文档内容
专题 24.1 圆
目 录
一． 知识梳理与题型分类精析.......................................................................................................1
知识点（一）圆的定义.........................................................................................................................2
【题型1】利用圆的半径相等求值.......................................................................................................2
知识点（二）圆的相关概念.................................................................................................................3
【题型2】圆的相关概念辨析..............................................................................................................3
【题型3】求圆中弦的条数..................................................................................................................4
知识点（三）圆中最长的弦——直径.................................................................................................5
【题型4】求圆中弦的条数..................................................................................................................5
知识点（四）教材挖掘——与圆有关周长和面积的计算..................................................................5
【题型5】与圆有关周长和面积的计算...............................................................................................5
知识点（五）教材挖掘——四点共圆.................................................................................................6
【题型6】四点共圆..............................................................................................................................6
二. 同步练习....................................................................................................................................7
【基础巩固（20题）】........................................................................................................................7
【能力提升（20题）】......................................................................................................................12
【中考真题5题】...............................................................................................................................16
一．知识梳理与题型分类精析
圆是生活中常见的图形，如上图三幅图给我们以圆的形状.
如上图，我们可以通过圆规作圆.知识点（一）圆的定义
在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形
叫做圆.其固定的端点 叫做圆心，线段 叫做半径. 如图1，以点 为圆心的圆，记作☉o，
读作“圆 ”.
图1
通过作图过程，我们可以发现，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，即到定点的距离都等
于定长的点在同一个圆上，因此，我们可以把圆看成：到定点的距离等于定长的所有点的集合.
【题型1】利用圆的半径相等求值
【例题1】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在 中， 是直径， 于 ，
若 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式1】（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）如图， 是 的弦， 过圆心O，且
，若 ，则 的度数为 ．
【变式2】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图， 是 的半径，点C在 上，
，求 的度数．知识点（二）圆的相关概念
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，如图2， 、 是弦，
是直径.
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以 、 为端点的弧记作 ，读作“圆弧”
，或“弧 ”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
能够重合的两个圆叫做等圆.半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等，
在同圆或等圆中，能互相重合的弧叫做等弧.
大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示；小于半圆的弧叫做劣弧，如图 2中的 是优
弧， 是劣弧.
图2
【题型2】圆的相关概念辨析
【例题2】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（ ）
A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧
C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧
【变式1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）在 中，点B，O，C和点A，O，D分别在同一条
直线上，则图中 是弦， 是直径， 是以A为端点的劣弧， 是以A
为端点的优弧．（把满足要求的答案全部填上）【变式2】（24-25七年级下·山东聊城·期末）下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；
③长度相等的两条弧是等弧．其中正确的是（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①
【题型3】求圆中弦的条数
【例题3】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 四点在 上，点
，点 分别共线，则图中弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 四点在 上，点
，点 分别共线，则图中弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
知识引入
【例题4】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图所示，求证：直径是 中最长的弦．这样我们就得到一个结论：
知识点（三）圆中最长的弦——直径
直径是圆中最长的弦.
【题型4】求圆中弦的条数
【例题4】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形 中，
，则 的最大值为 ．
【变式1】（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在 中， 是直径， 是弦，点P是
劣弧 上任意一点．若 ，则 的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的 的弦，点C是 上
的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．
知识点（四）教材挖掘——与圆有关周长和面积的计算
小学我们已经学习过：设☉o的半径为 ，面积为 ，周长为以 ，则:；
【题型5】与圆有关周长和面积的计算
【例题5】【教材源题】
你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树木的年龄．把树干的横截面看成是圆形的，如果
一棵20年树龄的树的树干直径是 ，这棵树的半径平均每年增加多少？
【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）工厂生产一种图①所示的螺丝垫圈，其示意图如图②
所示．已知 ，则这个螺丝垫圈底部圆环的面积为 （结果保留 ）．
【变式2】（2025·山东威海·一模）如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并
且放大后的示意图，四边形 是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线
长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点 ．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
知识点（五）教材挖掘——四点共圆
到定点的距离等于定长的所有的点在同一个圆上.这样我们就能理解四点共圆：如果四个
点到一个点的距离相等，那么这四个点在同一个圆上，这就是四点共圆.
【题型6】四点共圆
【例题6】【教材源题】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
解题分析：要求A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上，即证明OA=OB=OC=OD即可.
证明： 四边形ABCD为矩形，
又 AC=BD
A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
【变式1】（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示， ， 是 的高，求证： ， ，
， 四点在同一个圆上．
【变式2】【变式1】（24-25九年级上·北京·期中）下列语句中正确的个数是（ ）
①矩形的四边中点在同一个圆上； ②菱形的四边中点在同一个圆上；
③等腰梯形的四边中点在同一个圆上； ④平行四边形的四边中点在同一个圆上．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二. 同步练习
【基础巩固（20题）】
一、单选题
1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在半径为 的圆中测量弦 的长度，测量结果可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【圆的周长】小圆的直径是 ，大圆的半径是 ，
小圆周长是大圆周长的（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图所示，点P是 上的任意一点，则以点P为端点的半
径（ ）
A．有1条 B．有2条 C．有无数条 D．不存在
4．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 的直径 ，若点 ， 在半圆上运动，
且保持弦 ，延长 相交于点 ．则 的大小（ ）
A． B． C． D．随 、 位置的变化而变
化
5．（24-25九年级上·天津·期中）如图，在 中， ， ，以C为圆心，
为半径的圆交 于点D，连接 ，则 （ ）
A． B． C． D．6．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法错误的有（ ）
①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为 且经过点P的圆有无数个；
④以点P为圆心， 为半径的圆有无数个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（24-25九年级上·广东惠州·期中）如图， 是 的直径，点 在 上， ，垂足为
，已知 ， ，则 的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
8．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．直径是弦，弦是直径
B．半圆是弧
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．长度相等两条弧是等弧
二、填空题
9．（2025·浙江宁波·模拟预测）等腰 中， ， ，以C为圆心， 为半径作
圆弧与 的边交于点D．则 ．
10．（24-25九年级上·重庆秀山·阶段练习）如图， 的半径为 ， 是 的弦，半径
于点 ．若 ，则 的长为 ．
11．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫 的面积为4平方米，
则餐桌的面积为 平方米．12．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，点E在y轴上， 与x轴交于点A、B，与y轴交于
点C、D，若 ， ，则 半径r为 ．
13．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图所示， 为 的直径， 是 的弦， 的
延长线交于点E，已知 ， ，则 ．
14．（2025·江西宜春·一模）如图，在平面直角坐标系 中， 与x轴交于B，C两点，与y轴
交于点A，且 ，则圆的半径为 ．
15．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图， 为 的直径，过点D的弦 平行于半径
，若 的度数是 ，则 的度数为 ．16．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，直线l与 相交于点A，B，点A的坐标为 ，
则点B的坐标为 ．
三、解答题
17．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图，在 中， ， ， 的中点为
O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．
18．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图， 是 的弦， 是 上一点，且 ，
．求 的度数．
19．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是 的直径， 是 的弦， 、 的
延长线交于点 ， ． 若 求 的度数．20．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中， ，求∠2的度数．
【能力提升（20题）】
一、单选题
1．（2025·浙江宁波·一模）已知矩形 的顶点 在半径为5的半圆 上，顶点 在直径
上．若 ，则矩形 的面积等于（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
2．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A．半圆是圆中最长的弧 B．圆内接平行四边形一定是矩形
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．圆的直径是圆的对称轴
3．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图， ， 为 上两点， ， 为 上一动
点（不与 ， 重合）， 为 的中点．若 的半径为2，则 的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系 中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，
交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于 的长为半径作弧，
两弧相交于点C，D，直线 与 相交于点E．若 ，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·广东揭阳·三模）如图，某仓库正门的截面是一个半径为 的半圆 ，一辆高为 的
矩形货车 恰好能通过该仓库正门．则车宽 为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24六年级上·黑龙江绥化·期中）甲、乙两个圆，甲圆的面积是 ，乙圆的周长是
，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A． B． C．
7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两
个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点
可以作无数条直径．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025·四川南充·一模）如图，零件轮廓由一个半圆和一段抛物线 围成．若 ，
则 （ ）A．12 B．10 C．9 D．8
二、填空题
9．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，A，B，C是 上的三个点，若四边形 为菱形，
则 ．
10．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，线段 经过圆心O，点B，C在圆上，且
， ，则 ．
11．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在 中， 为 边的中
线，以O为圆心，线段 长为半径画弧，交x轴正半轴于点D，则点D的坐标为
．12．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图， 为 的直径，点 在 上，连接 ，在
上截取 ，连接 并延长交 于点 ．若 ， ，则 的长为 ．
13．（2025·陕西西安·三模）在菱形 中， ，连接 ，以点 为圆心， 长为半径
作弧，交射线 于点 ，连接 ，则 的度数是 ．
14．（2025·上海崇明·二模）如图，在矩形 中， 与 相交于点 ，点
是在直线 上方到 距离等于3的一个动点，当点 在以点 为圆心， 为半径长的圆上时，
的长为 ．
15．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，在 中， ， ， ，垂足
为点 ， ，垂足为点 ， ，则四边形 的面积是 ．
16．（2025·内蒙古通辽·三模）如图，在 中， ， ， ， 分别是 ，边上的中点，点 在 的延长线上， ，若 ，则 的长为 ．
三、解答题
17．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点A，B，C是 上的三点， 平分 ．求证：
．
18．（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图，线段 过圆心O，交 于B，C两点，线段 交
于D，E两点，且 ， ，求 的度数．
19．（2025·江西·模拟预测）课本再现
如图1， ， ， ，垂足分别为 ， ， 与 相等吗？为什么？
（1）完成上述课本习题．
知识应用
（2）如图2， 的弦 ， 的延长线相交于点 ，连接 并延长．若 ，求证：
为 的平分线．20．（2025·四川广元·三模）如图，二次函数 的图象的顶点坐标为 ，与
轴交于点 ，与 轴分别交于点 和点 （点 在点 左侧）， ， 为抛物线上的两点．
（1）求该二次函数的解析式和 ， 两点的坐标．
（2）以 为直径作圆，圆心为 ，求点 与 上的点的最短距离．
（3）设点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ， 的面积 是否存在最小值？若存在，请
求出最小值；若不存在，请说明理由．
【中考真题5题】
一、单选题
1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重
物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
2．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是
由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下
列叙述正确的是（ ）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
二、填空题
3．（2023·黑龙江·中考真题）在 中， ，点 是斜边 的中点，把
绕点 顺时针旋转，得 ，点 ，点 旋转后的对应点分别是点 ，点 ，连接
， ，在旋转的过程中， 面积的最大值是 ．
三、解答题
4．（2025·广西·中考真题）如图，已知 是 的直径，点 在 上，
．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
5．（2025·河南·中考真题）如图，四边形 是平行四边形，以 为直径的圆交 于点 ．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心 （保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若点 是 的中点，连接 ．求证：四边形 是平行四边形．
