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专题 2.23 二次函数与一元二次方程（知识讲解1）
【学习目标】
1. 会用图像法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
2. 会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
3. 经历探索验证二次函数 与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的
观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
【要点梳理】
要点一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数 (a≠0)的图像与 x 轴的交点坐标，就是令 y＝0，求
中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的
个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
一元二次方程
判别式
二次函数
图像 与x轴的交点坐标 根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0 有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
特别说明：
二次函数图像与x轴的交点的个数由 的值来确定的. (1)当二次函数的图像与x轴有两
个交点时， ，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图像与x轴有且只有
一个交点时， ，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图像与x轴没有交点
时， ，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛
物线 (a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数 的交点问题．
抛物线 (a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线 (a≠0)与一次函数 (k≠0)的交点个数由方程组
的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时 两函数图像有两个交点；
当方程组有两组相同的解时 两函数图像只有一个交点；
当方程组无解时 两函数图像没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
特别说明：
求两函数图像交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
要点二、利用二次函数图像求一元二次方程的近似解
用图像法解一元二次方程 的步骤：
1.作二次函数 的图像，由图像确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线
与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取
值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即
是一元二次方 的近似根．
特别说明：
求一元二次方程 的近似解的方法（图像法）：
(1)直接作出函数 的图像，则图像与x轴交点的横坐标就是方程
的根；
(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线 图
像交点的横坐标就是方程的根；
(3)将方程化为 ，移项后得 ，设 和 ，在同一坐标系中画出抛物线 和直线 的图像，图像交点的横坐标即为方程
的根.
要点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线 与x轴的两个交点为A( ，0)，B( ，0)，则 、
是一元二次方程 的两个根．由根与系数的关系得 ， ．
∴
即 （△＞0）
要点四、抛物线与不等式的关系
二 次 函 数 (a≠ 0) 与 一 元 二 次 不 等 式 (a≠ 0) 及
(a≠0)之间的关系如下 ：
判别式
抛物线 与 不等式 的解
不等式 的解集
x轴的交点 集
△＞0
或△＝0 无解
（或 ）
△＜0 全体实数 无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
特别说明：
抛物线 在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不
等式 的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不
等式 的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
【典型例题】
1．已知二次函数y=﹣2x2+5x﹣2．
（1）写出该函数的对称轴，顶点坐标；
（2）求该函数与坐标轴的交点坐标．
【答案】（1）抛物线的对称轴x= ，顶点坐标为（ ， ）；（2）抛物线交y轴于（0，﹣
2），交x轴于（2，0）或（ ，0）．
【分析】
（1）把二次函数y=-2x2+5x-2化为顶点式的形式，根据二次函数的性质写出答案即可；
（2）令x=0可求图像与y轴的交点坐标，令y=0可求图像与x轴的交点坐标；解：（1）∵y=﹣2（x2﹣ x+ ﹣ ）﹣2=﹣2（x﹣ ）2+ ，
∴抛物线的对称轴x= ，顶点坐标为（ ， ）．
（2）对于抛物线y=﹣2x2+5x﹣2，令x=0，得到y=﹣2，令y=0，得到﹣2x2+5x﹣2=0，解
得x=2或 ，
∴抛物线交y轴于（0，﹣2），交x轴于（2，0）或（ ，0）．
举一反三：
【变式1】 已知二次函数的图像以 为顶点，且过点 ．
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图像与 轴的交点坐标．
【答案】(1) ;(2) ,
【分析】（1）由顶点 ,可设二次函数关系式为 .根据二次
函数的图像过点 ,利用顶点式即可求解；（2））令 ,解方程
,问题得解.
解：（1）由顶点 ,可设二次函数关系式为 .
二次函数的图像过点 ,
点 满足二次函数关系式,
,
解得 .二次函数的关系式是 .
（2）令 ,则 ,
解得: , ,
此图像与 轴的交点坐标是 , .
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，熟练掌握待定
系数法求抛物线的解析式是解决问题的关键．
【变式2】已知二次函数的图像以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图像与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图像向右平移，当图像经过原点时，A、B两点随图像移至A′、B′，求△O A′B′的
面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与y轴的交点为：（0，3）；与x轴的交
点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）15.
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B
点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物
线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物
线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，
抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求
出△OA′B′的面积．
解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x=﹣3，x=1，
1 2
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图像向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S = ×（2+5）×9﹣ ×2×4﹣ ×5×5=15．
△OA′B′
【点拨】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图像与坐标轴交点、图形面积的求法等
知识．熟练掌握待定系数法、函数图像与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方
法等是解题的关键.
【变式3】 如图，抛物线y=﹣ x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于
点C．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．
【答案】(1) A（﹣4，0），B（2，0）；(2)△ACP最大面积是4.
【分析】（1）令y=0，得到关于x 的一元二次方程﹣ x2﹣x+4=0，解此方程即可求得结果；
（2）先求出直线AC解析式，再作PD⊥AO交AC于D，设P（t，﹣ t2﹣t+4），可表示出D点坐标，于是线段PD可用含t的代数式表示，所以S = PD×OA= PD×4=2PD，可得S 关
△ACP △ACP
于t 的函数关系式，继而可求出△ACP面积的最大值．
(1)解：设y=0，则0=﹣ x2﹣x+4
∴x=﹣4，x=2
1 2
∴A（﹣4，0），B（2，0）
(2)作PD⊥AO交AC于D
设AC解析式y=kx+b
∴
解得：
∴ AC解析式为y=x+4.
设P（t，﹣ t2﹣t+4）则D（t，t+4）
∴PD=（﹣ t2﹣t+4）﹣（t+4）=﹣ t2﹣2t=﹣ （t+2）2+2
∴S = PD×4=﹣（t+2）2+4
△ACP
∴当t=﹣2时，△ACP最大面积4.
【点拨】本题是二次函数的综合题，重在基础知识的考查，其中第（2）题是一个常见的二次函
数模型，解决此类题的思路（以本题为例）是作PD⊥AO交AC于D，△ACP的面积可以表示成PD×OA，其中OA是定值，P、D两点有相同的横坐标，所以PD的长可用它们的横坐标的关
系式来表示，这样△ACP的面积就表示成了P点横坐标的二次函数，再用二次函数求最值的方法
求解即可.
2．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图像如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图像，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）b=2，c=3，y=-x +2x+3；（2）
【分析】
（1）把抛物线上的两点代入解析式，解方程组可求b、c的值；（2）令y=0，求抛物线与x轴
的两交点坐标，观察图像，求y＞0时，x的取值范围．
解：（1）将点（-1，0），（0，3）代入y=-x2+bx+c中，得
解得 ．
∴
（2）当y=0时，解方程 ，
得 ，又∵抛物线开口向下，
∴当-1＜x＜3时，y＞0．
【点拨】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线与x轴的交点，开口方向，可求y
＞0时，自变量x的取值范围．
举一反三：
【变式1】（1）已知 是y关于x的二次函数．求m的值；
（2）如图，二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 及点
①求二次函数的解析式及B的坐标
②根据图像，直按写出满足 的x的取值范围
【答案】（1） ；（2）①二次函数的解析式是 ，点B的坐标是（4，
3）；②
【分析】
（1）根据二次函数的定义可得 ，进一步即可求出结果；
（2）①把点 代入 即可求出m，进而可得二次函数的解析式，把点B坐
标代入抛物线的解析式可得关于n的方程，解方程即可求出n，进一步可得点B坐标；
②所求结果即为直线比抛物线高的部分图像对应的x的取值范围，据此解答即可．
解：（1）由题意得： ，解得： ；（2）①把点 代入 ，得 ，解得： ，
∴二次函数的解析式是 ，
当y=3时， ，解得：n=0（舍去）或n=4，
∴点B的坐标是（4，3）；
②由图像可得：满足 的x的取值范围是： ．
【点拨】本题考查了二次函数的定义、二次函数图像上点的坐标特征、两个函数的交点、一元二
次方程的解法和二次函数与不等式的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的相关知识
是解题的关键．
【变式2】 已知函数 .
（1）该函数图像与x轴有几个交点？请作图验证；
（2）试说明一元二次方程 的根与函数 的图像的关系，并把方程的
根在图像上表示出来；
（3）x为何值时，函数y的值为9？
【答案】（1）只有一个交点；（2）方程 的根是二次函数 的图像
与直线 的两个交点的横坐标；（3）当 或 时，函数y的值为9.
【分析】
（1）令y=0，求出△，解方程即可；
（2）方程 的根是二次函数 的图像与直线 的两个交点的横坐标；
（3）令y=9，解方程即可．
解：（1）只有一个交点，如图.（2）方程 的根是二次函数 的图像与直线 的两个交点的
横坐标，如图所示.
（3）解方程 ，得 ， .
故当 或 时，函数y的值为9.
【点拨】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解二次函数与一元二次方程的
关系是解决问题的关键．
【变式3】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，
0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图像，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
（3）当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围．
【答案】（1）b＝2，c＝3，y＝﹣x2+2x+3；（2）﹣1＜x＜3；（3）0≤y≤4
【分析】
（1）由二次函数图像与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3），分别
把横坐标和纵坐标代入二次函数解析式，得到关于b与c的方程组，求出方程组的解得到b与c
的值，进而确定出二次函数的解析式；
（2）令二次函数解析式中的y＝0得到关于x的方程，求出方程的解即为二次函数与x轴交点的
横坐标，根据图像可得出y大于0时x的范围；（3）当﹣1≤x≤2时，y在x＝﹣1和顶点处取得最小和最大值，即可求解．
解：（1）∵二次函数图像与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，
3），
∴x＝﹣1，y＝0代入y＝﹣x2+bx+c得：﹣1﹣b+c＝0①，
把x＝0，y＝3代入y＝﹣x2+bx+c得：c＝3，
把c＝3代入①，解得b＝2，
则二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）令二次函数解析式中的y＝0得：﹣x2+2x+3＝0，
可化为：（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x＝3，x＝﹣1，
1 2
由函数图像可知：当﹣1＜x＜3时，y＞0；
（3）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x＝1，
当﹣1≤x≤2时，y在x＝﹣1和顶点处取得最小和最大值，
当x＝﹣1时，y＝0，
当x＝1时，y＝﹣x2+2x+3＝4，
故当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围0≤y≤4．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合问题，涉及到抛物线与x轴的交点；二次函数的图像；二
次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
3、已知二次函数y＝x2－6x+8.求：
（1）抛物线与x轴和y轴相交的交点坐标；
（2）抛物线的顶点坐标；
（3）画出此抛物线图像，利用图像回答下列问题：
①方程x2－6x＋8＝0的解是什么？
②x取什么值时，函数值大于0？
③x取什么值时，函数值小于0？
【答案】（1）（2,0），（4,0），（0，8）（2）（3，－1）（3）①x＝2，x＝4②x＜2或x＞
1 2
4③2＜x＜4
【分析】
（1）分别令x=0，y=0即可求得交点坐标．（2）把函数解析式转化为顶点坐标形势，即可得顶点坐标．
（3）①根据图像与x轴交点可知方程的解；②③根据图像即可得知x的范围．
解：（1）由题意，令y=0，得x2-6x+8=0，
解得x=2，x=4．
1 2
所以抛物线与x轴交点为（2，0）和（4，0），
令x=0，y=8．
所以抛物线与y轴交点为（0，8），
（2）抛物线解析式可化为：y=x2-6x+8=（x-3）2-1，
所以抛物线的顶点坐标为（3，-1），
（3）如图所示．
①由图像知，x2-6x+8=0的解为x=2，x=4．
1 2
②当x＜2或x＞4时，函数值大于0；
③当2＜x＜4时，函数值小于0；
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征及函数性质，是基础题型．
举一反三：
【变式1】可以用如下方法估计方程 的解：
当x=2时， =-2<0，
当x=-5时， =5>0，
所以方程有一个根在-5和2之间．
（1）参考上面的方法，找到方程 的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程 有一个根在0和1之间，求c的取值范围．
【答案】（1）方程另一个根在2和3之间；（2）-30，
∴方程另一个根在2和3之间．
（2） ∵方程 有一个根在0和1之间，
∴ 或
解得 ．
【点拨】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是理解题意，并熟练掌握近似解
的估算办法．
【变式2】二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
﹣
x … 0 1 2 3 …
1
﹣ ﹣
﹣ ﹣
y … …
1 2
根据表格中的信息，完成下列各题：
（1）当x=3时，y=________ ；
（2）当x=_____时，y有最________ 值为________；
（3）若点A（x，y）、B（x，y）是该二次函数图像上的两点，且﹣1＜x＜0，1＜x＜2，试
1 1 2 2 1 2
比较两函数值的大小：y y ；
1________ 2
（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是________．
【答案】（1）﹣1；（2）1、小、﹣2；（3）＞；（4）﹣2≤y≤2
【解析】【分析】
（1）由表中给出的三组数据，列方程组求得二次函数的解析式，再求出x=3时，y的值；
（2）实际上是求二次函数的顶点坐标；
（3）求得抛物线与x轴的两个交点坐标，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右
侧，y随x的增大而增大；再进行判断即可；
（4）根据抛物线的顶点，当x=5时，y最大，当x=1时，y最小．
解：（1）由表得 ，解得： ，∴二次函数的解析式为y= x2﹣ x
﹣ ， 当x=3时，y= =﹣1．
（2）将y= x2﹣ x﹣ 配方得：y= （x﹣1）2﹣2．
∵a= ＞0，∴函数有最小值，当x=1时，最小值为﹣2．
（3）令y=0，则x=±2 +1，抛物线与x轴的两个交点坐标为（2 +1，0）（﹣2 +1，0）
∵﹣1＜x＜0，1＜x＜2，∴x 到1的距离大于x 到1的距离，∴y＞y．
1 2 1 2 1 2
（4）∵抛物线的顶点为（1，﹣2），∴当x=5时，y最大，即y=2；当x=1时，y最小，即y=﹣
2，∴函数值y的取值范围是﹣2≤y≤2．
故答案为：﹣1；1、小、﹣2；＞；﹣2≤y≤2．
【点拨】本题考查了用图像法求一元二次方程的近似根，是中考压轴题，难度较大．
【变式3】画出二次函数y＝x2－2x的图像，利用图像回答：
(1)方程x2－2x＝0的解是什么？
(2)x取什么值时，函数值大于0?
(3)x取什么值时，函数值小于0?
【答案】(1)x＝0，x＝2
1 2(2)x<0或x>2
(3)02时，函数值大于0；
（3）观察图像可得，当x取0 0的解集为
不等式-43；-10的函数值即可；从题中图像中找出-40时，x的取值为x<-1或x>3
-43；（3）x＜2；（4）k>2；
1 2
【分析】
（1）找到抛物线与x轴的交点即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）找出抛物线在x轴下方时x的取值范围即可；
（3）结合图形可写出y随x的增大而增大的自变量x的取值范围；
（4）根据图像可以看出k取值范围．
解：(1)由图像可得：x=1,x=3；
1 2
(2)结合图像可得：x<1或x>3时，y<0，
即当x<1或x>3时,ax2+bx+c<0；
(3)根据图像可得当x＜2时，y随x的增大而增大；
(4)根据图像可得,k>2时,方程ax2+bx+c=k没有实数根.
【点拨】此题考查二次函数与不等式（组），解题关键在于结合函数图像进行解答.
举一反三：【变式1】已知二次函数 的图像经过点
求二次函数的解析式；
求二次函数的顶点坐标；
当 时，求 的取值范围（直接写出答案）．
【答案】 ； ； 或
【分析】
（1）根据二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点A（-1，0），C（0，3），代入得方程组，可以求
得该函数的解析式；
（2）根据（1）中求得的函数解析式配方可求得顶点坐标；
（3）画出该函数的大致图像，由函数图像可以写出当y≤0时，x的取值范围．
解：（1）∵二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点A（-1，0），C（0，3），
∴ ，
得 ，
即该函数的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴该函数的顶点坐标是（1，4），
（3）二次函数y=-x2+2x+3开口向下，顶点是（1，4），过点（-1，0），（3，0），（0，
3），该函数大致图像如图所示；由图像可得，
当y≤0时，x的取值范围x≤-1或x≥3．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征，
解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
【变式2】 如图，二次函数 的图像与 轴交于点 ，点 在抛物线上，且与点
关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数 的图像经过该二次函数图像上的点
及点 ．
（1）求二次函数和点 的坐标；
（2）根据图像，写出满足 的 的取值范围．
【答案】（1） ，点 坐标 ；（2） 或
【分析】
（1）先利用待定系数法先求出 ，进而可以求出点 坐标．
（2）根据二次函数的图像在一次函数的图像上面即可写出自变量 的取值范围．
解：（1）∵抛物线 经过点 ，∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
∴点 坐标 ，
∵对称轴 ， 、 关于对称轴对称，
∴点 坐标 ，
（2）由图像可知，满足 的 的取值范围为 或 ．
【点拨】本题考查了二次函数图像的性质、不等式、轴对称和待定系数法等知识，熟悉相关性质
是解题的关键．
【变式3】二次函数 的图像如图，根据图像回答下列问题：
（1）写出方程 的两个根；
（2）写出不等式 的解集；
（3）写出不等式 的解集；
（4）如果方程 无实数根，求 的取值范围．
【答案】（1）x=−1,x =2；（2）−1＜x＜2；（3）x<−1或x>2；（4）m>3.
1 2
【分析】
（1）根据函数图像与x轴的交点写出即可；
（2）根据函数图像写出x轴下方部分的x的取值范围即可；（3）根据函数图像写出x轴上方部分的x的取值范围即可；
（4）根据函数顶点坐标的纵坐标列出不等式，然后求解即可．
解：(1)∵抛物线与x轴的交点为(−1,0),(2,0)，
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x=−1,x =2；
1 2
(2)由图可知,不等式ax2+bx+c<0的解集−1＜x＜2；
(3)由图可知,不等式ax2+bx+c>0的解集x<−1或x>2；
(4)∵方程无实根，
∴−m<−3，
所以，m>3.
【点拨】此题考查二次函数与不等式（组），解题关键在于结合函数图像进行解答.
