文档内容
2016 年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷
一、单项选择题：每小题3分，共30分
1．﹣1是1的（ ）
A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．立方根
2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．九年级一班和二班每班选8名同学进行投篮比赛，每名同学投篮10次，对每名同学投中的
次数进行统计，甲说：“一班同学投中次数为6个的最多”乙说：“二班同学投中次数最多
与最少的相差6个．”上面两名同学的议论能反映出的统计量是（ ）
A．平均数和众数B．众数和极差C．众数和方差D．中位数和极差
4．下列算式
① =±3；② =9；③26÷23=4；④ =2016；⑤a+a=a2．
运算结果正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①同位角相等
②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行
③长度相等的弧是等弧
④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S，则下列图
象中，能正确反映面积S与x之间的函数关系式的图象是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的分式方程 =2﹣ 的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（ ）
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3
8．足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队共进行了6场比赛，
得了12分，该队获胜的场数可能是（ ）
A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5
19．如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的
小正方体的个数最少是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，
0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x=﹣1，x=3；
1 2
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：每小题3分，共27分
11．某种电子元件的面积大约为0.00000069平方毫米，将0.00000069这个数用科学记数法
表示为 ．
12．在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件
使其成为菱形（只填一个即可）．
14．一个侧面积为16 πcm2的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥的高为
cm．
15．如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C=
度．
216．如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y= 的图象
交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k= ．
17．有一面积为5 的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面
积为 ．
18．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD
翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，
OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的 倍，得到矩形
AOCB，再将矩形AOCB 以原点O为位似中心放大 倍，得到矩形AOCB…，以此类推，得到
1 1 1 1 1 1 2 2 2
的矩形AOCB 的对角线交点的坐标为 ．
n n n
三、解答题：共63分
20．先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ﹣ ，其中x2+2x﹣15=0．
321．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐
标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△ABC；
1 1 1
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△ABO；
2 2
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A 与点A 距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
1 2
22．如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且
点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出B、C两点的坐标；
（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）
注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣ ， ）
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
424．为增强学生体质，各学校普遍开展了阳光体育活动，某校为了解全校1000名学生每周课
外体育活动时间的情况，随机调查了其中的50名学生，对这50名学生每周课外体育活动时
间x（单位：小时）进行了统计．根据所得数据绘制了一幅不完整的统计图，并知道每周课外
体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%．根据以上信息及统计图解答下列问题：
（1）本次调查属于 调查，样本容量是 ；
（2）请补全频数分布直方图中空缺的部分；
（3）求这50名学生每周课外体育活动时间的平均数；
（4）估计全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的人数．
25．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的
赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人
始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x
（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：
（1）A、B两点之间的距离是 米，甲机器人前2分钟的速度为 米/分；
（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；
（3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为 米/分；
（4）求A、C两点之间的距离；
（5）直接写出两机器人出发多长时间相距28米．
526．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣ ，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，
且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根
（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；
（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角
形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
62016 年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：每小题3分，共30分
1．﹣1是1的（ ）
A．倒数B．相反数C．绝对值D．立方根
【考点】立方根；相反数；绝对值；倒数．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．即a的相反数是﹣a．
【解答】解：﹣1是1的相反数．
故选B．
2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后
它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；
B、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部
分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；
C、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部
分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；
D、是轴对称图形，又是中心对称图形．故此选项正确．
故选：D．
3．九年级一班和二班每班选8名同学进行投篮比赛，每名同学投篮10次，对每名同学投中的
次数进行统计，甲说：“一班同学投中次数为6个的最多”乙说：“二班同学投中次数最多
与最少的相差6个．”上面两名同学的议论能反映出的统计量是（ ）
A．平均数和众数B．众数和极差C．众数和方差D．中位数和极差
【考点】统计量的选择．
【分析】根据众数和极差的概念进行判断即可．
【解答】解：一班同学投中次数为6个的最多反映出的统计量是众数，
二班同学投中次数最多与最少的相差6个能反映出的统计量极差，
故选：B．
4．下列算式
① =±3；② =9；③26÷23=4；④ =2016；⑤a+a=a2．
运算结果正确的概率是（ ）
7A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【分析】分别利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质、同底数幂的除法运算法则、合并
同类项法则进行判断，再利用概率公式求出答案．
【解答】解：① =3，故此选项错误；
② = =9，正确；
③26÷23=23=8，故此选项错误；
④ =2016，正确；
⑤a+a=2a，故此选项错误，
故运算结果正确的概率是： ．
故选：B．
5．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①同位角相等
②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行
③长度相等的弧是等弧
④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】命题与定理．
【分析】根据平行线的性质对①进行判断；根据平行公理对②进行判断；根据等弧的定义对③
进行判断；根据中点四边的判定方法可判断顺次连接菱形各边中点得到的四边形为平行四
边形，加上菱形的对角线垂直可判断中点四边形为矩形．
【解答】解：两直线平行，同位角相等，所以①错误；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以②错误；
在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以③选项错误；
顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，所以④正确．
故选A．
6．点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S，则下列图
象中，能正确反映面积S与x之间的函数关系式的图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象．
【分析】先用x表示出y，再利用三角形的面积公式即可得出结论．
8【解答】解：∵点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，
∴y=6﹣x（0＜x＜6，0＜y＜6）．
∵点A的坐标为（4，0），
∴S= ×4×（6﹣x）=12﹣2x（0＜x＜6），
∴C符合．
故选C．
7．若关于x的分式方程 =2﹣ 的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（ ）
A．1，2，3B．1，2C．1，3D．2，3
【考点】分式方程的解．
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：等式的两边都乘以（x﹣2），得
x=2（x﹣2）+m，
解得x=4﹣m，
x=4﹣m≠2，
由关于x的分式方程 =2﹣ 的解为正数，得
m=1，m=3，
故选：C．
8．足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队共进行了6场比赛，
得了12分，该队获胜的场数可能是（ ）
A．1或2B．2或3C．3或4D．4或5
【考点】二元一次方程的应用．
【分析】设该队胜x场，平y场，则负（6﹣x﹣y）场，根据：胜场得分+平场得分+负场得分=最终
得分，列出二元一次方程，根据x、y的范围可得x的可能取值．
【解答】解：设该队胜x场，平y场，则负（6﹣x﹣y）场，
根据题意，得：3x+y=12，即：x= ，
∵x、y均为非负整数，且x+y≤6，
∴当y=0时，x=4；当y=3时，x=3；
即该队获胜的场数可能是3场或4场，
故选：C．
9．如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的
小正方体的个数最少是（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【考点】由三视图判断几何体．
9【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．
【解答】解：由题中所给出的主视图知物体共2列，且都是最高两层；由左视图知共行，所以小
正方体的个数最少的几何体为：第一列第一行1个小正方体，第一列第二行2个小正方体，第
二列第三行2个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最
少为：1+2+2=5个．
故选A．
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，
0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x=﹣1，x=3；
1 2
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x
轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据x=﹣1
时函数值为负数可得到3a+c＜0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变
量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x=﹣1，x=3，所以②正确；
1 2
∵x=﹣ =1，即b=﹣2a，
而x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选B．
10二、填空题：每小题3分，共27分
11．某种电子元件的面积大约为0.00000069平方毫米，将0.00000069这个数用科学记数法
表示为 6.9×1 0 ﹣ 7 ．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科
学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0
的个数所决定．
【解答】解：0.00000069=6.9×10﹣7．
故答案为：6.9×10﹣7．
12．在函数y= 中，自变量x的取值范围是 x≥﹣ ，且 x≠ 2 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
3x+1≥0且x﹣2≠0，
解得x≥﹣ ，且x≠2，
故答案为：x≥﹣ ，且x≠2．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件 AC⊥B C
或∠ AOB=90° 或 AB=B C 使其成为菱形（只填一个即可）．
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．
【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可．
【解答】解：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加一个适当的条件为：
AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC使其成为菱形．
故答案为：AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC
14．一个侧面积为16 πcm2的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥的高为 4
cm．
【考点】圆锥的计算；等腰直角三角形；由三视图判断几何体．
【分析】设底面半径为r，母线为l，由轴截面是等腰直角三角形，得出2r= l，代入S
侧
=πrl，求出r，l，从而求得圆锥的高．
【解答】解：设底面半径为r，母线为l，
∵主视图为等腰直角三角形，
∴2r= l，
∴侧面积S =πrl=2πr2=16 πcm2，
侧
11解得 r=4，l=4 ，
∴圆锥的高h=4cm，
故答案为：4．
15．如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C= 4 5 度．
【考点】切线的性质；平行四边形的性质．
【分析】连接OD，只要证明△AOD是等腰直角三角形即可推出∠A=45°，再根据平行四边形的
对角相等即可解决问题．
【解答】解；连接OD．
∵CD是⊙O切线，
∴OD⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴AB⊥OD，
∴∠AOD=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO=45°，
∴∠C=∠A=45°．
故答案为45．
16．如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y= 的图象
交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k= 6 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据点P（6，3），可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入函数解析式分别求
出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为12，列出方程求出k的值．
【解答】解：∵点P（6，3），
12∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，
代入反比例函数y= 得，
点A的纵坐标为 ，点B的横坐标为 ，
即AM= ，NB= ，
∵S =12，
四边形OAPB
即S ﹣S ﹣S =12，
矩形OMPN △OAM △NBO
6×3﹣ ×6× ﹣ ×3× =12，
解得：k=6．
故答案为：6．
17．有一面积为5 的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面
积为 2 0 和 2 0 ．
【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．
【分析】分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角，分别作腰上
的高即可．
【解答】解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，
作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，
∴BD= AB= a，
∴ •a• a=5 ，
∴a2=20 ，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20 ．
如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，
在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，
∴BD= a，
∴ •a• a=5 ，
∴a2=20，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．
故答案为20 或20．
1318．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD
翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为 ﹣ 1 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．
【分析】过点M作MF⊥DC于点F，根据在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，得
到2MD=AD=CD=2，从而得到∠FDM=60°，∠FMD=30°，进而利用锐角三角函数关系求出EC的
长即可．
【解答】解：如图所示：过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD= MD= ，
∴FM=DM×cos30°= ，
∴MC= = ，
∴EC=MC﹣ME= ﹣1．
故答案为： ﹣1．
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，
OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的 倍，得到矩形
14AOCB，再将矩形AOCB 以原点O为位似中心放大 倍，得到矩形AOCB…，以此类推，得到
1 1 1 1 1 1 2 2 2
的矩形AOCB 的对角线交点的坐标为 （﹣ ， ） ．
n n n
【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质．
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位
似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得B 的坐标，然后根据矩形的性质即可求得
n
对角线交点的坐标．
【解答】解：∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的 倍，
∴矩形AOCB 与矩形AOCB是位似图形，点B与点B 是对应点，
1 1 1 1
∵OA=2，OC=1．
∵点B的坐标为（﹣2，1），
∴点B 的坐标为（﹣2× ，1× ），
1
∵将矩形AOCB 以原点O为位似中心放大 倍，得到矩形AOCB…，
1 1 1 2 2 2
∴B（﹣2× × ，1× × ），
2
∴B（﹣2× ，1× ），
n
∵矩形AOCB 的对角线交点（﹣2× × ，1× × ），即（﹣ ， ），
n n n
故答案为：（﹣ ， ）．
三、解答题：共63分
20．先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ﹣ ，其中x2+2x﹣15=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后算减法，根据x2+2x﹣15=0得出x2+2x=15，代入代数
式进行计算即可．
15【解答】解：原式= • ﹣
= ﹣
= ，
∵x2+2x﹣15=0，
∴x2+2x=15，
∴原式= ．
21．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐
标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△ABC；
1 1 1
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△ABO；
2 2
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A 与点A 距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
1 2
【考点】作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题；作图-平移变换．
【分析】（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；
（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连
接即可；
（3）利用最短路径问题解决，首先作A 点关于x轴的对称点A，再连接AA 与x轴的交点即
1 3 2 3
为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△ABC 为所求做的三角形；
1 1 1
（2）如图所示，△ABO为所求做的三角形；
2 2
（3）∵A 坐标为（3，1），A 坐标为（4，﹣4），
2 3
∴AA 所在直线的解析式为：y=﹣5x+16，
2 3
令y=0，则x= ，
∴P点的坐标（ ，0）．
1622．如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且
点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出B、C两点的坐标；
（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）
注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣ ， ）
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用对称轴方程可求得b，把点A的坐标代入可求得c，可求得抛物线的解析式；
（2）根据A、B关于对称轴对称可求得点B的坐标，利用抛物线的解析式可求得B点坐标；
（3）根据B、C坐标可求得BC长度，由条件可知BC为过O、B、C三点的圆的直径，可求得圆的
面积．
【解答】解：
（1）由A（﹣1，0），对称轴为x=2，可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5；
（2）由A点坐标为（﹣1，0），且对称轴方程为x=2，可知AB=6，
∴OB=5，
∴B点坐标为（5，0），
∵y=x2﹣4x﹣5，
∴C点坐标为（0，﹣5）；
（3）如图，连接BC，则△OBC是直角三角形，
17∴过O、B、C三点的圆的直径是线段BC的长度，
在Rt△OBC中，OB=OC=5，
∴BC=5 ，
∴圆的半径为 ，
∴圆的面积为π（ ）2= π．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．
（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得 = =1，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD．
（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°
∴ =1，
∴AD=BD，
∵△ACD∽△BFD，
∴ = =1，
∴BF=AC=3．
1824．为增强学生体质，各学校普遍开展了阳光体育活动，某校为了解全校1000名学生每周课
外体育活动时间的情况，随机调查了其中的50名学生，对这50名学生每周课外体育活动时
间x（单位：小时）进行了统计．根据所得数据绘制了一幅不完整的统计图，并知道每周课外
体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%．根据以上信息及统计图解答下列问题：
（1）本次调查属于 抽样 调查，样本容量是 5 0 ；
（2）请补全频数分布直方图中空缺的部分；
（3）求这50名学生每周课外体育活动时间的平均数；
（4）估计全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的人数．
【考点】频数（率）分布直方图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；加权平均数．
【分析】（1）根据题目中的信息可知本次调查为抽样调查，也可以得到样本容量；
（2）根据每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%，可以求得每周课外体育
活动时间在6≤x＜8小时的学生人数，从而可以求得2≤x＜4的学生数，从而可以将条形统
计图补充完整；
（3）根据条形统计图可以得到这50名学生每周课外体育活动时间的平均数；
（4）根据条形统计图，可以估计全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的人数．
【解答】解：（1）由题意可得，
本次调查属于抽样调查，样本容量是50，
故答案为：抽样，50；
（2）由题意可得，
每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生有：50×24%=12（人），
则每周课外体育活动时间在2≤x＜4小时的学生有：50﹣5﹣22﹣12﹣3=8（人），
补全的频数分布直方图如右图所示，
（3）由题意可得，
=5，
即这50名学生每周课外体育活动时间的平均数是5；
（4）由题意可得，
19全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有：1000× （人），
即全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有300人．
25．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的
赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人
始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x
（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：
（1）A、B两点之间的距离是 7 0 米，甲机器人前2分钟的速度为 9 5 米/分；
（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；
（3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为 6 0 米/分；
（4）求A、C两点之间的距离；
（5）直接写出两机器人出发多长时间相距28米．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）结合图象得到A、B两点之间的距离，甲机器人前2分钟的速度；
（2）根据题意求出点F的坐标，利用待定系数法求出EF所在直线的函数解析式；
（3）根据一次函数的图象和性质解答；
（4）根据速度和时间的关系计算即可；
（5）分前2分钟、2分钟﹣3分钟、4分钟﹣7分钟三个时间段解答．
【解答】解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，
甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2=95米/分；
（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y=kx+b，
∵1×（95﹣60）=35，
20∴点F的坐标为（3，35），
则 ，
解得， ，
∴线段EF所在直线的函数解析式为y=35x﹣70；
（3）∵线段FG∥x轴，
∴甲、乙两机器人的速度都是60米/分；
（4）A、C两点之间的距离为70+60×7=490米；
（5）设前2分钟，两机器人出发xs相距28米，
由题意得，60x+70﹣95x=28，
解得，x=1.2，
前2分钟﹣3分钟，两机器人相距28米时，
35x﹣70=28，
解得，x=2.8，
4分钟﹣7分钟，两机器人相距28米时，
（95﹣60）x=28，
解得，x=0.8，
0.8+4=4.8，
答：两机器人出发1.2s或2.8s或4.8s相距28米．
26．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣ ，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，
且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根
（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；
（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角
形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）解出方程后，即可求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长度；
（2）由A、B、C三点坐标可知OA2=OC•OB，所以可证明△AOC∽△BOA，利用对应角相等即可求出
∠CAB=90°；
（3）容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D的纵坐标
为1，将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；
（4）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②AB=BP；
③AP=BP；然后分别求出P的坐标即可．
21【解答】（1）∵x2﹣2x﹣3=0，
∴x=3或x=﹣1，
∴B（0，3），C（0，﹣1），
∴BC=4，
（2）∵A（﹣ ，0），B（0，3），C（0，﹣1），
∴OA= ，OB=3，OC=1，
∴OA2=OB•OC，
∵∠AOC=∠BOA=90°，
∴△AOC∽△BOA，
∴∠CAO=∠ABO，
∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥AB；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（﹣ ，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y=﹣ x﹣1，
∵DB=DC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上，
∴D的纵坐标为1，
∴把y=1代入y=﹣ x﹣1，
∴x=﹣2 ，
∴D的坐标为（﹣2 ，1），
（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，
把B（0，3）和D（﹣2 ，1）代入y=mx+n，
∴ ，
解得 ，
∴直线BD的解析式为：y= x+3，
22令y=0代入y= x+3，
∴x=﹣3 ，
∴E（﹣3 ，0），
∴OE=3 ，
∴tan∠BEC= = ，
∴∠BEO=30°，
同理可求得：∠ABO=30°，
∴∠ABE=30°，
当PA=AB时，如图1，
此时，∠BEA=∠ABE=30°，
∴EA=AB，
∴P与E重合，
∴P的坐标为（﹣3 ，0），
当PA=PB时，如图2，
此时，∠PAB=∠PBA=30°，
∵∠ABE=∠ABO=30°，
∴∠PAB=∠ABO，
∴PA∥BC，
∴∠PAO=90°，
∴点P的横坐标为﹣ ，
令x=﹣ 代入y= x+3，
∴y=2，
∴P（﹣ ，2），
当PB=AB时，如图3，
∴由勾股定理可求得：AB=2 ，EB=6，
若点P在y轴左侧时，记此时点P为P，
1
过点P 作PF⊥x轴于点F，
1 1
∴PB=AB=2 ，
1
∴EP=6﹣2 ，
1
∴sin∠BEO= ，
∴FP=3﹣ ，
1
令y=3﹣ 代入y= x+3，
∴x=﹣3，
∴P（﹣3，3﹣ ），
1
若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P，
2
过点P 作PG⊥x轴于点G，
2 2
∴PB=AB=2 ，
2
∴EP=6+2 ，
2
23∴sin∠BEO= ，
∴GP=3+ ，
2
令y=3+ 代入y= x+3，
∴x=3，
∴P（3，3+ ），
2
综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3 ，0），（﹣
，2），（﹣3，3﹣ ），（3，3+ ）．
24
