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2015 年黑龙江省哈尔滨市香坊区中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A． B．﹣5 C．5 D．﹣
2．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．（a2）3=a5 C．a2•a4=a8 D．a4÷a3=a
3．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）若将抛物线y=4x2+1向上平移a个单位后，得到抛物线y=4x2+4，则a的
值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2
5．（3分）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的左视图
是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平
第1页（共33页）面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂
直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距
离为（ ）
A．100 m B．50 m C．50 m D． m
7．（3分）已知反比例函数y= ，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点（1，2） B．y随x的增大而减少
C．图象在第一、三象限 D．若x＞1，则y＜2
8．（3分）如图，CD为⊙O的直径，且CD⊥弦AB，∠AOC=50°，则∠B大小为
（ ）
A．25° B．30° C．40° D．65°
9．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，
EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么BF：CF等于（ ）
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
10．（3分）为鼓励市民节约用水，我市自来水公司按分段收费标准收费，右图反
映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．下列结论中：
第2页（共33页）①小聪家五月份用水7吨，应交水费15.4元；
②10吨以上每吨费用比10吨以下每吨费用多；
③10吨以上对应的函数解析式为y=3.5x﹣13；
④小聪家三、四月份分别交水费29元和19.8元，则四月份比三月份节约用水 3
吨，
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）地球上陆地的面积约为149 000 000平方千米，把数据149 000 000用
科学记数法表示为 ．
12．（3分）计算 的结果是 ．
13．（3分）函数 中，自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）分解因式：2x2﹣8x= ．
15．（3分）袋中有除颜色外完全相同的4个球，其中3个红球，1个白球，从袋中
任意地摸出一个球，这个球是红色的概率是 ．
16．（3分）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为 ．
17．（3分）某商店一套秋装的进价为200元，按标价的80%销售可获利72元，则
该服装的标价为 元．
18．（3分）已知，菱形ABCD的边长为5，菱形的面积为20，则对角线AC的长为
．
19．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AC=AD=2，AB=3，cos∠ABC的值为
．
第3页（共33页）20．（3分）△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=∠ACG=4∠EDC，CG=AD=4， =
，BC= ．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25题10分，共40分）
21．（7分）先化简，再求代数式（1﹣ ）÷ 的值，其中x=4sin45°﹣2cos60°．
22．（7分）如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形的顶点
上．
（1）在图中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使∠ABC=90°，tan∠A=2．
（2）直接写出△ABC的周长和面积．
第4页（共33页）23．（8分）为弘扬中华传统文化，某学校决定开设民族器乐选修课．为了更贴合
学生的兴趣，对学生最喜爱的一种民族乐器进行随机抽样调查，收集整理数据
后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下
列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查 名学生；
（2）请把条形图（图1）补充完整；
（3）求扇形统计图（图2）中，二胡部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果该校共有学生1500名，请你估计最喜爱古琴的学生人数．
24．（8分）如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作
BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC=2DE，求sin∠CDB的值．
第5页（共33页）25．（10分）某公司开发的96件新产品必须加工后才能投放市场，现有甲、乙两个
工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独
加工72件产品的时间相等，而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，在加
工过程中，工厂需要每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少产品？
（2）该公司想选择一个省钱的工厂加工这批产品，甲工厂向公司报加工费用为每
天800元，那么乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，才能有望加工
这批产品？
第6页（共33页）四、附加题
26．已知：CD为⊙O的直径，点B为⊙O上一点，ABCO为平行四边形，连接AD并
延长交⊙O于点E，连接BE．
（1）在图1中，求证：∠DAO=∠BAO；
（2）在图1中，求证：BE=BC；
（3）在图2中，过点E作⊙O的切线交DC的延长线于点M，设BE，CD交于点N，
若DE=EM，OM=8，求△BNC的面积．
第7页（共33页）27．已知抛物线y=﹣ x2+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C，四边形OCDB为正
方形，点D的坐标为（6，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段CD上一动点，以每秒2单位的速度由点C向终点D运动，连接
OP，取OP的中点M，CD交抛物线于点E，连接EM，设点P的运动时间为t，
△PME的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接MD，直线y=mx﹣6经过点B，点N为直线y=mx﹣6上
一点，当∠DMN=90°，BN=2 时，在x轴上方的抛物线上存在点Q，使△AOQ
的面积等于△PME的面积，求此时Q点的坐标．
第8页（共33页）2015 年黑龙江省哈尔滨市香坊区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A． B．﹣5 C．5 D．﹣
【考点】15：绝对值．
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【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数求解即可．
【解答】解：﹣5的绝对值是5．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对
值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．（a2）3=a5 C．a2•a4=a8 D．a4÷a3=a
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底
数幂的除法．
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【分析】根据合并同类项法则；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数
不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用
排除法求解．
【解答】解：A、应为a3+a3=2a3，故本选项错误；
B、应为（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；
C、应为a2•a4=a2+4=a6，故本选项错误；
D、a4÷a3=a4﹣3=a，正确．
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟
练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
第9页（共33页）A． B．
C． D．
【考点】R5：中心对称图形．
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【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转
180度后两部分重合．
4．（3分）若将抛物线y=4x2+1向上平移a个单位后，得到抛物线y=4x2+4，则a的
值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】根据向上平移，纵坐标加列方程求解即可．
【解答】解：∵抛物线y=4x2+1向上平移a个单位后，得到抛物线y=4x2+4，
∴1+a=4，
解得a=3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减．
并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．
5．（3分）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的左视图
是（ ）
第10页（共33页）A． B．
C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
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【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
6．（3分）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平
面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂
直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距
离为（ ）
A．100 m B．50 m C．50 m D． m
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】31：数形结合．
【分析】首先根据题意得：∠ABC=30°，AC⊥BC，AC=100m，然后利用正切函数的定
义求解即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：∠ABC=30°，AC⊥BC，AC=100m，
第11页（共33页）在Rt△ABC中，BC= = =100 （m）．
故选：A．
【点评】本题考查了俯角的知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想应用．
7．（3分）已知反比例函数y= ，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点（1，2） B．y随x的增大而减少
C．图象在第一、三象限 D．若x＞1，则y＜2
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵1×2=2，∴图象必经过点（1，2），故本选项正确；
B、∵反比例函数y= 中，k=2＞0，∴此函数的图象在每一象限内y随x的增大而
减小，故本选项错误；
C、∵反比例函数y= 中，k=2＞0，∴此函数的图象在一、三象限，故本选项正确；
D、∵当x＞1时，此函数图象在第一象限，∴0＜y＜2，故本选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y= （k≠0）的图象是双
曲线：
（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增
大而减小；
（2）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大
而增大．
8．（3分）如图，CD为⊙O的直径，且CD⊥弦AB，∠AOC=50°，则∠B大小为
（ ）
第12页（共33页）A．25° B．30° C．40° D．65°
【考点】M5：圆周角定理．
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【分析】本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“同圆中等弧对等角”求
出∠D的度数，即可得出结果．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴ ，
∴∠D= ∠AOC=25°，
∴∠B=90°﹣25°=65°；
故选：D．
【点评】此题综合考查垂径定理和圆周角的求法及性质；熟练掌握圆周角定理是
解决问题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，
EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么BF：CF等于（ ）
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】根据平行线分线段成比例和三角形相似的相关知识以及平行四边形的性
质，通过转化的思想可以解答本题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
∵AD：DB=3：5，AB=AD+DB，
∴ ，
∴ ，
∵DE∥BC，EF∥AB，
第13页（共33页）∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF，
∵BC=BF+CF， ，
∴ ，
∴BF：CF=3：5，
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例，解答本题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用平行线分线段成比例的性质解答．
10．（3分）为鼓励市民节约用水，我市自来水公司按分段收费标准收费，右图反
映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．下列结论中：
①小聪家五月份用水7吨，应交水费15.4元；
②10吨以上每吨费用比10吨以下每吨费用多；
③10吨以上对应的函数解析式为y=3.5x﹣13；
④小聪家三、四月份分别交水费29元和19.8元，则四月份比三月份节约用水 3
吨，
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】由题意：y= ，由此一一判断即可解决问题．
【解答】解：由题意：y= ，
∴五月份用水7吨，应交水费15.4元，故①正确．
第14页（共33页）10吨以上每吨费用比10吨以下每吨费用多，故②正确．
10吨以上对应的函数解析式为y=3.5x﹣13，故③正确．
∵当y=19.8时，x=9，
当y=29时，29=3.5x﹣13，x=12，
12﹣9=3，
∴小聪家三、四月份分别交水费29元和19.8元，则四月份比三月份节约用水 3
吨，故④正确．
∴①②③④正确，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用、解题的关键是学会理解题意，学会构建一次函
数解决实际问题，属于中考常考题型．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）地球上陆地的面积约为149 000 000平方千米，把数据149 000 000用
科学记数法表示为 1.49 × 1 0 8 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【专题】11：计算题．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是
负数．
【解答】解：将149 000 000用科学记数法表示为1.49×108．
故答案为：1.49×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）计算 的结果是 ．
【考点】2C：实数的运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】首先化简 ，然后根据实数的运算法则计算．
【解答】解： =2 ﹣ = ．
第15页（共33页）故答案为： ．
【点评】本题主要考查算术平方根的开方及平方根的运算，属于基础题．
13．（3分）函数 中，自变量x的取值范围是 x ≠ ﹣ 1 ．
【考点】62：分式有意义的条件；E4：函数自变量的取值范围．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+1≠0，
解得答案．
【解答】解：根据题意得x+1≠0，
解得x≠﹣1；
故答案为x≠﹣1．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达
式是分式时，考虑分式的分母不能为0．
14．（3分）分解因式：2x2﹣8x= 2 x （ x﹣4 ） ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
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【分析】直接提取公因式2x，进而得出答案．
【解答】解：原式=2x（x﹣4）．
故答案为：2x（x﹣4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
15．（3分）袋中有除颜色外完全相同的4个球，其中3个红球，1个白球，从袋中
任意地摸出一个球，这个球是红色的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】用红球的个数除以球的总数量可得答案．
【解答】解：∵袋子中共有4个球，其中红球有3个，
∴袋中任意地摸出一个球，这个球是红色的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查概率公式，掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现
的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．
第16页（共33页）16．（3分）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为 3π ．
【考点】MN：弧长的计算．
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【分析】根据弧长公式L= 求解．
【解答】解：L= = =3π．
故答案为：3π．
【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式L= ．
17．（3分）某商店一套秋装的进价为200元，按标价的80%销售可获利72元，则
该服装的标价为 34 0 元．
【考点】1G：有理数的混合运算．
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【专题】12：应用题．
【分析】认真审题找出等量关系：服装的标价的80%正好等于服装的进价加上获
利，然后根据等量关系列方程解答．
【解答】解：设先设服装的标价为x元．
80%•x=200+72，
解得x=340．
【点评】此题为实际应用题，与生活比较接近，此类题目更能激发学生的学习兴趣．
也是中考中的热点题型．
18．（3分）已知，菱形ABCD的边长为5，菱形的面积为20，则对角线AC的长为
4 或 2 ．
【考点】L8：菱形的性质．
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【分析】根据菱形的性质、菱形面积公式结合勾股定理得出BO的长，进而求出答
案．
【解答】解：依题意得： ，
解得 或 ．
故AC=2OA=4 或AC=2OA=2 ．
第17页（共33页）故答案是：4 或2 ．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确掌握菱形的性质是解题
关键．
19．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AC=AD=2，AB=3，cos∠ABC的值为
．
【考点】T7：解直角三角形．
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【分析】根据三角形角平分线定理得到 = ，设BD=3x，CD=2x，过AE⊥CD于
E，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴ = ，
∴设BD=3x，CD=2x，
过AE⊥CD于E，
∵AD=AC，
∴DE=CE=x，
∴BE=4x，
∴AB2﹣BE2=AC2﹣CE2，
∴32﹣（4x）2=22﹣x2，
∴x= ，
∴BE= ，
第18页（共33页）∴cos∠ABC= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形角平分线定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟
练掌握三角形的角平分线定理是解题的关键．
20．（3分）△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=∠ACG=4∠EDC，CG=AD=4， =
，BC= 4 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】①根据角的关系证明∠AED=∠ADE，则 AD=AE，所以 AE=CG，证明
△ABE≌△CAG，则面积相等；
②作辅助线，构建三角形的高线BF和DH，根据中位线的性质得：DH∥BF，DH=
BF，代入已知的三角形面积的关系式得：S = AE•BF=4S =4× CE•DH，得
△ABE △DEC
出AE=2CE，求CE的长，利用勾股定理求CD= =2 ，所以BC=2CD=4 ．
【解答】解：设∠EDC=α，
∵AB=AC，
第19页（共33页）∴∠ABC=∠ACB，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，即∠ADE+α=90°，
∠DAB=∠DAC= ∠BAC，
∵∠BAC=4α，
∴∠DAB=∠DAC=2α，
∵∠DAC+∠ADE+∠AED=180°，
∴2α+∠ADE+∠AED=180°，
∵∠ADE+α=90°，
∴∠AED+α=90°，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
∵AD=CG，
∴AE=CG，
连接BE，
在△ABE和△CAG中，
∵ ，
∴△ABE≌△CAG（SAS），
∴S =S ，
△ABE △CAG
∵ = ，
∴S =4S ，
△ACG △DEC
∴S =4S ，
△ABE △DEC
过B作BF⊥AC，交CA的延长线于F，取CF的中点H，连接DH，
∵D是BC的中点，
∴DH∥BF，DH= BF，
∴DH⊥AC，
第20页（共33页）∴S = AE•BF=4S =4× CE•DH，
△ABE △DEC
AE•BF=4CE BF，
∴AE=2CE，
∵CG=AD=AE=4，
∴CE=2，
∴AC=6，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD= =2 ，
∴BC=2CD=4 ，
故答案为：4 ．
【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定、三角形中位线定理、三角形面积、
勾股定理等知识，难度较大，作出辅助线是本题的突破口，证明三角形全等和
求出AE=2CE是本题的关键．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25题10分，共40分）
21．（7分）先化简，再求代数式（1﹣ ）÷ 的值，其中x=4sin45°﹣2cos60°．
【考点】6D：分式的化简求值；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】先化简原式以及x，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：当x=4× ﹣2× =2 ﹣1时，
∴原式= ×
第21页（共33页）=
=
=
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于
基础题型．
22．（7分）如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形的顶点
上．
（1）在图中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使∠ABC=90°，tan∠A=2．
（2）直接写出△ABC的周长和面积．
【考点】KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）根据∠ABC=90°，tan∠A=2即可求得点C的位置；
（2）利用勾股定理分别求出△ABC三边的长度，进而求出周长，再根据三角形的
面积公式求出面积．
【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；
（2）由勾股定理可得AB= ，BC=2 ，AC=5，
则△ABC的周长为： +2 +5=3 +5，
面积为： × ×2 =5．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义，准确画出三角
形是解题的关键．
第22页（共33页）23．（8分）为弘扬中华传统文化，某学校决定开设民族器乐选修课．为了更贴合
学生的兴趣，对学生最喜爱的一种民族乐器进行随机抽样调查，收集整理数据
后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下
列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查 20 0 名学生；
（2）请把条形图（图1）补充完整；
（3）求扇形统计图（图2）中，二胡部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果该校共有学生1500名，请你估计最喜爱古琴的学生人数．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
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【分析】（1）根据喜欢其它的除以喜欢其它的所占的百分比，可得答案；
（2）根据喜欢古筝的所占的百分比乘总人数，可得喜欢古筝的人数，根据喜欢琵
琶的所占的百分比乘以总人数，可得喜欢琵琶的人数，根据人数可补全条形统
计图；
（3）根据圆周角乘以喜欢二胡所占的百分比，可得答案；
（4）全校总人数乘以喜欢古琴所占的百分比，可得答案．
【解答】解：（1）20÷10%=200（名），
答：一共调查了200名学生；
（2）最喜欢古筝的人数：200×25%=50（名），
最喜欢琵琶的人数：200×20%=40（名）；
补全条形图如图；
第23页（共33页）（3）喜欢古琴所占的百分比30÷200=15%，喜欢二胡所占的百分比1﹣10%﹣
25%﹣20%﹣15%=30%，
二胡部分所对应的圆心角的度数为：
30%×360°=108°；
（4）1500×15%=225（名），
答：1500名学生中估计最喜欢古琴的学生人数为225．
【点评】本题考查了条形统计图，观察统计图获得有效信息是解题关键．
24．（8分）如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作
BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC=2DE，求sin∠CDB的值．
【考点】KQ：勾股定理；LA：菱形的判定与性质．
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【分析】（1）由DE∥BC，CE∥AB，可证得四边形DBCE是平行四边形，又由△ABC
中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的
一半，可得CD=AD=BD=CE，然后由CE∥AB，证得四边形ADCE平行四边形的性
质，继而证得四边形ADCE是菱形；
（2）首先过点C作CF⊥AB于点F，由（1）可知，BC=DE，设BC=x，则AC=2x，然后由
勾股定理求得AB，再由三角形的面积，求得CF的长，由勾股定理即可求得CD
的长，继而求得答案．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
第24页（共33页）∴四边形DBCE是平行四边形．
∴CE=BD，
又∵CD是边AB上的中线，
∴BD=AD，
∴CE=DA，
又∵CE∥DA，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵∠BCA=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AD=CD，
∴四边形ADCE是菱形；
（2）解：过点C作CF⊥AB于点F，
由（1）可知，BC=DE，
设BC=x，则AC=2x，
在Rt△ABC中，AB= = x．
∵ AB•CF= AC•BC，
∴CF= = x．
∵CD= AB= x，
∴sin∠CDB= = ．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理．
注意准确作出辅助线是解此题的关键．
25．（10分）某公司开发的96件新产品必须加工后才能投放市场，现有甲、乙两个
工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独
第25页（共33页）加工72件产品的时间相等，而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，在加
工过程中，工厂需要每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少产品？
（2）该公司想选择一个省钱的工厂加工这批产品，甲工厂向公司报加工费用为每
天800元，那么乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，才能有望加工
这批产品？
【考点】B7：分式方程的应用．
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【分析】（1）设设甲工厂每天加工x件，则乙工厂每天加工（x+8）件，根据甲工厂
单独加工48件产品的时间与乙工厂单独加工72件产品的时间相等，列方程求
解即可；
（2）当乙工厂的总费用≤甲工厂的总费用时，乙工厂才能有望加工这批产品．
【解答】解：（1）设设甲工厂每天加工x件，则乙工厂每天加工（x+8）件，
由题意得： = ，
解得：x=16，
∴x+8=24．
答：甲工厂每天加工16件，乙工厂每天加工24件．
（2）由（1）可知加工96件产品，甲工厂要6天，乙工厂要4天，
所以甲工厂的总费用为6×（800+50）=5100（元），
设乙工厂报价为每天m元，则乙工厂的总费用为4（m+50）元，
由题意得：4（m+50）≤5100，
解得m≤1225，
答：乙工厂所报加工费每天最多为1225元时，有望加工这批产品．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量
关系是解决问题的关键．解题时注意：工作总量=工作效率×工作时间．
四、附加题
26．已知：CD为⊙O的直径，点B为⊙O上一点，ABCO为平行四边形，连接AD并
延长交⊙O于点E，连接BE．
第26页（共33页）（1）在图1中，求证：∠DAO=∠BAO；
（2）在图1中，求证：BE=BC；
（3）在图2中，过点E作⊙O的切线交DC的延长线于点M，设BE，CD交于点N，
若DE=EM，OM=8，求△BNC的面积．
【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）证明AO⊥BD和△AFB≌△OFD，再利用线段垂直平分线的性质得：
AD=OD，可得结论；
（ 2 ） 设 ∠ AOD=x° ， 则 ∠ EDO=2x° ， 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 ：
∠OBE=∠OBC=∠BEO=∠C=x°，证明△BOE≌△BOC，则BE=BC；
（3）如图3，作辅助线，构建等边三角形的高线，利用面积法求高线CG的长，分别
求BC的长，即是BE的长，利用线段的差计算EN的长，根据面积公式可得结论
【解答】证明：（1）如图1，连接BD，交AO于F，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥OC，AB=OC，
∴∠BAO=∠C=∠AOD，
∵DO=OC，
∴AB=DO，
∵∠AFB=∠OFD，
∴△AFB≌△OFD，
∴BF=DF，AF=OF，
∴OF⊥BD，
∴AD=OD，
∴∠DAO=∠AOD，
第27页（共33页）∴∠DAO=∠BAO；
（2）如图2，连接OB、OE，
设∠AOD=x°，则∠EDO=2x°，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠EDO=2x°，
∵∠C=∠AOD=∠DEB=x°，
∴∠BEO=2x°﹣x°=x°，
∵OB=OC=OE，
∴∠OBE=∠OBC=∠BEO=∠C=x°，
∴△BOE≌△BOC，
∴BE=BC；
（3）如图3，连接OE、CE，
∵DE=EM，
由（2）知∠EDC=∠M=2x°，
∠MOE=2∠ODE=4x°，
∵ME是⊙O的切线，
∴OE⊥EM，
∴2x+4x=90，
x=15°，
∴∠M=30°，
∵OM=8，
∴OE= OM=4，
∵OC=OE，∠COE=4×15°=60°，
∴△OEC是等边三角形，
∴EC=4，
过E作EH⊥DC于H，
∴∠HEC=30°，
∴HC=2，EH=2 ，
∵∠ONE=∠CDE+∠DEN=3x°=45°，
第28页（共33页）∴△NHE是等腰直角三角形，
∴NH=EH=2 ，
∴NE=2 ，
过C作CG⊥BE于G，
S = NC•EH= EN•CG，
△ENC
2 （2+2 ）=2 ×CG，
CG= + ，
Rt△BCG中，∠EBC=∠EDC=30°，
∴BC=2CG=2 ，
∴BE=BC=2 ，
∴BN=BE﹣EN=2 ﹣2 =2 ，
∴S = BN•CG= ×2 × =2 +2．
△BNC
第29页（共33页）【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、切线的性质、等边三角形和等腰
直角三角形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、平行四这形的性质等知
识，第三问有难度，确定计算面积的底边BN的长和高线CG的长是关键．
27．已知抛物线y=﹣ x2+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C，四边形OCDB为正
方形，点D的坐标为（6，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段CD上一动点，以每秒2单位的速度由点C向终点D运动，连接
OP，取OP的中点M，CD交抛物线于点E，连接EM，设点P的运动时间为t，
△PME的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接MD，直线y=mx﹣6经过点B，点N为直线y=mx﹣6上
一点，当∠DMN=90°，BN=2 时，在x轴上方的抛物线上存在点Q，使△AOQ
的面积等于△PME的面积，求此时Q点的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）先求得点C（0，6），B（6，0），然后将点B、C的坐标代入抛物线的解析
第30页（共33页）式可求得b、c的值；
（2）将y=6代入抛物线的解析式可求得点E的坐标，当0≤t≤4时，PE=4﹣t，当4
＜t≤6时，PE=6﹣t，由中点坐标公式可得到点M的坐标，最后依据三角形的面
积公式求解即可；
（3）将点B的坐标代入y=mx﹣6可求得m的值，从而得到直线BN的解析式为
y=x﹣6，接下来，由BN=2 ，可得到N的坐标为（8，2）或（4，﹣2），当N的坐标
为（8，2）时，∠MDN＜90°，不和题意；当点N的坐标为（4，﹣2）时，依据勾股定
理的逆定理列出关于t的方程，从而可求得t的值，然后可得到△PEM的面积，
然后依据三角形的面积公式可求得Q的纵坐标，最后，将点Q的纵坐标代入抛
物线的解析式可求得点Q的横坐标．
【解答】解：（1）∵四边形OCDB为正方形，点D的坐标为（6，6），
∴C（0，6），B（6，0）．
将点B、C的坐标代入抛物线的解析式可得到 ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+2x+6．
（2）将y=6代入抛物线的解析式得：﹣ x2+2x+6=6，解得x=0或x=4，
∴点E的坐标为（4，6）．
当0≤t≤2时，如图1所示：则PE=4﹣2t．
∵M为OP的中点，
∴M的坐标为（t，3）．
∴△PEM的面积= ×3×（4﹣2t）=﹣3t+6．
第31页（共33页）当2＜t≤3时，如图2所示：PE=6﹣2t．
∴△PEM的面积= ×3×（2t﹣4）=3t﹣6．
∴S与t的函数关系式为S= ．
（3）将点B的坐标代入y=mx﹣6得：6m﹣6=0，解得m=1，
∴直线BN的解析式为y=x﹣6．
又∵BN=2 ，
∴点N的坐标为（8，2）或（4，﹣2）．
当点N的坐标为（8，2）时，∠MDN＜90°，不和题意；
当点N的坐标为（4，﹣2）时，如图3所示：
∵点M（ t，3），D（6，6），N（4，﹣2），∠DMN=90°，
∴MD2+MN2=DN2，即（6﹣ t）2+（6﹣3）2+（4﹣ t）2+（﹣2﹣3）2=22+82，
整理得：t2﹣20t+36=0，解得：t=2或t=18（舍去）．
第32页（共33页）当t=2时，S=﹣ t+6=3，即△PEM的面积为3．
将y=0代入抛物线的解析式得：﹣ x2+2x+6=0，解得：x=﹣2或x=6，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
∴OA=2．
∴ ×AO×Q =3，即 ×2×Q =3，解得：Q =3．
y y y
将y=3代入抛物线的解析式得：﹣ x2+2x+6=3，整理得：x2﹣4x﹣6=0，
解得：x= +2或x=﹣ +2．
∴点Q的坐标为（ +2，3）或（﹣ +2，3）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、两点间的距离公式、三角形的面
积公式，求得点M的坐标是解题的关键．
第33页（共33页）
