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专题 2.25 二次函数与一元二次方程（专项练习1）
一、单选题
1．如图，是函数 （0≤x≤4）的图像，通过观察图像得出了如下结论：
（1）当x>3时，y随x的增大而增大； （2）该函数图像与x轴有三个交点；
（3）该函数的最大值是6，最小值是﹣6； （4）当x > 0时，y随x的增大而增大．
以上结论中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 为抛物线上
一动点，过点 作 交 轴于 ，若点 从点 出发，沿着直线 上方抛物线运动到
点 ，则点 经过的路径长为（ ）A． B． C．3 D．
3．a、b、c为△ABC三边，b＞a，a是c+b，c﹣b的比例中项，抛物线y=x2﹣（sinA+sinB）x﹣
（a+b+c）的对称轴是x= ，交y轴于（0，﹣30），则方程ax2﹣cx+b=0的根的情况是
（ ）
A．有两不等实根 B．有两相等实根
C．无实根 D．以上都不对
4．抛物线 （m是常数）与坐标轴交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2或3 D．3
5．二次函数 图像与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若S ＝3，则a＝（
△ABC
）
A． B． C．﹣1 D．1
7．如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
8．已知二次函数 的自变量 与函数 的部分对应值列表如下：… 0 1 2 3 …
… 3 0 3 …
则关于 的方程 的解是（ ）
A． ， B．
C． D．不能确定
9．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表：
利用该二次函数的图像判断，当函数值y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜8 B．x＜0或x＞8 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
10．如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近
似根是（ ）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法错误的是（ ）
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣3 1 3 1 …
A．a＜0
B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间
C．2a+b＞0
D．若点（5，y）、（﹣ ，y）都在函数图像上，则y＜y
1 2 1 2
12．下表是满足二次函数y＝ax2＋bx＋c的五组数据，x 是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，则下列
1
选项中正确的是（ ）x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
y －0.80 －0.54 －0.20 0.22 0.72
A．1.6＜x＜1.8 B．2.0＜x＜2.2 C．1.8＜x＜2.0 D．2.2＜x＜2.4
1 1 1 1
13．如图是二次函数 的部分图像，由图像可知不等式 的解集是（ ）
A． B． C． 且 D．x＜－1或x＞5
14．如图，已知二次函数 的图像与正比例函数 的图像交于点A（3，
2），与x轴交于点B（2，0），若 ，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．0＜x＜3 C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞3
15．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像，y 0时自变量x的取值范围是（ ）A．﹣1 x 5 B．x ﹣1或 x 5
C．x ﹣1且x 5 D．x ﹣1或x 5
二、填空题
16．已知 ， ， 满足 ， ，则二次函数 的图像的对
称轴为_______．
17．已知抛物线 与 轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围
是________．
18．已知抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），则线段 的长为
______．
19．若函数 的图像与坐标轴有三个交点，则c的取值范围是________．
20．抛物线 与y轴的交点坐标为__________．
21．抛物线 与 轴的交点坐标是______．
22．抛物线y=x2+2x﹣2018过点（m，0），则代数式m2+2m+1=_____．
23．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …
y … 0 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …
则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣2的根是_____．
24．已知：二次函数 图像上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表所示，
那么方程 （ ， ， ， 为常数）的根是________．… -1 0 1 2 3
… 0 3 4 3 0
25．二次函数 （a≠0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：
x -1 - 0 1 2 3
y -2 1 2 1 -2
一元二次方程 （a≠0，a，b，c是常数）的两个根 的取值范围是下列选项
中的哪一个 ______ （填序号）
① ②
③ ④
26．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，给出以下结论：
①abc＜0；②a+b+c≥ax2+bx+c；③若 为函数图像上的两点，则y＜
1
y；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有2个．其中正确的有
2
___．
27．二次函数 的图像如图所示，若方程 的一个近似根是，则方程的另一个近似根为__________．（结果精确到0.1）
28．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a 0）与 轴的两个交点分别为A（-1，0）和B（2，0），
当y＜0时，x的取值范围是___________．
29．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图像如图所示，由图像可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为
______．
30．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是____．三、解答题
31．已知二次函数 的图像经过点 和 ．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求出函数图像与坐标轴的交点．
32．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．
（1）求这个二次函数图像的顶点坐标．
（2）求这个二次函数图像与x轴的交点坐标．
（3）直接写出这个二次函数图像与y轴的交点坐标 ．
33．已知二次函数 的图像经过点P（﹣3，1），对称轴是直线 ．
（1）求m、n的值；
（2）如图，一次函数y=kx+b的图像经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图像相交于另
一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．34．小帆同学根据函数的学习经验，对函数 进行探究，已知函数过
， ， ．
（1）求函数 解析式；
（2）如图1，在平面直角坐标系中画 的图像，根据函数图像，写出函数的一条性质 ；
（3）结合函数图像回答下列问题：
①方程 的近似解的取值范围(精确到个位)是 ；
②若一次函数 与 有且仅有两个交点，则 的取值范围是 ．
35．二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ；
（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为 ．参考答案
1．C
【分析】
根据函数图像的性质进行逐项分析即可．
解：由题中图像可知，该函数图像与x轴有三个交点，故（2）正确；
令 ，
解得： ， ， ，
即该函数图像与x轴的三个交点坐标分别为 ， ， ，
∴结合图形可知，当x>3时，y随x的增大而增大，故（1）正确；
∵自变量的范围是0≤x≤4，
∴结合图像可知，当 时，函数取得最大值，最大值为 ，
当 时，函数取得最小值，最小值为 ，故（3）正确；
由图像可知，当x > 0时，函数图像既有上升的部分，也有下降的部分，∴在x > 0时，增减性不是唯一的，故（4）错误；
故选：C．
【点拨】本题考查函数图像的性质，掌握函数图像与坐标轴的交点的求法与意义，理解判断函数
性质的方法是解题关键．
2．D
【分析】分别求出A，B的坐标，运用待定系数法求出直线AB，PQ的解析式，再求出它们与y
轴的交点坐标即可解决问题．
解：对于 ，
令x=0，则y=3，
∴
令y=0，则
解得，
∵点A在点C的左侧，
∴A（-3，0）
设AB所在直线解析式为 ，
把A，B点坐标代入得 ，解得
所以，直线AB的解析式为：y=x+3，
∵PQ//AB
∴设PQ的解析式为：y=x+a
∵点 经过的路径长是直线PQ经过抛物线的切点与y轴的交点和点B的距离的2倍，
∴方程 有两个相等的实数根，
∴
解得，∴点Q的坐标为（0， ）
当点P与点A重合时，点Q与点B重合，此时点Q的坐标为（0，3）
点 经过的路径长为
故选：D．
【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征，要求学生非常
熟悉函数与坐标轴的交点的求法．
3．C
【分析】首先证明△ABC是直角三角形，想办法求出a，b，c的值，利用判别式即可解决问题．
解：∵a是c+b，c﹣b的比例中项，
∴a2=（c+b）（c﹣b），
∴a2=c2﹣b2，
∴a2+b2=c2①
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴sinA+sinB= ，
由题意： ，
解得c=13，a+b=17 ②，
由①②，
∵b＞a，可得a=5，b=12，
对于方程ax2﹣cx+b=0，
=c2﹣4ab=169﹣4×12×5=﹣71＜0，
∴方程没有实数根，
故选：C．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、比例线段、解直角三角形、二次函数图像
与系数的关系．
4．C
【分析】先计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，
再讨论是否有重合的点，可得结果．
解：令 ，
则 ，
∴抛物线与x轴有2个公共点，
∵x=0时，y= ，
若m=±1，则抛物线与y轴交于原点，
此时抛物线与坐标轴有2个交点，
若m≠±1，则抛物线与y轴交于（0， ），
此时抛物线与坐标轴有3个交点，
故选C．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），
△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-
4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，同时也考查了抛
物线与y轴的交点．
5．D
【分析】根据y轴上点的坐标特征，计算自变量为0时的函数值即可得到交点坐标．
解：根据题意，令 ，则 ，
∴二次函数 图像与y轴的交点坐标是 ；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析式．
6．D
【分析】由根与系数的关系求得AB的长度，由抛物线解析式求得点C的坐标，然后根据
列出关于 的方程，解方程即可
令 ，则ax2﹣4ax+3＝0，
∴x+x＝4，x•x＝ ，
1 2 1 2
∴AB＝|x﹣x|＝ ，
1 2
令x＝0，y＝3，
∴OC＝3，
∴S ＝ AB•OC＝ ，
△ABC
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数与坐标轴交点的问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一
元二次方程跟与系数的关系是解题关键．
7．C
【分析】由x=6.18时，y=-0.01<0，x=6.19时，y=0.02>0，根据函数的连续性知，6.180，
根据函数的连续性知，6.185.
【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），然后写出抛物
线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
所以不等式−x2+bx+c<0的解集为x<−1或x>5.
故答案为x<−1或x>5.
考点：二次函数图像的性质
30．－1＜x＜3
【分析】根据图像，写出函数图像在y=3下方部分的x的取值范围即可．
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点拨】本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求
解更简便．
31．（1） ；（2）（0，-3），（-1，0），（3，0）
【分析】
（1）将（1，-4），（-1，0）代入 ，用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）分别令x=0，y=0，求出对应的y值与x值，进而得出此二次函数与坐标轴的交点坐标．
解：（1）把（1，-4），（-1，0）代入 ，
得： ，解得： ，∴二次函数的表达式为为 ；
（2）令x=0，得y=-3，
令y=0，得 ，
解得：x=-1或x=3，
∴抛物线与坐标轴的交点为（0，-3），（-1，0），（3，0）．
【点拨】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数
法是解本题的关键．
32．（1）（﹣1，4）；（2）（﹣3，0），（1，0）；（3）（0，3）
【分析】
（1）将二次函数解析式改为顶点式即可知顶点坐标．
（2）令 ，即得方程-x2-2x+3＝0，求解即可．
（3）令 ，即得 ，即坐标为(0，3)．
（1）∵二次函数解析式为y＝-x2-2x+3＝-(x+1)2+4，
∴二次函数的图像的顶点坐标为(-1，4)．
（2）∵令y＝0，即-x2-2x+3＝0，解得x＝-3或1，
∴二次函数的图像与x轴的交点坐标为：(-3，0)，(1，0)．
（3）∵当x＝0时，y＝3，
∴这个二次函数图像与y轴的交点坐标是(0，3)，
故答案为(0，3)．
【点拨】本题考查二次函数的一般式转化成顶点式，抛物线与x轴、y轴交点坐标的求解．
33．（1）m=2，n=﹣2；（2）一次函数的表达式为y=x+4
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴可求得m的值，把点P的横、纵坐标代入抛物线解析式，可求得n的
值；（2）过点P作PC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于D，利用相似三角形的对应边成比例，
可求点B的坐标，进而用待定系数法求得一次函数的解析式．
解：（1）∵抛物线的对称轴是直线 ，∴﹣ =﹣1，
∴m=2
∵二次函数y=x2+mx+n的图像经过点P（﹣3，1），
∴9﹣3m+n=1，得出n=3m﹣8．
∴n=3m﹣8=﹣2．
（2）∵m=2，n=﹣2，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣2．
过点P作PC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于D，则PC∥BD，如图所示．
∴ ．
∴ ．
∵P（﹣3，1），
∴PC=1．
∵PA：PB=1：5，
∴ = ．
∴BD=6．
∴点B的纵坐标为6．
把y=6代入y=x2+2x﹣2得，6=x2+2x﹣2．
解得x=2，x=﹣4（舍去）．
1 2
∴B（2，6）．
∵一次函数的图像经过点P和点B，∴ ，解得 ．
∴一次函数的表达式为y=x+4．
【点拨】本题考查了一次函数、二次函数、相似三角形、待定系数法等知识点，构造相似三角形
和待定系数法是解题的关键．
34．（1） ；（2）图像见详解，当 时，函数 有最大值 ，函
数 无最小值；（3）① 或 ；② 或 ．
【分析】
（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）画出反比例函数图像和二次函数的图像，即可得到函数的性质；
（3）①画出函数y 与y= 的图像，它们的交点的横坐标，就是方程 的解，进
1
而即可得到解的取值范围；
②结合一次函数 与 的图像，即可求解．
（1）将点 ， 代入 ，
可得 ，解得 ，
∴ ，
将点 代入 ，
可得 ，解得 ，∴ ，
∴ ；
（2）函数图像如图所示，由图像可知：当 时，函数 有最大值 ，函数 无最小值，
故答案是：当 时，函数 有最大值 ，函数 无最小值；
（3）①画出y= 的图像，可得函数y 与y= 的图像的交点位置，如图所示，
1
∴方程 的近似解的取值范围(精确到个位)是： 或 ，
故答案是： 或 ；
②由题意可知： 的图像过点(0，2)，
当k＞0时，一次函数 与 有且仅有两个交点，
当 的图像与 的图像相切时，一次函数 与 有且仅有两个交
点，
∴ = 有两个相等的根，即：∆= ，
∴k= ，
综上所述： 或 ．故答案是： 或 ．
【点拨】本题主要考查二次函数，反比例函数，一次函数的图像和性质，熟练掌握画函数图像以
及函数图像的交点与方程的解的关系，是解题的关键．
35．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）m≥﹣4．
【分析】
（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c解方程组即可得到结论；
（2）根据图像即可得到结论；
（3）设y＝ax2+bx+c和y＝m，方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，即二次函数图像与直线y＝m有
两个交点或一个交点，结合一元二次方程根的判别式即可求出m的取值范围．
解：（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得 ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由函数图像可知抛物线和x轴的两个交点横坐标为﹣1，3，所以不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣1或x＞3；
（3）设y＝ax2+bx+c和y＝m，
方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，则二次函数图像与直线y＝m有两个交点或一个交点，
即 有两个实数根，
∴ ，即 ，
解得m≥﹣4．
【点拨】本题考查二次函数与不等式，抛物线与x轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想
之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．
