文档内容
2015 年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2015•大庆）sin60°=（ ）
A． B． C． 1 D．
2．（3分）（2015•大庆）将0.00007用科学记数法表示为（ ）
A． 7×10﹣6 B． 70×10﹣5 C． 7×10﹣5 D． 0.7×10﹣6
3．（3分）（2015•大庆）a2的算术平方根一定是（ ）
A． a B． |a| C． D． ﹣a
4．（3分）（2015•大庆）正n边形每个内角的大小都为108°，则n=（ ）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
5．（3分）（2015•大庆）某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同．2
月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元．2月份与
1月份的销售总额相同，则1月份的售价为（ ）
A． 880元 B． 800元 C． 720元 D． 1080元
6．（3分）（2015•大庆）在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦
AB所对圆心角的大小为（ ）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
7．（3分）（2015•大庆）以下图形中对称轴的数量小于3的是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2015•大庆）某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制如
图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）A． 7，7 B． 8，7.5 C． 7，7.5 D． 8，6
9．（3分）（2015•大庆）已知二次函数y=a（x﹣2）2+c，当x=x 时，函数值为y ；当
1 1
x=x 时，函数值为y ，若|x ﹣2|＞|x ﹣2|，则下列表达式正确的是（ ）
2 2 1 2
A． y +y ＞0 B． y ﹣y ＞0 C． a（y ﹣y ）＞0 D． a（y +y ）＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
10．（3分）（2015•大庆）已知点A（﹣2，0），B为直线x=﹣1上一个动点，P为直线
AB与双曲线y= 的交点，且AP=2AB，则满足条件的点P的个数是（ ）
A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）（2015•大庆）函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）（2015•大庆）已知 = ，则 的值为 ．
13．（3分）（2015•大庆）底面直径和高都是1的圆柱侧面积为 ．
14．（3分）（2015•大庆）边长为1的正三角形的内切圆半径为 ．
15．（3分）（2015•大庆）用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个
几何体可能为：①正方体；②圆柱；③圆锥；④正三棱柱 （写出所有
正确结果的序号）．
16．（3分）（2015•大庆）方程3（x﹣5）2=2（x﹣5）的根是 ．
17．（3分）（2015•大庆）若a2n=5，b2n=16，则（ab）n= ．
18．（3分）（2015•大庆）在Rt ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐
△
标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为
．
三、解答题（共10小题，满分66分）
19．（4分）（2015•大庆）求值： +（ ）2+（﹣1）2015．
20．（4分）（2015•大庆）解关于x的不等式：ax﹣x﹣2＞0．
21．（5分）（2015•大庆）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求 + 的值．
22．（6分）（2015•大庆）已知一组数据x ，x ，…x 的平均数为1，方差为
1 2 6
（1）求：x 2+x 2+…+x 2；
1 2 6
（2）若在这组数据中加入另一个数据x ，重新计算，平均数无变化，求这7个数据
7
的方差（结果用分数表示）23．（7分）（2015•大庆）某商场举行开业酬宾活动，设立了两个可以自由转动的转
盘（如图所示，两个转盘均被等分），并规定：顾客购买满188元的商品，即可任选
一个转盘转动一次，转盘停止后，指针所指区域内容即为优惠方式；若指针所指
区域空白，则无优惠．已知小张在该商场消费300元
（1）若他选择转动转盘1，则他能得到优惠的概率为多少？
（2）选择转动转盘1和转盘2，哪种方式对于小张更合算，请通过计算加以说明．
24．（7分）（2015•大庆）小敏同学测量一建筑物CD的高度，她站在B处仰望楼顶
C，测得仰角为30°，再往建筑物方向走30m，到达点F处测得楼顶C的仰角为45°
（BFD在同一直线上）．已知小敏的眼睛与地面距离为1.5m，求这栋建筑物CD的
高度（参考数据： ≈1.732， ≈1.414．结果保留整数）
25．（7分）（2015•大庆）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，
联结DE，F在DE延长线上，且AF=AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．26．（8分）（2015•大庆）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=﹣ 的图
象交于A（﹣1，m）、B（n，﹣1）两点
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
27．（9分）（2015•大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一
点，∠APB=∠BAD．
（1）证明：AB=CD；
（2）证明：DP•BD=AD•BC；
（2）证明：BD2=AB2+AD•BC．28．（9分）（2015•大庆）已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，与x
轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=
（1）求二次函数的解析式；
（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐
标；
（3）是否存在实数x 、x（x ＜x ），当x ≤x≤x 时，y的取值范围为 ≤y≤ ？若存
1 2 1 2 1 2
在，直接写在x ，x 的值；若不存在，说明理由．
1 22015 年黑龙江省大庆市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2015•大庆）sin60°=（ ）
A． B． C． 1 D．
考点： 特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 原式利用特殊角的三角函数值解得即可得到结果．
解答： 解：sin60°= ，
故选D
点评： 此题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解本题的
关键．
2．（3分）（2015•大庆）将0.00007用科学记数法表示为（ ）
A． 7×10﹣6 B． 70×10﹣5 C． 7×10﹣5 D． 0.7×10﹣6
考点： 科学记数法—表示较小的数．
分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与
较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个
不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答： 解：0.00007=7×10﹣5．
故选：C．
点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜
10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）（2015•大庆）a2的算术平方根一定是（ ）A． a B． |a| C． D． ﹣a
考点： 算术平方根．
分析： 根据算术平方根定义，即可解答．
解答： 解： =|a|．
故选：B．
点评： 本题考查了对算术平方根定义的应用，能理解定义并应用定义进行计算
是解此题的关键，难度不是很大．
4．（3分）（2015•大庆）正n边形每个内角的大小都为108°，则n=（ ）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
考点： 多边形内角与外角．
分析： 利用正多边形的性质得出其外角，进而得出多边形的边数．
解答： 解：∵正n边形每个内角的大小都为108°，
∴每个外角为：72°，
则n= =5．
故选：A．
点评： 此题主要考查了多边形内角与外角，正确得出其外角度数是解题关键．
5．（3分）（2015•大庆）某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同．2
月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元．2月份与
1月份的销售总额相同，则1月份的售价为（ ）
A． 880元 B． 800元 C． 720元 D． 1080元
考点： 一元一次方程的应用．分析： 设1月份每辆车售价为x元，则2月份每辆车的售价为（x﹣80）元，依据
“2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元．2月
份与1月份的销售总额相同”列出方程并解答．
解答： 解：设1月份每辆车售价为x元，则2月份每辆车的售价为（x﹣80）元，
依题意得 100x=（x﹣80）×100×（1+10%），
解得x=880．
即1月份每辆车售价为880元．
故选：A．
点评： 本题考查了一元一次方程的应用．根据题意得到“2月份每辆车的售价”
和“2月份是销售总量”是解题的突破口．
6．（3分）（2015•大庆）在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦
AB所对圆心角的大小为（ ）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
考点： 垂径定理；等腰直角三角形．
分析： 利用等腰直角三角形的性质以及垂径定理得出∠BOC的度数进而求出．
解答： 解：如图所示：连接BO，AO，
∵圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，
∴DO=DB，DO⊥AB，
∴∠BOC=∠BOC=45°，
则∠A=∠AOC=45°，
∴∠AOB=90°．
故选：D．点评： 此题主要考查了垂径定理以及等腰直角三角形的性质，得出
∠BOC=∠BOC=45°是解题关键．
7．（3分）（2015•大庆）以下图形中对称轴的数量小于3的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 轴对称图形．
分析： 根据对称轴的概念求解．
解答： 解：A、有4条对称轴；
B、有6条对称轴；
C、有4条对称轴；
D、有2条对称轴．
故选D．
点评： 本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握对称轴的概念：如果一个
图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形
这条直线叫做对称轴．
8．（3分）（2015•大庆）某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制如
图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）A． 7，7 B． 8，7.5 C． 7，7.5 D． 8，6
考点： 众数；条形统计图；中位数．
分析： 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个
数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．
解答： 解：在这一组数据中7是出现次数最多的，故众数是7；
排序后处于中间位置的那个数是7，8，那么由中位数的定义可知，这组数据的中
位数是 =7.5；
故选：C．
点评： 本题为统计题，考查极差、众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从
小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），
叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排
列，就会出错．
9．（3分）（2015•大庆）已知二次函数y=a（x﹣2）2+c，当x=x 时，函数值为y ；当
1 1
x=x 时，函数值为y ，若|x ﹣2|＞|x ﹣2|，则下列表达式正确的是（ ）
2 2 1 2
A． y +y ＞0 B． y ﹣y ＞0 C． a（y ﹣y ）＞0 D． a（y +y ）＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
分析： 分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数的对称性确定出y 与y 的大小关
1 2
系，然后对各选项分析判断即可得解．
解答： 解：①a＞0时，二次函数图象开口向上，
∵|x ﹣2|＞|x ﹣2|，
1 2∴y ＞y ，
1 2
无法确定y +y 的正负情况，
1 2
a（y ﹣y ）＞0，
1 2
②a＜0时，二次函数图象开口向下，
∵|x ﹣2|＞|x ﹣2|，
1 2
∴y ＜y ，
1 2
无法确定y +y 的正负情况，
1 2
a（y ﹣y ）＞0，
1 2
综上所述，表达式正确的是a（y ﹣y ）＞0．
1 2
故选C．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称
性，难点在于根据二次项系数a的正负情况分情况讨论．
10．（3分）（2015•大庆）已知点A（﹣2，0），B为直线x=﹣1上一个动点，P为直线
AB与双曲线y= 的交点，且AP=2AB，则满足条件的点P的个数是（ ）
A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： 如图，设P（m， ），B（﹣1，n），直线x=﹣1与x轴交于C，有A（﹣2，0），
得到OA=2，OC=1，AC=1，BC∥y轴，推出 ，于是得到这样的点P不存在，点P 在AB之间，不满足AP=2AB，过P 作P Q⊥x轴于Q，求得满足条件的点P
4 2 2
（﹣4，﹣ ），于是得到满足条件的点P的个数是1，
解答： 解：如图，设P（m， ），B（﹣1，n），直线x=﹣1与x轴交于C，
∵A（﹣2，0），
∴OA=2，OC=1，
∴AC=1，BC∥y轴，
∴ ，
∴P ，P 在y轴上，
1 3
这样的点P不存在，
点P 在AB之间，不满足AP=2AB，
4
过P 作P Q⊥x轴于Q，
2 2
∴P2Q∥B C，
1
∴ = ，
∴ = ，
∴m=﹣4，
∴P（﹣4，﹣ ），
∴满足条件的点P的个数是1，
故选B．点评： 本题考查了一次函数与反比例函数的焦点问题，平行线分线段成比例，注
意数形结合思想的应用．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）（2015•大庆）函数y= 的自变量x的取值范围是 x ＞ 0 ．
考点： 函数自变量的取值范围．
分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，
就可以求解．
解答： 解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x≥0且x≠0，
解得：x＞0．
故答案为：x＞0．
点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非
负数．
12．（3分）（2015•大庆）已知 = ，则 的值为 ﹣ ．
考点： 比例的性质．
分析： 根据已知设x=k，y=3k，代入求出即可．解答： 解：∵ = ，
∴设x=k，y=3k，
∴ = =﹣ ，
故答案为：﹣ ．
点评： 本题考查了比例的性质的应用，能选择适当的方法求出结果是解此题的
关键，难度不大．
13．（3分）（2015•大庆）底面直径和高都是1的圆柱侧面积为 π ．
考点： 圆柱的计算．
分析： 圆柱的侧面积=底面周长×高．
解答： 解：圆柱的底面周长=π×1=π．
圆柱的侧面积=底面周长×高=π×1=π．
故答案是：π．
点评： 本题考查了圆柱的计算，熟记公式即可解答该题．
14．（3分）（2015•大庆）边长为1的正三角形的内切圆半径为 ．
考点： 三角形的内切圆与内心．
分析： 根据等边三角形的三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的
半径和半边组成的30°的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即
可．
解答： 解：∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，
则∠OBD=30°，BD= ，
∴tan∠BOD= = ，∴内切圆半径OD= = ．
故答案为： ．
点评： 此题主要考查了三角形的内切圆，注意：根据等边三角形的三线合一，可
以发现其内切圆的半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个30°的直角三角形．
15．（3分）（2015•大庆）用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个
几何体可能为：①正方体；②圆柱；③圆锥；④正三棱柱 ①③④ （写出所有正
确结果的序号）．
考点： 截一个几何体．
分析： 当截面的角度和方向不同时，圆柱体的截面无论什么方向截取圆柱都不
会截得三角形．
解答： 解：①正方体能截出三角形；
②圆柱不能截出三角形；
③圆锥沿着母线截几何体可以截出三角形；
④正三棱柱能截出三角形．
故截面可能是三角形的有3个．
故答案为：①③④．
点评： 本题考查几何体的截面，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的
角度和方向有关．
16．（3分）（2015•大庆）方程3（x﹣5）2=2（x﹣5）的根是 x =5 ， x = ．
1 2
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．分析： 方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可．
解答： 解：方程变形得：3（x﹣5）2﹣2（x﹣5）=0，
分解因式得：（x﹣5）[3（x﹣5）﹣2 =0，
可得x﹣5=0或3x﹣17=0，
]
解得：x =5，x = ．
1 2
故答案为：x =5，x =
1 2
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是
解本题的关键．
17．（3分）（2015•大庆）若a2n=5，b2n=16，则（ab）n= ．
考点： 幂的乘方与积的乘方．
分析： 根据幂的乘方与即的乘方，即可解答．
解答： 解：∵a2n=5，b2n=16，
∴（an）2=5，（bn）2=16，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
点评： 本题考查了幂的乘方与即的乘方，解决本题的关键是注意公式的逆运用．
18．（3分）（2015•大庆）在Rt ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐
△
标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点
A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为 π+
．考点： 旋转的性质；扇形面积的计算．
专题： 规律型．
分析： 由勾股定理求出AB，由题意得出点A经过的路线与x轴围成的图形是一
个圆心角为135°，半径为 的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1
的扇形；由扇形的面积和三角形的面积公式即可得出结果．
解答： 解：∵∠C=90°，AC=BC=1，
∴AB= = ；
根据题意得： △ABC绕点B顺时针旋转135°，BC落在x轴上；△ABC再绕点
C顺时针旋转90°，AC落在x轴上，停止滚动；
∴点A的运动轨迹是：先绕点B旋转135°，再绕点C旋转90°；如图所示：
∴点A经过的路线与x轴围成的图形是：
一个圆心角为135°，半径为 的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是
1的扇形；
∴点A经过的路线与x轴围成图形的面积
= + ×1×1+ =π+ ；
故答案为：π+ ．点评： 本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算公式；根据题意得出点A经过的
路线与x轴围成的图形由三部分组成是解决问题的关键．
三、解答题（共10小题，满分66分）
19．（4分）（2015•大庆）求值： +（ ）2+（﹣1）2015．
考点： 实数的运算．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用乘方的意义化简，第三
项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果．
解答： 解：原式= + ﹣1=﹣ ．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（4分）（2015•大庆）解关于x的不等式：ax﹣x﹣2＞0．
考点： 解一元一次不等式．
专题： 分类讨论．
分析： 利用不等式的基本性质，把不等号左边的﹣2移到右边，再根据a﹣1的取
值，即可求得原不等式的解集．
解答： 解：ax﹣x﹣2＞0．
（a﹣1）x＞2，
当a﹣1=0，则ax﹣x﹣2＞0为空集，
当a﹣1＞0，则x＞ ，当a﹣1＜0，则a＜ ．
点评： 此题考查了解简单不等式的能力，掌握解不等式要依据不等式的基本性
质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
21．（5分）（2015•大庆）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求 + 的值．
考点： 根与系数的关系．
分析： 根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=﹣1，再利用完全平方公式变形得到
+ = = ，然后利用整体代入的方法进行计算．
解答： 解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，
∴a+b=1，ab=﹣1，
∴ + = = =﹣3．
点评： 本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
1 2
的两根时，x +x =﹣ ，x x = ．
1 2 1 2
22．（6分）（2015•大庆）已知一组数据x ，x ，…x 的平均数为1，方差为
1 2 6
（1）求：x 2+x 2+…+x 2；
1 2 6
（2）若在这组数据中加入另一个数据x ，重新计算，平均数无变化，求这7个数据
7
的方差（结果用分数表示）考点： 方差；算术平均数．
分析： （1）先由数据x ，x ，…x 的平均数为1，得出x +x +…+x =1×6=6，再根据
1 2 6 1 2 6
方差为 ，得到S2= [（x ﹣1）2+（x ﹣1）2+…+（x ﹣1）2 = ，利用完全平方公式求
1 2 6
]
出 （x 2+x 2+…+x 2﹣2×6+6）= ，进而求解即可；
1 2 6
（2）先由数据x ，x ，…x 的平均数为1，得出x +x +…+x =1×7=7，而x +x +…
1 2 7 1 2 7 1 2
+x =6，所以x =1；再根据 （[ x ﹣1）2+（x ﹣1）2+…+（x ﹣1）2 = ，得出（x ﹣1）2+
6 7 1 2 6 1
]
（x ﹣1）2+…+（x ﹣1）2=10，然后根据方差的计算公式即可求出这7个数据的方
2 6
差．
解答： 解：（1）∵数据x ，x ，…x 的平均数为1，
1 2 6
∴x +x +…+x =1×6=6，
1 2 6
又∵方差为 ，
∴S2= [（x ﹣1）2+（x ﹣1）2+…+（x ﹣1）2
1 2 6
]
= [x 2+x 2+…+x 2﹣2（x +x +…+x ）+6
1 2 6 1 2 6
]
= （x 2+x 2+…+x 2﹣2×6+6）
1 2 6
= （x 2+x 2+…+x 2）﹣1= ，
1 2 6
∴x 2+x 2+…+x 2=16；
1 2 6
（2）∵数据x ，x ，…x 的平均数为1，
1 2 7
∴x +x +…+x =1×7=7，
1 2 7∵x +x +…+x =6，
1 2 6
∴x =1，
7
∵ [（x ﹣1）2+（x ﹣1）2+…+（x ﹣1）2 = ，
1 2 6
]
∴（x ﹣1）2+（x ﹣1）2+…+（x ﹣1）2=10，
1 2 6
∴S2= [（x ﹣1）2+（x ﹣1）2+…+（x ﹣1）2
1 2 7
]
= [10+（1﹣1）2
]
= ．
点评： 本题考查了平均数与方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之
和再除以数据的个数．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，
叫做这组数据的方差．计算公式是：s2= [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2 ．
1 2 n
]
23．（7分）（2015•大庆）某商场举行开业酬宾活动，设立了两个可以自由转动的转
盘（如图所示，两个转盘均被等分），并规定：顾客购买满188元的商品，即可任选
一个转盘转动一次，转盘停止后，指针所指区域内容即为优惠方式；若指针所指
区域空白，则无优惠．已知小张在该商场消费300元
（1）若他选择转动转盘1，则他能得到优惠的概率为多少？
（2）选择转动转盘1和转盘2，哪种方式对于小张更合算，请通过计算加以说明．
考点： 列表法与树状图法．分析： （1）根据转盘1，利用概率公式求得获得优惠的概率即可；
（2）分别求得转动两个转盘所获得的优惠，然后比较即可得到结论．
解答： 解：（1）∵整个圆被分成了12个扇形，其中有6个扇形能享受折扣，
∴P（得到优惠）= = ；
（2）转盘1能获得的优惠为： =25元，
转盘2能获得的优惠为：40× =20元，
所以选择转动转盘1更优惠．
点评： 本题考查了几何概率，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单
纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用
体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
24．（7分）（2015•大庆）小敏同学测量一建筑物CD的高度，她站在B处仰望楼顶
C，测得仰角为30°，再往建筑物方向走30m，到达点F处测得楼顶C的仰角为45°
（BFD在同一直线上）．已知小敏的眼睛与地面距离为1.5m，求这栋建筑物CD的
高度（参考数据： ≈1.732， ≈1.414．结果保留整数）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 延长AE交CD于点G，设CG=xm，在直角△CGE中利用x表示出EG，然
后在直角△ACG中，利用x表示出AG，根据AE=AG﹣EG即可列方程求得x的
值，进而球儿CD的长．
解答： 解：延长AE交CD于点G．设CG=xm，在直角△CGE中，∠CEG=45°，则EG=CG=xm．
在直角△ACG中，AG= = xm．
∵AG﹣EG=AE，
∴ x﹣x=30，
解得：x=15（ +1）≈15×2.732≈40.98（m）．
则CD=40.98+1.5=42.48（m）．
答：这栋建筑物CD的高度约为42m．
点评： 本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三
角形．
25．（7分）（2015•大庆）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，
联结DE，F在DE延长线上，且AF=AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．
考点： 菱形的性质；平行四边形的判定．分析： （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=BE，从而
得到AF=CE，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠1=∠2，根据等边对等角可
得然后∠F=∠3，然后求出∠2=∠F，再根据同位角相等，两直线平行求出CE∥AF，
然后利用一组对边平行且相等的四边形是菱形证明；
（2）根据菱形的四条边都相等可得AC=CE，然后求出AC=CE=AE，从而得到
△AEC是等边三角形，再根据等边三角形的每一个角都是60°求出∠CAE=60°，
然后根据直角三角形两锐角互余解答．
解答： （1）证明：∵∠ACB=90°，E是BA的中点，
∴CE=AE=BE，
∵AF=AE，
∴AF=CE，
在△BEC中，∵BE=CE且D是BC的中点，
∴ED是等腰△BEC底边上的中线，
∴ED也是等腰△BEC的顶角平分线，
∴∠1=∠2，
∵AF=AE，
∴∠F=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠F，∴CE∥AF，
又∵CE=AF，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ACEF是菱形，
∴AC=CE，
由（1）知，AE=CE，
∴AC=CE=AE，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠CAE=60°，
在Rt ABC中，∠B=90°﹣∠CAE=90°﹣60°=30°．
△
点评： 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及直角三角形两锐角互余的性质，
熟记各性质与判定方法是解题的关键．
26．（8分）（2015•大庆）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=﹣ 的图
象交于A（﹣1，m）、B（n，﹣1）两点
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题．
分析： （1）把A与B坐标代入反比例解析式求出m与n的值，确定出A与B坐
标，代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）由A与B的坐标求出AB的长，利用点到直线的距离公式求出原点O到直线
AB的距离，即可求出三角形AOB面积．
解答： 解：（1）把A（﹣1，m），B（n，﹣1）代入反比例函数y=﹣ ，得：m=7，n=7，
即A（﹣1，7），B（7，﹣1），
把A与B坐标代入一次函数解析式得： ，
解得：k=﹣1，b=6，
则一次函数解析式为y=﹣x+6；
（2）∵A（﹣1，7），B（7，﹣1），
∴AB= =8 ，
∵点O到直线y=﹣x+6的距离d= =3 ，
∴S = AB•d=24．
AOB
△
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数
法求一次函数解析式，两点间的距离公式，以及点到直线的距离公式，熟练掌握
待定系数法是解本题第一问的关键．27．（9分）（2015•大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一
点，∠APB=∠BAD．
（1）证明：AB=CD；
（2）证明：DP•BD=AD•BC；
（2）证明：BD2=AB2+AD•BC．
考点： 相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
专题： 证明题．
分析： （1）利用平行线的性质结合圆周角定理得出 = ，进而得出答案；
（2）首先得出△ADP∽△DBC，进而利用相似三角形的性质得出答案；
（3）利用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△DBA，进而求出AB2=DB•PB，再利
用（2）中所求得出答案．
解答： 证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠BDC，
∴ = ，
∴AB=BC；
（2）∵∠APB=∠BAD，∠BAD+∠BCD=180°，∠APB+∠APD=180°，∴∠BCD=∠APD，
又∵∠ADB=∠CBD，
∴△ADP∽△DBC，
∴ = ，
∴DP•BD=AD•BC；
（3）∵∠APB=∠BAD，∠BAD=∠BPA，
∴△ABP∽△DBA，
∴ = ，
∴AB2=DB•PB，
∴AB2+AD•BC=DB•PB+AD•BC
∵由（2）得：DP•BD=AD•BC，
∴AB2+AD•BC=DB•PB+DP•BD=DB（PB+DP）=DB2，
即BD2=AB2+AD•BC．
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，熟练应用相
似三角形的判定与性质是解题关键．
28．（9分）（2015•大庆）已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，与x
轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=
（1）求二次函数的解析式；（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐
标；
（3）是否存在实数x 、x（x ＜x ），当x ≤x≤x 时，y的取值范围为 ≤y≤ ？若存
1 2 1 2 1 2
在，直接写在x ，x 的值；若不存在，说明理由．
1 2
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）首先根据tan∠ACO= ，求出OA的值，即可判断出A点的坐标；然后
把A点的坐标代入y=x2+bx﹣4，求出b的值，即可判断出二次函数的解析式．
（2）首先根据Q为抛物线对称轴上的一点，设点Q的坐标为（﹣ ，n）；然后根据
∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ，可得∠OQC=∠OCQ，所以OQ=OC，据此求出n的
值，进而判断出Q点坐标即可．
（3）根据题意，分3种情况：①当x ≤x ≤﹣ 时；②当x ≤﹣ ≤x 时；③当﹣ ＜
1 2 1 2
x ≤x 时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数x 、x（x ＜x ），
1 2 1 2 1 2
使得当x ≤x≤x 时，y的取值范围为 ≤y≤ 即可．
1 2
解答： 解：（1）如图1，连接AC，，
∵二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，
∴C点的坐标为（0，﹣4），
∵tan∠ACO= ，
∴ ，
又∵OC=4，
∴OA=1，
∴A点的坐标为（1，0），
把A（1，0）代入y=x2+bx﹣4，
可得0=1+b﹣4，
解得b=3，
∴二次函数的解析式是：y=x2+3x﹣4．
（2）如图2，，
∵y=x2+3x﹣4，
∴抛物线的对称轴是：x=﹣ ，
∵Q为抛物线对称轴上的一点，
∴设点Q的坐标为（﹣ ，n），
∵抛物线的对称轴平行于y轴，
∴∠CQP=∠OCQ，
又∵∠OQC=∠CQP，
∴∠OQC=∠OCQ，
∴OQ=OC，
∴ ，
∴ ，
解得n=± ，
∴Q点坐标是（﹣ ， ）或（﹣ ，﹣ ）．（3）①当x ≤x ≤﹣ 时，二次函数y=x2+3x﹣4单调递减，
1 2
∵y的取值范围为 ≤y≤ ，
∴
由 +3x ﹣4= ，
1
解得x =﹣3，﹣2，2，
1
由 +3x ﹣4= ，
2
解得x =﹣3，﹣2，2，
2
∵x ≤x ≤﹣ ，
1 2
∴
②当x ≤﹣ ≤x 时，
1 2
Ⅰ、当﹣ 时，
可得x +x ≤﹣3，
1 2
∵y的取值范围为 ≤y≤ ，
∴
由（1），可得 ，由（2），可得x =﹣3，﹣2，2，
1
∵x ≤﹣ ＜x ， ，
1 2
∴没有满足题意的x 、x ．
1 2
Ⅱ、当﹣ 时，
可得x +x ＞﹣3，
1 2
∵y的取值范围为 ≤y≤ ，
∴
解得
∵x +x = ≈﹣1.98﹣1.92=﹣3.9＜﹣3，
1 2
∴没有满足题意的x 、x ．
1 2
③当﹣ ＜x ≤x 时，
1 2
二次函数y=x2+3x﹣4单调递增，
∵y的取值范围为 ≤y≤ ，
∴
（1）×x ﹣（2）×x ，可得
2 1
（x ﹣x ）（x x +4）=0，
1 2 1 2∵x ﹣x ≠0，
1 2
∴x x +4=0，
1 2
∴ …（1），
把（3）代入（1），可得
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴没有满足题意的x 、x ．
1 2
综上，可得
x =﹣3，x =﹣2时，当x ≤x≤x 时，y的取值范围为 ≤y≤ ．
1 2 1 2
点评： （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类
讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答
相应的问题的能力．
（2）此题还考查了待定系数法求二次函数的解析式的方法，以及二次函数的最值
的求法，要熟练掌握．
