文档内容
2019年新疆中考数学试卷
一、选择题（本大题共9小题,每小题5分,共45分,在每小题列出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,请按答题卷中的要求作答。)
1．（5分）（2019•新疆）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
2．（5分）（2019•新疆）下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（5分）（2019•新疆）如图，AB∥CD，∠A＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．40° B．50° C．130° D．150°
4．（5分）（2019•新疆）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣2ab）2＝4a2b2
C．x2+3x2＝4x4 D．﹣6a6÷2a2＝﹣3a3
5．（5分）（2019•新疆）甲、乙两人连续5次射击成绩如图所示，下列说法中正确的是（ ）
第1页（共26页）A．甲的成绩更稳定
B．乙的成绩更稳定
C．甲、乙的成绩一样稳定
D．无法判断谁的成绩更稳定
6．（5分）（2019•新疆）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值
范围是（ ）
A．k≤ B．k＞ C．k＜ 且k≠1 D．k≤ 且k≠1
7．（5分）（2019•新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．
设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A． x（x﹣1）＝36 B． x（x+1）＝36
C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36
8．（5分）（2019•新疆）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半
径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，
两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（ ）
A．BP是∠ABC的平分线 B．AD＝BD
C．S△CBD ：S△ABD ＝1：3 D．CD＝ BD
9．（5分）（2019•新疆）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点
P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则以下结论
中： S△ABM ＝4S△FDM ； PN＝ ； tan∠EAF＝ ； △PMN∽△DPE，正确的是
① ② ③ ④
（ ）
第2页（共26页）A． B． C． D．
二、填空①题②（③本大题共6小题①,每②小④题5分,共30分.) ①③④ ②③④
10．（5分）（2019•新疆）将数526000用科学记数法表示为 ．
11．（5分）（2019•新疆）五边形的内角和为 度．
12．（5分）（2019•新疆）计算： ﹣ ＝ ．
13．（5分）（2019•新疆）同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子点数之和小于5的概率是
．
14．（5分）（2019•新疆）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得
到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为 ．
15．（5分）（2019•新疆）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝﹣2x与反比例
函数y＝ 的图象交于A（a，﹣4），B两点，过原点O的另一条直线l与双曲线y＝ 交于
P，Q两点（P点在第二象限），若以点A，B，P，Q为顶点的四边形面积为24，则点P的坐标
是 ．
第3页（共26页）三、解答题（本大题共8小题,共75分.)
16．（6分）（2019•新疆）计算：（﹣2）2﹣ +（ ﹣1）0+（ ）﹣1．
17．（8分）（2019•新疆）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
18．（8分）（2019•新疆）某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学
生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据（单位：分钟）：
30 60 70 10 30 115 70 60 75 90 15 70 40 75 105 80 60 30 70 45
对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：
表一
时间t（单位：分钟） 0≤t＜30 30≤t＜60 60≤t＜90 90≤t＜120
人数 2 a 10 b
表二
平均数 中位数 众数
60 c d
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）填空
a＝ ，b＝ ；
①c＝ ，d＝ ；
（②2）如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达
到平均水平及以上的学生人数．
19．（10分）（2019•新疆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，
连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
求证：（1）△ODE≌△FCE；
第4页（共26页）（2）四边形OCFD是矩形．
20．（10分）（2019•新疆）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，
它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．
（1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）；
（2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，
并说明理由．
（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）
21．（10分）（2019•新疆）某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果
后，余下的苹果每千克降价4元销售，全部售完．销售金额y（元）与销售量x（千克）之间
的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题：
（1）降价前苹果的销售单价是 元/千克；
（2）求降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式，并写出自变量的取值
范围；
（3）该水果店这次销售苹果盈利了多少元？
22．（10分）（2019•新疆）如图，AB是 O的直径，CD与 O相切于点C，与AB的延长线交
于点D，CE⊥AB于点E． ⊙ ⊙
（1）求证：∠BCE＝∠BCD；
第5页（共26页）（2）若AD＝10，CE＝2BE，求 O的半径．
⊙
23．（13分）（2019•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B
（4，0），C（0，4）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）将（1）中的抛物线向下平移 个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新
抛物线．若新抛物线的顶点D′在△ABC内，求h的取值范围；
（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛
物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．
第6页（共26页）2019 年新疆中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共9小题,每小题5分,共45分,在每小题列出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,请按答题卷中的要求作答。)
1．（5分）（2019•新疆）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【考点】绝对值．
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【分析】直接利用绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而
得出答案．
【解答】解：﹣2的绝对值是：2．
故选：A．
2．（5分）（2019•新疆）下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
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【分析】找出从正面看，主视图为圆的几何体即可．
【解答】解：A．主视图为正方形，不合题意；
B．主视图为长方形，不合题意；
C．主视图为三角形，不合题意；
D．主视图为圆，符合题意；
故选：D．
3．（5分）（2019•新疆）如图，AB∥CD，∠A＝50°，则∠1的度数是（ ）
第7页（共26页）A．40° B．50° C．130° D．150°
【考点】平行线的性质．
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【分析】根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠A＝50°，
∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
4．（5分）（2019•新疆）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣2ab）2＝4a2b2
C．x2+3x2＝4x4 D．﹣6a6÷2a2＝﹣3a3
【考点】整式的混合运算．
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【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、整式的除法运算法则分
别化简得出答案．
【解答】解：A. a2•a3＝a5，故此选项错误；
B.（﹣2ab）2＝4a2b2，正确；
C. x2+3x2＝4x2，故此选项错误；
D. ﹣6a6÷2a2＝﹣3a4，故此选项错误；
故选：B．
5．（5分）（2019•新疆）甲、乙两人连续5次射击成绩如图所示，下列说法中正确的是（ ）
第8页（共26页）A．甲的成绩更稳定
B．乙的成绩更稳定
C．甲、乙的成绩一样稳定
D．无法判断谁的成绩更稳定
【考点】折线统计图；方差．
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【分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度
越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解答】解：由折线图可知，乙与其平均值的离散程度较小，所以稳定性更好．
故选：B．
6．（5分）（2019•新疆）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值
范围是（ ）
A．k≤ B．k＞ C．k＜ 且k≠1 D．k≤ 且k≠1
【考点】一元二次方程的定义；根的判别式．
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【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，
解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，
∴ ，
解得：k≤ 且k≠1．
故选：D．
7．（5分）（2019•新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．
设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A． x（x﹣1）＝36 B． x（x+1）＝36
第9页（共26页）C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
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【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝36，把相关数值代入即可．
【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：
x（x﹣1）＝36，
故选：A．
8．（5分）（2019•新疆）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半
径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，
两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（ ）
A．BP是∠ABC的平分线 B．AD＝BD
C．S△CBD ：S△ABD ＝1：3 D．CD＝ BD
【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形；作图—基本作图．
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【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；计算出∠ABD＝30°＝∠A，则可对B选项进
行判断；利用∠CBD＝ ∠ABC＝30°得到BD＝2CD，则可对D选项进行判断；由于AD＝
2CD，则可根据三角形面积公式对C选项进行判断．
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°＝∠A，
∴AD＝BD，所以B选项的结论正确；
第10页（共26页）∵∠CBD＝ ∠ABC＝30°，
∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD＝2CD，
∴S△ABD ＝2S△CBD ，所以C选项的结论错误．
故选：C．
9．（5分）（2019•新疆）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点
P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则以下结论
中： S△ABM ＝4S△FDM ； PN＝ ； tan∠EAF＝ ； △PMN∽△DPE，正确的是
① ② ③ ④
（ ）
A． B． C． D．
【考点①】②全③等三角形的判定与①性②质④；正方形的性质；①相似③三④角形的判定；解②直角③三④角形．【分
菁
析】 正确．利用相似三角形的性质解决问题即可．
正①确．作PH⊥AN于H，求出PH，HN即可解决问题．
②正确．求出EN，AN即可判断．
③错误．证明∠DPN≠∠PDE即可．
④【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1，
第11页（共26页）∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°，
∴∠DAN＝∠EDC，
在△ADF与△DCE中， ，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴DF＝CE＝1，
∵AB∥DF，
∴△ABM∽△FDM，
∴ ＝（ ）2＝4，
∴S△ABM ＝4S△FDM ；故 正确；
①
由勾股定理可知：AF＝DE＝AE＝ ＝ ，
∵ ×AD×DF＝ ×AF×DN，
∴DN＝ ，
∴EN＝ ，AN＝ ＝ ，
∴tan∠EAF＝ ＝ ，故 正确，
③
作PH⊥AN于H．
∵BE∥AD，
∴ ＝ ＝2，
∴PA＝ ，
∵PH∥EN，
∴ ＝ ＝ ，
第12页（共26页）∴AH＝ × ＝ ，HN＝ ，
∴PN＝ ＝ ，故 正确，
②
∵PN≠DN，
∴∠DPN≠∠PDE，
∴△PMN与△DPE不相似，故 错误．
故选：A． ④
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,共30分.)
10．（5分）（2019•新疆）将数526000用科学记数法表示为 5.26×1 0 5 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将526000用科学记数法表示为5.26×105．
故答案为：5.26×105
11．（5分）（2019•新疆）五边形的内角和为 54 0 度．
【考点】多边形内角与外角．
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【分析】n边形内角和公式为（n﹣2）180°，把n＝5代入可求五边形内角和．
【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°．
故答案为：540．
12．（5分）（2019•新疆）计算： ﹣ ＝ a + b ．
【考点】分式的加减法．
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【分析】同分母的分式相减，就是分母不变，把分子相减即可．
【解答】解：原式＝ ＝a+b，
第13页（共26页）故答案是a+b．
13．（5分）（2019•新疆）同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子点数之和小于5的概率是
．
【考点】列表法与树状图法．
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【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两枚骰子点数的和是小于5的结
果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子点数的和是小于5的结果数为6，
∴两枚骰子点数之和小于5的概率是 ，
故答案为： ．
14．（5分）（2019•新疆）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得
到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为 2 ﹣ 2 ．
【考点】等腰三角形的性质；旋转的性质．
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【分析】根据旋转性质及旋转过程可知根据旋转过程可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AC＝AD
＝4．从而得到∠BCD＝150°，∠DCE＝30°，∠E＝45°．过点C作CH⊥AE于H点，
在Rt△ACH中，CH和AH长，在Rt△CHE中可求EH长，利用DE＝EH﹣HD即可求解．
【解答】解：根据旋转过程可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AC＝AD＝4．
∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．
∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．
第14页（共26页）∴∠E＝75°﹣30°＝45°．
过点C作CH⊥AE于H点，
在Rt△ACH中，CH＝ AC＝2，AH＝2 ．
∴HD＝AD﹣AH＝4﹣2 ．
在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，
∴EH＝CH＝2．
∴DE＝EH﹣HD＝2﹣（4﹣2 ）＝2 ﹣2．
故答案为2 ﹣2．
15．（5分）（2019•新疆）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝﹣2x与反比例
函数y＝ 的图象交于A（a，﹣4），B两点，过原点O的另一条直线l与双曲线y＝ 交于
P，Q两点（P点在第二象限），若以点A，B，P，Q为顶点的四边形面积为24，则点P的坐标
是 P （﹣ 4 ， 2 ）或 P （﹣ 1 ， 8 ） ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】先将y＝﹣4代入正比例函数y＝﹣2x，可得出x＝2，求得点A（2，﹣4），再根据点
A与B关于原点对称，得出B点坐标，即可得出k的值；由于双曲线是关于原点的中心对
称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POB的面积就应该
是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后表示出
第15页（共26页）△POB的面积，由于△POB的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P
点的坐标．
【解答】解：∵点A在正比例函数y＝﹣2x上，
∴把y＝﹣4代入正比例函数y＝﹣2x，
解得x＝2，∴点A（2，﹣4），
∵点A与B关于原点对称，
∴B点坐标为（﹣2，4），
把点A（2，﹣4）代入反比例函数y＝ ，得k＝﹣8，
∴反比例函数为y＝﹣ ，
∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP＝OQ，OA＝OB，
∴四边形AQBP是平行四边形，
∴S△POB ＝S平行四边形AQBP × ＝ ×24＝6，
设点P的横坐标为m（m＜0且m≠﹣2），
得P（m，﹣ ），
过点P、B分别做x轴的垂线，垂足为M、N，
∵点P、B在双曲线上，
∴S△POM ＝S△BON ＝4，
若m＜﹣2，如图1，
∵S△POM +S梯形PMNB ＝S△POB +S△POM ，
∴S梯形PMNB ＝S△POB ＝6．
∴ （4﹣ ）•（﹣2﹣m）＝6．
∴m ＝﹣4，m ＝1（舍去），
1 2
∴P（﹣4，2）；
若﹣2＜m＜0，如图2，
∵S△POM +S梯形BNMP ＝S△BOP +S△BON ，
∴S梯形BNMP ＝S△POB ＝6．
第16页（共26页）∴ （4﹣ ）•（m+2）＝6，
解得m ＝﹣1，m ＝4（舍去），
1 2
∴P（﹣1，8）．
∴点P的坐标是P（﹣4，2）或P（﹣1，8），
故答案为P（﹣4，2）或P（﹣1，8）．
三、解答题（本大题共8小题,共75分.)
16．（6分）（2019•新疆）计算：（﹣2）2﹣ +（ ﹣1）0+（ ）﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
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【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答
案．
【解答】解：原式＝4﹣3+1﹣3
＝﹣1．
17．（8分）（2019•新疆）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
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第17页（共26页）【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：
解不等式 得：x＜2，
解不等式①得：x＞1，
∴不等式②组的解集为1＜x＜2，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
18．（8分）（2019•新疆）某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学
生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据（单位：分钟）：
30 60 70 10 30 115 70 60 75 90 15 70 40 75 105 80 60 30 70 45
对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：
表一
时间t（单位：分钟） 0≤t＜30 30≤t＜60 60≤t＜90 90≤t＜120
人数 2 a 10 b
表二
平均数 中位数 众数
60 c d
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）填空
a＝ 5 ，b＝ 3 ；
①c＝ 6 5 ，d＝ 7 0 ；
（②2）如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达
到平均水平及以上的学生人数．
【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数；中位数；众数．
菁
【分析】（1）利用划记法求出a，b，再根据中位数，众数的定义求出c，d即可．
（2）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）由题意：a＝5，b＝3，c＝65，d＝70，
故答案为5，3，65，70．
第18页（共26页）（2）200× ＝130（人），
答：估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数为
130人．
19．（10分）（2019•新疆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，
连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
求证：（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形OCFD是矩形．
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；菱形的
性质；矩形的判定与性质．
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【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE＝∠FCE，根据线段中点的定义可
得CE＝DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得OD＝FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平
行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直得出∠COD＝
90°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠ODE＝∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△ODE和△FCE中， ，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD＝FC，
∵CF∥BD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
第19页（共26页）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴四边形OCFD是矩形．
20．（10分）（2019•新疆）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，
它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．
（1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）；
（2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，
并说明理由．
（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
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【分析】（1）作PC⊥AB于C，则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得：PA＝80，∠APC＝45°，
∠BPC＝60°，得出△APC是等腰直角三角形，∠B＝30°，求出AC＝PC＝ PA＝40 即
可；
（2）由直角三角形的性质得出BC＝ PC＝40 ，得出AB＝AC+BC＝40 +40 ，求
出海轮以每小时30海里的速度从A处到B处所用的时间，即可得出结论．
【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA＝∠PCB＝90°，
由题意得：PA＝80，∠APC＝45°，∠BPC＝90°﹣30°＝60°，
∴△APC是等腰直角三角形，∠B＝30°，
∴AC＝PC＝ PA＝40 ，
答：海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40 海里；
（2）海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，海轮不能在5小时内到达B处，理由如下：
∵∠PCB＝90°，∠B＝30°，
第20页（共26页）∴BC＝ PC＝40 ，
∴AB＝AC+BC＝40 +40 ，
∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处所用的时间＝ ＝
≈ ≈5.15（小时）＞5小时，
∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，海轮不能在5小时内到达B处．
21．（10分）（2019•新疆）某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果
后，余下的苹果每千克降价4元销售，全部售完．销售金额y（元）与销售量x（千克）之间
的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题：
（1）降价前苹果的销售单价是 1 6 元/千克；
（2）求降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式，并写出自变量的取值
范围；
（3）该水果店这次销售苹果盈利了多少元？
【考点】一次函数的应用．
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【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得降价前苹果的销售单价；
（2）根据题目中的信息和图象中的数据可以求得降价后销售金额y（元）与销售量x（千
克）之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）根据图象中的数据和题意，可以求得该水果店这次销售苹果盈利了多少元．
【解答】解：（1）由图可得，
降价前前苹果的销售单价是：640÷40＝16（元/千克），
故答案为：16；
第21页（共26页）（2）降价后销售的苹果千克数是：（760﹣640）÷（16﹣4）＝10，
设降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式是y＝kx+b，该函数过点
（40，640），（50，760），
，得 ，
即降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式是y＝12x+160（40＜
x≤50）；
（3）该水果店这次销售苹果盈利了：760﹣8×70＝200（元），
答：该水果店这次销售苹果盈利了200元．
22．（10分）（2019•新疆）如图，AB是 O的直径，CD与 O相切于点C，与AB的延长线交
于点D，CE⊥AB于点E． ⊙ ⊙
（1）求证：∠BCE＝∠BCD；
（2）若AD＝10，CE＝2BE，求 O的半径．
⊙
【考点】切线的性质．
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【分析】（1）根据切线的性质得出 OC⊥CD，即可得出∠OBC+∠BCE＝90°，由
∠OCB+∠BCD＝∠OCD＝90°，根据等腰三角形的性质得出∠OBC＝∠OCB，即可证得
∠BCE＝∠BCD；
（2）由CE＝2BE，通过解直角三角形得出tan∠ABC＝ ＝2，进而证得△CBD∽△ACD，
得出 ＝ ，从而求得CD，然后根据切线长定理即可求得．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD与 O相切于点C，
∴OC⊥C⊙D，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵CE⊥AB，
第22页（共26页）∴∠OBC+∠BCE＝90°，
∵∠OCB+∠BCD＝∠OCD＝90°，
∴∠BCE＝∠BCD；
（2）解：连接AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCB+∠ACO＝90°，
∵∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠BCD＝∠DAC，
∵∠CDB＝∠ADC，
∴△CBD∽△ACD，
∴ ＝
∵CE＝2BE，
∴在Rt△BCE中，tan∠ABC＝ ＝2，
∴在Rt△ABC中，tan∠ABC＝ ＝2，
∴2＝ ，
∴CD＝5，
设 O的半径为r，
∴⊙BD＝AD﹣2r＝10﹣2r，
∵CD2＝BD•AD，
∴BD＝ ，即10﹣2r＝ ，
解得r＝
∴ O的半径为 ．
⊙
第23页（共26页）23．（13分）（2019•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B
（4，0），C（0，4）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）将（1）中的抛物线向下平移 个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新
抛物线．若新抛物线的顶点D′在△ABC内，求h的取值范围；
（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛
物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．
【考点】二次函数综合题．
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【分析】（1）函数表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即可求解；
（2）物线向下平移 个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线的顶点
D′（ ﹣h， ），将点AC的坐标代入一次函数表达式即可求解；
（3）分△CPQ∽△CBA、△CPQ∽△ABC，两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）函数表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，
函数顶点D（ ， ）；
第24页（共26页）（2）物线向下平移 个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线的顶点
D′（ ﹣h， ），
将点AC的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AC的表达式为：y＝4x+4，
将点D′坐标代入直线AC的表达式得： ＝4（ ﹣h）+4，
解得：h＝ ，
故：0＜h＜ ；
（3）过点P作y轴的平行线交抛物线和x轴于点Q、H
∵OB＝OC＝4，∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠QPC，
直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
则AB＝5，BC＝4 ，AC＝ ，
S△ABC ＝ ×5×4＝10，
设点Q（m，﹣m2+3m+4），点P（m，﹣m+4），
CP＝ m，PQ＝﹣m2+3m+4+m﹣4＝﹣m2+4m，
当△CPQ∽△CBA，
①
，即 ，
解得：m＝ ，
第25页（共26页）相似比为： ，
当△CPQ∽△ABC，
②
同理可得：相似比为： ，
利用面积比等于相似比的平方可得：
S△PQC ＝10×（ ）2＝ 或S△PQC ＝10×（ ）2＝ ．
第26页（共26页）
