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专题 2.29 用二次函数解决问题（专项练习 2）
一、单选题
1．一位运动员在距篮筐正下方水平距离 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水
平距离为 时，达到最大高度 ，然后准确落入篮筐．如图所示，建立平面直角坐标系，
已知篮筐中心到地面的距离为 ，该运动员身高 ，在这次跳投中，球在头顶上方
处出手，球出手时，他跳离地面的高度是( )
A． B． C． D．
2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 米 与小球运动的时间 秒 之间的关系式为
若小球在第7秒与第14秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高
度最高的是
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
3．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数 （t的单位：s，h的
单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）A．0．71s B．0．70s C．0．63s D．0．36s
4．定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的
一部分，篮球飞行的竖直高度 (单位： )与水平距离 (单位： )近似满足函数关系
(a≠0)．下表记录了该同学将篮球投出后的 与 的三组数据，根据上述函数模
型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（ ）
x (单位：m)
y (单位：m) 3.05
A． B． C． D．
5．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位:s)之间的关
系式为 ，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
6．广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水
珠和喷头的水平距离 （米）的函数解析式是 ，那么水珠的高度达到
最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．5米 D．6米
7．某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，则水流落地点B离墙
的距离OB是（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
8．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平
面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点 离墙1米，离地面3米，则水流下落点 离墙的距离
是( )
A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米
9．今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5000
枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y
（枚）与x的函数关系式是（ ）
A．y＝5000（1+x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000（1+x2） D．y＝5000（1+2x）
10．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 辆单车，计划第三个月投放单
车 辆，若第二个月的增长率是 ，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么 与 的函数关
系是 （ ）
A． B．C． D．
11．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建， 年市
政府已投资 亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计 年投资额达到 亿元人民币，设
每年投资的增长率为 ，则可得（ ）
A． B． C． D．
12．据省统计局公布的数据，安徽省 年第二季度 总值约为 千亿元人民币，若我省
第四季度 总 值为 千亿元人民币，平均每个季度 增长的百分率为 ，则 关于 的
函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
13．一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行
的水平距离为 时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高是 ，若足球能射入
球门，则小明与球门的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
14．在平面直角坐标系中，先将抛物线 作关于x轴的轴对称变换，再将所得的抛物
线作关于y轴的轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
15．小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度 与旋转时之间的关系可以近似地用 来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时 和
离地面高度 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离
地面最高时，需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
16．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是
．汽车刹车后到停下来前进了多远？（ ）
A．10.35m B．8.375m C．8.725m D．9.375m
二、填空题
17．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间
的关系为 ，由此可知铅球推出的距离是______m．18．一男生推铅球，铅球行进高度y与水平距离x之间的关系是 ，则铅球
推出的距离是_____．此时铅球行进高度是_____．
19．2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛
中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度
y（米）与水平距离x（米）之间满足关系 ，则羽毛球飞出的水平距离为
米．
20．从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间关系是
h=30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是________米．
21．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水
头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离
池中心距离为9m，则水管的长度OA是_____m．
22．某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙
面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面 米，则水流下落点B离墙距
离OB是_____m．23．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的
抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中
心A处3m，则水管AB的长为_____m．
24．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的
抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点 ，高度为3m，水柱落地点D离池
中心A处3m，以水平方向为 轴，建立平面直角坐标系，若选取 点为坐标原点时的抛物线的
表达式为 ，则选取点 为坐标原点时的抛物线表达式为______，
水管 的长为______ ．
25．随着国内新冠疫情逐渐好转，市场对口罩的需求量越来越少，据统计，某口罩厂6月份出货
量仅为4月份的40%，设4月份到6月份口罩出厂量平均每月的下降率为 ，则可列方程为___．
26．某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为 ，则该工厂第一季度的产值y关于x的函数解析式为_________．
27．农机厂第一个月水泵的产量为50（台），第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的
关系表示为___________．
28．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为
，六月份的营业额为 万元，那么 关于 的函数解式是______．
29．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，一边与这条边上的高之和为40cm，
则这个三角形的最大面积是_______________cm²．
30．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关
于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为_____．
31．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA∥x
1
轴交抛物线于点A，过点A 作AA∥OA交抛物线于点A，过点A 作AA∥x轴交抛物线于点A，
1 1 1 2 2 2 2 3 3
过点A 作AA∥OA交抛物线于点A……，依次进行下去，则点A 的坐标为____．
3 3 4 4 2021
32．烟花厂为春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）
的关系式是h＝ ，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需
要的时间是____________．
三、解答题33．张强在一次投掷铅球时，刚出手时铅球离地面 m，铅球运行的水平距离为4m时，达到最
高，高度为3m，如图5所示：
（1）请确定这个抛物线的顶点坐标
（2）求抛物线的函数关系式
（3）张强这次投掷成绩大约是多少？
34．如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用 表示，点A，B分别在x轴
和y轴上，且 ．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物
线可用 表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；
（2）求水柱离坡面AB的最大高度；
（3）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？
35．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新
型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市
这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000
元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投
入费用是多少元？
36．A市计划对本市215万人接种新冠疫苗，在前期完成5万人接种后，又花了100天时间接种
了剩下的210万人．在这100天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示，已知这100天
中该市前a天每天接种人数是a天后每天接种人数的2倍．（1）求a的值；
（2）这100天中，B市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为 ，
①请通过计算判断，第a天接种完成后，B市的接种人数是否超过A市？
②第几天接种完成后，A，B两市接种人数恰好相同？
参考答案
1．A
【分析】
设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知经过的坐标，由此可得a的值，设球出手时，他跳离
地面的高度为hm，则可得h+2.15=-0.2×（-2.5）2+3.5．
【详解】
∵当球运行的水平距离为 时，达到最大高度 ，∴抛物线的顶点坐标为 ，∴设
抛物线的解析式为 ．由题意知过点 ，∴ ，解得
，抛物线的解析式为 ．设球出手时，他跳离地面的高度为 ．
∵抛物线的解析式为 ，球出手时，球的高度为 ．
∴ ，∴ ．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点，求得二次函数的解析式是解决本题的关键．
2．B
【分析】
根据题意可以求得该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y值
越大，即可解答本题．
【详解】
由题意可得：当x 10.5时，y取得最大值．
∵二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y值越大，∴ t=10时，y取得最大值．
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．D
【分析】
找重心最高点，就是要求这个二次函数的顶点，应该把一般式化成顶点式后，直接解答.
【详解】
解：h=3.5t-4.9t2
=-4.9（t- ）2+ ，
∵-4.9＜0
∴当t= ≈0.36s时，h最大．
故选D.
【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出顶点式在解题中的作用是解题关键.
4．C
【分析】
用待定系数法可求二次函数的表达式，从而可得出答案.
【详解】
将 代入 中得解得
∴
∵
∴当 时，
故选C
【点拨】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的最大值，掌握二次函数的和
性质是解题的关键.
5．A
【解析】
由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2即可求出t，也就求出了水流从
抛出至回落到地面所需要的时间．
解：水流从抛出至回落到地面时高度h为0，
把h=0代入h=30t−5t2得：5t2−30t=0，
解得：t=0(舍去),t=6.
1 2
故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.
故选A.
6．B
【分析】
先把函数关系式配方，即可求出函数取最大值时自变量的值．
【详解】
解：∵y=- x2+6x=- （x2-4x）=- [（x-2）2-4]=- （x-2）2+6，
∴当x=2时，y有最大值，
∴水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2．
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出当函数取最大值时自变
量的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．7．B
【分析】
以OB为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，A点坐标为（0，10），M点的坐标为（1，
），设出抛物线的解析式，代入解答球的函数解析式，进一步求得问题的解．
【详解】
解：设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2+ ，
把点A（0，10）代入a(x﹣1)2+ ，得a(0﹣1)2+ ＝10，
解得a＝﹣ ，
因此抛物线解析式为y＝﹣ (x﹣1)2+ ，
当y＝0时，解得x＝3，x＝﹣1（不合题意，舍去）；
1 2
即OB＝3米．
故选B．
【点拨】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用
抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．
8．B
【分析】
由题意可以知道M（1，3），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0
时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．
【详解】
解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3，
把A（0，2.25）代入，得
2.25=a+3，
a=-0.75．
∴抛物线的解析式为：y=-0.75（x-1）2+3．当y=0时，
0=-0.75（x-1）2+3，
解得：x=-1（舍去），x=3．
1 2
OB=3米．
故选：B．
【点拨】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用
抛物线的解析式解决实际问题，解答本题是求出抛物线的解析式．
9．B
【分析】
月平均增长率为x，可求三月份销售量5000（1+x）2，该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的
函数关系式是：y＝5000（1+x）2．
【详解】
解：月平均增长率为x，
二月份销售量＝5000+5000x=5000(1+x),
三月份销售量5000(1+x)+ 5000(1+x)x=5000（1+x）2，
该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是：y＝5000（1+x）2．
故选择：B．
【点拨】本题考查二次函数的应用，掌握增长率问题中增加量=平均增长率×原销售量，抓住公式
列函数式是解题关键．
10．A
【分析】
根据增长率问题，一般“增长后的量 增长前的量 （1+增长率）”找出等量关系列方程即可
【详解】
第二个月的增长率是 ，第三个月的增长率是第二个月的两倍，
第三个月的增长率为
第一个月投放 辆单车，
第二个月投放 辆
第三个月投放量
故选：A．【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题关键是熟练掌握增长率问题的求解，
即“增长后的量 增长前的量 （1+增长率）”．
11．C
【分析】
根据增长率方程解答．
【详解】
设每年投资的增长率为 ，由题意得 ，
故选：C．
【点拨】此题考查增长率二次函数关系式，掌握增长率问题的计算公式： ，a是前
量，b是后量，x在增长率．
12．C
【分析】
根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第三季度季度GDP总值约为7.9（1+x）元，第四季
度GDP总值为7.9（1+x）2元，则函数解析式即可求得．
【详解】
解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：y=7.9（1+x）2．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．
13．A
【分析】
建立坐标系，利用二次函数的顶点式求解判断
【详解】
解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y= +3将（0，0）代入解析式得a＝ ，
∴抛物线解析式为y= ，
当x＝10时，y＝ ，
∵ ＜2.44，满足题意，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，选择顶点式求二次函数的表达式是解题的关键．
14．A
【分析】
根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案．
【详解】
解：先将抛物线 作关于x轴的轴对称变换，可得新抛物线为 ；再
将所得的抛物线 作关于y轴的轴对称变换，可得新抛物线为 ，
故选A．
【点拨】本题考查的是二次函数的与几何变换，熟知关于x轴、y对称的点的坐标特点是解答此
题的关键．
15．C【分析】
把已知点的坐标代入函数解析式，求得b，c的值，可得函数解析式，再由二次函数求最值．
【详解】
解：把（160，60），（190，67.5）分别代入 ，
可得 ，
解得： ，
则 ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，
∴当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为 s，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解
决问题，是基础题．
16．D
【分析】
求出函数的最大值即可得求解．
【详解】
∵ ，∴当 时，s取得最大值 ，即汽车刹车后到停下来前进的距离是9.375m
故选D．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．
17．10
【分析】
要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令 ，求出x
的值，x的正值即为所求．
【详解】
在函数式 中，令 ，得
，解得 ， （舍去），
∴铅球推出的距离是10m.
【点拨】本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是 中3代表的含义是铅
球在起始位置距离地面的高度；当 时，x的正值代表的是铅球最终离原点的距离．
18．10 0
【分析】
铅球落地时，高度 ，把实际问题理解为当 时，求x的值即可．
【详解】
铅球推出的距离就是当高度 时x的值
当 时，
解得： （不合题意，舍去）
则铅球推出的距离是10．此时铅球行进高度是0故答案为：10；0．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，理解铅球推出的距离就是当高度 时x的值是解题关
键．
19．5
【分析】
试题分析：根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可．
【详解】
当y=0时， ，
解得：x=﹣1（舍），x=5．
1 2
∴羽毛球飞出的水平距离为5米．
20．50
【分析】
根据题目中的函数解析式可以求得h的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动4秒共运动的路
径长．
【详解】
解：∵h＝30t−5t2＝−5（t−3）2＋45（0≤t≤6），
∴当t＝3时，h取得最大值，此时h＝45，
∴小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是：45＋[45−（30×4−5×42）]＝50（米），
故答案为50．
【点拨】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的路径的长．
21． ．
【分析】
设抛物线的表达式为：y=a（x-h）2+k=（x-3）2+5，将点（9，0）代入上式求出a，进而求解．
【详解】
解：设抛物线的表达式为：y=a（x-h）2+k=a（x-3）2+5，
将点（9，0）代入上式并解得： ，故抛物线的表达式为： ，
令x=0，则 ，即
故答案为：
【点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式
求出解析式是解题关键．
22．
【分析】
由题意可以知道M（1， ），A（0，5）用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时
就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．
【详解】
解：根据题意建立如图所示的坐标系
设抛物线的解析式为 ，
由题意，得：当x=0时， ，
解得： ．
∴抛物线的解析式为：
当y=0时， ，
解得：x=﹣1（舍去），x=3．
1 2OB=3m．
故答案为：3．
【点拨】此题考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．
解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．
23．
【分析】
以喷水池中心A为原点，竖直安装的水管AB所在直线为y轴，与水管垂直的AD所在直线为x
轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，
则x＝0时得的y值即为水管的长．
【详解】
以喷水池中心A为原点，竖直安装的水管AB所在直线为y轴，与水管垂直的AD所在直线为x
轴建立直角坐标系，
由于喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，
所以设抛物线的解析式为：
y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
代入（3，0），得：0=a（3-1）2+3，
解得：a＝ ．
将a值代入得到抛物线的解析式为：
y＝ （x﹣1）2+3（0≤x≤3），令x＝0，则y＝ ．
即水管AB的长为 m，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式
求出解析式是解题关键．
24． 2.25．
【分析】
直接利用二次函数的平移规律进而得出答案，再由题意可得， 时得到的 值即为水管的
长．
【详解】
以喷水池中心 为原点，竖直安装的水管为 轴，与水管垂直的为 轴建立直角坐标系．
抛物线的解析式为： ，
当选取点 为坐标原点时，相当于将原向左平移3个单位，
故平移后的抛物线表达式为： ；
令 ，则 ．故水管 的长为 ．
故答案为 ；2.25．
【点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二
次函数的平移性质是解题关键．
25．
【分析】
根据一元二次方程增长率公式列式即可；
【详解】
依题意可得： ；
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析判断是解题的关键．
26．
【分析】
等量关系为：第一季度的产值y=一月份的产值+二月份的产值+三月份的产值，把相关数值代入
即可．
【详解】
解：∵一月份的产值为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的产值为200×(1+x)，三月份的产值为200×(1+x)×(1+x)=200(1+x)2，
∴y=200+200×(1+x)+ 200×(1+x)2= ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为
a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．得到第一季度
的营业额的等量关系是解决本题的关键．
27．【分析】
如果起始是a,增长率是b,第一个月以后是a+ab=a(1+b);第二个月是a(1+b)2.
【详解】
第二个月是50（1+x),
第三个月是50(1+x)2
所以答案为y=50(1+x)2
【点拨】考查了增长率问题．
28． 或
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出五月份的营业
额，再根据题意表示出六月份的营业额，即可列出方程求解．
【详解】
解：设增长率为x，则
五月份的营业额为： ，
六月份的营业额为： ；
故答案为： 或 .
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用中增长率问题，若原来的数量为a，平均每次增长或降
低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）
（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“ ”．
29．200
【分析】
表示出这边上的高，然后利用三角形的面积公式列式整理，根据二次函数的最值问题解答．
【详解】
解：设边长为xcm，则边上的高为（40-x）cm，
三角形的面积= ，∵- ＜0，
∴x＝20时，三角形的面积有最大值为200，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了三角形的面积，整理出二次函数的顶点式
解析式的形式是解题的关键．
30．y＝﹣x2+x+2
【分析】
根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案．
【详解】
解：先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，可得新抛物线为y＝﹣x2﹣x+2；再将所得的
抛物线y＝﹣x2﹣x+2关于y轴作轴对称变换，可得新抛物线为y＝﹣x2+x+2．
故答案为：y＝﹣x2+x+2．
【点拨】本题考查的是二次函数的与几何变换，熟知关于x轴、y对称的点的坐标特点是解答此
题的关键．
31．（-1011，10112）
【分析】
根据二次函数性质可得出点A 的坐标，求得直线AA 为y=x+2，联立方程求得A 的坐标，即可
1 1 2 2
求得A 的坐标，同理求得A 的坐标，即可求得A 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可
3 4 5
找出点A 的坐标．
2021
【详解】
解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y=x，A（-1，1），
1
∵A A∥OA，
1 2
∴直线AA 为y=x+2，
1 2
解
得 或 ，∴A（2，4），
2
∴A（-2，4），
3
∵A A∥OA，
3 4
∴直线AA 为y=x+6，
3 4
解 ，
得 或 ，
∴A（3，9），
4
∴A（-3，9）
5
…，
∴A （-1011，10112），
2021
故答案为（-1011，10112）．
【点拨】本题考查了二次函数上点的坐标特征、一次函数的以及交点的坐标，根据坐标的变化找
出变化规律是解题的关键．
32．4s
【分析】
将二次函数化为顶点式，顶点横坐标即为所求．
【详解】
解：∵h= = ，
∴当t=4时，h取得最大值，
∴从点火升空到引爆需要的时间为4s．
故答案为：4s．
【点拨】本题考查二次函数的实际应用问题，判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标是
关键．
33．（1）（4，3）（2） （3）张强这次投掷的成绩大约是10米
【解析】试题分析：(1)、根据水平距离和最大高度得出函数的顶点坐标；(2)、利用顶点和（0， 求出
二次函数解析式；(3)、求出当y=0时x的值，从而得出成绩．
试题解析：(1)、（4，3）；
(2)、设抛物线的函数关系式为： ，
因为顶点坐标为（4，3），所以有 ，
又因为点（0， 在抛物线上，所以有 ，
所以 ；
(3)、当y=0时，有 ，解得 ， ，
所以张强这次投掷的成绩大约是10米．
34．（1） ；（2） 米；（3）水柱能越过树
【分析】
（1）根据直角三角形的性质求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）水柱离坡面的距离d=- x2+ x+5-（- x+5），整理成一般式，再配方成顶点式即可
得；
（3）先求出点C的坐标为（4 ，1），再求出x=4 时的函数值y，与1+3.5比较大小即可得．
【详解】
（1）∵AB=10、∠OAB=30°，
∴OB= AB=5、OA=ABcos∠OAB=10× =5 ，
则A（5 ，0）、B（0，5），将A、B坐标代入y=- x2+bx+c，得：
，
解得： ，
∴抛物线解析式为y=- x2+ x+5；
（2）水柱离坡面的距离d=- x2+ x+5-（- x+5）
=- x2+ x
=- （x2-5 x）
=- （x- ）2+ ，
∴当x= 时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为 米；
（3）如图，过点C作CD⊥OA于点D，
∵AC=2、∠OAB=30°，∴CD=1、AD= ，
则OD=4 ，
当x=4 时，y=- ×（4 ）2+ ×4 +5=5＞1+3.5，
所以水柱能越过树．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、直角
三角形的性质、二次函数的与性质．
35．（1）20%；（2）6125000（元）
【分析】
（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；
（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式
，然后根据二次函数的性质即可求出
最大值．
【详解】
解：（1）设平均增长率为x，则x>0，
由题意得： ，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，
由题意得： ，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．
【点拨】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函
数的性质进行求解．
36．（1）40；（2）①没超过；②52天
【分析】（1）根据题意列方程 解答；
（2）①将 代入 计算比较即可；
②先由题意得到前40天 市接种人数少于A市，求出40到100天间A市接种人数的函数解析式
，再列等式 求解问题．
【详解】
解：（1） ，
解得 ，
经检验： 是原方程的根，
的值为40；
（2）①把 代入 得
答：第a天接种完成后，B市的接种人数没有超过A市．
②由题意前40天 市接种人数少于A市，
A市接种人数 ， ，
（舍去），
答：52天接种完成后A，B两市接种人数恰好相同．
【点拨】此题考查一次函数的并求一次函数的解析式，分式方程的实际应用，一元二次方程的实
际应用，正确理解题意是解题的关键．
