BDE 四边形BMFE
△
（3）CD•EN=BN•BD； （4）AC=2DF．
其中正确结论的个数是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有
分析： （1）设∠EDC=x，则∠DEF=90°﹣x从而可得到∠DBE=∠DEB=180°﹣（90°
﹣x）﹣45°=45°+x，∠DBM=∠DBE﹣∠MBE=45°+x﹣45°=x，从而可得到
∠DBM=∠CDE；
（2）可证明△BDM≌△DEF，然后可证明：△DNB的面积=四边形NMFE的面积，
所以△DNB的面积+ BNE的面积=四边形NMFE的面积++ BNE的面积；
（3）可证明△DBC∽ △ △NEB； △
（4）由△BDM≌△DEF，可知DF=BM，由直角三角形斜边上的中线的性质可知
BM= AC．
解答： 解：（1）设∠EDC=x，则∠DEF=90°﹣x∴∠DBE=∠DEB=∠EDC+∠C=x+45°，
∵BD=DE，
∴∠DBM=∠DBE﹣∠MBE=45°+x﹣45°=x．
∴∠DBM=∠CDE，故（1）正确；
（2）在Rt BDM和Rt DEF中，
△ △
，
∴Rt BDM≌Rt DEF．
△ △
∴S =S ．
BDM DEF
△ △
∴S ﹣S =S ﹣S ，即S =S ．
BDM DMN DEF DMN DBN 四边形MNEF
△ △ △ △ △
∴S +S =S +S ，
DBN BNE 四边形MNEF BNE
△ △ △
∴S =S ，故（2）错误；
BDE 四边形BMFE
△
（3）∵∠BNE=∠DBM+∠BDN，∠BDM=∠BDE+∠EDF，∠EDF=∠DBM，
∴∠BNE=∠BDM．
又∵∠C=∠NBE=45°
∴△DBC∽△NEB．
∴ ，
∴CD•EN=BN•BD；故（3）正确；
（4）∵Rt BDM≌Rt DEF，
△ △∴BM=DF，
∵∠B=90°，M是AC的中点，
∴BM= ．
∴DF= ，故（4）正确．
故选：C．
点评： 本题主要考查的是全等三角形、相似三角形性质和判定，等腰直角三角形
的性质，利用面积法证明S =S 是解答本题的关键．
BDE 四边形BMFE
△
二、填空题（每小题3分，满分30分）
11．（3分）（2015•牡丹江）位于我国东海的台湾岛是我国第一大岛，面积约36000
平方千米，数36000用科学记数法表示为 3.6×1 0 4 ．
考点： 科学记数法—表示较大的数．版权所有
分析： 首先统一单位，再利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的
绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对
值＜1时，n是负数．
解答： 解：用科学记数法表示为3.6×104．
故答案为：3.6×104．
点评： 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）（2015•牡丹江）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请
添加一个条件 BO=DO （只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．考点： 平行四边形的判定．版权所有
专题： 开放型．
分析： 根据题目条件结合平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是
平行四边形分别进行分析即可．
解答： 解：∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：BO=DO．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
13．（3分）（2015•牡丹江）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和
俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是 7 个．
考点： 由三视图判断几何体．版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据几何体主视图，在俯视图上表上数字，即可得出搭成该几何体的小正
方体最多的个数．
解答： 解：根据题意得：
，
则搭成该几何体的小正方体最多是1+1+1+2+2=7（个）．
故答案为：7．
点评： 此题考查了由三视图判断几何体，在俯视图上表示出正确的数字是解本
题的关键．14．（3分）（2015•牡丹江）某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价
10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为 10 0 元．
考点： 一元一次方程的应用．版权所有
分析： 根据题意可知商店按零售价的8折再降价10元销售即销售价=150×80%
﹣100，得出等量关系为150×80%﹣10﹣x=x×10%，求出即可．
解答： 解：设该商品每件的进价为x元，则
150×80%﹣10﹣x=x×10%，
解得 x=100．
即该商品每件的进价为100元．
故答案是：100．
点评： 此题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到商品售价
的等量关系．
15．（3分）（2015•牡丹江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，
CD=6，则BE= 4﹣ ．
[来源:学科网]
考点： 垂径定理；勾股定理．版权所有
分析： 连接OC，根据垂径定理得出CE=ED= CD=3，然后在Rt OEC中由勾股
△
定理求出OE的长度，最后由BE=OB﹣OE，即可求出BE的长度．
解答： 解：如图，连接OC．
∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，∴CE=ED= CD=3．
∵在Rt OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，
△
∴OE= = ，
∴BE=OB﹣OE=4﹣ ．
故答案为4﹣ ．
点评： 本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定
理得出CE、ED的长度．
16．（3分）（2015•牡丹江）一组数据1，4，6，x的中位数和平均数相等，则x的值是
﹣ 1 或 3 或 9 ．
考点： 中位数；算术平均数．版权所有
分析： 根据中位数的定义和平均数的定义得到 = 或 = 或
= ，然后解方程即可．
解答： 解：根据题意得， = 或 = 或 = ，
解得x=﹣1或3或9．
故答案为﹣1或3或9．
点评： 本题考查了中位数与平均数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的
顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋
势的一项指标．
17．（3分）（2015•牡丹江）抛物线y=ax2+bx+2经过点（﹣2，3），则3b﹣6a=
．
考点： 二次函数图象上点的坐标特征．版权所有
分析： 先把点（﹣2，3）代入y=ax2+bx+2得：4a﹣2b+2=3，即2b﹣4a=﹣1，再利用
等式的性质在两边同乘以 ，即可解答．
解答： 解：把点（﹣2，3）代入y=ax2+bx+2得：4a﹣2b+2=3，
2b﹣4a=﹣1，
3b﹣6a=﹣ ，
故答案为：﹣ ．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数解析式
求出a、b的关系式是解题的关键，主要利用了整体思想．
18．（3分）（2015•牡丹江）一列单项式：﹣x2，3x3，﹣5x4，7x5，…，按此规律排列，
则第7个单项式为 ﹣ 13 x 8 ．
考点： 单项式．版权所有
专题： 规律型．
分析： 根据规律，系数是从1开始的连续奇数且第奇数个是负数，第偶数个是正
数，x的指数是从2开始的连续自然数，然后求解即可．
解答： 解：第7个单项式的系数为﹣（2×7﹣1）=﹣13，
x的指数为8，
所以，第7个单项式为﹣13x8．故答案为：﹣13x8．
点评： 本题考查了单项式，此类题目，难点在于根据单项式的定义从多个方面考
虑求解．
19．（3分）（2015•牡丹江）如图，△ABO中，AB⊥OB，AB= ，OB=1，把△ABO
绕点O旋转120°后，得到△A B O，则点A 的坐标为 （﹣ 2 ， 0 ）或（ 1 ，﹣ ） ．
1 1 1
考点： 坐标与图形变化-旋转．版权所有
专题： 数形结合．
分析： 在Rt OAB中利用勾股定理计算出OA=2，则利用含30度的直角三角形
△
三边的关系得∠A=30°，所以∠AOB=60°，然后分类讨论：当△ABO绕点O逆时针
旋转120°后，点A的对应点A′落在x轴的负半轴上，如图，OA′=OA=2，易得A′的
坐标为（﹣2，0）；当△ABO绕点O顺时针旋转120°后，点A的对应点A 落在第
1
三象限，如图，则OA =OA=2，∠AOA =120°，作OA ⊥y轴于C，计算出
1 1 1
∠COA =30°，在Rt COA 中利用含30度的直角三角形三边的关系计算出
1 1
△
CA =1，OC= ，则A（1，﹣ ），综上所述，A 的坐标为（﹣2，0）或（1，﹣ ）．
1 1 1
解答： 解：在Rt OAB中，∵AB= ，OB=1，
△
∴OA= =2，
∴∠A=30°，∴∠AOB=60°，
当△ABO绕点O逆时针旋转120°后，点A的对应点A′落在x轴的负半轴上，如
图，OA′=OA=2，此时A′的坐标为（﹣2，0）；
当△ABO绕点O顺时针旋转120°后，点A的对应点A 落在第三象限，如图，则
1
OA =OA=2，∠AOA =120°，作OA ⊥y轴于C，
1 1 1
∴∠COA =30°，
1
在Rt COA 中，CA = OA =1，OC= CA = ，
1 1 1 1
△
∴A （1，﹣ ），
1
综上所述，A 的坐标为（﹣2，0）或（1，﹣ ）．
1
故答案为（﹣2，0）或（1，﹣ ）．
点评： 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角
度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，
45°，60°，90°，180°．
20．（3分）（2015•牡丹江）矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，
且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点
E，F，则EF长为 6 或 2 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．版权所有分析： 如图1，当点P在CD上时，由折叠的性质得到四边形PFBE是正方形，EF
过点C，根据勾股定理即可得到结果；如图2当点P在AD上时，过E作EQ⊥AB
于Q，根据勾股定理得到PB= = =3 ，推出△ABP∽△EFQ，列
比例式即可得到结果．
解答： 解：如图1，当点P在CD上时，
∵PD=3，CD=AB=9，
∴CP=6，∵EF垂直平分PB，
∴四边形PFBE是正方形，EF过点C，
∴EF=6 ，
如图2，当点P在AD上时，
过E作EQ⊥AB于Q，
∵PD=3，AD=6，
∴AP=3，
∴PB= = =3 ，
∵EF垂直平分PB，
∴∠1=∠2，
∵∠A=∠EQF，
∴△ABP∽△EFQ，
∴ ，∴ ，
∴EF=2 ，
综上所述：EF长为6 或2 ．
故答案为：6 或2 ．
点评： 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后
图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质
和勾股定理．
三、解答题（满分60分）
21．（5分）（2015•牡丹江）先化简：（x﹣ ）÷ ，其中的x选一个适当
的数代入求值．
考点： 分式的化简求值．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法
法则变形，约分得到最简结果，把x=﹣1代入计算即可求出值．解答： 解：原式= •
= •
= ，
当x=﹣1时，原式=﹣ ．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．
请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，
连接FH，求线段FH的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣ ．
考点： 抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．版权所有
分析： （1）由于抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，根据待定系数
法可求抛物线的解析式；
（2）先得到点E（2，﹣3），根据勾股定理可求BE，再根据直角三角形的性质可求
线段HF的长；解答： 解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；
（2）∵点E（2，m）在抛物线上，
∴m=4﹣4﹣3=﹣3，[来源:Z*xx*k.Com]
∴E（2，﹣3），
∴BE= = ，
∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点，
∴FH是三角形ABE的中位线，
∴FH= BE= × = ．
点评： 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式
勾股定理，直角三角形的性质，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．
23．（6分）（2015•牡丹江）在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC为一边作
等边△ACD，连接BD．请画出图形，并直接写出△BCD的面积．
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
考点： 勾股定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．
版权所有
专题： 分类讨论．分析： 根据题意画出图形，进而利用勾股定理以及锐角三角函数关系求出BC的
长，进而求出答案．
解答： 解：如图所示：过点D作DE⊥BC延长线于点E，
∵AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC为一边作等边△ACD，
∴∠BAD=90°，∠ABC=∠ACB=75°，AB=AD=DC=4，
∴∠ABD=∠ADB=45°，∠DBE=30°，∠DCE=45°，
∴DB=4 ，则DE=EC=2 ，BE=BDcos30°=2 ，
则BC=BE﹣EC=2 ﹣2 ，
则△BCD的面积为： ×2 （2 ﹣2 ）=4 ﹣4．
点评： 此题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质和锐角三角函数关系等
知识，得出BC的长是解题关键．
24．（7分）（2015•牡丹江）为倡导“低碳出行”，环保部门对某城市居民日常出行
使用交通方式的情况进行了问卷调查，将调查结果整理后，绘制了如下不完整的
统计图，其中“骑自行车、电动车”所在扇形的圆心角是162°．请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查共收回多少张问卷？
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中，“其他”对应扇形的圆心角是 9 ° 度；
（3）若该城市有32万居民，通过计算估计该城市日常出行“骑自行车、电动车”
和“坐公交车”的共有多少人？[来源:Zxxk.Com]
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．版权所有
分析： （1）根据坐公交车的人数是80人，占总人数的40%，即可求得总人数；
（2）先算出骑自行车、电动车和开私家车所占的比例，然后求其他所占的圆心角
的度数，补全条形统计图；
（3）求出“骑自行车、电动车”和“坐公交车”所占的百分比，计算即可．
解答： 解：（1）本次调查的学生数是：80÷40%=200（人），即本次调查共收回200
张问卷；
（2） = =12.5%，
162÷360=45%，200×45%=90，
1﹣40%﹣45%﹣12.5%=2.5%，200×2.5%=5，360°×2.5%=9°，
（3）32万×（40%+45%）=27.2万．点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个
项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
25．（8分）（2015•牡丹江）甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出
发匀速驶向B地．40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货
耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车
同时到达B地．甲乙两车距A地的路程y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的
函数图象如图所示．
请结合图象信息解答下列问题：
（1）直接写出a的值，并求甲车的速度；
（2）求图中线段EF所表示的y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范
围；
（3）乙车出发多少小时与甲车相距15千米？直接写出答案．考点： 一次函数的应用．版权所有
专题： 应用题．
分析： （1）由乙在途中的货站装货耗时半小时易得a=4.5，甲从A到B共用了（
+7）小时，然后利用速度公式计算甲的速度；
（2）设乙开始的速度为v千米/小时，利用乙两段时间内的路程和为460列方程
4v+（7﹣4.5）（v﹣50）=460，解得v=90（千米/小时），计算出4v=360，则可得到D
（4，360），E（4.5，360），然后利用待定系数法求出线段EF所表示的y与x的函数
关系式为y=40x+180（4.5≤x≤7）；
（3）先计算60× =40，则可得到C（0，40），再利用待定系数法求出直线CF的解析
式为y=60x+40，和直线OD的解析式为y=90x（0≤x≤4），然后利用函数值相差15
列方程：当60x+40﹣90x=15，解得x= ；当90x﹣（60x+40）=15，解得x= ；当
40x+180﹣（60x+40）=15，解得 x= ．
解答： 解：（1）a=4.5，
甲车的速度= =60（千米/小时）；
（2）设乙开始的速度为v千米/小时，
则4v+（7﹣4.5）（v﹣50）=460，解得v=90（千米/小时），
4v=360，
则D（4，360），E（4.5，360），
设直线EF的解析式为y=kx+b，
把E（4.5，360），F（7，460）代入得 ，
解得 ．
所以线段EF所表示的y与x的函数关系式为y=40x+180（4.5≤x≤7）；
（3）甲车前40分钟的路程为60× =40千米，则C（0，40），设直线CF的解析式为y=mx+n，
把C（0，40），F（7，460）代入得 ，解得 ，
所以直线CF的解析式为y=60x+40，
易得直线OD的解析式为y=90x（0≤x≤4），
设甲乙两车中途相遇点为G，由60x+40=90x，解得x= 小时，即乙车出发 小时后
甲乙两车相遇，
当乙车在CG段时，由60x+40﹣90x=15，解得x= ，介于0～ 小时之间，符合题
意；
当乙车在GD段时，由90x﹣（60x+40）=15，解得x= ，介于 ～4小时之间，符合
题意；
当乙车在DE段时，由360﹣（60x+40）=15，解得x= ，不介于4～4.5之间，不符
合题意；
当乙车在EF段时，由40x+180﹣（60x+40）=15，解得x= ，介于4.5～7之间，符
合题意．
所以乙车出发 小时或 小时或 小时，乙与甲车相距15千米．
点评： 本题考查了一次函数的应用：学会从函数图象中获取信息，特别注意自变
量取值范围的变化．26．（8分）（2015•牡丹江）已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角
顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．
（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：
AB+BE=AM；
（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）
（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的
延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数
量关系，不需要证明；
（3）在（1），（2）的条件下，若BE= ，∠AFM=15°，则AM= 3﹣ 或 ．
考点： 四边形综合题．版权所有
分析： （1）首先利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质得AE=EF，
∠ABE=∠EHF=90°，利用全等三角形的判定定理证明△ABE≌△EHF，再利用全等
三角形的性质定理可得结论；
（2）同（1）首先证明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性质定理可得结论；（3）利用分类讨论的思想，首先由∠AFM=15°，易得∠EFH，由△ABE≌△EHF，根据
全等三角形的性质易得∠AEB，利用锐角三角函数易得AB，利用（1）（2）的结论，
易得AM．
解答： （1）证明：如图①，延长MF，交边BC的延长线于点H，
∵四边形ABCD是正方形，FM⊥AD，
∴∠ABE=90°，∠EHF=90°，四边形ABHM为矩形，
∴AM=BH=BE+EH
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴AE=AF，∠AEB+∠FEH=90°，
∵∠EFH+∠FEH=90°，
∴∠AEB=∠EFH，
在△ABE与△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB=EH，
∵AM=BH=BE+EH，
∴AM=BE+AB，即AB+BE=AM；
（2）解：如图②，∵∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠EAB=90°，∴∠FEH=∠EAB，
在△ABE与△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB=EH=EB+AM；
如图③∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠HEF=90°，
∴∠BAE=∠HEF，
在△ABE与△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB=EH，
∴BE=BH+EH=AM+AB；
（3）解：如图①，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，
∴∠EFM=60°，
∴∠EFH=120°，
在△EFH中，
∵∠FHE=90°，∠EFH=120°，∴此情况不存在；
如图②，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，
∴∠EFH=60°，
∵△ABE≌△EHF，
∴∠EAB=∠EFH=60°，
∵BE= ，
∴AB=BE•tan60°= × =3，
∵AB=EB+AM，
∴AM=AB﹣EB=3﹣ ；
如图③，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，
∴∠EFH=45°﹣15°=30°，
∴∠AEB=30°，
∵BE= ，
∴AB=BE•tan30°= =1，
∵BE=AM+AB，
AM=BE﹣AB= ，
故答案为：3﹣ 或 ．点评： 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性
质及判定定理，数形结合，分类讨论，利用前面问题的结论是解答此题的关键．
27．（10分）（2015•牡丹江）夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调．已知甲种空
调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元
购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台的进价；
（2）若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场欲同时购进
两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函
数关系式；
（3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过36000元购进空调，且甲种空调至少购
进10台，并将所获得的最大利润全部用于为某敬老院购买1100元/台的A型按
摩器和700元/台的B型按摩器．直接写出购买按摩器的方案．
考点： 一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．版权所有
专题： 应用题．
分析： （1）设乙种空调每台进价为x元，则甲种空调每台进价为（x+500）元，根据
用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同列出方
程，求出方程的解即可得到结果；（2）根据甲种空调x台，得到乙中空调（20﹣x）台，由售价﹣进价=利润表示出y
与x的函数解析式即可；
（3）设购买甲种空调n台，则购买乙种空调（20﹣n）台，根据商场计划用不超过
36000元购进空调，且甲种空调至少购进10台，求出n的范围，求出最大利润，即
可确定出购买方案．
解答： 解：（1）设乙种空调每台进价为x元，则甲种空调每台进价为（x+500）元，
根据题意得： = ，
去分母得：40000x=30000x+15000000，
解得：x=1500，
经检验x=1500是分式方程的解，且x+500=2000，
则甲、乙两种空调每台进价分别为2000元，1500元；
（2）根据题意得：y=（2500﹣2000）x+（1800﹣1500）（20﹣x）=200x+6000；
（3）设购买甲种空调n台，则购买乙种空调（20﹣n）台，
根据题意得：2000n+1500（20﹣n）≤36000，且n≥10，
解得：10≤n≤12，
当n=12时，最大利润为8400元，
设购买A型按摩器a台，购买B型按摩器b台，则1100a+700b=8400，
有两种购买方案：①A型0台，B型12台；②A型7台，B型1台．
点评： 此题考查了一次函数的意义，分式方程的应用，以及一元一次不等式组的
应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
28．（10分）（2015•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴
负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点
D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36=0的两根，BC=4 ，
∠BAC=45°．
（1）求点A，C的坐标；
（2）反比例函数y= 的图象经过点B，求k的值；（3）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的
三角形相似？若存在，请写出满足条件的点P的个数，并直接写出其中两个点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 相似形综合题．版权所有
分析： （1）解一元二次方程x2﹣12x+36=0，求出两根即可得到点A，C的坐标；
（2）过点B作BE⊥AC，垂足为E，由∠BAC=45°可知AE=BE，设BE=x，用勾股定
理可得CE= ，根据AE+CE=OA+OC，解方程求出BE，再由AE﹣
OA=OE，即可求出点B的坐标，然后求出k的值；
（3）分类讨论，根据相似三角形对应边成比例求出点P的坐标．
解答： 解：（1）解一元二次方程x2﹣12x+36=0，解得：x =x =6，
1 2
∴OA=OC=6，
∴A（﹣6，0），C（6，0）；
（2）如图1，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵∠BAC=45°，
∴AE=BE，
设BE=x，∵BC=4 ，
∴CE= ，
∵AE+CE=OA+OC，
∴x+ =12，
整理得：x2﹣12x+32=0，
解得：x =4（不合题意舍去），x =8
1 2
∴BE=8，OE=8﹣6=2，
∴B（2，8），
把B（2，8）代入y= ，得k=16．
（3）存在．
如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，
则 ，
即
解得：OP=2或OP=6
∴P（0，2）或P（0，6）；
如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，
则 ，
即 ，
解得：OP=12，
∴P（0，12）；如图4，若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，
则 ，
即 ，
解得：OP=4+2 或OP=4﹣2 （不合题意舍去），
∴P（0，4+2 ）；
如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，
则 ，即 ，解得：OP=﹣4+2 或﹣4﹣2 ，则P点坐标为（0，2 ﹣
4）或（0，4+2 ）（不合题意舍去）．
∴点P的坐标为：（0，2）或（0，6）或（0，12）或（0，4+2 ）或（0，2 ﹣4）．点评： 本题主要考查了一元二次方程的解法、点的坐标、点在图象上、相似三角
形的判定与性质以及分类讨论的数学思想方法的综合运用，第3小题是难点，通
过相似三角形的性质分类讨论列出比例式是解决问题的关键．
