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专题11 实数运算四个类型
1．有个数值转换器，原理如图所示，当输入 为8时，输出的 值是__________．
2．如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝﹣3，则最后输出的结果是____．
3．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是___________．
4．有个数值转换器，原理如图所示，当输入 为27时，输出的 值是________________．
5．现规定一种新运算：a*b＝ ，如：16*2＝ ＝4，则25*2﹣125*3＝___．
6．对于实数x，y，定义一种运算“※”如下，x※y＝ax-by，已知2※3＝9，4※(－3)＝9，那么
(－2)※ ＝________；
7．若一个含根号的式子 可以写成 的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整
数），即 ，则称 为完美根式， 为 的完美平方根．
例如：因为 ，所以 是 的完美平方根．(1)已知 是 的完美平方根，求 的值；
(2)若 是 的完美平方根，用含 ， ， 的式子分别表示 ， ；
(3)已知 是完美根式，请写出它的一个完美平方根．
8．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是
整数，则称这三个数为“完美组合数”．
例如：-9，-4，-1这三个数， ， ， ，其结果6，3，
2都是整数，所以-1，-4，-9这三个数称为“完美组合数”．
(1)-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
(2)若三个数-3，m，-12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
9．利用平方根去括号可以用一个无理数构造一个整系数方程．
例如： 时，移项 ，两边平方得 ，所以a2-2a+1=2，即a2-2a-1=0。
仿照上述方法完成下面的题目，已知 ，
求：（1）a2+a的值；
（2）a3-2a+2020的值．
10．如图，长方形 的长为 ，宽为 ．
（1）将长方形 进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画
出所拼的正方形；（标出关键点和数据）
（2）求所拼正方形的边长．
11．【知识重现】我们知道，在axN中，已知底数a，指数x，求幂N的运算叫做乘方运算．例
如23=8：已知幂N，指数x，求底数a的运算叫做开方运算，例如 =2．
【学习新知】
现定义：如果ax=N（a0且a1），即a的x次方等于N（a0且a1），那么数x叫做以a为底N
的对数（logarithm），记作x=logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做以a为底N的对数，例如log 8=3，零没有对数；在实数范围内，负数没有对数．
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【应用新知】
（1）选择题：在式子log 125中，真数是_______．
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（2）①计算以下各对数的值：log 9=_______；log 27=_______．
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②根据①中计算结果，请你直接写出logaM，logaN，loga（MN）之间的关系，（其中a0且
a1，M0，N0）．
12．阅读下面材料：随着人们认识的不断深入，毕达哥拉斯学派逐渐承认 不是有理数，并给出
了证明．假设是 有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得 ，于是 ，两边
平方得p2=2q2 ． 因为2q2是偶数，所以p2是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．
因此可设p=2s，代入上式，得4s2=2q2 ， 即q2=2s2 ， 所以q也是偶数，这样，p和q都是偶数，
不互质，这与假设p，q互质矛盾，这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，即 不是有理数．
请你有类似的方法，证明 不是有理数．
13．【发现】
① ；
② ；
③ ；
④ ；
……
根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：_____________________．
【归纳】
等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数 ， ，若_______，则 ；反之也成立．
【应用】
根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：若 与 的值互为相反数，求 的值．
14．阅读材料：分析探索题：细心观察如图⑴，认真分析各式，然后解答问题．
；
；
……
⑴请用含有 （ 为正整数）的等式 ；⑵推算出 ．求出
…… 的值．
15．观察下列等式：
．．．．
请解答下列问题：
（1）按以上规律写出 = ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式： = （n为正整数）；
（3）求 的值．
16．先阅读，再解答：由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积可能不含有二次根式．在进行二次根式计算时，可以利用这种运算规律化去分母中
的根号，例如： ，根据以上运算请完成下列问题：
（1） （填＞或＜）；
（2）利用你发现的规律计算下列式子的值：
．
