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2025-2026 学年八年级上册数学单元检测卷
第五章 二元一次方程组·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（ ）
① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若 ，是关于 ， 的二元一次方程，则 ， 的值分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．方程组 的解满足 互为相反数，则 为（ ）
A． B． C． D．
4．如果二元一次方程组 的解满足方程 ，那么a的值是（ ）
A．3 B．2 C．7 D．6
5．《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长度比
表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为x 尺，表的长度为y ，则可列方程组为
（ ）
A． B． C． D．
6．两条直线 和 相交于点 ，则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
7．某同学带了20元去文具店买笔记本和笔，他买了1个笔记本，2支笔，还剩5元．设每个笔记本x元，每支笔y元，得方程 ．则下列说法中，正确的是（ ）
A．每个笔记本9元
B．若每个笔记本是11元，则每支笔是4元
C．若 是方程 的解，则m，n都可以表示笔记本、笔的单价
D．若m，n分别表示笔记本、笔的单价，则m，n一定是方程 的解
8．已知 是整数，方程组 有正整数解，则 的值为（ ）
A．4 B． C． D．4或5
9．已知关于 的方程组 和 有相同的解，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
10．当实数 ， 满足 时，称点 为和谐点，若以关于 ， 的方程组 的解为
坐标的点 为和谐点，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．将方程 写成用含 的代数式表示 ，则 ．
12．方程组 的解为 由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数 和 ，则数
， ．
13．在平面直角坐标系中，若第一象限的点 满足 ，且 均为整数，则满足条件的点有
个．
14．如图，直线 和直线 交于点A，则方程组 的解是15．已知二元一次方程组 且 ，则 的值为 ．
16．已知关于 的方程组 有下列结论：①当这个方程组的解 的值互为相反数时，
；②当 时，原方程组的解也是方程 的解；③无论 取何值， 的值始终不变．
其中正确的是 （填序号）
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．（1）解方程组： ．
（2）已知 ，当 时， ；当 时， ；当 时， ，求 的值．
18．已知一次函数的图象过 和 两点．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)若点 在这个函数图象上，求 ．
19．如图，直线 ： 和直线 与 轴分别相交于 ， 两点，且两直线相交于点 ，直线 与
轴相交于点 ， ．(1)求出直线 的函数表达式；
(2) 是 轴上一点，若 ，求点 的坐标．
20．已知关于x，y的二元一次方程组 ．
(1)若方程组的解满足 ，求m的值；
(2)无论数m取何值，方程 总有一个固定的解，请求出这个解．
21．西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白
丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白
丁香和14株紫丁香共1570元．
(1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？
(2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少
费用为多少元？22．对于有理数 ，定义新运算： ， ，其中 是常数．已知 ，
．
(1)求 的值；
(2)若关于 的方程组 的解也满足方程 ，求 的值．
23．如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为 克，右盘放有一些砝码，每个砝码的
质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态．
(1)若 ，求天平处于平衡状态时x的值；
(2)若一个二元一次方程的解m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程 的
正整数解为 ，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值；
(3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正
整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求该方程的所有正整数解．
24．已知．在平面直角坐标系中， 在 轴上， 在 轴上， 、 是方程组 的解．(1)请直接写出A、B坐标：A________；B________．
(2)点 从 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿 轴向左运动，运动时间为 ，若 的面积为 ，试
用含 的式子表示 ．
(3)在（2）的条件下，当点 在 轴负半轴上时，在线段 上取点 ，使 ，连接 交 轴于 ，
若 ，求此时 的值和 点坐标，并直接写出点 的坐标．
25．数学研究中从特殊到一般的化归思想，从猜想到验证的数学推理，常常让我们其乐无穷．请完善下列
问题的探究过程．
已知直线 分别交x轴，y轴于点A，B，交直线 于点P．
(1)【特例探究】若 ， 时， ________； ________；
(2)【猜想验证】猜想 ， ， 之间的数量关系，并验证你的猜想；
(3)【类比推广】若直线 沿y轴正半轴方向平移m个单位得到直线 ，直线 分别交x轴，y轴于点C，D，与直线 交于点P，当 时，直线 是否过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过，说
明理由．
