文档内容
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荆门市2021年初中毕业生学业水平考试
数学
本试卷共6页，24题。全卷满分120分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名﹑准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定
位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡的对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题中均给出了四个答案，其中有且只有一个正
确答案，请将正确答案的字母代号涂在答题卡上）
1．2021的相反数的倒数是
A． B． C． D．
2．“绿水青山就是金山银山”.某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资
元资金．数据 用科学记数法可表示为
A．10.12亿 B．1.012亿 C．101.2亿 D．1012亿
3．下列图形既是中心对称又是轴对称的是
ABCD
4．如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是
A．传 B．国
C．承 D．基
5．下列运算正确的是A． B．
C． D．
6．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，
不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条
还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是
A. B. C. D.
7．如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设 ，那么
A． B． C． D．
8．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若 ，则
A． B． C． D．
9．在同一直角坐标系中，函数 与 的大致图象是10．抛物线 （a，b，c为常数）开口向下且过点 ， （ ），下列
结论：① ；② ；③ ；④若方程 有两个不相
等的实数根，则 .其中正确结论的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将结果填写在答题卡相应位置）
11．计算： ▲.
12．把多项式 因式分解，结果为▲．
13．如图，在平面直角坐标系中， 斜边上的高为1， ，将 绕原点顺时针
旋转 得到 ，点A的对应点C恰好在函数 的图象上，若在 的图象上另有一
点M使得 ，则点M的坐标为 ▲ .
14．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图
中阴影部分的面积为▲．15．如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，则a的取值范围是▲．
16．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第▲行第▲列．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.请在答题卡相应区域作答）
17．（8分）先化简，再求值： ，其中 .
18．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动.某年级
在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分
值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如下的统计图．
（1）这次预赛中二班成绩在B等及以上的人数是多少？
（2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；
（3）已知一班成绩A等的4人中有两个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这两个班A
等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的 2人中至少有1个男生的
概率．
19．（8分）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点， ，且 ， ．（1）求证： ；
（2）若 ， ，用x表示DF的长．
20．（8分）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自
西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 的方向上，当海监船行驶 海里后到达B处，此时观
测小岛P位于B处北偏东 方向上.
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由B处开始
沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
21．（8分）已知关于x的一元二次方程 有 ， 两实数根．
（1）若 ，求 及 的值；
（2）是否存在实数 ，满足 ？若存在，求出求实数 的值；若不存在，请说明理
由．
22．（10分）如图，在 中， ，点E在BC边上，过A，C，E三点的 交AB边于另
一点F，且F是AE的中点，AD是 的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点.（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当 时，求 的值．
23．（10分）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某
种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价 x，周销售量y，
周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x 40 70 90
y 180 90 30
W 3600 4500 2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（ ），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超
过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润
是4050元，求m的值.
24．（12分）如图，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴于点 ，点Q
为线段BC上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的最小值；
（3）过点Q作 交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记 与 的面积分别
为 ， ，设 ，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值.秘密★启用前
荆门市2021年初中学业水平考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.C 2.B 3.C 4.D 5.D 6.A 7.C 8.B 9.B 10.A
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 2 12. 13. 14. 15. 16. 64.5
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17.
将 代入上式得原式=
.
18.（1） 两个班参加比赛的人数相同， 由条形图可知二班参赛人数为20人
由扇形围可知B等及以上的人数为
（2）一班成绩的平均数为： ，二班成绩的中位数为80
（3）二班成绩A等的都是女生， 二班成绩A等人数为 人：
将两个班成绩A等的6人分别记为A，B，C，D，E，F：其中A，B为班两个男生。
每个学生被抽取的可能性相等， 从这两个班成绩A等的学生中随机选2人的所有情形如下：
AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF共15种；其中至少有1个男生
的有AB AC AD AE AF BC BD Be BF共9种；概率为
19.（1） ， 。
而 ， 。
又 ， .
，由 可得 .
（2）作 于P，由（1）可知 ， 。
， 。
.
20.（1）作 ，交AB的延长线于C，
由题意知： ， 。
设 ：则 ， ，解得 ，
；
（2） ， .
因此海监船继续向东航行有触礁危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作 于E，当P到BD的距离PE为r时，
有 ， ，所以海监船由B处开始沿南偏东至多 的方向
航行能安全通过这一海域.
21.（1）由题意： ， ，
将 代入原方程得： ，又 ，
， .
（2）设存在实数m，满足 ，那么
有 ，即 ，整理得，解得 或 .
由（1）可知 ， 舍去，从而 ，
综上所述：存在 符合题意.
22.（1）连接 ， ，则 ，
， ，
因为F是 的中点， ，
从而 ，
又 ， ， ；
另一方面： ， .
即 ， 四边形CDMF是平行四边形.
（2）由（1）可知：四边形ACDF是矩形，
，
由
可得 ， ， ，
设 ，那么 ， ，
在 中， ，
在 中，
在 中， .
23.（1）设 ，由题意有
，解得 ，
所以y关于x的函数解析式为 ；
（2）由（1） ，又由表可得， ，
.
所以售价 时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
（3）由题意 ，
其对称轴 ， 时上述函数单调递增，
所以只有 时周销售利润最大， .
.
24.（1）由已知： ，
将 代入上式得： ， ，
抛物线的解析式为 ；
（2）作点O关于直线BC的对称点D，易得 ，
连接AD，那么 ，由对称性 ，
，即点Q位于直线AD与直线BC交点时， 有最小值
5；
（3）由已知点 ， ， 可以求得
直线BC的表达式为 ，
直线AC的表达式为 .
， 直线PQ的表达式可设为 ，
由（1）可设 代入直线PQ的表达式可得，由 ，解得 ，
即 ，
由题意：
P，Q都在四象限， P，Q的纵坐标均为负数，
，
即 ，
根据已知条件P的位置可知 .
时，S最大，
即 时，S有最大值 .
