文档内容
2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）（2021•哈尔滨） 的绝对值是
A． B．7 C． D．
2．（3分）（2021•哈尔滨）下列运算一定正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2021•哈尔滨）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
4．（3分）（2021•哈尔滨）八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是
A． B． C． D．
5．（3分）（2021•哈尔滨）如图， 是 的直径， 是 的切线，点 为切点，
若 ， ，则 的长为
第1页（共28页）A．8 B．7 C．10 D．6
6．（3分）（2021•哈尔滨）方程 的解为
A． B． C． D．
7．（3分）（2021•哈尔滨）如图， ，点 和点 是对应顶点，点 和点
是对应顶点，过点 作 ，垂足为点 ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
8．（3分）（2021•哈尔滨）一个不透明的袋子中装有 12个小球，其中8个红球、4个黄
球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的
概率是
A． B． C． D．
9．（3分）（2021•哈尔滨）如图，在 中， ， ， ， ，
则 的长为
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（3分）（2021•哈尔滨）周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉
立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离 （单位： 与他所用的时间 （单位：
第2页（共28页）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）（2021•哈尔滨）火星赤道半径约为 3396000米，用科学记数法表示为
米．
12．（3分）（2021•哈尔滨）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
13．（3分）（2021•哈尔滨）已知反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为
．
14．（3分）（2021•哈尔滨）计算 的结果是 ．
15．（3分）（2021•哈尔滨）把多项式 分解因式的结果是 ．
16．（3分）（2021•哈尔滨）二次函数 的最大值为 ．
17．（3分）（2021•哈尔滨）不等式组 的解集是 ．
18．（3分）（2021•哈尔滨）四边形 是平行四边形， ， 的平分线交直
线 于点 ，若 ，则 的周长为 ．
19．（3分）（2021•哈尔滨）一个扇形的弧长是 ，圆心角是 ，则此扇形的半径
是 ．
20．（3分）（2021•哈尔滨）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ，过点
第3页（共28页）作 ，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为点 ．若 ， ，
则 的长为 ．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-2题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7 分）（2021•哈尔滨）先化简，再求代数式 的值，其中
．
22．（7分）（2021•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1个单位长度，
的顶点和线段 的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将 向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到
（点 的对应点是点 ，点 的对应点是点 ，点 的对应点是点 ，请画出 ；
（2）在方格纸中画出以 为斜边的等腰直角三角形 （点 在小正方形的顶点上）．
连接 ，请直接写出线段 的长．
23．（8分）（2021•哈尔滨）春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查
活动，围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种
（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结
果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调
查人数的 ．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
第4页（共28页）（3）若春宁中学共有1500名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名．
24．（8分）（2021•哈尔滨）已知四边形 是正方形，点 在边 的延长线上，连
接 交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ， 的延长线交 于点 ，交
的延长线于点 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若 ，连接 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中
的四个三角形 除外），使写出的每个三角形都与 全等．
25．（10分）（2021•哈尔滨）君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的 、 两种型号
的毛笔．若购买3支 种型号的毛笔和1支 种型号的毛笔需用22元；若购买2支 种型
号的毛笔和3支 种型号的毛笔需用24元．
（1）求每支 种型号的毛笔和每支 种型号的毛笔各多少元；
（2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支，总费用不超过420元，那么该中学
最多可以购买多少支 种型号的毛笔？
第5页（共28页）26．（10分）（2021•哈尔滨）已知 是 的外接圆， 为 的直径，点 为
的中点，连接 并延长交 于点 ，连接 ， 交 于点 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过点 作 ， 交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ，
若 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，若 ，求 的长．
27．（10分）（2021•哈尔滨）在平面直角坐标系中，点 为坐标系的原点，抛物线
经过 ， ， 两点，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点
，点 为直线 上的一个动点，连接 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点 在第一象限时，设点 的横坐标为 ， 的面积为 ，求 关于
的函数解析式（不要求写出自变量 的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点 在 轴的正半轴上，且 ，连接 ，当直
线 交 轴正半轴于点 ，交 轴于点 时，过点 作 交 轴于点 ，过点
作 轴的平行线交线段 于点 ，连接 ，过点 作 交线段 于点 ，
的平分线交 轴于点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作
于点 ，若 ，求点 的坐标．
第6页（共28页）第7页（共28页）2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）（2021•哈尔滨） 的绝对值是
A． B．7 C． D．
【解答】解： ，
故选： ．
2．（3分）（2021•哈尔滨）下列运算一定正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，原计算正确，故此选项符合题意；
、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
、 与 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选： ．
3．（3分）（2021•哈尔滨）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【解答】解： ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选： ．
第8页（共28页）4．（3分）（2021•哈尔滨）八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是
A． B． C． D．
【解答】解：从正面看，共有三列，每列的小正方形个数分别为2、1、2，
故选： ．
5．（3分）（2021•哈尔滨）如图， 是 的直径， 是 的切线，点 为切点，
若 ， ，则 的长为
A．8 B．7 C．10 D．6
【解答】解： 是 的直径， 是 的切线，
，
，
，
．
故选： ．
6．（3分）（2021•哈尔滨）方程 的解为
A． B． C． D．
【解答】解：去分母得： ，
第9页（共28页）去括号得： ，
移项合并得： ，
检验：当 时， ，
分式方程的解为 ．
故选： ．
7．（3分）（2021•哈尔滨）如图， ，点 和点 是对应顶点，点 和点
是对应顶点，过点 作 ，垂足为点 ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
8．（3分）（2021•哈尔滨）一个不透明的袋子中装有 12个小球，其中8个红球、4个黄
球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的
概率是
A． B． C． D．
【解答】解： 从袋子中随机摸出一个小球共有12种等可能结果，摸出的小球是红球的结
第10页（共28页）果数为8，
摸出的小球是红球的概率为 ，
故选： ．
9．（3分）（2021•哈尔滨）如图，在 中， ， ， ， ，
则 的长为
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解： ，
，
， ， ，
，
．
故选： ．
10．（3分）（2021•哈尔滨）周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉
立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离 （单位： 与他所用的时间 （单位：
之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为
第11页（共28页）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解：由题意，得：
小辉从家去图书馆的速度为： ；
小辉从图书馆回家的速度为： ．
故选： ．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）（2021•哈尔滨）火星赤道半径约为 3396000米，用科学记数法表示为
米．
【解答】解： ．
故答案是： ．
12．（3分）（2021•哈尔滨）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
【解答】解： ， ．
故答案为： ．
13．（3分）（2021•哈尔滨）已知反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为
．
【解答】解： 反比例函数 的图象经过点 ，
，
故答案为： ．
14．（3分）（2021•哈尔滨）计算 的结果是 ．
第12页（共28页）【解答】解：原式
．
故答案为： ．
15．（3分）（2021•哈尔滨）把多项式 分解因式的结果是 ．
【解答】解：
．
故答案为： ．
16．（3分）（2021•哈尔滨）二次函数 的最大值为 ．
【解答】解：在二次函数 中，
顶点坐标为 ，
且 ，
抛物线开口向下，
二次函数 的最大值为 ．
故答案为： ．
17．（3分）（2021•哈尔滨）不等式组 的解集是 ．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
第13页（共28页）故答案为： ．
18．（3分）（2021•哈尔滨）四边形 是平行四边形， ， 的平分线交直
线 于点 ，若 ，则 的周长为 2 0 或 2 8 ．
【解答】解：当 点在线段 上时，如图：
四边形 为平行四边形，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形 的周长为： ，
当 点在线段 延长线上时，如图：
四边形 为平行四边形，
，
，
平分 ，
，
，
第14页（共28页），
，
，
，
，
平行四边形 的周长为： ，
综上，平行四边形 的周长为20或28．
故答案为20或28．
19．（3分）（2021•哈尔滨）一个扇形的弧长是 ，圆心角是 ，则此扇形的半径
是 1 0 ．
【解答】解：设扇形的半径为 ，由题意得，
，
解得 ，
故答案为：10．
20．（3分）（2021•哈尔滨）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ，过点
作 ，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为点 ．若 ， ，
则 的长为 ．
【解答】解： 四边形 是矩形，
，
，
， ，
又 ，
，
第15页（共28页）在 和 中，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
故答案为： ．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-2题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7 分）（2021•哈尔滨）先化简，再求代数式 的值，其中
．
【解答】解：原式
，
当 时，
第16页（共28页）原式 ．
22．（7分）（2021•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1个单位长度，
的顶点和线段 的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将 向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到
（点 的对应点是点 ，点 的对应点是点 ，点 的对应点是点 ，请画出 ；
（2）在方格纸中画出以 为斜边的等腰直角三角形 （点 在小正方形的顶点上）．
连接 ，请直接写出线段 的长．
【解答】解：（1）如图， 为所作；
（2）如图， 为所作；
．
23．（8分）（2021•哈尔滨）春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查
活动，围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种
（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结
果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调
查人数的 ．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
第17页（共28页）（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若春宁中学共有1500名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名．
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生数有： （名 ；
（2）最喜欢冰球项目的人数有： （名 ，补全统计图如下：
（3）根据题意得：
（名 ，
答：估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有300名．
24．（8分）（2021•哈尔滨）已知四边形 是正方形，点 在边 的延长线上，连
第18页（共28页）接 交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ， 的延长线交 于点 ，交
的延长线于点 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若 ，连接 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中
的四个三角形 除外），使写出的每个三角形都与 全等．
【解答】证明：（1） 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2） ， ， ， ，
理由如下： ，
，
，
，
第19页（共28页），
，
在 和 中，
，
，
，
同理可证 ，
，
，
在 和 中，
，
，
同理可证 ， ．
25．（10分）（2021•哈尔滨）君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的 、 两种型号
的毛笔．若购买3支 种型号的毛笔和1支 种型号的毛笔需用22元；若购买2支 种型
号的毛笔和3支 种型号的毛笔需用24元．
（1）求每支 种型号的毛笔和每支 种型号的毛笔各多少元；
（2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支，总费用不超过420元，那么该中学
最多可以购买多少支 种型号的毛笔？
【解答】解：（1）设每支 种型号的毛笔 元，每支 种型号的毛笔 元；
由题意可得： ，
解得： ，
第20页（共28页）答：每支 种型号的毛笔6元，每支 种型号的毛笔4元；
（2）设 种型号的毛笔为 支，
由题意可得： ，
解得： ，
答：最多可以购买50支 种型号的毛笔．
26．（10分）（2021•哈尔滨）已知 是 的外接圆， 为 的直径，点 为
的中点，连接 并延长交 于点 ，连接 ， 交 于点 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过点 作 ， 交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ，
若 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，若 ，求 的长．
【解答】（1）证明：如图1，过点 作 ，交 于点 ，连接 交 于 ，
第21页（共28页），
，
点 为 的中点，
，
，
是 的直径，
，
，
，
，
中， ，
；
（2）证明：在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，过点 作 于 ，延长 交 于点 ，
第22页（共28页）由（2）知： ，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
设 ，则 ， ，
由（2）知： ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
第23页（共28页），
， ，
由勾股定理得： ，
，
解得： （舍 ， ，
．
27．（10分）（2021•哈尔滨）在平面直角坐标系中，点 为坐标系的原点，抛物线
经过 ， ， 两点，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点
，点 为直线 上的一个动点，连接 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点 在第一象限时，设点 的横坐标为 ， 的面积为 ，求 关于
的函数解析式（不要求写出自变量 的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点 在 轴的正半轴上，且 ，连接 ，当直
线 交 轴正半轴于点 ，交 轴于点 时，过点 作 交 轴于点 ，过点
作 轴的平行线交线段 于点 ，连接 ，过点 作 交线段 于点 ，
的平分线交 轴于点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作
于点 ，若 ，求点 的坐标．
第24页（共28页）【解答】解：（1）把 ， ， 代入 ，得到 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ．
（2） 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
， ，
，
， ，
，
由题意 ，
．
（3）如图2中，过点 作 于 ，交 于 ，过点 作 交 的延长
第25页（共28页）线于 ，连接 ．
，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
平分 ，
，
，
，
，
第26页（共28页），
， ，
，
， ，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
， 关于 轴对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
第27页（共28页）， ，
，
， ，
直线 的解析式为 ，
由 ，解得 ，
， ．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/9/13 17:14:50；用户：初中数学61；邮箱：ydyd61@xyh.com；学号：36810736
第28页（共28页）
