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专题 2.24 二次函数与一元二次方程（知识讲解2）
1．如图，二次函数 的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
，且二次函数图像的顶点坐标为 ，点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数
的图像过点B，D．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【答案】（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2） 或
【分析】
（1）根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程即可求得A、B的坐标；
（2）求得D点的坐标，然后根据图像即可求得．
【详解】
解：（1）设二次函数的表达式为 ，
把点 代入，得 ，解得 ，
∴二次函数的表达式为 ，
当 时，解得 或 ，
∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
（2）∵点C，D是抛物线上的一对对称点，C（0，3），对称轴为直线x=-1，
∴D（-2，3），由图像可知，使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围x＜-2或x＞1．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，也考查了二次函数与不等式
的关系．
举一反三：
【变式1】 如图，二次函数 图像与x轴的交点为A，与直线 交于点B
（4，3）
（1）求此二次函数的顶点坐标和点A的坐标；
（2）根据函数的图像，直接写出当函数值 ＞ 时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）顶点坐标为(2，-1)，点A的坐标为(1，0)；（2） 或
【分析】
（1）利用配方法把二次函数配成顶点式即可求解；
（2）观察图像，利用数形结合即可求解．
【详解】
解：（1） ，
∴顶点坐标为(2，-1)，
令 ，则 ，
解得： ，
∴点A的坐标为(1，0)；
（2）观察图像，知：当 或 ，二次函数 图像在直线 的上方，∴当函数值 ＞ 时，自变量x的取值范围为 或 ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，以及二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图像与性质是
解本题的关键．
【变式2】已知二次函数 的图像经过点 ．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）画出这个函数的图像，并利用图像解决下列问题：
①直接写出方程 的解．
②当 满足什么条件时， ．
【答案】（1） ；（2）① ， ；② 或
【分析】
（1）把点 代入二次函数解析式进行求解即可；
（2）①由（1）及图像可直接进行求解即可；②当 时可由图像直接进行求解．
【详解】
解：（1）∵二次函数 的图像经过点 ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
（2）由五点法可得如图所示：
①由图像可得：
方程 的解是 ， ；
②由图像可得，当 时， 或 ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
【变式3】 如图，抛物线 成直线 交于 两点．（1）分别求出 的值；
（2）求 的最大值；
（3）求点A的坐标，并根据图像判断，当x取何值时， ？
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【分析】
（1）根据抛物线 与直线 交于 ， 两点，可以求得 、 的
值；
（2）根据（1）中 、 的值，可以写出 和 的解析式，然后作差，根据二次函数的性质，
即可得到 的最大值；
（3）将 和 的解析式联立方程组，求出 、 的值，即可得到点 的坐标，然后根据图像，
可以写出当 取何值时， ．
【详解】
解：（1） 抛物线 与直线 交于 ， 两点，
， ，解得， ， ；
（2） ， ，
抛物线 ，直线 ，
，
即当 时， 取得最大值 ，
即 的最大值是 ；
（3） ，
解得， 或 ，
点 的坐标为 ， ，
由图像可得，
当 时， ．
【点睛】
本题考查二次函数与不等式组、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的
思想解答．1．已知抛物线 经过点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求此抛物线与坐标轴的三个交点所构成的三角形的面积．
【答案】（1）y=-x2+7x-6；（2）15
【分析】
（1）把A，B的坐标利用待定系数法代入y=-x2+mx+n中，求出m，n的值，从而求出抛物线的解
析式．
（2）求出抛物线与x轴的交点，再利用三角形的面积公式就可以求出抛物线与坐标轴的三个交
点连接而成的三角形的面积．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+mx+n经过点A（1，0），B（0，-6），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+7x-6．
（2）在y=-x2+7x-6中令y=0，
解得x=6或1，
则抛物线与x轴的另一个交点C是（6，0），
因而AC=5，又B（0，-6），
∴抛物线与y轴交点为（0，-6），即OB=6，
抛物线与坐标轴的三个交点连接而成的三角形的面积S= ×5×6=15．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，注意数与形的结合是解决本题的关键．
举一反三：【变式1】 抛物线 与 轴的交点为点 、 ．
（1）求点 、 的坐标；
（2）观察图像，直接写出 时， 的取值范围．
【答案】（1）点 、 的坐标为 和 ；（2）
【分析】
（1））把 代入 ，解关于 的一元二次方程即可求解；
（2）如图，当 时，图像对应的抛物线在 轴下方，据此确定 的取值范围即可．
【详解】
解：（1）把 代入 ，得
解得： ，
∴点 、 的坐标为 和 ；
（2）由图像可知当 时， ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，抛物线和 交点与一元二次方程的关系，二次函数与不等式，
正确理解抛物线与 交点的横坐标是一元二次方程的两个根是解题的关键.
【变式2】如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，点 在点 左侧，点 的坐
标为 ， ，过点 作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ．
（1）若点 的坐标为 ，求 的长．
（2）当 时，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）先把A点坐标代入y=-(x-m)2+9中求得m=1或m=7，则根据点A在点B左侧可确定抛物线的
对称轴，然后利用抛物线的对称性求DE的长；
（2）通过解方程-(x-m)2+9=0得A（m-3，0），B（m+3，0），则AB=6，所以DE=3，利用抛物
线的对称性得到2(m-6)=3，然后解方程即可．
【详解】
解：（1）把A（4，0）代入y=-(x-m)2+9得-(4-m)2+9=0，
解得m=1或m=7，
∵点A在点B左侧，
∴m=7，
即抛物线的对称轴为直线x=7，
∵CD⊥x轴，DE⊥CD，
∴点E与点D关于直线x=7对称，
而D点的横坐标为6，
∴DE=2×(7-6)=2；
（2）当y=0时，-(x-m)2+9=0，
解得x=m-3，x=m+3，
1 2∴A（m-3，0），B（m+3，0），
∴AB=m+3-(m-3)=6，
∴DE= AB=3，
∵D点的横坐标为6，
∴2(m-6)=3，
∴m= ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交
点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
【变式3】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图像的顶点是 ，与 轴交
于 两点，与 轴交于 ，点 的坐标是 ．
（1）求二次函数图像的顶点坐标并直接写出直线 的函数关系式．
（2）作一条平行于 轴的直线交二次函数的图像于点 ，与直线 于点 ．若点
的横坐标分别为 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】（1）点 的坐标为 ，直线 的函数关系式为 ；（2）
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）因为r＜m≤n，则直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A），进而求解．
【详解】
解：（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：a+2-3=0，解得a=1，
故抛物线的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
故顶点坐标为（1，-4）；
对于y=x2-2x-3，
令x2-2x-3=0，解得x=-1或3，
令x=0，则y=-3，
故点C、D的坐标分别为（3，0）、（0，-3），
设直线CD的表达式为y=kx+b，则
，解得 ，
故直线CD的表达式为y=x-3；
（2）∵r＜m≤n，
∴直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A），
当y=-4时，即-x-3=-4，解得x=-1，
故-1≤r＜0，
由抛物线的对称性知，点M、N关于抛物线的对称轴对称，
故 (m+n)=1，所以m+n=2，
∴1≤m+n+r＜2．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与
坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
1．已知二次函数 ，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x 0 1 2 3 4
y 5 0 0 m
二次函数图像的开口方向____，顶点坐标是____，m的值为____；
点 、 在函数图像上， ____ 填 、 、 ；
当 时，x的取值范围是____；
关于x的一元二次方程 的解为____．
【答案】 向上， ，5； ； ； ， ．
【分析】
由表格可见，函数的对称轴为x＝1对称轴右侧，y随x的增大而增大,故可求出开口方向与顶
点坐标，再根据对称性求出m ；
根据点Q离函数的对称轴近，即可判断y的大小；
根据表格的特点及二次函数的性质即可判断；
根据表格可得x=-2或4时，y=5，即可求解．
【详解】
（1）由表格可见，函数的对称轴为x＝1，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向
上，
顶点坐标为（1，−4），根据函数的对称性m＝5；
故答案为：向上；（1，−4）；5；
（2）从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故y＞y；
1 2
故答案为：＞；
（3）从表格看，当y＜0时，x的取值范围是：−1＜x＜3，
故答案为：−1＜x＜3；
（4）从表格看，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝5的解为：x＝−2或4，故答案为： ， ．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数
与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
举一反三：
【变式1】 在平面直角坐标系中，二次函数y= x2+bx+c的图像与x轴交于A（-2，0），B
（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，连接AC，PA，PC，若S = ，求点P的坐标；
△PAC
【答案】（1） ； （2）
【分析】
（1）根据题意，将点A、B坐标分别代入二次函数解析式中，即可解题；
（2））连结OP，设 ，先求得点C的坐标，再根据
，结合三角形面积公式解题即可．
【详解】
二次函数y= x2+bx+c的图像与x轴交于A（-2，0），B（4，0）两点，，解得：
；
（2）连结OP，设 ，由题意得，
整理得：
或 （舍去）
【点睛】
本题考查二次函数综合，其中涉及二次函数解析式的求法、二次函数图像与坐标轴的交点、三角
形面积公式、一元二次方程的解法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式2】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 ；
（2）求此抛物线的解析式；（3）当x为值时，y＜0；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．
【答案】（1）﹣1或3；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）x＞3或x＜﹣1；（4）y＞4
【分析】
（1）直接观察图像，抛物线与x轴交于﹣1，3两点，所以方程的解为x＝﹣1，x＝3．
1 2
（2）设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（3，0），即可求得抛物线的解析式．
（3）若y＜0，则函数的图像在x轴的下方，找到对应的自变量取值范围即可．
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞函数的最大值即可．
【详解】
解：（1）观察图像可看对称轴出抛物线与x轴交于x＝﹣1和x＝3两点，
∴方程的解为x＝﹣1，x＝3，
1 2
故答案为：﹣1或3；
（2）设抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+k，
∵抛物线与x轴交于点（3，0），
∴（3﹣1）2+k＝0，
解得：k＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
即：抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（3）若y＜0，则函数的图像在x轴的下方，由函数的图像可知：x＞3或x＜﹣1；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞4函数的最大值，即y＞4．【点睛】
本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数的图像、抛物线与x轴的交点、待定系数法
求二次函数解析式，准确计算是解题的关键．
【变式3】 如图，二次函数y＝x2+bx+c的图像与x轴分别交于点A，B（3，0）（点A在点B的
左侧），与y轴交于点C，且经过点（﹣2，5）．
（1）求b，c的值．
（2）将点B向下平移m个单位至点D，过点D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于点E，G．若DE
＝GF，求m的值．
【答案】(1)b=-2，c=-3；(2) ．
【分析】
(1)由二次函数y＝x2+bx+c的图像经过B（3，0）且经过点（﹣2，5），故只需要将这两个点的坐
标代入解析式中求解b，c的值即可；
(2)根据平移性质得到D点坐标为（3，-m），再根据DF⊥y轴于点F，交抛物线于点E，G可以用
m表示F， E，G三点的坐标，再根据DE＝GF进行求解即可．
【详解】
解：(1) 由二次函数y＝x2+bx+c的图像经过B（3，0）且经过点（﹣2，5）
∴将两个点的坐标代入函数解析式中得：即
∴ ， ．
(2)如图所示，
将点B向下平移m个单位至点D，B的坐标为（3，0），
∴D点坐标为（3，-m）,直线GD的解析式为：y=-m
∵DF⊥y轴于点F
∴F的坐标为（0，-m）
由第一问知二次函数解析式为：
∴
设G（ ， ），E（ ， ）
∴ ， 是一元二次方程 的两根
∴ ，
由二次函数性质可知 ，
∴ ，又∵
∴
即
则 解得
∴
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，以及根与系数的关系，熟练的掌握根与系数之间的关系是解题
的关键．
1．已知，抛物线 ，
（1）求证：不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若已知抛物线与x轴有一个交点A（ 1，0），另一交点B，求k的值及线段AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）列出判别式，根据判别式的值的情况进行证明即可；
（2）通过A点代入求解得k，进而求出完整解析式，求出B的坐标即可计算AB的长度．
【详解】（1）由题意： = = ，
不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）将A( 1，0)代入解析式得： ，解得： ，
此时抛物线得解析式为： ，
令 ，解得 ， ，故 ，
．
【点睛】
本题考查二次函数与 轴交点的问题，熟练掌握求解判别式及二次函数与一元二次方程之间的关
系是解题关键．
举一反三：
【变式1】 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)、B(－1，0)
（1）求抛物线的解析式．
（2）若抛物线交y轴于点C，求△ABC的面积．
【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）6
【分析】
（1）将点A和点B的坐标代入解析式中，求出b，c的值，从而得到抛物线解析式；
（2）令x=0，得到y，从而可得点C坐标，再根据点A和点B坐标，利用三角形面积公式求出结
果．
【详解】
解：（1）将A(3，0)、B(－1，0)代入，
则 ，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3；（2）令x=0，
则y=3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴△ABC的面积= =6．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】已知关于 的二次函数 ．
（1）试判断该函数的图像与 轴的交点的个数；
（2）当 时，求该函数图像与 轴的两个交点之间的距离．
【答案】（1）2个;（2）
【分析】
(1)运用根的判别式进行判断即可；
（2）将k=3代入解析式得到一元二次方程，然后解方程得到两根，再用大根减小根即可.
【详解】
（1） ，
∵ ，
∴ ，
∴二次函数 的图像与x轴有两个交点；
（2）当 时，二次函数为 ，令y=0，
则 ，解得 ， ，
∴与 轴交点为 ， ，
∴两交点间的距离为： .
【点睛】
本题考查了二次函数图像与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程根的判别式和数形结合思想
是解答本题的关键.
【变式3】 已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（0， ）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；
（3）当y≤ 时，直接写出x的取值范围是 ．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）EF长为2；（3 或 ．
【解析】
【分析】
（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，即可求解；
（2）把点D的y坐标 代入y=-x2+2x+3，即可求解；
（3）直线EF下侧的图像符合要求．
【详解】
（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
解得：a＝﹣1，b＝2，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）把点D的y坐标y＝ ，代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝ 或 ，
则EF长 ；
（3）由题意得：
当y≤ 时，直接写出x的取值范围是： 或 ，
故答案为 或 ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，利用图像解不等式及数形
结合的数学思想，是一道基本题，难度不大．
