文档内容
随州市 2021 年初中毕业升学考试
数学试题
（考试时间120分钟满分120分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号，答在试卷上无效。
3.非选择题作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试卷上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1.2021的相反数是（ ）
A.2021 B. C. D.
2.从今年公布的全国第七次人口普查数据可知，湖北省人口约为 5700万，其中5700万用科学记数法可表示
为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，将一块含有 角的直角三角板放置在两条平行线上，若 ，则 为（ ）
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（ ）
A.测得的最高体温为37.1℃
B.前3次测得的体温在下降
C.这组数据的众数是36.8
D.这组数据的中位数是36.66.如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（ ）
A.主视图和左视图 B.主视图和俯视图
C.左视图和俯视图 D.三个视图均相同
7.如图，从一个大正方形中截去面积为 和 的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则
米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 时，梯子顶端靠在墙面上的点
处，底端落在水平地面的点 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 ，已知
，则梯子顶端上升了（ ）
A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米
9.根据图中数字的规律，若第 个图中的 ，则 的值为（ ）
A.100 B.121 C.144 D.16910.如图，已知抛物线 的对称轴在 轴右侧，抛物线与 轴交于点 和点 ，与 轴
的负半轴交于点 ，且 ，则下列结论：
① ；② ；③ ；④当 时，在 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴
对称的两点 ， （点 在点 左边），使得 .其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线
上）
11.计算： ______.
12.如图， 是 的外接圆，连接 并延长交 于点 ，若 ，则 的度数为
______.
13.已知关于 的方程 （ ）的两实数根为 ， ，若 ，则 ______.
14.如图，在 中， ， ， ，将 绕点 逆时针旋转角 （
）得到 ，并使点 落在 边上，则点 所经过的路径长为______.（结果保留 ）15.2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成
果.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率 精确到小数点后第七位的人，他给出 的
两个分数形式： （约率）和 （密率）.同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数
来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 （即有 ，
其中 ， ， ， 为正整数），则 是 的更为精确的近似值.例如：已知 ，则利用一次
“调日法”后可得到 的一个更为精确的近似分数为： ；由于 ，再由
，可以再次使用“调日法”得到 的更为精确的近似分数……现已知 ，则使用两
次“调日法”可得到 的近似分数为______.
16.如图，在 中， ， 为 的中点， 平分 交 于点 ， ，
分别与 ， 交于点 ， ，连接 ， ，则 的值为______；若 ，则 的值
为______.
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17.（本题满分5分）先化简，再求值： ，其中 .
18.（本题满分7分）
如图，在菱形 中， ， 是对角线 上的两点，且 .
（1）求证： ≌ ；
（2）证明四边形 是菱形.
19.（本题满分10分）
疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部
分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：
未接
已接种 合计
种
七年
30 10 40
级
八年
35 15
级
九年
40 60
级
合计 105 150
（1）表中， ______， ______， ______；
（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是______年级教师；（填“七”或“八”或“九”）
（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有______人；
（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中
随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概
率.
20.（本题满分8分）
如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ， ，与反比例函数 （ ）的图
象交于点 ， .（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）连接 ，求 的面积.
21.（本题满分9分）
如图， 是以 为直径的 上一点，过点 的切线 交 的延长线于点 ，过点 作 交
的延长线于点 ，垂足为点 .
（1）求证： ；
（2）若 的直径 为9， .
①求线段 的长；
②求线段 的长.
22.（本题满分10分）
如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟.小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部
为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体 处，另一端固定在离地面高2米的墙体 处，现对其
横截面建立如图2所示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度 （米）与其离墙体 的水平距离
（米）之间的关系满足 ，现测得 ， 两墙体之间的水平距离为6米.（1）直接写出 ， 的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地
平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
23.（本题满分11分）
等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的
面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，
在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷.
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半
径长为______；
（2）①如图1， 是边长为 的正 内任意一点，点 为 的中心，设点 到 各边距
离分别为 ， ， ，连接 ， ， ，由等面积法，易知 ，可
得 _____；（结果用含 的式子表示）
②如图2， 是边长为 的正五边形 内任意一点，设点 到五边形 各边距离分别为 ， ，， ， ，参照①的探索过程，试用含 的式子表示 的值.（参考数据： ，
）
（3）①如图3，已知 的半径为2，点 为 外一点， ， 切 于点 ，弦 ，连
接 ，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留 ）
②如图4，现有六边形花坛 ，由于修路等原因需将花坛进行改造.若要将花坛形状改造成五边形
，其中点 在 的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点 的位置，并说明
理由.
24.（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，顶点 的坐
标为 .
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若点 在抛物线上且满足 ，求点 的坐标；（3）如图2， 是直线 上一个动点，过点 作 轴交抛物线于点 ， 是直线 上一个动
点，当 为等腰直角三角形时，直接写出此时点 及其对应点 的坐标。（每写出一组正确结果得1
分，最多得5分）随州市 2021 年初中毕业升学考试
数学参考答案及评分标准
第一题（第1至10小题，每小题3分，共30分）是选择题，每小题给出的代号为A，B，C，D四个结论，
其中有且只有一个结论是正确的，把正确结论的代号在答题卡上相应的地方涂黑，涂对得 3分，不涂、涂错
或涂黑的代号超过一个，一律0分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D D A A C B B
第二题（第11至16小题，每小题3分，共18分）是填空题，只需要将结果直接填写在答题卡上对应题号处
的横线上，不必写出解答过程，不填、填错，一律0分.（说明：第12题填40或40都给分，16题第一空1分，
第二空2分）
11. 12. 13. 14. 15.
16.
第三题（第17至24小题，共72分）是解答或证明题，各题都给出了一种解法或部分其他解法的解题思路，
若考生的解法与本解法不同，可根据本题的主要考查内容参照评分标准制定相应的评分细则，下述右端所注
分数表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
17.（本题满分5分）
解：原式 …………3分
当 时，原式 …………5分
18.（本题满分7分）
（1）证明：∵四边形 为菱形，
∴ ，且 ，
又∵ ，∴ ≌ .……3分
（2）证明：连接 交 于点 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，且 为 ， 中点，
又∵ ，∴ ……5分
∴ 与 互相垂直且平分，故四边形 是菱形.
说明：该题（1）（2）问均有多种方法，用其他合理方法得到正确结果都可给分.
19.（本题满分10分）
解：（1） …………1分
…………2分
…………3分
（2）七…………4分
（3）2400…………6分
（4）设七年级教师用 表示，八年级教师用 表示，九年级教师用 ， 表示，根据题意：可画出树状图：
或列表：
…………8分由上图（或上表）可知，共有 12种等可能的结果，符合条件的结果有 10种，故 （两名教师不在同一年
级） .……10分
说明：（4）问中用树状图法或列表法中一种即可.
20.（本题满分8分）
解：（1）由 过点 和 可得：
解得 ，故 ，…………2分
又由 过点 和 可得：
解得 ，故 .………………4分
（2）由 过点 ，可知 ，故 ，而点 到 轴距离为2，
所以 的面积 .…………8分
21.（本题满分9分）
（1）证明：连接 ，∵ 是 的切线，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ .……2分
又∵在 中， ，∴ ，∴ ，∴ ；……4分
（2）①连接 ，依题意可得
在 中，∵ ，∴ .
又∵ ，且 ，
∴ ，
在 中，∵ ，∴ .…………6分
②由（1）可知 ，故 ∽ ，
∴ ，即 ，………………8分
解得 .………………9分
说明：该题（1）（2）问均有多种方法，用其他合理方法得到正确结果都可给分.
22.（本题满分10分）
解：（1） ， …………2分
（2）由 ，…………4分
可得当 时， 有最大值 ，
即大棚最高处到地面的距离为 米；…………6分
（3）由 ，解得 ， ，…………8分
又因为 ，可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为 （米），
又大棚的长为16米，故需要搭建支架部分的土地面积为 （平方米）
共需要 （根）竹竿.…………10分
23.（本题满分11分）
（1） …………1分
1………………2分
（2）① ………………4分
②结论 .
类比①中方法可知 ，
设点 为正五边形 的中心，连接 ， ，
易知 ，
过 作 于 ， ，
故 ， ，故 ，从而得到：
.………………6分
（3）① …………8分
②如图，连接 ，过点 作 交 的延长线于 点，则点 即为所求.………9分
连接 ，∵ ，
∵ ，∴ ，
∴ …………11分
说明：（3）②问只需简述如何确定点 的位置并证明，不要求用尺规作图.
24.（本题满分12分）
解：（1）抛物线的解析式为： ，…………2分
（2）由 和 可知直线 的解析式为： …………3分过点 作 ，交抛物线于点 ，
易知直线 的解析式为 ，
结合抛物线 可知 ，
解得： （舍）， ，
故 .………………5分
过点 作 轴平行线，过点 作 轴平行线交于点 ，
由 可知四边形 为正方形，
设 与 轴交于点 ，在 下方作 交 于点 ，
易知 ≌ ，故 ， ，又由 可得
直线 的解析式为 ，
结合抛物线 可知 ，
解得 （舍）， ，故 .综上所述，符合条件的 点坐标为： ， .…………7分
（3） ， ； ， ；
， ； ， ；
， ； ， .…………12分
说明：（1）问不需写解答过程，解析式写成 或者 也得分；
（2）问用其他合理方法也可根据步骤给分；（3）问为结论开放题型，共有6组正确答案，考生每写出一组
正确的点 ， 的坐标给1分，至多得5分.
