文档内容
2019年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
一、填空题（每题3分，满分30分）
1．（3分）（2019•黑龙江）中国政府提出的“一带一路”倡议，近两年来为沿线国家创造了约
180000个就业岗位．将数据180000用科学记数法表示为 ．
2．（3分）（2019•黑龙江）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
3．（3分）（2019•黑龙江）如图，在四边形 中， ，在不添加任何辅助线的情况
下，请你添加一个条件 ，使四边形 是平行四边形．
4．（3分）（2019•黑龙江）在不透明的甲、乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的小球，甲盒
中有2个白球、1个黄球，乙盒中有1个白球、1个黄球，分别从每个盒中随机摸出1个球，则
摸出的2个球都是黄球的概率是 ．
5．（3分）（2019•黑龙江）若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，则 的取
值范围是 ．
6．（3分）（2019•黑龙江）如图，在 中，半径 垂直于弦 ，点 在圆上且 ，
则 的度数为 ．
7．（3分）（2019•黑龙江）若一个圆锥的底面圆的周长是 ，母线长是 ，则该圆锥的侧
面展开图的圆心角度数是 ．
8．（3分）（2019•黑龙江）如图，矩形 中， ， ，点 是矩形 内一动
点，且 ，则 的最小值为 ．
第1页（共31页）9．（3分）（2019•黑龙江）一张直角三角形纸片 ， ， ， ，点
为 边上的任一点，沿过点 的直线折叠，使直角顶点 落在斜边 上的点 处，当
是直角三角形时，则 的长为 ．
10．（3分）（2019•黑龙江）如图，四边形 是边长为1的正方形，以对角线 为边作第
二个正方形 ，连接 ，得到△ ；再以对角线 为边作第三个正方形
，连接 ，得到△ ；再以对角线 为边作第四个正方形，连接 ，得到
△ 记△ 、△ 、△ 的面积分别为 、 、 ，如此下去，则
．
二、选择题（每题3分，满分30分）
11．（3分）（2019•黑龙江）下列各运算中，计算正确的是
A． B． C． D．
12．（3分）（2019•黑龙江）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是
第2页（共31页）A． B．
C． D．
13．（3分）（2019•黑龙江）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯
视图，则所需的小正方体的个数最少是
A．6 B．5 C．4 D．3
14．（3分）（2019•黑龙江）某班在阳光体育活动中，测试了五位学生的“一分钟跳绳”成绩，
得到五个各不相同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最低成绩写得更低了，则计算结果
不受影响的是
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差
15．（3分）（2019•黑龙江）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干
长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，
则这种植物每个支干长出的小分支个数是
A．4 B．5 C．6 D．7
16．（3分）（2019•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，平行四边形
的顶点 在反比例函数 上，顶点 在反比例函数 上，点 在 轴的正半轴上，则
平行四边形 的面积是
A． B． C．4 D．6
第3页（共31页）17．（3分）（2019•黑龙江）已知关于 的分式方程 的解是非正数，则 的取值范围
是
A． B． C． D．
18．（3分）（2019•黑龙江）如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ， ，
过点 作 ，过点 作 ， 、 交于点 ，连接 ，则
A． B． C． D．
19．（3分）（2019•黑龙江）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动
中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
20．（3分）（2019•黑龙江）如图，在平行四边形 中， ， ，过点 作
边 的垂线 交 的延长线于点 ，点 是垂足，连接 、 ， 交 于点 ．则
下列结论：①四边形 是正方形；② ；③ ；④ ，
正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（满分60分）
21．（5分）（2019•黑龙江）先化简，再求值： ，期中 ．
22．（6分）（2019•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在
第4页（共31页）平面直角坐标系中， 的三个顶点 、 、 均在格点上．
（1）画出 关于 轴对称的△ ，并写出点 的坐标；
（2）画出 绕原点 顺时针旋转 后得到的△ ，并写出点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 ．
23．（6分）（2019•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点
、点 ，与 轴交于点 ．
（1）求拋物线的解析式；
（2）过点 作直线 轴，点 在直线 上且 ，直接写出点 的坐标．
24．（7分）（2019•黑龙江）“世界读书日”前夕，某校开展了“读书助我成长”的阅读活动．
为了了解该校学生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，
将收集到的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题：
（1）求本次调查中共抽取的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是 ；
（4）若该校有1200名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有多少
人？
第5页（共31页）25．（8分）（2019•黑龙江）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学
作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发10分钟时，小
明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程
（米 与小强所用时间 （分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）求函数图象中 的值；
（2）求小强的速度；
（3）求线段 的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
26．（8分）（2019•黑龙江）如图，在 中， ， 于点 ， 于点 ，
与 交于点 ， 于点 ，点 是 的中点，连接 并延长交 于点 ．
（1）如图①所示，若 ，求证： ；
（2）如图②所示，若 ，如图③所示，若 （点 与点 重合），猜想线段
、 与 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
27．（10分）（2019•黑龙江）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备
购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具
第6页（共31页）共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买
甲种文具 个，求有多少种购买方案？
（3）设学校投入资金 元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多
少元？
28．（10分）（2019•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上， 、
的长分别是一元二次方程 的两个根 ， ，边 交 轴
于点 ，动点 以每秒1个单位长度的速度，从点 出发沿折线段 向点 运动，运
动的时间为 秒，设 与矩形 重叠部分的面积为 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求 关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点 的运动过程中，是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，直接写出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
第7页（共31页）2019 年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每题3分，满分30分）
1．（3分）中国政府提出的“一带一路”倡议，近两年来为沿线国家创造了约180000个就业
岗位．将数据180000用科学记数法表示为 ．
【考点】科学记数法 表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解：将180000用科学记数法表示为 ，
故答案是： ．
2．（3分）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0即可求解．
【解答】解：在函数 中，有 ，解得 ，
故其自变量 的取值范围是 ．
故答案为 ．
3．（3分）如图，在四边形 中， ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一
个条件 （答案不唯一） ，使四边形 是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定
【分析】可再添加一个条件 ，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边
形 是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件： ．
故答案为： （答案不唯一）．
第8页（共31页）4．（3分）在不透明的甲、乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中有2个白球、1
个黄球，乙盒中有1个白球、1个黄球，分别从每个盒中随机摸出1个球，则摸出的2个球都
是黄球的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法
【分析】先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出2个球都是黄球所占结果数，然
后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：，
共有6种等可能的结果数，其中2个球都是黄球占1种，
摸出的2个球都是黄球的概率 ；
故答案为： ．
5．（3分）若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，则 的取值范围是
．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组的解集为 ，
，
故答案为： ．
6．（3分）如图，在 中，半径 垂直于弦 ，点 在圆上且 ，则 的度
数为 ．
第9页（共31页）【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；垂径定理
【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．
【解答】解： ，
，
，
，
，
故答案为 ．
7．（3分）若一个圆锥的底面圆的周长是 ，母线长是 ，则该圆锥的侧面展开图的圆
心角度数是 ．
【考点】圆锥的计算
【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方
法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可．
【解答】解： 圆锥的底面圆的周长是 ，
圆锥的侧面扇形的弧长为 ，
，
解得：
故答案为 ．
8．（3分）如图，矩形 中， ， ，点 是矩形 内一动点，且
，则 的最小值为 ．
第10页（共31页）【考点】三角形的面积；矩形的性质；轴对称 最短路线问题
【分析】由于 ，这两个三角形等底同高，可得点 在线段 的垂直平分线上，根
据最短路径问题，可得 此时最小，有勾股定理可求结果．
【解答】解：
为矩形，
又
点 到 的距离与到 的距离相等，即点 线段 垂直平分线 上，
连接 ，交 与点 ，此时 的值最小，
且
故答案为：
9．（3分）一张直角三角形纸片 ， ， ， ，点 为 边上的任
一点，沿过点 的直线折叠，使直角顶点 落在斜边 上的点 处，当 是直角三角
形时，则 的长为 3 或 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理
【分析】依据沿过点 的直线折叠，使直角顶点 落在斜边 上的点 处，当 是直角
三角形时，分两种情况讨论： 或 ，分别依据勾股定理或者相似三角
形的性质，即可得到 的长．
【解答】解：分两种情况：
①若 ，则 ， ，
第11页（共31页）连接 ，则 ，
， ，
设 ，则 ，
中， ，
，
解得 ，
；
②若 ，则 ， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
设 ，则 ， ， ，
，
解得 ，
，
综上所述， 的长为3或 ，
第12页（共31页）故答案为：3或 ．
10．（3分）如图，四边形 是边长为1的正方形，以对角线 为边作第二个正方形
，连接 ，得到△ ；再以对角线 为边作第三个正方形 ，连接 ，
得到△ ；再以对角线 为边作第四个正方形，连接 ，得到△ 记△
、△ 、△ 的面积分别为 、 、 ，如此下去，则 ．
【考点】三角形的面积；规律型：图形的变化类
【分析】首先求出 、 、 ，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【解答】解： 四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
同理可求： ， ，
第13页（共31页），
，
故答案为： ．
二、选择题（每题3分，满分30分）
11．（3分）下列各运算中，计算正确的是
A． B． C． D．
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；完全平方公式；同底数幂的除法
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别化简得
出答案．
【解答】解： 、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项正确；
故选： ．
12．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
第14页（共31页）【解答】解： 、不是中心对称图形，本选项错误；
、不是中心对称图形，本选项错误；
、是中心对称图形，本选项正确；
、不是中心对称图形，本选项错误．
故选： ．
13．（3分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的
小正方体的个数最少是
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】由三视图判断几何体
【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
【解答】解：综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有1个小立方体，因
此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5个．
故选： ．
14．（3分）某班在阳光体育活动中，测试了五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不
相同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最低成绩写得更低了，则计算结果不受影响的是
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差
【考点】中位数；算术平均数；极差；方差
【分析】根据中位数的定义解答可得．
【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，
不受极端值影响，
所以将最低成绩写得更低了，计算结果不受影响的是中位数，
故选： ．
15．（3分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的
支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个
支干长出的小分支个数是
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】一元二次方程的应用
第15页（共31页）【分析】设这种植物每个支干长出 个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得
出关于 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这种植物每个支干长出 个小分支，
依题意，得： ，
解得： （舍去）， ．
故选： ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，平行四边形 的顶点 在反比
例函数 上，顶点 在反比例函数 上，点 在 轴的正半轴上，则平行四边形
的面积是
A． B． C．4 D．6
【考点】反比例函数系数 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形的性质和反比例函数系数 的几何意义即可求得．
【解答】解：如图作 轴于 ，延长 交 轴于 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
轴，
，
，
根据系数 的几何意义， ， ，
四边形 的面积 ，
故选： ．
第16页（共31页）17．（3分）已知关于 的分式方程 的解是非正数，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式
【分析】根据解分式方程的方法可以求得 的取值范围，本题得以解决．
【解答】解： ，
方程两边同乘以 ，得
，
移项及合并同类项，得
，
分式方程 的解是非正数， ，
，
解得， ，
故选： ．
18．（3分）如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ， ，过点 作
，过点 作 ， 、 交于点 ，连接 ，则
A． B． C． D．
【考点】菱形的判定与性质；解直角三角形；矩形的性质
第17页（共31页）【分析】如图，过点 作 直线 交线段 延长线于点 ，连接 交 于点 ．根
据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形 是菱形，则 与 垂直平分，易
得 ， ．所以由锐角三角函数定义作答即可．
【解答】解： 矩形 的对角线 、 相交于点 ， ，
设 ， ．
如图，过点 作 直线 交线段 延长线于点 ，连接 交 于点 ．
， ，
四边形 是平行四边形，
四边形 是矩形，
，
四边形 是菱形．
与 垂直平分，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
．
．
故选： ．
19．（3分）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的
班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【考点】二元一次方程的应用
【分析】设一等奖个数 个，二等奖个数 个，根据题意，得 ，根据方程可得三种
第18页（共31页）方案；
【解答】解：设一等奖个数 个，二等奖个数 个，
根据题意，得 ，
使方程成立的解有 ， ， ，
方案一共有3种；
故选： ．
20．（3分）如图，在平行四边形 中， ， ，过点 作边 的垂线
交 的延长线于点 ，点 是垂足，连接 、 ， 交 于点 ．则下列结论：①
四边形 是正方形；② ；③ ；④ ，正确的个数
是
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】正方形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性
质
【分析】①先证明 ，得 ，再得四边形 为平行四边形，进而由
，得四边形 是正方形，便可判断正误；
②由 ，得 ，进而得 的值，便可判断正误；
③根据 ， 进行推理说明便可；
④由 与 的面积关系和 与 的面积关系，便可得四边形 的面
积与 的面积关系．
【解答】解：① ， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
第19页（共31页），
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
四边形 是正方形，故此题结论正确；
② ，
，
，
， ，
，故此小题结论正确；
③ ，
，
， ，
，
，故此小题结论正确；
④ ，
，
，
，
， ，
，
，故此小题结论正确．
故选： ．
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值： ，期中 ．
第20页（共31页）【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 的值化简代入计算可得．
【解答】解：原式
，
当 时，
原式 ．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系
中， 的三个顶点 、 、 均在格点上．
（1）画出 关于 轴对称的△ ，并写出点 的坐标；
（2）画出 绕原点 顺时针旋转 后得到的△ ，并写出点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 ．
【考点】作图 旋转变换；扇形面积的计算；作图 轴对称变换
【分析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点 的坐标；
（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点 的坐标；
（3）根据题意可以求得 的长，从而可以求得线段 在旋转过程中扫过的面积．
【解答】解：（1）如右图所示，
点 的坐标是 ；
第21页（共31页）（2）如右图所示，
点 的坐标是 ；
（3） 点 ，
，
线段 在旋转过程中扫过的面积是： ．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 、点
，与 轴交于点 ．
（1）求拋物线的解析式；
（2）过点 作直线 轴，点 在直线 上且 ，直接写出点 的坐标．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；抛物线与 轴的交点
【分析】（1）将点 、点 代入 即可；
（2） ，设 ，直线 与 轴交点为 ，则有 ，可求
或 ，得：直线 为 或 ，当 时， 或 ；
第22页（共31页）【解答】解：（1）将点 、点 代入 ，
可得 ， ，
；
（2） ，
，
，
设 ，直线 与 轴交点为 ，
则 ，
，
或 ，
直线 为 或 ，
当 时， 或 ，
或 ；
24．（7分）“世界读书日”前夕，某校开展了“读书助我成长”的阅读活动．为了了解该校
学生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数
据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题：
（1）求本次调查中共抽取的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是 ；
（4）若该校有1200名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有多少
人？
【考点】用样本估计总体；条形统计图；扇形统计图
【分析】（1）由1本的人数及其所占百分比可得答案；
第23页（共31页）（2）求出2本和3本的人数即可补全条形图；
（3）用 乘以2本人数所占比例；
（4）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）本次调查中共抽取的学生人数为 （人 ；
（2）3本人数为 （人 ，
则2本人数为 （人 ，
补全图形如下：
（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是 ，
故答案为： ；
（4）估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有 （人 ．
25．（8分）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，
立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发 10分钟时，小明才想起没拿数
学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程 （米 与小强所用
时间 （分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）求函数图象中 的值；
（2）求小强的速度；
（3）求线段 的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据“小明的路程 小明的速度 小明步行的时间”即可求解；
第24页（共31页）（2）根据 的值可以得出小强步行12分钟的路程，再根据“路程、速度与时间”的关系解答
即可；
（3）由（2）可知点 的坐标，再运用待定系数法解答即可．
【解答】解：（1） ；
（2）小明的速度为： （米 分），
小强的速度为： （米 分）；
（3）由题意得 ，
设 所在的直线的解析式为： ，
把 、 代入得：
，解得 ，
线段 所在的直线的解析式为 ．
26．（8分）如图，在 中， ， 于点 ， 于点 ， 与 交于
点 ， 于点 ，点 是 的中点，连接 并延长交 于点 ．
（1）如图①所示，若 ，求证： ；
（2）如图②所示，若 ，如图③所示，若 （点 与点 重合），猜想线段
、 与 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）连接 ，由垂心的性质得出 ，证出 ，由平行线的性质得出
，证明 得出 ，由线段垂直平分线的性质得出
，得出 ， ，由直角三角形的性质得出
第25页（共31页），即可得出结论；
（2）同（1）可证： ，再由等腰直角三角形的性质和含 角的直角
三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接 ，如图①所示：
， ，
，
，
，
，
点 是 的中点，
，
在 和 中， ，
，
，
， ，
垂直平分 ，
，
，
，
在 中， ，
，
；
（2）解：图②猜想结论： ；理由如下：
同（1）可证： ，
在 中， ，
，
；
第26页（共31页）图③猜想结论： ；理由如下：
同（1）可证： ，
在 中， ，
，
．
27．（10分）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种
文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；
购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买
甲种文具 个，求有多少种购买方案？
（3）设学校投入资金 元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多
少元？
【考点】一元一次不等式组的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用
【分析】（1）设购买一个甲种文具 元，一个乙种文具 元，根据“购买2个甲种文具、1个乙
种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即
可；
（2）根据题意列不等式组解答即可；
（3）求出 与 的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设购买一个甲种文具 元，一个乙种文具 元，由题意得：
，解得 ，
答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；
第27页（共31页）（2）根据题意得：
，
解得 ，
是整数，
，37，38，39，40．
有5种购买方案；
（3） ，
，
随 的增大而增大，
当 时， （元 ，
．
答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上， 、 的长分别是
一元二次方程 的两个根 ， ，边 交 轴于点 ，动点
以每秒1个单位长度的速度，从点 出发沿折线段 向点 运动，运动的时间为
秒，设 与矩形 重叠部分的面积为 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求 关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点 的运动过程中，是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，直接写出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）解方程求出 的值，由 ， 可得答案；
（2）设 交 轴于点 ，当 时， ，由 知 ，即 ，
第28页（共31页）据此得 ，根据面积公式可得此时解析式；当 时， ，由
知 ，即 ，据此得 ，根据三角形面积公式可得答案；
（ 3 ） 设 ， 由 ， 知 ， ，
，再分三种情况列出方程求解可得．
【解答】解：（1） ，
， ，
，
， ，
，
， ，
四边形 是矩形，
点 的坐标为 ；
（2）设 交 轴于点 ，
如图1，当 时， ，
，
，
，即 ，
，
；
如图2，当 时， ，
第29页（共31页），
，
，即 ，
，
；
综上所述， ；
（3）由题意知，当点 在 上时，显然不能构成等腰三角形；
当点 在 上运动时，设 ，
， ，
， ， ，
①当 时， ，解得 ，
则 ， ；
②当 时， ，解得 ，
则 ；
③当 时， ，解得 ，
则 ；
第30页（共31页）综上， ， 或 或 ．
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