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★秘密·2024年2月16日17：00前
重庆市 2023-2024 学年（下）2 月月度质量检测
高三数学答案及评分标准
【命题单位：重庆缙云教育联盟】
试卷视频讲解
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．C 2．D 3．B 4．A
5．A 6．B 7．D 8．D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．AC 10．ABD 11．ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）由题意得， 的可能取值为 ，在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为 ，
，依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率
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学科网（北京）股份有限公司为 ， ，易知 ， 的分布列为：
1 2 3
的数学期望 .
（2）证明：当 时，不难知道 ，
，
，
由（1）可知 ，又 ，
，
.即 .
⏜
16．（1）连接 ，因为 是底面半圆弧AB上的两个三等分点，
所以有 ，又因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以△MON,△NOB都为正三角形，所以 ，四边形 是菱形，
记 与 的交点为 ， 为 和 的中点，因为 ，
所以三角形 为正三角形，所以 ，所以 ，
因为 是半球面上一点， 是半球 的直径，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）因为点 在底面圆内的射影恰在 上，
由（1）知 为 的中点，△OPN为正三角形，所以 ，
所以 底面 ，因为四边形 是菱形，所以 ，
即 两两互相垂直，以点 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐
标系 ，如图所示，
则 ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，所以 ，
取 ，则 ，设直线 与平面 的所成角为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
17．（1） ，令 ，即 ，
当 时，令 ，所以 ，
则 即 ，
所以当 或 时，即 或 时， 无解；
当 时，即 时， 仅有一解；
当 即 时， 有两解，
综上， 或 时， 无零点； 时， 有一个零点； 时， 有两个零点.
（2）若 有两个零点 ， ，令 ， ，则 ， 为 两解，
则 ，则 ，则 ，
由 可得 ， ，则 ，
所以 ，所以 ，
由 可得 ，
所以 ，则 ，
由 在 递减，可得 ，
所以 ，所以
令 ，则
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学科网（北京）股份有限公司要证 成立，
即证： ；
即证： ，因为 显然成立，故原式成立.
18．（1）由题意知 ，设直线 ．
联立 得 ，
则 ， ，
则 的中点 在直线 上，
代入可解得 ， ，满足直线与抛物线有两个交点，
所以直线 的方程为 ，即 ．
（2）当直线 的斜率为 或不存在时，均不满足题意．
由 得 或 （舍去），故 ．
方法一：当直线 的斜率存在且不为 时，设直线 ．
联立 得 ，所以 ．
所以 ．同理得 ．
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学科网（北京）股份有限公司由 的中点在直线 上，
得 ，
即 ．
令 ，则 ，解得 或 ．
当 时，直线 的斜率 ；
当 时，直线 的斜率不存在．
所以直线 的斜率为 ．
方法二：设 ，线段 的中点 ，
则 ．
由 ，得 ，即 ．
所以 ．
又
，
故 可转化为 ，
即 ．解得 或 ．
所以直线 的斜率 ．
当 时，斜率不存在；当 时，斜率 ．
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学科网（北京）股份有限公司所以直线 的斜率为 ．
19．（1） .
（2）依题意， ，不等式 ，
函数 在 上单调递增， ，令 ，
显然函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
又 ，于是 ， ，
因此 ， ，显然函数 在 上单调递减，
当 时， ，从而 ，
所以实数 的取值范围是 .
（3） ， .
依题意， ，
，
当 时， ， ，即 ，
于是 ，而 ，因此 ，
当 时， ，则 ， ，
即 ，而 ，因此 ，
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学科网（北京）股份有限公司于是 ， ，所以 .
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