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2025-2026 学年八年级上册数学单元检测卷
第五章 二元一次方程组·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（ ）
① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的识别，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的定义．
利用二元一次方程组的定义来进行判断，即“由两个二元一次方程组成的方程组”，组成二元一次方程组
的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【详解】解：① ， 是分式，该选项不是二元一次方程组，不符合题意；
② ， 次数为2，该选项不是二元一次方程组，不符合题意；
③ ，含有3个未知数，该选项不是二元一次方程组，不符合题意；
④ ，该选项是二元一次方程组，符合题意；
⑤ ，该选项是二元一次方程组，符合题意；
⑥ ，该选项是二元一次方程组，符合题意；
故选：C．
2．若 ，是关于 ， 的二元一次方程，则 ， 的值分别是（ ）A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，熟练掌握含有2个未知数，且未知数
的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义，可得到关于m，n的
方程组，即可求解．
【详解】解：若 ，是关于 ， 的二元一次方程，
则
解得： ， ．
故选：C．
3．方程组 的解满足 互为相反数，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数，相反数的定义．
根据相反数的定义得到 ，两方程相加得到关于 的一元一次方程，求解即可．
【详解】∵ 互为相反数，
∴ ，
，
得 ，即 ，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
4．如果二元一次方程组 的解满足方程 ，那么a的值是（ ）
A．3 B．2 C．7 D．6【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握加减消元法，表示出 ， ，再代
入方程中即可求解．
【详解】解： ，
①＋②得， ，解得 ，
把 代入②得， ，解得 ，
二元一次方程组 的解满足方程 ，
，
解得 ．
故选：B．
5．《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长度比
表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为x 尺，表的长度为y ，则可列方程组为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键．设圭的长度为x尺，
表的长度为y尺，根据“圭的长度比表长5尺，且圭和表长度之和为21尺”即可列出方程组．
【详解】解：设圭的长度为x 尺，表的长度为y尺 ，则可列方程组为 ，
故选：B．
6．两条直线 和 相交于点 ，则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的
一次函数图象的交点坐标，据此作答即可．
【详解】解： 两条直线 和 相交于点 ，
的解为： ，
故选：B．
7．某同学带了20元去文具店买笔记本和笔，他买了1个笔记本，2支笔，还剩5元．设每个笔记本x元，
每支笔y元，得方程 ．则下列说法中，正确的是（ ）
A．每个笔记本9元
B．若每个笔记本是11元，则每支笔是4元
C．若 是方程 的解，则m，n都可以表示笔记本、笔的单价
D．若m，n分别表示笔记本、笔的单价，则m，n一定是方程 的解
【答案】D
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利
用二元一次方程的知识解答．根据题意和题目中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以
解答本题．
【详解】解：A．每个笔记本可能是9元，例如也可能是11元，故A错误；
B．把 代入 得 ，解得： ，
因此若每个笔记本是11元，则每支笔是2元，故B错误；
C．若 是方程 的解，则m，n不一定可以表示笔记本、笔的单价，如 ， ，故
C错误；
D．若m，n分别表示笔记本、笔的单价，则m，n一定是方程 的解，故D正确；
故选：D．8．已知 是整数，方程组 有正整数解，则 的值为（ ）
A．4 B． C． D．4或5
【答案】C
【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整数解问题，利用加减消元法求得 ，结合题干已知
即可列出方程 或 或 或 ，解得m，求得对应的x和y验证即可．
【详解】解： ，
得 ，即 ，
∵ 是整数，方程组有正整数解，
∴ 或 或 或 ，
解得 或 （舍去）或 或 （舍去），
当 时， ，代入 ，解得 （符合题意），
当 时， ，代入 ，解得 （符合题意），
综上， ．
故选：C．
9．已知关于 的方程组 和 有相同的解，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了含参数二元一次方程组，求解关键是利用两个方程组解相同，联立无参数的方程
求解出 和 ，然后，代入另外两个含参数方程构成的方程组中 ，求解得出
和 的值，进一步计算即可得出结果．
【详解】解： 根据题意可知，由于两个方程组解相同，
联立方程得 ，解得 ，
把 代入方程组 ，
得 ，
解得 ，
．
故选： ．
10．当实数 ， 满足 时，称点 为和谐点，若以关于 ， 的方程组 的解为
坐标的点 为和谐点，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查解二元一次方程组、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的
值．
【详解】解：∵ ，
解得 ．
∴ ．
点 为和谐点，∴ ， ．
又 ，
∴ ．
∴ ，
故答案选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．将方程 写成用含 的代数式表示 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，把方程 看作是关于 的一元一次方程，然后解关于
的方程即可．
【详解】解：
移项得，
∴ ，
故答案为： ．
12．方程组 的解为 由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数 和 ，则数
， ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，先把 代入第二个方程求出 ，再把方程的解 ， 代
入第一个方程即可得到数 的值，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解： ，
把 代入 得 ，
解得： ，∴方程组的解为 ，即有 ，
把 代入 得： ，
故答案为： ； ．
13．在平面直角坐标系中，若第一象限的点 满足 ，且 均为整数，则满足条件的点有
个．
【答案】2
【分析】解方程 ，求得整数解 或 ，即为第一象限的点 ．
【详解】解：将方程 变形得：
在第一象限，且 均为整数.
为偶数， 为偶数.
为奇数.
当 时，
即
当 时,
，即
即满足条件的点有2个.
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，以及坐标与象限，解决问题的关键是熟练掌握二元一次方程的解．
14．如图，直线 和直线 交于点A，则方程组 的解是【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，即两个一次函数图像的交点坐标就是其对应的二
元一次方程组的解，这是解决此类问题的关键知识点．本题可根据一次函数与二元一次方程组的关系来求
解方程组的解．
【详解】解： 直线 和直线 交于点 ，
方程组 的解就是点 的坐标 ．
故答案为： ．
15．已知二元一次方程组 且 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，利用加减消元法可得 ， ，则
可得到 ，据此代入计算即可．
【详解】解：
得 ，
∴ ，
得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．已知关于 的方程组 有下列结论：①当这个方程组的解 的值互为相反数时，；②当 时，原方程组的解也是方程 的解；③无论 取何值， 的值始终不变．
其中正确的是 （填序号）
【答案】①③
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，关键是根据条件，求出 、 的表达式．
解方程组得出 、 的表达式，根据 的值确定 、 的值，逐一判断即可．
【详解】解：∵ ，
,
当 与 互为相反数时， ，解得 ，故①正确；
当 时，原方程组的解为 ，此时 ，故②错误；
∵ ，无论 取何值， 的值始终不变，故③正确．
故答案为：①③．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．（1）解方程组： ．
（2）已知 ，当 时， ；当 时， ；当 时， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法和通过代入已知值求解二次函数系数．熟练掌握消元法解
二元一次方程组以及根据已知条件建立方程组求解函数系数的方法是解题的关键．
（1）使用消元法来求解该二元一次方程组．通过对两个方程进行变形，消除其中一个未知数，从而求得
另一个未知数的值，再将求得的值代入原方程求出被消除的未知数．
（2）将不同 值下对应的 值代入函数表达式，得到一个关于 、 、 的三元一次方程组，然后求解该
方程组，即可得到 、 、 的值．【详解】解：（1）
由 得 ，
得 ，
解得 ，
把 代入 得 ，
解得 ，
所以原方程组的解为 ；
（2）由题意可得
把 代入 得 ，即 ，
把 代入 得 ，即 ，
得 ，
解得 ，
把 代入 得 ，
解得 ，
，
所以， ．
18．已知一次函数的图象过 和 两点．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)若点 在这个函数图象上，求 ．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求一次函数解析式和求一次函数的自变量或函数值．熟练掌握求一次函数解析式和求
一次函数的自变量或函数值是解题的关键．
（1）设一次函数的解析式为 ，将 和 两点代入求解即可；
（2）点 满足函数解析式，将 代入函数解析式计算即可．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为 ，
把 和 代入得 ，解得 .，
所以此一次函数的解析式为 ；
（2）把 代 得 ，
所以 ．
19．如图，直线 ： 和直线 与 轴分别相交于 ， 两点，且两直线相交于点 ，直线 与
轴相交于点 ， ．
(1)求出直线 的函数表达式；
(2) 是 轴上一点，若 ，求点 的坐标．
【答案】(1)(2)点E的坐标为 或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题．
（1）令 可求出A点的坐标，根据 可得点B的坐标，利用待定系数法即可得直线 的函数表
达式；
（2）设点 ，联立直线 和直线 求出 ，根据三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】（1）解：对于 ，令 ，则 得， ，
，
，
，
，
，
设直线 的函数表达式为： ，
将 、 分别代入 得：
，
解得 ，
直线 的函数表达式为： ；
（2）解： 点C是直线 和 的交点，
，解得 ，
，
， ，
.
的面积为： ，
，
，
设 ，
，
或5，
点E的坐标为 或 .
20．已知关于x，y的二元一次方程组 ．
(1)若方程组的解满足 ，求m的值；
(2)无论数m取何值，方程 总有一个固定的解，请求出这个解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组，掌握代入消元法是解题的关键．
（1）根据 可得 ，代入①求出 与 的解，然后将解代入②即可求出 ；
（2）无论数 取何值，该方程总有一个固定的解．这意味着解必须使含 的项不影响等式，即 的系数
必须为0，由此求解．【详解】（1）解： ，
，
把 代入 得：
，
解得： ，
，
把 代入 得：
，
解得：
（2）解： ，
,
无论数m取何值，方程 总有一个固定的解，
，解得：
固定解为： ．
21．西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白
丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白
丁香和14株紫丁香共1570元．
(1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？
(2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少
费用为多少元？
【答案】(1)50元；80元
(2)购买紫丁香20株，白丁香25株；2850元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确地列出方程组和一次函数关系
式是解题的关键：
（1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元，根据买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元，列出方程组进行计算即可；
（2）设购买紫丁香m株，总费用为w元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元．
根据题意，列方程组
解方程组得 ；
答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元；
（2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香 株，总费用为w元．
根据题意，
∵
∴w随m的增大而增大
又∵ ，
∴当 时， ．
答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元．
22．对于有理数 ，定义新运算： ， ，其中 是常数．已知 ，
．
(1)求 的值；
(2)若关于 的方程组 的解也满足方程 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方
程组的解列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）列方程组，用加减消元法解方程组即可；
（2）根据题意得出关于x，y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程 求解即可．【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
得， ，
解得， ，
把 代入②得， ，
解得： ；
（2）解： ，
∴
解得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
23．如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为 克，右盘放有一些砝码，每个砝码的
质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态．
(1)若 ，求天平处于平衡状态时x的值；
(2)若一个二元一次方程的解m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程 的
正整数解为 ，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值；(3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正
整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求该方程的所有正整数解．
【答案】(1)
(2)
(3)每本笔记本为 元，每支圆珠笔为 元；或每本笔记本为 元，每支圆珠笔为 元
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，正确列出二元一次方程是解此题的关键．
（1）由题意可得 ，代入 计算即可得解；
（2）通过题意得 ，整理可得 ，结合 、 为正整数，求解即可；
（3）设每本笔记本为a元，每支圆珠笔为b元，通过题意得 ，整理可得 ，结合a
和b都是正整数，求解即可．
【详解】（1）解：当天平平衡时，则： ，
即： ，
当 时，得： ，
解得： ；
（2）解：通过题意，得： ，
整理可得： ，
∵ 、 为正整数，
∴ ，
∴天平处于平衡状态下的x，y的正整数值是 ．
（3）解：设每本笔记本为a元，每支圆珠笔为b元，
通过题意，得： ，整理可得： ，
∵a和b都是正整数，
∴ 或 ，
故每本笔记本为 元，每支圆珠笔为 元；或每本笔记本为 元，每支圆珠笔为 元．
24．已知．在平面直角坐标系中， 在 轴上， 在 轴上， 、 是方程组 的解．
(1)请直接写出A、B坐标：A________；B________．
(2)点 从 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿 轴向左运动，运动时间为 ，若 的面积为 ，试
用含 的式子表示 ．
(3)在（2）的条件下，当点 在 轴负半轴上时，在线段 上取点 ，使 ，连接 交 轴于 ，
若 ，求此时 的值和 点坐标，并直接写出点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3) ； ；
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，一次函数与几何综合问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）采用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）分两种情况，当点P在 上运动的时候， ，当点P在x轴负半轴上运动的时候， ，
分别列式求解即可；（3）根据 可求出t值，结合当点P在x轴负半轴上时， ，可求得 点的坐标；连
接 ，过点Q作 轴于点E， 结合 和直线 的解析式，求出 ，设直线 的
解析式为 ，将 ， 代入计算即可．
【详解】（1）解：
，整理得 ，
解得 ，
把 代入①，得 ，
解得 ，
∴ ， ；
故答案为： ， ；
（2）解：由（1）可知， ， ，
∴ ， ，
∵点 从 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿 轴向左运动，运动时间为 ，
∴ ，
当点P在 上运动时，则 ，
此时 ，
∴ ，
当点P在x轴负半轴上运动时，则 ，
此时 ，
∴ ，
综上， ；
（3）解：由（2）可知，当点P在x轴负半轴上时， ， ， ，∴ ，
∵ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
连接 ，过点Q作 轴于点E，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，即点 的纵坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， ，代入 ，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，设 ，将 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴ ．
25．数学研究中从特殊到一般的化归思想，从猜想到验证的数学推理，常常让我们其乐无穷．请完善下列
问题的探究过程．
已知直线 分别交x轴，y轴于点A，B，交直线 于点P．
(1)【特例探究】若 ， 时， ________； ________；(2)【猜想验证】猜想 ， ， 之间的数量关系，并验证你的猜想；
(3)【类比推广】若直线 沿y轴正半轴方向平移m个单位得到直线 ，直线 分别交x轴，y轴于点
C，D，与直线 交于点P，当 时，直线 是否过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过，说
明理由．
【答案】(1) ，
(2) ，证明见解析
(3)过定点，定点为
【分析】（1）根据题意，先分别求出 ， 两点的坐标，求出 ， ，再求 ，然后求出 点
的坐标再求出 ，再求 即可；
（2）先分别表示出 ， 两点的坐标，求出 ， ，再求 ，然后求出 点的坐标再求出 ，
再求 即可；
（3）先设 ，再表示出 ， 两点的坐标，然后表示出 的坐标，根据 ， 得到关
系式 ，再求解得到 ，从而可求出定点坐标．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴直线 ，
当 时， ，
当 时， ，
解得： ，
∵直线 分别交x轴，y轴于点A，B，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
解得： ，
∵交直线 于点P，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2） ，理由如下：
直线 ，
当 时， ，
当 时， ，解得： ，
， ，
，
∵直线 分别交x轴，y轴于点A，B，， ，
，
， ，
，解得： ，
∵直线 交直线 于点P，
，
，
，
，
；
（3）∵直线 沿y轴正半轴方向平移m个单位得到直线 ，
∴设 ，
， ，
，
由题意： ，解得： ，，
，
，
，
，
，
，
过定点 ．
